i started watching these videos because of the novelty and the cuteness of the hosts, but this is actually a wonderful format!! i like how zundamon acts as a stand-in for the audience, providing intuition or asking questions, and how metan explains things or points out tricky details. the conversational format is really good for learning, as well as being appealing! also, the bit about the symmetry of the taylor expansion around x & a is really interesting -- what a cool trick!
So many other math channels try to skip over the full explanation for the sake of making it more watchable, but leaves the viewers unable to actually understand the math beyond the intuition. I appreciate channels like this that show all of the steps, it makes the reasoning behind the conclusion feel more clear.
This is black magic lmao I mean I got it-most of it, after several pause-rewinds. But yeah, this is some proper gnostic stuff, like kabalah-level magic. Good stuff!
Amazing well put video! At 13:45, I started to wonder if this derivation may have anything to do with the Schrödinger equation, but as soon as you said "Quantum mechanics" It completely surprised me! Im not sure how the Schrödinger equation was pieced together, but nonetheless, amazing video!
This is getting pretty close to some central ideas in discrete calculus, it makes me wonder if you're leading up to something like the Euler-Maclaurin Sum Formula with these videos. This is a simple explanation of a strange idea, I'm glad there are videos like this.
If you apply two shift operators to a function, you end up shifting the function by the sum of their coefficients: e^(a·d/dx)e^(b·d/dx)f(x) = e^(a·d/dx)f(x+b) = f((x+a)+b) = f(x+a+b). So it appears that this weird "exponentiation" does follow the rule that n^a · n^b=n^(a+b), which suggests that it really acts like a kind of exponentiation and isn't just a trick of notation. This is reassuring because the "remove the parentheses as if the distributive property applies" bit at 3:25 seems very handwavey. The fraction-like d/dx notation is justified by its definition in terms of the limit of the ratio of change, but it's not at all clear that you can treat it like an actual fraction that you're multiplying by f(x) instead of something you're *applying* to f(x) that just happens to be written like a fraction. It seems wild that you can essentially turn function composition into multiplication like this. And it makes me wonder what other functions besides adding a constant could be shoved inside another one using this technique. Playing around, I tried using a different base, but that ends up not being very interesting because b^n = e^(n ln b) so, assuming I can commute the ln b and d/dx (which I'm pretty sure I can due to the product rule), that just ends up with b^d/dx f(x) = f(x + ln b). I messed around with e^d²/d²x, which does...something. Applying it to e^x gives e^(x+1) again, to x gives x, to x² gives x²+2, to x³ gives x³+6x, and to x⁴ gives x⁴+12x²+48. I am too dumb to see the pattern, but it's definitely not simple function composition. I was also curious about what other functions related to e^x might do so I tried applying the same approach to cosine, with strange results: cos d/dx e^x = (e^x)cos 1, and power functions turn into weird polynomials of the same degree. The obvious choice to investigate is ln d/dx, but AIUI the natural log doesn't have a Taylor series that applies outside of a small range, so I don't think the approach used here would work. But having the natural log would open up the commutative hyperoperations, which might be a way of achieving composition with something other than addition by a constant. Just for kicks, I tried to do e^e^d/dx, and ended up with something that takes f(x) and turns it into the sum of f(x+n)/n! as n goes from 0 to ∞. That way lies madness.
You can also represent rotations as exp(*) in a similar vein! For example, using geometric algebra or matrices; it can also be further generalized to some more peculiar transformations
Every time I think math can’t get any weirder a new video with something where it shouldn’t get pops up… but I do like the math! Are you girls math majors?
Wow, It's so unusual... I didn't expect this using of d/dx. How can I contact you? I want to translate and voice over your videos to russian. Do you allow it?
Thank you for your offer! I appreciate your enthusiasm and interest. However, translating involves responsibility and is an ongoing task as long as the channel is active, so I'm unable to outsource it. I hope you understand. Thank you again for your interest! :)
![[Eng Sub] Formal Derivative: Differentiating Something That Diverges to Infinity](http://i.ytimg.com/vi/SGllxZ3WNkA/mqdefault.jpg)
![[Eng Sub] Formal Derivative: Differentiating Something That Diverges to Infinity](/img/tr.png)
![[Eng Sub] Angle Between Functions? | Orthogonality](/img/1.gif)
i started watching these videos because of the novelty and the cuteness of the hosts, but this is actually a wonderful format!! i like how zundamon acts as a stand-in for the audience, providing intuition or asking questions, and how metan explains things or points out tricky details. the conversational format is really good for learning, as well as being appealing!
also, the bit about the symmetry of the taylor expansion around x & a is really interesting -- what a cool trick!
