[Eng Sub] Angle Between Functions? | Orthogonality

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  • Опубликовано: 22 янв 2025

Комментарии • 97

  • @山形祐介-e5l
    @山形祐介-e5l 6 месяцев назад +125

    「直交」という表現は本来の漢字の意味から「計量線形空間内で定義される内積の値が0」という意味にかなり拡張されていますね。

    • @i_tatte
      @i_tatte 6 месяцев назад +37

      「互いに素」の記号として当然のように⊥が濫用されてたりしますよねー、初めて見たのが気持ちを理解する前だったのでビックリした記憶があります

  • @bb-lz6eo
    @bb-lz6eo 6 месяцев назад +39

    初めてフーリエ変換について触れたとき、三角関数の直交性について面白さは感じつつも深掘りはしなかったからこの解説を聞いてとても感動している……。この投稿者さんの動画は他の解説と違って質の高さを感じるし毎回取り上げるテーマが面白くてすごい素敵。

  • @Ny0s
    @Ny0s 6 месяцев назад +23

    This might be one of the best math channels on youtube right now. Thank you so much for the english subtitles!

  • @molecular_science-vx7qh
    @molecular_science-vx7qh 6 месяцев назад +42

    こういうお話を量子力学の講義の前に受けておきたかった。

    • @zunda-theorem
      @zunda-theorem  6 месяцев назад +5

      そう言ってもらえるとうれしいです。
      いつもご支援ありがとうございます!

  • @天才の証明
    @天才の証明 6 месяцев назад +70

    大学の教科書だと、これがメッチャあっさり導入されるよな
    痒い所に手が届いて面白いや

  • @ANONAAAAAAAAA
    @ANONAAAAAAAAA 6 месяцев назад +50

    線形代数「またオレ何かやっちゃいました?」

  • @proximitygaming8253
    @proximitygaming8253 6 месяцев назад +37

    I learned about this in Linear Algebra, but this pleasantly extends it with more theory. Nice video!

  • @average334
    @average334 6 месяцев назад +21

    フーリエ変換よく使ってるので解説助かります!
    画像圧縮とか、スペクトラムアナライザ(音楽とかで周波数を表示するアレ)とかに使われてて、線形代数の応用力の高さを感じさせられますよね〜

  • @りりいる
    @りりいる 6 месяцев назад +29

    線型代数「内積が定義できるヤツ全員友達」

  • @2F5L5XG
    @2F5L5XG 6 месяцев назад +12

    It's so awesome to see topics being discussed in class being discussed in an unexpected topic such as "Angles between functions" Such as the Fourier series and Legendre's polynomials! I've only ever heard about Legendre's polynomials from quantum mechanics and the Hydrogen Atom but didn't expect them to see them here as-well. Another amazing video! Keep up the good work! 😁

  • @暇神-t7s
    @暇神-t7s 6 месяцев назад +9

    大学化学で「2つの波動関数の積を全区間で積分して0なら、2つの波動関数は直交している」って習って、よくわかってなかったけど、この動画のあかげで分かった。ありがとう。

  • @Jijikuso
    @Jijikuso 6 месяцев назад +9

    俺物理学科だけどやっぱり数学ってあるものを別な視点から見てそれをどんどん発展させる時が一番楽しい。いつもこういう動画ありがとう。

  • @天使m
    @天使m 6 месяцев назад +7

    15:30 ~ 公式を暗記していたフーリエ展開が、関数の内積を知って「もとの関数をベクトルと考えて
    基底関数(cos、sin)の成分を求めていたんだ」と絵でわかった時、感動したのをおぼえています

  • @user-ll7ff5ep7m
    @user-ll7ff5ep7m 6 месяцев назад +5

    どうやってこういう面白いトピックに辿り着けるのか、自分で学ぶときにどうやっているのか、知りたすぎる。明らかにクオリティが高いので,動画作成の手法も待っています.

  • @ぐうたらぼっち-e7t
    @ぐうたらぼっち-e7t 6 месяцев назад +7

    普通に「直交」って"orthogonal"の事だと思って生きてたら"Cartesian"なんてものが出てきて泣いた大学数学の思ひ出

  • @steve2817
    @steve2817 6 месяцев назад +8

    Expressing fourier series with inner product was definitely way more intuitive than just writing coefficient with integrals. Thanks for providing great videos!!!

