As a physicist, I've been using dual numbers (or at least an analog) for years without even knowing it! We often approximate certain variables (let's use k as an example) as "very small", where we take k =/= 0, but k^2 = 0, and k is very rarely given a numerical value. This is incredibly useful in basically every field of physics and I had simply never thought of it in this way before! We do tend to allow division by k, however. Thank you for this video.
You're probably using k as an "implicit limit" rather than as dual numbers, which seems sound as long as you never divide a term by k more than once (because you're discarding k^2 terms as irrelevant)
a + bi + cε + diεも無理やり、 a b c d -b a -d c 0 0 a b 0 0 -b a という行列で表現出来ますね(ヤケクソ) (追記: どっちかって言ったら、分解型複素数a+bi+cj+dkの内の二つの元 i = 0 -1 1 0 j = 0 1 1 0 を組み合わせた形での、 ε = (i+j)/2 = 0 0 1 0 って表現の方が有意義かも。)
冪零行列を利用して表現可能ですね。 二重数a + biの表現行列は a b 0 a という行列となり、 四乗して零になる方をε₄と表した際の a + bε₄ + cε₄² + dε₄³の表現行列は a b c d 0 a b c 0 0 a b 0 0 0 a という行列になります。 三乗や五乗の場合でも、εやε₄の場合と同じような表現行列が得られますね。
May I suggest a video on the full-on hyperreals? Unlike the duals they form a full field and the hyperfinite numbers are useable in purely discrete contexts unlike infinitesimals.
Even more interesting as I found on a MIT OCW lecture on the topic, is that by instead of using a function of x but one of x + ϵ (the dual coefficient being 1) and looking at the dual part is equivalent to doing that arithmetic with the derivatives. For example, at 4:09 is the product rule u.v' + v'.u. Dual number division likewise imitates the quotient rule.
When ε got introduced here, I thought "hey, isn't that how the dual tangent bundle of a smooth manifold works?" When Metan brings up differentiation, I realized that that's just because ε is an algebraic codification of the concept of a differential!
The unit circle for the dual numbers is just a really vertically zoomed-in complex unit circle due to the fact that the y-axis uses ε, an infinitesimal.
It is like a coincidence, but I am also implementing an algorithm this few days to find out matrix representation of Clifford allgebras in any signatures, including degenerated signatures which nilpotent/grassmann are all over the places
Dual numbers are frequently used in Clifford/geometric algebras because, much like how complex numbers and quaternions are perfect fit encoding rotations, dual numbers are perfect for encoding translations. The "dual quaternions", the product of the quaternions with the dual numbers, was actually invented by William Clifford himself independently of his work on geometric algebra, though they ended up being a Clifford algebra anyways: Cl(0,-2,1).
6:30 -- ε is a zero divisor (because ε*ε=0 and ε != 0). In theory, this means that it is not invertable (there exists no element x such that ε*x=1) **and** is not cancellable. (x*ε = y*ε does not imply x = y) A problematic example here is x = 1, y = 1+ε. This satisfies the un-cancelled equality, but not the cancelled equality. I *think* that restricting a and b to be real numbers would make ε cancellable, but I don't have a rigorous proof of this. (I bet someone else has either already proved or disproved that assertion) In short, feels like you need to be careful here.
From the thumbnail alone I assumed modular arithmetic! Example: x = 3 (mod 9) x^2 = 0 (mod 9) But this dual number lesson was fascinating! Thanks for the lesson ☺️
Yes, however you need to first define if iε=εi or if iε=-εi, if the former is chosen, then it can be expressed as the commutative ring C[ε^2], and if the latter is chosen, then it is the Clifford algebra Cl_{0,1,1}(R). Either way, (iε)^2=0 and (a+bi)(c+dε) would equal ac+bci+adε+bdiε. We also require it to be a 4d algebra (unless you do weird things such as rejecting a(bc)=(ab)c)
2乗以上の高次項は全て無視するというのはたしかに無限小
As a physicist, I've been using dual numbers (or at least an analog) for years without even knowing it! We often approximate certain variables (let's use k as an example) as "very small", where we take k =/= 0, but k^2 = 0, and k is very rarely given a numerical value. This is incredibly useful in basically every field of physics and I had simply never thought of it in this way before! We do tend to allow division by k, however. Thank you for this video.