海外ニキがいっぱい見てくれて俺も嬉しいし、
この動画ホンマに面白い
Thank you anime math girls, Im not sure how I got here but this was a great explanation.
The same happened to me I haven't watched maths RUclips since Uni
For me, I was watching the mayo fried chicken mv and yt reccommeded this from that
We use complex versions of these when doing quantum mechanics!
今回もすごく面白かったです。√d/dxや(d/dx)^iと違って、何回か操作すると既知の演算になるということがないので想像できなかったんですが、行列の指数関数を思い出すとかなり自然な定義だと理解できますね。
このチャンネル最近おすすめにでてくるけど、ガチで分かりやすいな
d/dxが正準交換関係を満たす運動量だと思えば、まさに運動量が空間並進の生成子になってることを表す式ですね！量子力学懐かしいです。
Oh this is indeed the translation operator
こういう物理的な意味もあるのですね。
ゲージ理論とかLie代数の話ですね。
並進移動のLie群を接ベクトル(d/dx)を使って指数写像で表現したっていう一番シンプルな例ですね。
そう考えるとこれ単にネタ的な話に留まらずLie代数とか場の量子論の入り口にもなりえるかなり深淵な話題とも言えるかも知れないですね。
リー代数って回転のやつか
わー！つい最近量子力学を勉強始めたばかりなのですが、JJサクライのそのあたりの話を読んでもいまいち飲み込めていなかったので、この動画とコメントでとてもすっきりしました！ありがとうございます！
今回の内容、時間順序積の話を思い出しました
ご支援ありがとうございます。
時間順序積、おもしろい概念ですね！
いただいた額は動画制作のため大切に使わせていただきます。
量子力学でたまに使いますねー
例としては並行移動した単振動系とかで
単振動に限らず、時間発展や平行移動とかで出ますね
@@user-catBrathers あるあるですね〜
@@sanran_mania 逆に言えば、重力理論を量子化できなければ引き寄せの法則は語ってはならないということですね
この手の動画って、ちゃんとわかってない人が適当なことを言ってるイメージだったけど、このチャンネルの動画はどれもよくわかってる人が作ってるんだろうなという感じがする。
(上から目線っぽくなってしまって申し訳ないです)
最高です！
So many other math channels try to skip over the full explanation for the sake of making it more watchable, but leaves the viewers unable to actually understand the math beyond the intuition. I appreciate channels like this that show all of the steps, it makes the reasoning behind the conclusion feel more clear.
@@glumbortango7182 本当にその通りだと思います。正確さを犠牲にせずにわかりやすく面白く説明してくれていて本当にすごいですよね。
この手の動画がちゃんと分かってない人が適当なことを言ってるイメージなのめちゃくちゃ共感する。
This is black magic lmao
I mean I got it-most of it, after several pause-rewinds. But yeah, this is some proper gnostic stuff, like kabalah-level magic. Good stuff!
変数のシフトを積で表せるのはかなり便利そう
数学は怖いほどに美しい
これといい、行列指数関数といい、オイラーの公式といい、マクローリン展開が一番悪いことしてる気がする。良く言えば数学の領域をかなり広げた。
開く前：また級数展開で定義する奴ですか？
開いた後：ほらぁ！
こんな複雑な作用素の意味がただの平行移動って面白いなあ、とぼーっと見てたけど、「線形な演算のみで平行移動を表現している」と気付いて急にすさまじさが分かった。
일본어를 잘 알아듣지는 못해도 수식은 알아볼 수 있으니까 좋네요.
요즘 재밌게 보고있습니다😊😊
Amazing well put video! At 13:45, I started to wonder if this derivation may have anything to do with the Schrödinger equation, but as soon as you said "Quantum mechanics" It completely surprised me! Im not sure how the Schrödinger equation was pieced together, but nonetheless, amazing video!
0:14 さあ進むのです（並進）
おおー
微分が線形写像であることを意識すると、微分を行列で表すことができ、
力学系などでよく使う行列乗の指数関数の形と同じように書けることが分かりますね。
難しかったですが、すごい面白かったです
This is getting pretty close to some central ideas in discrete calculus, it makes me wonder if you're leading up to something like the Euler-Maclaurin Sum Formula with these videos. This is a simple explanation of a strange idea, I'm glad there are videos like this.
