МАТРИЧНОЕ БЕЗУМИЕ ИЗ ВЫШКИ!!! | ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Поделиться
HTML-код
  • Опубликовано: 10 ноя 2024

Комментарии • 45

  • @Profimatika_vyshmat
    @Profimatika_vyshmat  Месяц назад +5

    Как Вам данный предел, сразу заметили связь с Фибоначчи или нет?)

    • @nbasked
      @nbasked Месяц назад

      несложно заметить, что ...

    • @spaceshine909
      @spaceshine909 Месяц назад

      С превьюшкой и названием - сразу 🥸

    • @alfal4239
      @alfal4239 Месяц назад

      Заметили и ещё кое-что, поэтому без безумия:
      1. a(n)*c(n) = b(n)^2 + (-1)^n - определитель исходной матрицы равен (-1)
      2. c(n) = a(n) + b(n) - это получаем по индукции
      После исключения b(n) находим нужный предел как больший корень
      уравнения t^2 - 3t +1 = 0

  • @alexeidubrovin5234
    @alexeidubrovin5234 Месяц назад +25

    Кто поопытней сразу увидит что здесь используется матричная конструкция для генерации чисел Фибоначчи начиная с 6 члена, так как на компьютере есть алгоритм для матриц соответствующий и возводить в степень быстрее, чем перебирать числа Фибоначчи, то и программисты должны этот трюк знать)

    • @prog8123
      @prog8123 Месяц назад +4

      Тем самым задача решается за 1 минуту. Правда без строгого оформления.

    • @hehedron8605
      @hehedron8605 Месяц назад +3

      заметим что

    • @hylk5395
      @hylk5395 Месяц назад +1

      нетрудно заметить, что...

    • @prairekht8150
      @prairekht8150 28 дней назад

      ​@@hylk5395оставим этот факт на доказательство любопытному читателю

  • @forgetuses6318
    @forgetuses6318 Месяц назад +3

    Есть же стандартный способ решения: симметричная матрица => диагонализируемая: A = S^-1 * B * S, где B - диагональная. A^n = (S^-1 B S)^n = S^-1 B * S * S^-1 * B *... * B * S = S^-1 * B^n * S. Найти S и B может каждый (задача на собственные числа и вектора), диагональную матрицу возвести в степень - тоже.

    • @vadimpiscio8514
      @vadimpiscio8514 Месяц назад

      Вы хотите от ВШЭ невозможного.

  • @OlegLomakin756
    @OlegLomakin756 Месяц назад +3

    У меня на кружке в вузе была такая задача на семинаре )
    За задачу лайк, за не строгое доказательство без индукции дизреспект
    Если хотите, могу вам тоже покидать задач с олимпиад с моего вуза, там тоже есть прикольные

    • @Esseker
      @Esseker Месяц назад

      что за вуз?

    • @OlegLomakin756
      @OlegLomakin756 Месяц назад

      @@Esseker бауманка

  • @puzzlo_2
    @puzzlo_2 8 дней назад

    169+64 = 233, всё верно. молодец ! спасибо. #классныйты

  • @kiki_van_gog
    @kiki_van_gog Месяц назад +2

    Бл, сижу СЛАУ решаю методом крамера и матричными исчислениями, ужас, как сложно, не могу, как интересно, спасибо за ролик, чтобы отвлечься

  • @КириллГарбузов-й8м
    @КириллГарбузов-й8м Месяц назад

    В идеале, конечно, доказать свойство n-ой степени матрицы ((01)(11)) с помощью индукции, но и так решение довольно красивое. С уважением. Кирилл.

  • @Geun-Wang_Nam
    @Geun-Wang_Nam Месяц назад +11

    Вернулся домой после пары по дискретке, где преполша пыталась объяснить перемножение матриц, но я ничего не понял. Как только тебя услышал, так сразу всё понял. Респект.

  • @OLEG_VOLTA
    @OLEG_VOLTA Месяц назад

    ТЫСЯЧА ЛАЙКОВ! ЗАДАЧА🔥🔥🔥🔥🔥

    • @OLEG_VOLTA
      @OLEG_VOLTA Месяц назад

      Но тема чуть-чуть недораскрылась…

    • @OLEG_VOLTA
      @OLEG_VOLTA Месяц назад

      Впрочем, додумаем…

  • @olivjekerimov7008
    @olivjekerimov7008 Месяц назад +2

    Максим, вы кажетесь здравым и рассудительным человеком, почему бы Вам не заняться мерчем с ёжиком, мне кажется народ оценит👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻

    • @woster4055
      @woster4055 Месяц назад +2

      Я абсолютно согласен, хотелось бы увидеть мерч с ежом

  • @covid0668
    @covid0668 Месяц назад +1

    Макс, го в следующем видосе интересные пределы разберешь?

  • @pronaxavagaming3524
    @pronaxavagaming3524 Месяц назад +2

    ДРУЖИЩЕ! Я ТОЖЕ ВЫВЕЛ ФОРМУЛУ НАХОЖДЕНИЯ N-ГО ЧЛЕНА РЯДА ФИБОНАЧИ! И, кстати, не только это ;)
    Например, это очень плотно связанно с n-ной степенью числа φ :)
    Если будет интересно, пиши ответ, я вывел ещё много-много формул по математике на разные темы🎉😊

  • @vp_arth
    @vp_arth Месяц назад +1

    А если решение очевидно, так как знаком со степенями матрицы ((0 1) (1 1)), можно решение не расписывать. Или не засчитают?
    В видео всё равно всё на чуйке)

  • @lim0n4k2
    @lim0n4k2 Месяц назад +2

    А что за программа в которой вы решаете задания?