You're probably using k as an "implicit limit" rather than as dual numbers, which seems sound as long as you never divide a term by k more than once (because you're discarding k^2 terms as irrelevant)
絶対値が1の複素数を掛けることは複素平面上での回転に対応しているように、絶対値が1の二重数を掛けることは「二重平面」上での「剪断」（例えるなら正方形を平行四辺形にするような変形）に対応しているということも是非とも紹介してほしい
直感的に言えばεは無限小みたいなもんだから、εを縦軸に単位円書くと円が無限に引き延ばされて直線になるのね
確かに、あの「円」は無限に縦長の楕円と考えればわかりやすい
なるる！ εの単位円に納得できまして
このチャンネル見てると、数学って自由な発想が大事な学問なのだな、と実感する
クイズの大会で知って興味はあったのですが、youtubeにわかりやすい動画が見つからず、ずっと興味はあったのでとてもありがたいです
0:25 私は心が汚れているので、「これを満たすエックスは」と言っているはずの箇所が「これを見た○○○○は」に聞こえてしまいました。
このεの性質は、行列におけるべき零行列にも似てそうです。(自身は零行列でなくても、累乗すると零行列になる。また、当然正則性はないので、逆行列を求められない。)
a + bεの表現行列は
a b
0 a
という冪零行列で表せますね。
ただ、この表現だと無限小って考え方と少しだけ相性が悪くなるので、使い分けが必要ですね。
(誤:冪零行列
訂:スカラー倍単位行列と冪零行列の和)
@@回廊 冪零行列と単位行列の線形結合ではないでしょうか。
実際たとえば2×2行列の部分環として、Eを単位行列、εを1行目が(0,1)、2行目が(0,0)である行列とし、xE+yεという形の行列（1行目が(x,y)、2行目が(0,x)である行列）を考えると、この動画の数系のモデルになります。これはεが零因子である単位的可換環となり、xの大小関係で（xが等しい場合はyの大小関係で）「辞書式順序」を定義すれぱ、非アルキメデス的順序環にもなります（任意の正の実数xに対し、O
@@山形祐介-e5l
確かにそうですね。こっちが馴染んでて勝手に足してました
a + bi + cε + diεも無理やり、
a b c d
-b a -d c
0 0 a b
0 0 -b a
という行列で表現出来ますね(ヤケクソ)
(追記:
どっちかって言ったら、分解型複素数a+bi+cj+dkの内の二つの元
i =
0 -1
1 0
j =
0 1
1 0
を組み合わせた形での、
ε = (i+j)/2 =
0 0
1 0
って表現の方が有意義かも。)
I really love the way dual numbers were introduced here ! Thank you for all the efforts you put on your videos, you're the best !
一般に、順序環において「任意の自然数nに対し00が存在する。もしε≧1ならば（ε≧1の両辺にε'を掛けると）0≧ε'となり矛盾なので、ε
加えて、もしこれが行列表現が可能であるなら、複素数を四元数に拡張する過程を適用して四重数を定義できそうですね。でも、そうすると、「二乗すると零になる無限小」とは別の測度で「四乗しないと零にならない測度の無限小」、つまり通常の微分の拡張すら逆定義できそうです。（もしかして、非自然数階数の微分だったり・・・）一つの事象を別の角度から定義し直して再構築する操作って、本当に美しくて面白いですね。
冪零行列を利用して表現可能ですね。
二重数a + biの表現行列は
a b
0 a
という行列となり、
四乗して零になる方をε₄と表した際の
a + bε₄ + cε₄² + dε₄³の表現行列は
a b c d
0 a b c
0 0 a b
0 0 0 a
という行列になります。
三乗や五乗の場合でも、εやε₄の場合と同じような表現行列が得られますね。
>@回廊さん
やっぱりそうですよね。
すると、この「４乗しないと零にならない」測度で定義できる微分は、何回か同じ操作を繰り返して初めて通常の微分と一致するような気がしますね。
二重数でe^(εx)は級数表現によって1+εxと同じになるのが面白いです。
また韓国ではこれを二元數と言うのに違いがありますね
6:17
(b_1-b_2)ε = 0,
εは0ではない数であるため, この式が成立するための条件は
b_1 = b_2
でいいのではないでしょうか！
その直前でεで割れないって言ってますよ
@@まる-g9p5o
割らなくても証明できる
(b1-b2)ε=0
→b1-b2=0 or ε=0
→b1=b2
ab=0⇒a=0 or b=0
が成り立つならそれでいいと思う
二重数(双対数)が無限小であるなら自動微分の性質も単位円の概形の理由も納得です!