If you apply two shift operators to a function, you end up shifting the function by the sum of their coefficients: e^(a·d/dx)e^(b·d/dx)f(x) = e^(a·d/dx)f(x+b) = f((x+a)+b) = f(x+a+b). So it appears that this weird "exponentiation" does follow the rule that n^a · n^b=n^(a+b), which suggests that it really acts like a kind of exponentiation and isn't just a trick of notation.
This is reassuring because the "remove the parentheses as if the distributive property applies" bit at 3:25 seems very handwavey. The fraction-like d/dx notation is justified by its definition in terms of the limit of the ratio of change, but it's not at all clear that you can treat it like an actual fraction that you're multiplying by f(x) instead of something you're *applying* to f(x) that just happens to be written like a fraction.
It seems wild that you can essentially turn function composition into multiplication like this. And it makes me wonder what other functions besides adding a constant could be shoved inside another one using this technique. Playing around, I tried using a different base, but that ends up not being very interesting because b^n = e^(n ln b) so, assuming I can commute the ln b and d/dx (which I'm pretty sure I can due to the product rule), that just ends up with b^d/dx f(x) = f(x + ln b).
I messed around with e^d²/d²x, which does...something. Applying it to e^x gives e^(x+1) again, to x gives x, to x² gives x²+2, to x³ gives x³+6x, and to x⁴ gives x⁴+12x²+48. I am too dumb to see the pattern, but it's definitely not simple function composition. I was also curious about what other functions related to e^x might do so I tried applying the same approach to cosine, with strange results: cos d/dx e^x = (e^x)cos 1, and power functions turn into weird polynomials of the same degree. The obvious choice to investigate is ln d/dx, but AIUI the natural log doesn't have a Taylor series that applies outside of a small range, so I don't think the approach used here would work. But having the natural log would open up the commutative hyperoperations, which might be a way of achieving composition with something other than addition by a constant.
Just for kicks, I tried to do e^e^d/dx, and ended up with something that takes f(x) and turns it into the sum of f(x+n)/n! as n goes from 0 to ∞. That way lies madness.
足し算、引き算、微分、積分をいいように考えて、演算子の足し算と掛け算で表せる関数体を作るって背景がわかってないとピンとこないよねここら辺の話は
プログラムで関数を返す関数があるが、そういう意味を表していると考えると納得した
私は物理学科の学部2年生ですが、物理学ではこういう形式の作用素は出てこないので、とても興味深いです。
物理学科ならそのうち出てくるかもよ。
It will come up very soon, in your third year. Its very common in Quantum mechanics, so be ready)
場の量子論…
@@天才の証明 量子力学は後期からなので知らなかったのですが、こういう物理的な意味もあるのですね。
ありがとうございます。
頑張ってください。寝る前に見てます
ラプラス変換との関係が見えてきます。
L { f(x+a) } = exp (as) F(s)
ラプラス変換の原型はOliver Heavisideの operational calculusです。operational calculusの微分演算子 p(= d/dt)はラプラス変換での sと似たように機能します。その表現では、
exp (ap) f(t) = f(t+a)
となります。動画の数式と同じですね。
微分の階乗とか微分のゼータ関数はどうなるんだろう
後半のΔとフーリエ変換の話は色々なものが繋がって気持ちよかった……
助かるー
I must thank you for providing english subtitles for such interesting content
【悲報】制御系出身＆電験猛勉強中ワイ、最後のフーリエ変換のくだりにたまげてしまう
i love this channel
any plans for multivariable calc videos?
Just passed calculus, with my basic knowledge of taylor series i manage to understand most of the video! Thank you so much!
量子力学でコレを使うと、時間並進対称性があるときエネルギーが保存し、空間並進対称性があるとき運動量が保存し、回転対称性があるとき角運動量が保存するなんてことが議論できちゃいますね。
最後のフーリエ変換の例を見ると、オイラーの公式やラプラス変換にも関係がありそう
シュレディンガー方程式にiが含まれているを見ると、古典力学では説明のできない現象を数式化にするのに、こういった大学数学レベルの知識が必要だったんだなーと思う
物理学でも複素数を取り扱う必要が出てきた事につながっていくのだろうけど、工学部出の自分では数式の変形についてくので精いっぱい💦
複素数の本質は単なる変数を含まない次元の追加ですよ
@@23aa98 解答ありがとうございます。そう言われると複素数平面はxy平面と比べると、変数ではない方法で直行単位ベクトル（でいいのか？）を作ってますね
工学部だとオイラーの公式を応用した微分方程式（振動等）が多く出てくるので、そちらがメインだとばかり思ってました
Thanks for the video, keep up the good work
You can also represent rotations as exp(*) in a similar vein! For example, using geometric algebra or matrices; it can also be further generalized to some more peculiar transformations
確率解析でも指数の方に微分生成作用素をのせた表現が出てきますが、この場合は定義づけが動画の方法とは別で、作用素を微分した時に、指数関数の微分の性質を表すことから指数表現を持ってきています（Feynman-Kacの定理）。面白いのは、指数表現ができるってことから、テーラー展開の形で近似できるだろうと、数値計算の手法を後から開発していることです（Eular-Maruyamaスキーム）。動画とは全く逆の順番なんですよね。
コメント欄につよつよニキが多すぎる
おもしろかったです
微分にこんな世界があったなんて
Arjan would love this!!