  • @Matematicus_original
    @Matematicus_original Месяц назад

    11:43 - было отличное место для интеграции курса😅

  • @Homomorph
    @Homomorph Месяц назад +3

    Дельта бета Альфа штрих...😂

  • @silendil
    @silendil Месяц назад +1

    золотое сечение наиболее известно как 1.618, так что с точностью до второго знака скорее 1.62 будет

  • @dlitvinov28
    @dlitvinov28 Месяц назад +3

    лайк, у кого кашка увеличивается. репост, у кого горшочек варит

  • @ГамачАбдуллаев
    @ГамачАбдуллаев Месяц назад

    Разберите пожалуйста задачи из олимпиады ВШЭ

  • @babyizanyat
    @babyizanyat Месяц назад

    Напомнило задачку по проге, где надо с помощью как раз этой матрицы посчитать n-ое число Фибоначчи, там конечно матрица дана, и основная сложность в написании рекурсивной функции возведения матрицы в степень, короче я думаю твой подписчик увлекается программированием лол

  • @kislyak_andrei0
    @kislyak_andrei0 Месяц назад

    15:06 там, где ты поставил обратно 5, должна быть не 5, а 8)) 😊

  • @SegantChe
    @SegantChe Месяц назад

    круто

  • @pavelkatkov5930
    @pavelkatkov5930 Месяц назад +1

    Жалко что в названии видео спойлер. Айфон хорошо😂

  • @TheCktulhu
    @TheCktulhu Месяц назад

    С самого начала было подозрения что в матрице числа фибоначчи.

  • @bambu4ina434
    @bambu4ina434 Месяц назад

    что я узнал за это видео: автор подписан на познякова

    • @Profimatika_vyshmat
      @Profimatika_vyshmat  Месяц назад

      @@bambu4ina434 Профиматика. Подписаться

  • @andreiantonov7303
    @andreiantonov7303 Месяц назад

    Внезапно o1-preview решила эту задачу.
    To solve this problem, we'll analyze the asymptotic behavior of (A_n) and (C_n) as (n \to \infty) by leveraging the eigenvalues and eigenvectors of the given matrix.
    Step 1: Find Eigenvalues of the Matrix
    Given the matrix:
    [
    M = \begin{bmatrix} 5 & 8 \ 8 & 13 \end{bmatrix}
    ]
    The characteristic equation is:
    [
    \det(M - \lambda I) = 0
    ]
    So:
    [
    (5 - \lambda)(13 - \lambda) - (8)(8) = 0
    ]
    Simplify:
    [
    (65 - 18\lambda + \lambda^2) - 64 = 0 \
    \lambda^2 - 18\lambda + 1 = 0
    ]
    Solve for (\lambda):
    [
    \lambda = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4}}{2} = \frac{18 \pm 8\sqrt{5}}{2} = 9 \pm 4\sqrt{5}
    ]
    So the eigenvalues are:
    [
    \lambda_1 = 9 + 4\sqrt{5}, \quad \lambda_2 = 9 - 4\sqrt{5}
    ]
    Step 2: Find Eigenvectors Corresponding to Eigenvalues
    For (\lambda_1 = 9 + 4\sqrt{5}), solving ((M - \lambda_1 I)v = 0) yields the eigenvector:
    [
    v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
    ]
    Similarly, for (\lambda_2 = 9 - 4\sqrt{5}), the eigenvector is:
    [
    v_2 = \begin{bmatrix} 1 \ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
    ]
    Step 3: Express (M^n) Using Eigen Decomposition
    Since (M) is symmetric and diagonalizable:
    [
    M^n = P D^n P^{-1}
    ]
    where (D) is the diagonal matrix of eigenvalues and (P) is the matrix of eigenvectors.
    However, for large (n), the term involving the largest eigenvalue dominates. So, we approximate:
    [
    M^n \approx \lambda_1^n \frac{v_1 v_1^\top}{|v_1|^2}
    ]
    Step 4: Calculate (\frac{C_n}{A_n})
    Compute (\frac{C_n}{A_n}) using the approximation:
    [
    M^n \approx \lambda_1^n \left( \frac{v_1 v_1^\top}{|v_1|^2}
    ight)
    ]
    Since (A_n) is the (1,1) entry and (C_n) is the (2,2) entry of (M^n):
    [
    A_n \approx \lambda_1^n \frac{(v_1)_1^2}{|v_1|^2}, \quad C_n \approx \lambda_1^n \frac{(v_1)_2^2}{|v_1|^2}
    ]
    So:
    [
    \frac{C_n}{A_n} \approx \frac{(v_1)_2^2}{(v_1)_1^2} = \left( \frac{(1 + \sqrt{5})/2}{1}
    ight)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
    ight)^2 = \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4}
    ]
    Compute numerator:
    [
    (1 + \sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}
    ]
    Thus:
    [
    \frac{C_n}{A_n} \approx \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{(6 + 2\sqrt{5})/2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
    ]
    Therefore, the limit is:
    [
    \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{A_n} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
    ]
    Answer: An explicit expression: limit Cₙ⁄Aₙ → (3 + √5) ÷ 2; that is, Cₙ⁄Aₙ → (3 + √5)/2.

    • @Esseker
      @Esseker Месяц назад

      Какой был промт?

    • @andreiantonov7303
      @andreiantonov7303 Месяц назад

      @@Esseker Примерно такой: "Найди предел Cn/An при n стремящемся к бесконечности, где Cn и An определяются соотношением [5, 8; 8, 13]^n = [An, Bn; Bn, Cn]".