数学での「二重数」の定義は、
実数 a, b と ε² = 0（複零性）を満たす実数でない ε を用いて、
z = a + bε
と表すことのできる数。
6:17 A better way to show b1 = b2 will be:
b1ε = b2ε
b1ε - b2ε = 0
(b1-b2)ε = 0
because ε ≠ 0 and b1-b2 is a real number, b1 - b2 = 0 and b1 = b2
この何に使うのよくわからない二重数を四元数と組み合わせてゲームなどのコンピュータグラフィックスのアニメーションに応用する事を思いついた人、マジ凄い。
高校数学における微分で言うところのlim（x→+0）とかlim（x→-0）に近いんだろうなって
これ確か謎解きラボで解説されてたんだけど気づいたら無くなってたからありがたい
まじでこれ
回転のやつおもしろかったわ
ナゾトキラボでは双対数の名前で紹介されてましたね。
また双対数（二重数）に出会えて嬉しい！
the music this youtube channel uses is so memorable that I instantly noticed the new music choice
keep up the awesome work
二重数の解説！嬉しい
分解型複素数と幻影数もこのチャンネルの解説が見たいのでぜひ、、
分解型四元数(実二次正方行列)もぜひ…!
二重数を最初に知ったのは、四元数との組み合わせで3Dモデルのボーン変形をなんか良い感じに実現する方法(Dual Quaternion Skinning)があるよって話だったんだけど、それ単体で微分と関係してるってのは知らなかったし、面白い。
二重数は知らなかったけど、大学の数学の授業で、微分の定義は
f (x+dx)=f(x)+f’(x)dx
と習ったなぁ…そう言われればdxと二重数のεって似ているのかも
明るい森の中を探検しているかのような素晴らしい BGM
この流れでクリフォード代数や幾何代数のお話が始まったら嬉しいです。
二重数の絶対値（ノルム？）をあれで定義する理由がいまいちわからない
二重数における共役とは何なのか
共役の意味は、実数係数方程式における解のうち、実数でない二重数の組でしょう。二重数では、方程式の次数と解の個数は必ずしも等しくないようです。
グラスマン数が有名ですね、素粒子理論物理学でフェルミオンや超対称性を記述する際に使われます
一般的な数学用語としてはクリフォード代数で調べれば幸せになりそうです
二重数, すごく0に近づけた極限に似ているなーと思ったらそういう話もあった
εの性質は誤差の計算理論で便利に使えそうな性質です。
今回もとても面白い話をありがとうございます！
εは結局無限小だったんですね！
定義してみたら、色々計算するとちゃんと無限小として振る舞うのなんかちょっと感動してしまった
I appreciate the new music! Please keep including new songs, I like the variation!
0:26 ここ好き
May I suggest a video on the full-on hyperreals? Unlike the duals they form a full field and the hyperfinite numbers are useable in purely discrete contexts unlike infinitesimals.
虚数単位 i や微分という操作を行列で表すことができるように、二重数も行列で表せるような気がしますが、いかがなもんでしょう。零因子も定義できていますし。
a+bεは
a b
0 a
という行列で表せます。
>@山形祐介-e5lさん
ありがとうございます。
やっぱり冪零行列のことですよね。
ε^a=ε^2*ε^(a-2)=0みたいなのがどんなaでも通用してしまいそうなので、εに指数法則を考えるのはやめた方がよさそうだ……。
a≥2 ならそもそも εᵃ = 0 が成り立つから式変形をする事自体出来ないと思うし、ε¹の場合は ε¹ = ε² × ε⁻¹ が成り立ってしまって、そもそも式変形の過程でεの逆数が出てしまい、それが禁じられている以上ε¹の場合も式変形自体出来ない事に成るから、指数法則の前にそのような式変形自体が認められないんじゃないかな。
逆に言えば、εの逆数が考えられないとする事はかなり上手く出来ている禁止事項なのかも。
Even more interesting as I found on a MIT OCW lecture on the topic, is that by instead of using a function of x but one of x + ϵ (the dual coefficient being 1) and looking at the dual part is equivalent to doing that arithmetic with the derivatives.