  • @山崎洋一-j8c
    @山崎洋一-j8c 6 месяцев назад +15

    内積を公理で定義しておけば、普通のベクトルの場合も関数の積分の場合も、公理を満たしていることをチェックするだけで、内積に関する必要な性質(内積から定義した「長さ」がちゃんと長さの性質である三角不等式を満たすこととか、シュワルツの不等式とか)がすべて自動的に分かる。
    なぜなら、それらの性質は、内積の具体的定義によらずに内積の公理だけから証明できるから。

  • @owata1942
    @owata1942 6 месяцев назад +14

    ある意味無限次元ベクトルの内積と考えられるよね

  • @summonsboard1999
    @summonsboard1999 6 месяцев назад +8

    機械力学で運動方程式を正規化する際に直交の関係を使ってたけどこういうことだったんだ…

  • @sagarroy8679
    @sagarroy8679 6 месяцев назад +3

    Very cool to see Grahm Schmidt applies to functions! Never thought about that at all. Being able to define an inner product between two things really gives you a lot of tools to analyze them. Love linear algebra!

  • @こーここ-q8t
    @こーここ-q8t 6 месяцев назад +3

    今までふわっと使っていたルジャンドル陪関数がシュミットの直交化から導出できるのはよく考えると当たり前だけど勉強になった

  • @pablozaid6078
    @pablozaid6078 6 месяцев назад +7

    日本語を勉強しているコンピューターサイエンス専攻でこういう動画めっちゃ便利ね

  • @manmaru-nitamago
    @manmaru-nitamago День назад +1

    関数の内積は線形(微分)作用素の固有値問題につながってきますね!
    動画の例だとフーリエ級数展開に出てくる基底s_nとc_nは周期関数 y(x+2π)=y(x) における作用素d²/dx²の固有関数になっています
    物理学、特に量子力学で出てくるような特殊な多項式や関数も微分作用素の固有関数になっています
    (例 : ルジャンドル(陪)多項式、エルミート多項式、ラゲール(陪)多項式、ベッセル関数)
    詳しい事は知らんが、そのような計算をしていい事は数学者の方が研究して保証してくれているのだァ!

  • @STIRJr
    @STIRJr 6 месяцев назад +5

    ベクトルの内積を学んだ時、ベクトルの内積は有限項の数列同士の積和になってるけど、無限項のべき関数の積和(=べき関数の積の積分)でもイケそうだなぁと思ったけど、できるんですね。
    フーリエ級数は、正弦関数と余弦関数の位相が90度ズレてて、関数が直交してるイメージありました。直交した波動成分に分解してる感覚

  • @ほぼ理系
    @ほぼ理系 6 месяцев назад +7

    このチャンネルが1番しっかりしてて好き(by数学専攻1年)

  • @ひぐねこ-w2w
    @ひぐねこ-w2w 6 месяцев назад +2

    振動モードを理解するのに必須の知識ですな。

  • @atrophysicist
    @atrophysicist 6 месяцев назад +1

    Your videos never disappoint!! They always start with a seemingly innocent question but dive deeper and deeper!

  • @ykonstant
    @ykonstant 6 месяцев назад +2

    The way you are pacing the conversation and the explanation is excellent; you have a real talent for presenting mathematics! Bravo!

  • @purim_sakamoto
    @purim_sakamoto 6 месяцев назад +3

    ん〜〜〜何かが拡張していくのは気持ちいいね プールで浮かんでるような気持ち良さ

  • @user-nw4if2uh4x
    @user-nw4if2uh4x 5 месяцев назад +2

    ルジャンドル多項式ってなんかやったなぁ。でも思わぬところから出てきて余計に混乱しとる。貴様何故…。

  • @afrolichesmain777
    @afrolichesmain777 6 месяцев назад +2

    I remember seeing 13:02 during my partial differential equations class and completely disregarding it. Now looking at it, Im upset at myself for not seeing back then, like its so obvious! Great video as always!

