Интеграл, вызывающий Эйлера, Бесселя и Коши!
HTML-код
- Опубликовано: 18 ноя 2024
- В этом видео будем находить определенный интеграл, для которого придется применить контурное интегрирование, вычеты и в итоге получить соотношение для функций Бесселя.
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
Я всегда подозревал, что без вызова духов на этом канале дело не обходится)
Главное не вызывать духи Лежандра и Авогадро.
Говорят, следом за Лапласом приходит его демон.
ХИТРО !
Верно сказано, чтобы в интеграле что нибудь упростилось надо и в бубен подолбить
а за Шрёдингером приходит его кот? или не приходит? :)
Ну теперь в меня в шкафу сидят три математика, которых надо чем-то кормить! Ну спасибо, блин...
Я ждал этого ролика. Как же я доволен красотой решения
Эх, что-то как-то грустно когда решение такое синтетическое. Сложно догадаться, да и интересно если угадаешь? не думаю. Но это в любом случае безумно интересно, просто не хватило азарта, уверен у вас запланировано еще много аналитических сюжетов. Спасибо вам
Обожаю ваши видео. Спасибо!
Я прям кайфую от ваших видео! Спасибо вам большое за то, что вы делаете
А потом говорят что математика это не магия, как мне теперь объяснять откуда у меня в квартире 3 математика которые умерли больше 100 лет назад
Ваш канал -дар Свыше! Спасибо Вам огромное, отличное видео 🙏🙏🙏
Как всегда: правильно и элегантно!
Спасибо за ролик, как раз недавно написал контрольную по тфкп по контурным интегралам
👍великолепное решение!
Я в одинадцатом классе. Сошёл с ума.
Замечательно.
Премия в 10.000 $.
а где получить премию? :)
@Hmath Чуть позже; я стану миллионером и Вам скину!
У меня есть проект по числу π ,если Вам интересно - можно сделать коллаборацию.
Мой способ решения:
x = π - t
После замены получаем:
S [0, π] cos(π - x - 2sin(π - x))dx =
- S [0, π] cos(x + 2sin x)dx
Складываем два интеграла:
2I = S [0, π] f(x)dx
где f(x) = cos(x - 2sin x) -
- cos(x + 2sin x) =
-2sin(x)sin(-2sin x) =
2sin(x)sin(2sinx)
Получаем, что
I = S [0, π] sin(x)sin(2sin(x))dx
Пусть
I(p) = S [0, π] cos(p sin(x))dx
I'(p) = - S[0, π] sin(x)•
•sin(p sin(x)) dx =
S[0, π] sin(p sin(x))d(cos(x)) =
cos(x)sin(p sin(x)) | [0, π] -
- S[0, π] cos²(x) p cos(p sin(x)) dx = 0 - p J(p)
Где J(p) = S[0, π] (1 - sin²(x))•
•cos(p sin(x))dx =
S[0, π]cos(p sin(x))dx -
- S[0, π]sin²(x)cos(p sin(x))dx =
I(p) + I"(p)
Получаем:
I'(p) = - p I(p) - p I"(p)
Получено ЛОДУ 2 порядка:
p² I" + p I' + p² I = 0
Это уравнение Бесселя с параметом α = 0
I(0) = π - конечно =>
решение содержит только функции Бесселя I рода:
I(p) = C J_0 (p) =
C Σ[n=0, inf] (-1)ⁿ(x/2)²ⁿ / (n!)²
I(0) = π = C J_0 (0) = C•1 =>
C = π
Получаем:
I(p) = π Σ[n=0, inf] (-1)ⁿ(x/2)²ⁿ / (n!)²
I'(p) = π Σ[n=1, inf] (-1)ⁿ •
n(x/2)²ⁿ-¹ / (n!)²
I = - I'(2) = π Σ[n=1, inf] (-1)ⁿ-¹ /
/ n! (n-1)!
Ответ:
I = π Σ[n=0, inf] (-1)ⁿ/(n+1)! n!
Отлично, новое видео)
Ээээээх... А ведь на 2 курсе мы что-то подобно решали... вычиты, ряды Лорана, интеграл по замкнотому контуру... А ведь когда-то я всё это знал...
ура легенда выпустила видео
Хотя... напрашивается гармоническое разложение по Дирихле, Гауссу, Чебышеву, Винеру...
Три года назад это все казалось очень сложным в 11 классе) сейчас когда все это проходили , оказалось легко😅 ну тут я думаю я бы не догадался + ісинус сделать, спасибо за ролики!
❤шаман жрецы бога Ра покланяются тебе. Надобы это все исполнить в камне
Насколько я знаю существуют функции Бесселя полуцелого порядка при n=m/2. Еще из курса матанализа что-то помню о связи функций Бесселя разных порядков и их производных.
понял все, вплоть до 6:20. Можете подсказать хороший учебник/книжку, может быть курс на курсере/степике или цикл лекций на ютубе (возможно на английском), обучающий чёрной магии ТФКП? спасибо!
1) Смирнов В.И. - Курс высшей математики (том III, часть II)
2) Лаврентьев М.А, Шабат Б.В. - Методы теории функций комплексного переменного
3) Араманович И.Г.,Лунц Г.Л.,Эльсгольц Л.Э. - Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости
Не успел открыть а уже бесселя в подсознании. Это паранойя.
Можно немного по-другому.
Распишем косинус разности:
cosx•cos(2sinx)+sinx•sin(2sinx).
Интеграл разбивается на сумму интегралов.
Интеграл от
f(x)=cosx•cos(2sinx)
равен 0, т.к. f(x) антисимметрична относительно π/2:
f(π-x)=-f(x).
При взятии интеграла от симметричной относительно 0 функции
g(x)=sinx•sin(2sinx)
разложим в ряд Тейлора
sin(2sinx)=2sinx-2³sin³x/3!+...
g(x)=S(от n=1 до n=∞)
{-2²ⁿ×sin²ⁿx•(-1)ⁿ/(2•[2n-1]!)}.
Известна формула, получающаяся пошаговым применением интегрирования по частям:
Int(от x=0 до x=π){sin²ⁿx•dx}=
=π•(2n)!/[2²ⁿ×(n!)²].
Подставляя это значение в бесконечную сумму, получаем точно такой же результат:
Int(от x=0 до x=π){g(x)•dx}=
=-π•S(n=от 1 до ∞){(-1)ⁿ•n/[(n!)²]}.
У меня клавиатура не позволяет записать в 2 этажа степень (-1)^(n-1), поэтому я вынес знак "-" перед бесконечной суммой. 😀
Может ли автор представить интеграл который не сможет вычислить?
Я не автор, но например, неопределённый интеграл sin x / x
@@alexanderkristoffel8757 Это же интегральный синус, он не выражается через элементарные функции. Максимум, можно попробовать разложить его в ряд, чтобы его вычислять с некоторой точностью
Это же Беселю делать нефиг было жили же люди 🤣🤣🤣🤣🤣🤣
В формуле Эйлера не «е в СТЕПЕНИ» а просто экспонента, «е в степени» многозначная функция..
Капец какой -то