For example, at 4:09 is the product rule u.v' + v'.u. Dual number division likewise imitates the quotient rule.
例えば量子力学では、複素数値（Ψ=a+bi）である波動関数（の絶対値）を２乗することで、空間の各点における粒子の存在確率が計算されます。ここで
η = a + bε ，ε²=0 ∧ε≠0
をうまく利用すると、物理の記述の可能性が広がりそうな気がしました。
無限小移動演算子とかで出てくるdxでええんやない？
@@user-gfhgfhthtfhtgd そのdxは、実数の微小変化ですか？
今回も興味深かった！！！いつも楽しみにしてます
Sometimes I wonder if in philosophy there's something like imaginary numbers.
Great video as always!
円は「ある点からの距離が等しい点」の集合なので、２つの点の距離が「x軸方向の距離の差」だけによって決まる世界では、"円"はx軸の正負それぞれの方向に同じ距離だけ離れたy軸に平行な直線になるわけですね。理解しました。
虚数の概念を拡張して実数でない数を虚数と考えればεも虚数の一種とみなせる。εを虚数単位として採用すれば、実数a,bを使ってz=a+εbは複素平面上の点を表す。この平面上の原点0以外で相異する２点の積が0になることがある。つまり0以外に零因子がある。零因子は虚軸上の相異なる点のみに限られるのが面白い。また割り算には色々制約が付くが純虚数は純虚数で割ることができ、その結果は虚軸に平行な直線になる。このことからε⁰は虚軸上の直線になる。またf(x)が定数関数以外でf(x+ε)-f(x)=f'(x)εと表せる時、f(x+ε)-f(x)は純虚数になることから(f(x+ε)-f(x))/ε=f'(x)+εμ（μ：任意定数）が導かれる。つまりf'(x)は、虚軸に平行な直線と実軸の交点になる。
定義を見てもなんぞってなるけど
文字がεなだけで理解できた、慣例って便利だなぁ
でもセットでδって文字が脳裏にチラついて眠れなくなる。（大学数学あんまついていけなかった負け組
Fascinating as usual, thank you so much!
今回も面白かったです。
こんなに上質なネタをどこから仕入れているのか気になります。
次回も楽しみにしています。
物理での微積の計算で見直されてる無限小解析ですね〜
例えば(x+dx)²-x²=2x dx+(dx)²
となるわけですが、dxを無限小として(dx)²=0とすれば
(x+dx)²-x²=2x dx
と計算する、という操作をよくやったのを覚えています
이야 오늘 매우 굉장한 채널을 발견하여 기분이 좋네요! 구독자 수가 적어서 놀랐어요. 매우 재미있는 수학적 지식 감사합니다! 다음 영상도 잔뜩 기대할게요~
ㄹㅇㅋㅋ 이중수 검색하니까 안나와서 찾아보니 한국에선 이원수더라구요
둘다 사람이름같은데
絶対値の話で、複素共役を√x²+y²=√zz̅が成り立つz̅とするとどうなるのか気になる(存在するのか？)
いいチャンネルみつけた！
微分を用いたあまりの計算とやってること同じだけど、これで多項式の余りを計算できるのすき
なんで二重数ってεを使うんだろうって思ってたんだけど、無限小だからなのか。ε-N論法とかのεと意味合いは同じなのね。
それと二重数の単位円を見てから複素数の単位円を見ると、複素数がすごく自然な実数の拡張なんだと感じる。
分解型複素数の場合は双曲線になりますしね…
@@回廊 なるほど、じゃあ (虚数単位)^2 を-1 ~ 1で動かすと共役の積は双曲線から縦線を経由して円に遷移していくのかな。
@@くらめ-n2f
恐らくそうです。
複素数のノルムが1であるような点を集めた図は x² + y² = 1 で表され、二重数の今回の定義によるような半ノルムが1であるような点を集めた図は x² = 1 で表され、分解型複素数のミンコフスキーノルムが1であるような点を集めた図は x² - y² = 1 で表されるので、
複素数と二重数と分解型複素数とではそれぞれ、
x² + αy² = 1
という数式のαに対して1,0,-1を代入したような図が得られていますからね。
実際に、二乗してβになる数を iᵦ と表して、共役を用いる形で半ノルムを定義すると
(a + biᵦ)(a - biᵦ) = a² - b²β
となるので、iᵦのβに-1以上1以下の実数を入れて行って半ノルムが1となる点を集めた図、つまり x² - y²β = 1 の図を描けば、二点(±1,0)を共有する形での円から双曲線への緩やかな変遷が見られそうですね。
When ε got introduced here, I thought "hey, isn't that how the dual tangent bundle of a smooth manifold works?" When Metan brings up differentiation, I realized that that's just because ε is an algebraic codification of the concept of a differential!