  • @betelgeusecardioid8575
    @betelgeusecardioid8575 6 месяцев назад +4

    ルジャンドル多項式ここでも出てくるんや
    電磁気学で学習した事と繋がって嬉しい

  • @tambaren
    @tambaren 6 месяцев назад +1

    Zernike多項式というもので2次元平面の直交を扱ってるが
    理解が深まった

  • @takashike
    @takashike 6 месяцев назад +4

    関数の直交性といえば、三角関数を利用したフーリエ変換かな。フーリエ変換は神ツールだと思う。

  • @undeathbysnipe2986
    @undeathbysnipe2986 6 месяцев назад +1

    very clear and concise introduction to this mathematical concept! i only minored in mathematics, so i didn't need to go far too into linear algebra, i never even had to do this in all of my physics classes!

  • @user-bp6mz2qw3j
    @user-bp6mz2qw3j 5 месяцев назад +5

    高校中退生です!後半意味わからん、ムズすぎ!だけど、自分から新しく数学を開拓していく感じはええよなぁ。ありがとう!

  • @apppples
    @apppples 6 месяцев назад +9

    i learned this in real analysis. also something about derivatives being linear maps, which when dealing with functions with finite terms were matrices maybe? i don't remember... its been so long. great video though!!

  • @umapessoaaleatoria
    @umapessoaaleatoria 6 месяцев назад +1

    My favorite math channel

  • @Ich-gy1uf
    @Ich-gy1uf 2 дня назад +1

    直交=混ざってない.ヘリコプターの操縦は直交性がない.上昇と前進のコントロールが分けがたい(混ざっちゃう).直交してると制御し易い.成分ごとに個別に調整できる.多変量解析の相関(内積)で修行して,ヒルベルト空間にロケットダイブ.
    内積は面白みのない空間に比較関係を突っ込む物.内積は類似性の指標.うーん,大きな岩に何本もロープを付けて,大勢で引っ張ると,個々人の寄与度は内積の射影.そんなこんなでイメージ作って,取り掛かればいい.
    比較,類似が出たら内積を作ると幸せになる.大体がよくある形式(テキストに書いてる)で事足りる.内積=計算方法(成分の積の和)という理解から離脱して,内積=類似指標として再入門すればいい.それで,ヒルベルトさんとお友達.逆に,直交化に内積を使う.大変だけど頑張るしかない.テクとして何かと内積作って余りを更に...で,元関数を単純化していって,既知関数との合成品に変える.内積は冒険の友.使いこなせばダンジョンも怖くない.

  • @acborgia1344
    @acborgia1344 6 месяцев назад +2

    Great video, I learned a lot!

  • @stripe_tanuki
    @stripe_tanuki 6 месяцев назад +1

    直行の定義に合う関数の組を眺め続けると、もしかすると夢の中でそれらが直交しているのが見えるかもですね。

  • @荻野憲一-p7o
    @荻野憲一-p7o 6 месяцев назад +2

    幾何ベクトルの「なす角」も、基本これと同じ定義なんだがな。
    図面を使って「角度」が定義できると信じ込んでいる輩が多すぎる。

  • @tacos_0916
    @tacos_0916 6 месяцев назад +7

    毎度毎度シチュエーションが謎すぎて笑う

    • @molecular_science-vx7qh
      @molecular_science-vx7qh 6 месяцев назад +1

      壮大な世界背景があるものと妄想しています

    • @あうら-g2j
      @あうら-g2j 6 месяцев назад +1

      たぶん、ホビー漫画の話の規模がエスカレートして地球の危機にホビーで対抗するやつの数学バージョン。

  • @angeldude101
    @angeldude101 6 месяцев назад +1

    If it adds like a vector and it scales like a vector, it's a vector.
    Functions add like vectors and scale like vectors, so they're vectors. (They're also an inner product space, which technically isn't a requirement to be a vector, but it's a nice bonus and important for orthogonality.)

  • @c9807
    @c9807 6 месяцев назад +1

    量子力学だと関数の直交化はとてもなじみが深い

  • @nyanrock26
    @nyanrock26 5 месяцев назад +1

    量子力学の講義やら課題でこういう計算を大量にやらされた記憶がある。何がわからないのかわからないままだったが、数学的な意味が分かってなかったのかも。

  • @eggyolk6735
    @eggyolk6735 6 месяцев назад +1

    I remember doing the Gram-Schmidt process when doing linear algebra/vector spaces and seeing it here made everything click so beautifully!

