【集合論】基礎の公理(正則性公理)とは

[@alg-dx]

基礎の公理こんなところで使いますよ! みたいなの何かあったら是非コメントしてください!

[@meizenos7647]

基礎の公理チャンス:AMC⇒選択公理

[@CartanKilling]

超元気農法の影響か、濃度が農度になってて草

[@橋本理-c5l]

ありがとうございました。とても分かりやすかったです。6分36秒辺りを手元にある田中尚夫先生の書いた現代数学レクチャーズの公理論的集合論で調べて納得しました。

[@鬮Nあ]

基礎の公理ぱっと見よくわかんなかったけど否定したらなんとなくわかった。
極小元持たないような無限マトリョーシカみたいな集合は存在しないってことかあ(0:45をいいかえただけ…)。

[@logoco8515]

6:38
ZF＼{基礎の公理}考えたことがないのですが、この体系でも順序数が整列することって示せるんでしょうか？

[@alg-dx]

示せます

[@logoco8515]

ありがとうございます！

[@なななな-p5z]

よく分からないんですが、{りんご}とかの集合もいつかR(α)に含まれるんですか？

[@alg-dx]

ZFCでは集合でないものは考えないので、りんご や {りんご} は考えません。

[@p0kMNyziCA-o5r]

空集合のべき集合って空集合じゃないんですか

[@alg-dx]

空集合はただ一つの部分集合を持つので、空集合のべき集合は元を持ちます。(従って空集合ではないです)

[@実家の様な大明槓]

これって逆は言えるんですか？
つまりこの階層の内側にある集合はZFCから作れるんでしょうか？

[@alg-dx]

「ZFCから作れる」というのはどういう意味ですか?

[@実家の様な大明槓]

@@alg-dx ZFCで存在を証明できる って意味です。

[@alg-dx]

@@実家の様な大明槓 それをどうやって定義するのか? というのがまず難しいですが、例えば1つの定式化として構成可能集合というのがあり、V := ∪_{α: 順序数}R(α)として、構成可能集合全体をLと書くと V=L としても V≠L としてもZFCとは矛盾しません

[@実家の様な大明槓]

@@alg-dx つまり独立だと思って良いんですかね？聞きたかったのはまさにこれです。ありがとうございます。

[@実家の様な大明槓]

構成可能集合というのは知らなかった。面白いですね！

[@MS-gq4gx]

ZF\{基礎の公理}
はもうZでは無いのですか？

[@alg-dx]

単に Z と書いたら ZF＼{置換公理} を表すことが多いです(ZFのFはFraenkelのFです)

[@jjjj-ce8tr]

するとラッセルパラドックスはどうやって阻止してるんだろ

[@nanarigizerst6194]

ZFでは分出公理の形がパラドックスを防いでいます。ラッセルのパラドックスは集合{x|￢x∈x}の存在が矛盾を導くので、「集合についての任意の命題φに対して{x|φ(x)}は集合である」ではなく、「集合についての任意の命題φと集合aに対して{x∈a|φ(x)}は集合である」を公理にしています。この公理を分出公理といいます。

[@アルト-b7w]

x={x}ですか？
x≠{x}ですか？