【注意】自分用クソ長コメントです
動画 6:18 の
b_1ε=b_2ε ⇒ b_1=b_2
は定義である。間違っても
(b_1-b_2)ε=0 かつ ε≠0 より b_1-b_2=0
としてはいけない(戒め)
b_1,b_2が実数なので結論としては正しいですが、この表現だとあたかも二重数全体のなす環で簡約律が成り立つように見えて不安になります。
実際、x,yも二重数のときxε=yεはx=yを意味しません。x=y+zε(zは二重数)のようにεの定数倍の任意性があります。εは零因子なので「両辺にεをかける」操作が同値変形ではないということです。0以外の零因子が存在するため二重数全体は整域ではなく、(x-y)ε=0からx-y=0を導けないのです。「かけ算して0なら少なくとも一方が0」が成り立つのは整域に限ります(というか、それが整域の定義です)。
一方、複素数全体ℂは体なので特に整域で、0以外の零因子がないため簡約律が成り立ちます。そのためx,yが複素数であってもxi=yiはx=yを意味します。
しかし数の相等となると話は変わります。高校数学で耳タコな「複素数の係数を比較してよいのは係数が実数のときのみ」のやつです。x,y,z,wが複素数のとき、等式
x+yi=z+wi
は
x=zかつy=w
を意味しません。例えばx=1,y=i,z=w=0。
a,b,c,dが実数のときに限り、等式
a+bi=c+di
から
a=cかつb=d
を導けます。これは複素数の相等がそう定義されているからで、他の性質から証明できることではありません。多分。
二重数においても同様に、実数a,b,c,dに対し
a+bε=c+dε
:⇔ a=cかつb=d
と定義します。
これら「数の相等」を統一的に扱う方法として、多項式環の剰余環を考えることができます。詳細は省略しますが、複素数全体ℂはℝ[X]/(X^2+1)と、二重数全体はℝ[X]/(X^2)とそれぞれ同型です。この同型をむしろ定義と思えば、数の相等とは多項式の相等に他なりません。すなわちイデアル(X^2+1)や(X^2)を統一的にJとかくとき、
a+bX mod J = c+dX mod J
:⇔ (a-c)+(b-d)X ∈ J
(剰余環の元の相等条件)
⇔ a=cかつb=d
(Jが2次式で生成されることと多項式の相等条件より)
となります。複素数や二重数の相等条件は、多項式の相等条件(と剰余環の定義)の現れだといえます。
そもそも多項式の相等自体、体上の多元環をベクトル空間としてみたときの〜(飽きた)
二重数を使えば、
f(x+ε)=f(x)+εf'(x)
g(x+ε)=g(x)+εg'(x)と置けるため、
f(x+ε)g(x+ε)
=f(x)g(x)+ε(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))+ε^2f'(x)g'(x)
= f(x)g(x)+ε(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))より、
(f(x+ε)g(x+ε)-f(x)g(x))/ε
=(f(x)g(x))'
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)と積の公式を一瞬で出せる。
また、f(x+kε)=f(x)+kεf'(x)とすれば、
f(g(x+ε))
=f(g(x)+εg'(x))
=f(g(x))+εf'(g(x))g'(x)から
(f(g(x+ε))-f(g(x)))/ε
=(f(g(x)))'
=f'(g(x))g'(x)が導かれる
以前に行列関係の動画回があったので、２乗して０になる行列の話かなと思ったらまた全然違った！
The unit circle for the dual numbers is just a really vertically zoomed-in complex unit circle due to the fact that the y-axis uses ε, an infinitesimal.