  • @df-163
    @df-163 6 месяцев назад +2

    Great video, orthogonal polynomials are some of my favourites objects in maths (as a numerical analyst). Some things i want to say are
    1:
    Some additional remarkable properties of Legendre polynomials involve:
    -three term recursion relations which tell us that (in the case of legendre)
    (n+1)Pn+1(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_n-1(x)
    This extremely useful in computing such polynomials fast and accurately.
    -gaussian quadrature. The roots of legendre polynomials can be used to numerically integrate functions very quickly and accurately
    - expressing functions: using the orthogonality relation, it is easy to express functions on computers using orthogonal polynomials. Then, you can solve many differential equations easily (spectral method)
    2:
    In fact, if you change the inner product to a general one of the form (f,g) = ∫f(x)g(x)w(x)dx where w is a weight function (that satisfies certain integrability conditions...)
    You can get other sequences of orthogonal polynomials
    Look up Chebyshev polynomials of 1st and 2nd kind, which are heavily tied with fourier series
    Laguerre polynomials, on half real line and Hermite polynomials, on whole real line, which turns up in probability theory due to having the normal distribution as the weight function.
    There is nothing special about Legendre polynomials. There are analogous properties for all other orthogonal polynomials :D

    • @weegee7924
      @weegee7924 6 месяцев назад +2

      Regarding the weight function, lots of differential equations come equipped with a natural choice of weight function, so solutions to these equations can be constructed by constructing an orthonormal basis of functions and then superposing them! All part of a class of problems called Sturm-Liouville problems, which encompass many physical differential equations, such as Poisson's equation, the Diffusion equation, and the wave equation.
      Bessel functions and spherical harmonics fall out naturally when solving these kinds of problems in specific coordinate systems. They're quite tame and well-behaved once you realize they're just basis functions!

  • @kao7s
    @kao7s 6 месяцев назад +18

    大学の教科書全部この人に書いてほしいんだが…

    • @天才の証明
      @天才の証明 6 месяцев назад +2

      線形代数はこの人に任せたいな

    • @バックミンスターフラーレン
      @バックミンスターフラーレン 6 месяцев назад +1

      中の人が教科書書いたことがある教授さんだったりする可能性が微粒子レベルで存在している……………?

    • @天才の証明
      @天才の証明 6 месяцев назад

      ​@@バックミンスターフラーレン
      本当にそうだとしたら、教授も好きで教科書あんな雑に書いてる訳じゃないんだな

    • @あうら-g2j
      @あうら-g2j 6 месяцев назад +1

      @@天才の証明大学教授が本を書くのは、「本くらい書かないと碌な収入を得られないから」だという噂が……。
      産学連携とかメディア出演とかで稼げる分野じゃなければ、本書いて『教科書』という体で学生に売りつけるくらいしか専門性を活かした副業がありませんから。

  • @loytoyinn8639
    @loytoyinn8639 6 месяцев назад +1

    That length operator for functions at 2:32 is super close to the definition of the Root Mean Square (RMS). The only difference is you divide by 1/(b-a) to attain the average of the squared function along the interval [a,b]. It has very important applications in AC power systems, especially in delivering a certain consistent voltage to homes (for America, this is usually 240/120V RMS at 60 Hz). It equates AC Power Delivery to a device to some DC Power Delivery in a sense. This is done because AC power has this weird phenomenon where certain devices (equivalent to either capacitors or inductors), will have slight periodic behavior (passing charge/energy back and forth between each other and-or holding extra energy for some period of time instead of immediately dissipating it like a resistive load would). So engineers and physicists wanted a way to ignore this effect as this “reactive” power wouldn’t actually provide any power towards the device, so they remove it out of the equation for AC power systems using this cool little RMS thing.

  • @a52productions
    @a52productions 6 месяцев назад +1

    Oh! That's where the Legendre polynomials are from... they pop up all the time in physics, but my lecturers always brushed over them and I was left mystified by their definition. When you try to construct them manually like this, they become so simple -- it's just what you get when you try to turn a Taylor series basis into an orthonormal one!