eの肩に行列Xが乗ったのもあったなあ。もう忘れた、というか大学のときもよくわからなかったなあ。
これもマクローリン級数と考えるものですね。
リー群か
Every time I think math can’t get any weirder a new video with something where it shouldn’t get pops up… but I do like the math! Are you girls math majors?
Even better, they're trapped in a world where if they don't solve the mysterious math concept that appears once or more per day, they disappear.
the voices are from vocaloid-type voice banks, but I wonder what’s the lore behind the math appearing out of thin air
That's a great concept for an educational manga
ちなみにオイラー作用素θ=x(d/dx)を指数関数に入れたexp(θ)=exp(x(d/dx))は関数f(x)に作用させるとf(ex)になる[独自研究]。
そして同様にa^(x(d/dx))=exp(ln(a)x(d/dx))をf(x)に作用させるとf(ax)になる。
これはq-微分などで使われていると思われる。
(英語版Wikipediaのq-derivativeの項でexp(x(d/d(ln(x)))が登場するが、これは(y=ln(x)として)d/dy=(dx/dy)(d/dx)=[1/(dy/dx)](d/dx)=x(d/dx)によってオイラー作用素となる)
@@ぼふぃ
間違っていたら(可能であれば)ご指摘下さい。D=d/dxとしています。
オイラー作用素の
固有関数=x^n
固有値=n
exp(x*D)*(x ^n)=(e^n)*(x^n)
というコトですか？
あってます
@@ぼふぃ
ありがとうございます。
勉強になりました。
@@ぼふぃ
ご回答ありがとうございます。
勉強になりました。
@@ぼふぃ
というコトは、
f(x)に対し、f(0)=0の関数は、比較的カンタンに、『非整数階逆Euler作用素』が定義できて、
底=a=exp(-t),
u=x*exp(-t)
Euler作用素=Q=u*(d/du)
m=0,1,2,3......
F=(Q^m)*f(u)
s>1
f(x)の(m-s)階Euler作用=G(x)=
(1/gamma(s))*∫(t^(s-1))*F*dt
t：0→∞
たとえば、f(x)=x/(1+x)とすれば、η(z)=(1-2^(1-z))*ζ(z)
(ζはリーマンζ)
G(1)=η(s-m)
となるみたい！(検算はOK )
m=5,s=5/4などでやった。
以上、報告します。
素人意見ながらネイピア数の指数の係数が引数になってるのめちゃめちゃラプラスみある 10:26
指数関数に行列を入れるのと似た感じっぽいなって思った
Incrível, amo esse canal❤ Sua arte e seu conhecimento chegaram até o Brasil🇧🇷🇧🇷🇧🇷
Tが有界線型作用素ならe^Tが定義できる
べゾフ空間にもリフト作用素という言葉があった
e^(iθ)が複素数平面の回転を作用させるように、
指数関数は関数の移動・回転などの操作と相性がいいのかなあ😮
てことは任意のテイラー展開可能な実関数fに対してf(d/dx)が定義できるのか
great motivation for the derived categories of abelian categories as well as the stable homotopy categories
THIS IS SO COOL
i love the style.
ハイゼンベルク描像の時間発展を思い出させられた
無限小変換を無限に積み重ねると有限の変換になる、というのは大学時代の講師が言ってたな〜
Wow, It's so unusual... I didn't expect this using of d/dx. How can I contact you? I want to translate and voice over your videos to russian. Do you allow it?