That's a cool way to think about it, it's just a circle infitely zoomed-in in the y direction
It's also an infinitely zoomed in _split_-complex unit _hyperbola._
行列でもよければ
⎛0 1⎞
⎝0 0⎠
は0でないが二乗すると0
二重数の表現行列ですね
It's so nice to see matrices come into play when dealing with dual numbers.
パっと見たとき、最初に可換環Z/4Zにおいて、x=2とすると、x≠0及びx^2=0となるっていうのが思いついた
行列だとよくあるしね
ℝ[ε]/(ε ²) （εは不定元)(ℝじゃなくてもいいけれども）
12:43 数学弱者ワイ、単に微分方程式の変数の名称がhからεに変わっただけでなんの意味があるねん…という感想を抱く
数学弱者だけど、数学と仲良くなりたい気持ちだけはあるから、このチャンネルを見るのはやめられない
このずんだもんについて行ったら、もしかしたらもしかしたら……
あの難解な「巨大数庭園数」のナゾについても「理解」っちまう日が来るんじゃねぇのか……！？
εは数の大小の引き分けを決める順位なのか
i love this cchannel with my mathematical heart
ほかに「０でない同士の乗算が０」である例といえば、ベクトルの内積や外積、行列の積もそうですね。
amazing as always! thank you for posting
thank u for keeping the english subs :3
確か、ライプニッツが放物線と直線の交点の個数を議論する時に、「放物線とその接線の交点の個数は1個ではなく2個だ」と言っていたらしいですね。
「2個の点が同じ場所にあって重なっている」と考えていたらしい。
この話って、今回の動画のεの話と関係ありますかね？ 最後に微分の定義式出てきたし、関係あんのかな、と思って。
ゼロ除算認める環構造もあるとかなんとかって動画見ましたけどarctanとかが出てくる事しか思い出せなくなった
明らかに整域にはならないが、多項式環ℝ[x]をイデアル(x^2)で割った世界ってこと？
その視点はなかった
確かに
(二重数って過去に某ひよこのチャンネルが某アジのブログと内容がほぼ一致していてブログの中の人がブチギレて動画が削除に追い込まれたという話があるので、もしも参考にしている部分があるようでしたらご注意を……)
6:35 b₁ε=b₂ε⇒(b₁-b₂)ε=0より、b₁-b₂∈εℝとなるけど1とεの線型独立性よりb₁-b₂=0 よってb₁=b₂って思ってたけど、係数比較って言ってるからℝ[x]で係数比較したあと、自然な準同型ℝ[x]→ℝ[x]/x²によってb₁ε=b₂ε⇒b₁x+f=b₂x+gとなるf,gがあって、それらの定数項と一次の項は0だから、b₁=b₂ってことなのかな？
計算自体の違和感はすごいけど、微小量だと考えたらすっきりしました。よく使ってる数だったとは、、
数学解説動画を漁ってるけど、二重数初めて見た
某有名🐣数学系サイトで扱ってたけど削除された( ^ω^ )
虚数iは学生時代に知ってたけど、この「二重数ε」は多分初めてだわ。数学の世界は広いな。
...この世界が発展してワープ航法理論が誕生したりしてｗ
二重数は自動微分の文脈でお世話になりました
3次元空間上でx軸を実部、y軸を虚部、z軸を二重部(？)にして三元数みたいに表せないかなぁ
When in doubt, just make up a new number object and resolve exceptions as they come.
I see this video after watching the English version.
イメージだけど二重数はマイナーな感じ。
物理でよく見る「二次の微小量を無視する」ってやつだな
You can have as many “numbers” as you want that square to anything you want in Clifford’s geometrical algebra. They’re called basis vectors.
I still like the Japanese version more
It is like a coincidence, but I am also implementing an algorithm this few days to find out matrix representation of Clifford allgebras in any signatures, including degenerated signatures which nilpotent/grassmann are all over the places
Dual numbers are frequently used in Clifford/geometric algebras because, much like how complex numbers and quaternions are perfect fit encoding rotations, dual numbers are perfect for encoding translations. The "dual quaternions", the product of the quaternions with the dual numbers, was actually invented by William Clifford himself independently of his work on geometric algebra, though they ended up being a Clifford algebra anyways: Cl(0,-2,1).