  • @plantnt489
    @plantnt489 6 месяцев назад +1

    I thought calculus was hard until I found about linear algebra

  • @AnnXYZ666
    @AnnXYZ666 6 месяцев назад +1

    I learned the concept in linear algebra, but they never expanded it that it can be expanded to Fourier series. This is very interesting

  • @kappasphere
    @kappasphere 6 месяцев назад +4

    From the thumbnail, I thought the question was how to find the angle between two function graphs, so I solved that problem before watching the video 😅 So anyways, here is my solution for finding the angle between two function graphs, using complex numbers:
    if z=ae^iθ and w=be^iγ, then z/w = a/b e^i(θ-γ) gives the angle between z and w.
    To get a complex number that has an angle that represents the slope of a function f at (x, f(x)), you just use the point (1 + i f'(x)).
    Use this to get the angle between f and g:
    The angle between (1 + i f'(x)) and (1 + i g'(x)) is the angle of
    (1 + i f'(x))/(1 + i g'(x))
    = (1 + i f'(x))/(1 + i g'(x)) (1 - i g'(x))/(1 - i g'(x))
    = (1 + i f'(x))(1 - i g'(x)) / (1 + g'(x)²)
    = (1 + f'(x)g'(x) + i (f'(x) - g'(x))) / (1 + g'(x)²)
    the angle of this is
    arctan( (f'(x) - g'(x)) / (1 + f'(x)g'(x)) )
    Let's try to find two functions that are always orthogonal. For these, 1+f'(x)g'(x)=0 for all x, so g'(x)=-1/f'(x). So g(x) = C - int 1/f'(x) dx. For example, with f(x)=ln(x), f'(x)=1/x, and g(x)=C - int x dx = C - x²/2.
    But after watching the video, orthogonality of the functions as vectors is a lot more interesting than the angle between the graphs.

  • @tomorrow-s_bag
    @tomorrow-s_bag 6 месяцев назад +1

    2:17 RMSみたいだなあ。
    (音いじりが趣味のド文系並感)

  • @ccxxii7816
    @ccxxii7816 6 месяцев назад +4

    関数をどこぞのサラダおろしで細切れにして、無限個(実数の濃度)の値を持つベクトルとして扱ってるって解釈で合ってる?

    • @天才の証明
      @天才の証明 6 месяцев назад

      サラダおろしが何を指すか分からんが基本その認識で良いと思う
      解析や量子力学やるんだったら避けては通れない道かな(解析は詳しくないなら予想でしかないが)
      しかも、大体の教科書はこれを「知ってる前提」でいきなり使うからね

    • @ccxxii7816
      @ccxxii7816 6 месяцев назад

      @@天才の証明 区分求積法(にんじんしりしり)、元は区分求積法の動画だけど積分に対してだいたいそのイメージが湧くようになった。

  • @wsgyall623
    @wsgyall623 6 месяцев назад +1

    great video!

  • @weegee7924
    @weegee7924 6 месяцев назад +1

    With the last video and this video covering techniques used in Quantum Mechanics, I hope we get to see Zundamon-sensei's introduction to Quantum Mechanics!

  • @holery9215
    @holery9215 6 месяцев назад +1

    At first, i consider the video just explain about inner product (dot product). Because the thumbnail is asking about angle between two vectors. So, i guess that is just rearranging the equation of dot product or cosine rule.
    Unfortunately, my guesses are wrong. You make me very pleasant for this explanation. I learned a new thing, like assuming function as exponential series and manipulated the equation where has a different expectations.
    Thank you🙌
    Ps: Please apologize for my bad english

  • @SilverLining1
    @SilverLining1 6 месяцев назад +1

    It should have been stated that by definition the norm of a vector and inner product of vectors have to satisfy certain properties. This is especially important since at 12:12 one of these properties, linearity, is used, despite not having checked its validity for our definition. That said, it follows immediately from the linearity of integrals, but Metan rarely glosses over these details!

  • @user-plr
    @user-plr 6 месяцев назад +1

    As expected, it is the inner product of the continuous function space C[a,b]. Functional analysis on RUclips is really surprising!