Thank you for your offer! I appreciate your enthusiasm and interest. However, translating involves responsibility and is an ongoing task as long as the channel is active, so I'm unable to outsource it. I hope you understand. Thank you again for your interest! :)
This dub will be unofficial & noncommercial. I just want people to get knowledge. I will do all the work by myself. You won't have to do anything
Please please please do the Fourier transform and series
この方よく美文の解説をしてくださっているけど積分でも同じように色々広げていけるのかな？
Perfecto, excelente video. Me gusto mucho.
ラプラス変換のe^sみたいな話ですね
足し算と掛け算を繋げる特徴を持っているように見える。整数問題に応用できないかな
物理の量子力学の摂動あたりでこれ出てきた記憶ある
ラプラス変換の第2移動定理っぽさを感じた
数学の概念って恐ろしいと思うねぇ
ラプラス変換後のムダ時間要素exp(-τs)における肩のsを強引に微分要素だと解釈して代入している、思えば納得かな？
そんなことしていいんだという感情がすごいけど…
Fascinating!
ラマヌジャンかよ……あるいは全ての数学者は数学の夢を見るのか？
最後の話って電気数学の話だなぁ
Sheesh, quality content right here
そうやって定義するのか。
f(x)^d/dx=e^(d/dx log((fx)))
ってやるんかと思った
How about i^d/dx
いわゆるFunctional calculsってやつか
素晴らしい解説です！この動画のスペイン語翻訳できました。送りたいですけど連絡先が見つかりません
ご厚意ありがとうございます。心苦しいのですが、翻訳作業には権利と責任が関わるため、現時点では内部による対応のみとさせていただいております。ご理解いただけますと幸いです。
the green one isn't just a brilliant math student, she is also able to see the future :O
ジーゲルの超越数という講義録で登場するよ。この作用素に似た作用素。
Is there a reason why the video about limit points (in title 無限点列 i guess) has been removed? Anyway, thanks for always providing great videos ww
sin(d/dx)...
e^(d/dx) のテイラー展開の中に、なぜ(d/dx)^n はd/dx の n 乗ではなく 、n 次導関数なのでしょうか?
Это прекрасно
e¹=e
e^(d/dx*1)=e^0=1❤
ハイパー演算子↑みたいだ……
ズンダもノーサン、今後の動画で東方カフェの音楽を使ってもらえませんか？きっと喜んでいただけるでしょう。
俺まだ大学一年生だけど、これすごいな！！！ばか面白い。やっぱり数学ってこういうのが楽しい
長文を許して下さい。
演算子法ってオモロイよね！
たとえば、∫ の中では、A>0
の定数として振る舞い、Σの中ではA^nの指数が降りてきて、A(n)として振る舞う、『指数降下演算子』(勝手にそう名付けた)について、
Γ関数の公式(こればっか)
∫(t^(n-1))*exp(-t/A)*dt t:0→∞
=Γ(n))*(A ^n)............(1)
とRiemannのzetaの第一表示
∫((t^(n-1))/(exp(t)-1))*dt
t:0→∞
=Γ(n)*ζ(n)..................(2)
の両式が『恒等的に等しい』とみると、右辺から
A^n=ζ(n)と見ることができ、
(1),(2)の左辺のマクローリン展開から、ζ(-n)の表示が得られる。
ぼくは、演算子法で見つけたけど、同等の式は
ハーディ著 『ラマヌジャン --その生涯と...12の講義』丸善 第11講義 にある。
(導出は無く、自明の様に結果が書かれている)
ラマヌジャン「神のお告げなので途中式は無いです。」
ごめんなさい、その本を探し出して、再度、チェックしたら、導出は
ありました。昔の記憶で、テキトーに書いてしまいました。その導出は今見ても、簡単とは、言い難い(ぼくがアホなだけです)です。
蛇足ですが、当該の式は11.2(B)
で、(A)、(B)はハーディによると、
ラマヌジャンが『特に気に入って』いた様です。
@@gamma関数信徒 わざわざ確認して返信してくれるの尊敬
まだ量子力学にギリ突入してない物理学生なので2年後くらいにはこのコメのありがたさがちゃんと分かるようになる…かも？
ラプラス変換の推移定理もそんな感じの考え方なのかな？適当こいてるだけどね
whar
i'm so confused
are you going to learn calculus azali?
@@tohoYomo we're all going to have fun learning calculus together 🙃
When we can have differential opeartors like laplas, grad, rotor, div and etc.
❤️
電気のフェザーの原理？
gem
Banger
exp(d/dx)Γ(x)=xΓ(x)
個人的な願いですが、韓国語の字幕もあればいいですね。楽しく見ています!
this one was too much for me xd
I AM HERE!
Japanese maths videos are cooking😮