@@angeldude101 yea, I know the dual number enable translation in projective geometric algebras
Zundamon's Theorem series could make a good source of acknowledgement for Prash Talwalkar's Mind Your Decisions.
6:30 -- ε is a zero divisor (because ε*ε=0 and ε != 0). In theory, this means that it is not invertable (there exists no element x such that ε*x=1) **and** is not cancellable. (x*ε = y*ε does not imply x = y)
A problematic example here is x = 1, y = 1+ε. This satisfies the un-cancelled equality, but not the cancelled equality.
I *think* that restricting a and b to be real numbers would make ε cancellable, but I don't have a rigorous proof of this. (I bet someone else has either already proved or disproved that assertion)
In short, feels like you need to be careful here.
行列もありますね
From the thumbnail alone I assumed modular arithmetic!
Example:
x = 3 (mod 9)
x^2 = 0 (mod 9)
But this dual number lesson was fascinating! Thanks for the lesson ☺️
２重数の因数分解を考えると発◯しそう
発情？
物理でよく使う近似に似てますね
イプシロン-デルタ論法のイプシロンってこういうのからきてんのかな
放物線はすべて同じ形（相似）なので「ならばax^2=0である直線は放物線に含まれるのか？」という問いに似ている気がする。重解があると同時に全てが解である状態（放物線＝直線）も対として存在していて０と無限遠を結び付けているような状態。そこが０と１/∞を同一として統合できる視点の境界線として機能しているのがεの本質なのかなと思いました。1/∞とは正∞角形の一辺と同じ。「部分を語る時には同時に全部を定義している」ならば「０を語る時に現れる∞からの視点」がεであり、それが微分とリンクしているのかなと思います。正∞角形の一辺が「１」ならばそれは円＝直線なので±∞と±０の差異がなくなるわけですね。
もしかしたら放物線の相似性が円と直線をつなげる「のりしろ」として機能しているのかもしれませんね。それは積分と二等辺三角形の関係にも通じていると思います。放物線には不動の焦点と動的焦点（準線）が対として存在するので、ax^2＝０のとき、その2つの矛盾が重なる瞬間があるということです。
タイトル見て有限群とかの話かと思ったらそっちかー。
Esto es una idea muy interesante!
同じような感じで0の逆数を導入して0で割るの認められねぇかなあ…？
どのへんが「二重」なのでしょうか？
Z/4ZとかZ/9Zとかの話題かなと思って見てみたら全然違った
絶対値を√(zzバー)で定義するとxy平面での絶対値が√（x²-y²）となるけど大丈夫なの？
ゼロディバイドは絶対の禁忌とするかわりに、（1/ε）をεとは別の要素単位である（つまりεの割り算はタブーとならない。）と考えたらどうなるのかな？
ただし、
1/εかけるε＝1は計算可能であるが、他方、
（1/ε）^2＝1÷（ε）^2とすることはできない
ものとする。
このとき、複素平面のアナロジーは使用できず、実数軸、ε軸、（1/ε）軸の3次元空間として、いわば「三素数空間」として扱うことにしたらどうなるのだろう？
とここで、「あれ？ぞゃ、そんな三素数の計算を操作できるような、三要素数の共役ってどう考えたらいいんだ？」
と、文系ジジイは此処で思考停止となっのであったのヂャ…。
数学の世界はものすごく奥が深いです。私のような工学部の劣等生は
1/i は何？と聞かれて、ああ =i^(-1)=(exp(i*90度))^(-1)=exp(i*(-90度))=-i ですね、exp(i*(-450度))も-i と。皆さんに比べたら小学生レベルです苦笑
But can you mix complex and dual numbers? Does (a+bi)(c+dε) even make sense?
Yes, however you need to first define if iε=εi or if iε=-εi, if the former is chosen, then it can be expressed as the commutative ring C[ε^2], and if the latter is chosen, then it is the Clifford algebra Cl_{0,1,1}(R). Either way, (iε)^2=0 and (a+bi)(c+dε) would equal ac+bci+adε+bdiε. We also require it to be a 4d algebra (unless you do weird things such as rejecting a(bc)=(ab)c)
@@magma90 I would say the first case iɛ=ɛi is also a clifford algebra (Cl_{0,0,1}(C))
@@hellfirebb fair enough
2乗がゼロになるのはグラスマン代数と似てる