  • @jackolantern6201
    @jackolantern6201 6 месяцев назад +1

    The length of a function resembles the RMS value of a function

  • @jalmar40298
    @jalmar40298 6 месяцев назад +1

    ルジャンドルの多項式は正規直交系だけど完全ではないのかな

  • @gonzaloabelcastro1077
    @gonzaloabelcastro1077 6 месяцев назад +1

    💕💕👏👏👏Super intereante el tema🤘 me encanto como una simple analogia genera mas matematematicas lo cual les llevo fourier🙌💕👍

  • @MikuHatsune-np4dj
    @MikuHatsune-np4dj 6 месяцев назад +1

    sinとcosを掛けると0になるやつですね

  • @ほげふがーの山小屋
    @ほげふがーの山小屋 6 месяцев назад +1

    この動画は計量ベクトル空間(R∞)での関数の内積の定義についての説明
    で合ってますよね?(🤔ちょっと自信ないです。

    • @jalmar40298
      @jalmar40298 6 месяцев назад +1

      R∞がなんなのか分からんけどたぶん違う
      そこらへんは積分可能性とかの煩雑な説明が必要だから省いていると思われる

  • @straightforwardchad
    @straightforwardchad 6 месяцев назад +1

    either way orthogonality means 90 degree, right?

  • @Zitrussaft
    @Zitrussaft 5 месяцев назад +1

    Oh yes bois! Another great one!~

  • @yukihironishikawa1197
    @yukihironishikawa1197 6 месяцев назад +2

    おしい。関数の「内積」は、対象とする関数の都合に合わせて調整されるので、一意に議論できるものじゃないことに言及してほしい。多項式の例とフーリエ級数では責任範囲が違ってるしね。関数2つから数値1個が得られる計算全てが内積に使えるよ。

  • @willy8285
    @willy8285 6 месяцев назад +1

    Omg this is awesome!!!!!!!!

  • @wswsan
    @wswsan 6 месяцев назад +1

    単に関数のグラフを見るとそんな感じなさそうだけど, それとはまた別?

  • @katsuakinaito1218
    @katsuakinaito1218 6 месяцев назад +1

    積分区画に意味付けはできますか?
    内積を定義できる範囲で、考えたい関数空間にあわせて、いい感じに積分区画を定義するといった感じのものでしょうか?

    • @天才の証明
      @天才の証明 6 месяцев назад

      (-∞, +∞)の範囲になるが、量子力学やれば分かるよ

    • @katsuakinaito1218
      @katsuakinaito1218 6 месяцев назад

      @@天才の証明
      量子力学では、例えば周期境界条件を考えたいときは-L〜Lとしたり、開放教会条件にしたい場合はL→∞です。空間次元が上がったり、対称性を考慮することで、積分区画を変えたりします。そう言う話は、あくまで物理的に考えたい積分区画として定義できます。
      ここで質問している内容は、純粋に数学的に考えた場合に、積分区画に要請がかかっているかと言うことです。

  • @てち-k2y
    @てち-k2y 6 месяцев назад +1

    すごく丁寧な動画だけど、構成が観づらく感じてしまうのは私だけでしょうか。
    ℝ^nのユークリッド内積におけるシュミットの直交化を示してから、一般の内積空間の話に展開した方がスッキリすると思う。
    あと、何を目標にして話が進んでいるのかが見えづらく、展開を追うのに少し苦労する。
    ただ、とても分かりやすく楽しい動画だから、これをきっかけに数学好きな人が増えると好いなと思います。

  • @aks8403
    @aks8403 6 месяцев назад +1

    Slight error in translation at 5:03 , 0!=1 (this is supposed to be a joke)

  • @IamACrafter
    @IamACrafter 6 месяцев назад +3

    so peak

  • @gabygamerhd
    @gabygamerhd 6 месяцев назад +1

    parabéns, voçê acaba de encontrar o comentário em português que tanto procurava! faz o L.

  • @チューリングマシン
    @チューリングマシン 6 месяцев назад +1

    エアプで申し訳ないけどこういう内容って数学科で学ぶの?

    • @臼-v7q
      @臼-v7q 6 месяцев назад

      そんな学科入らなくても、どの分野であれ工学で勉強できる

    • @チューリングマシン
      @チューリングマシン 6 месяцев назад

      @@臼-v7q 丁寧にありがとうございます!

    • @天才の証明
      @天才の証明 6 месяцев назад

      なんなら数学科の方が見る機会少ない

    • @チューリングマシン
      @チューリングマシン 6 месяцев назад

      そうなんですか!?
      丁寧に教えてくださりありがとうございます

  • @Masatoshi_Ohrui
    @Masatoshi_Ohrui Месяц назад +2

    関数解析わっしょいわっしょい

  • @huailiulin
    @huailiulin 6 месяцев назад +1

    2h