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連続体濃度がめちゃくちゃデカいかもしれないというより、連続体濃度より小さい基数がめちゃくちゃ沢山いるかもしれないって感覚のほうが近い
連続体仮説は、集合論を勉強した時に気持ち悪いと思ったものです。これのせいで、一生かけてでも公理的集合論を勉強しようという、趣味というかライフワークというか・・・生きる楽しみができました。まだ大学二年ですが。
どうやったらこんなふうに面白い構成にできるんですか...??
ZFCだけじゃ実数濃度が理解できないの、ほんとに理解できない、そこにあるのになぜ…
なるほどそういうことですね
分かってくれてうれしいです😊
@@alg-dx 懸命に理解しようとして視聴はしました（ ; ; ）
実数、完全に理解した。
わけわからんわけをわかるのに20分弱…ぐぬぬ…なんとなくふわっとさらっとしか分からなかったので(*)の意味から勉強していきます
この動画だけ見ると連続体仮説ってものすごい強い仮定をしているように聞こえますね。わざわざ実数濃度がaleph_1に等しい(aleph_onega+1とかではなく)仮定に「連続体仮説」という名前がついているということは、連続体仮説はZFCに自然な公理を加えて証明できたりするんでしょうか？
名前がついてるのは、当時はこれが正しいに違いない(で後から全然違うことが分かった)と思われていたということではないでしょうか? (実際どうかは分からないです。)また、(自然ではないと思いますが)構成可能性公理という公理があって、「ZFC+構成可能性公理」から連続体仮説が証明できることなどは知られています。
@@alg-dx なるほど。返信ありがとうございます。勉強になります。
「どんなに超越的な濃度でも良いから、(ZFCで)連続体濃度を上から抑える」ということもできていないのでしょうか？
こういうことが言いたいのではないと思いますが、例えば X := P(ℝ) (ℝの冪集合) とすると |ℝ| < |X| となります。
@@alg-dx ありがとうございます。仰る通りそれももちろん upper bound にはなるのですが、例えば ℵ_k のような明示的な(??)形で何か無いのかな、という問いでした。さすがに(?) ℵ_(ω_ω_ω_...) のようなめちゃデカいものでは何かしら抑えられてて欲しい、という欲求と、一切アレフ数による上界がZFCで知られてない(or独立性が証明されてる)ならそれはそれで激アツだな、という気持ちの両方です。
@@Sons1717 またまた当たり前な話になりますが、順序数αを |α| = |ℝ| となるように取ったら |ℝ| < ℵ_αになりますね。もちろんℝを使わずにαを取りたいですが、そうすると「そもそもℝを使わないって何だ?」という話になって難しそうだなと思いました。(もちろんもっと簡単なℵ_αで抑えられる可能性もあるかもですが、僕はこれ以上は知らないです)
@@alg-dx ありがとうございます！確かに連続体濃度を持つ順序数αを使えば |ℝ| < ℵ_α が言えそうですね。「ℝを使わずに〜」の部分については同感です。そしてこれはちょっと分からない部分なんですが、そのようなαで |ℝ| < ℵ_α になる、というのはどのレベルで「当たり前」なのでしょうか？超限数のwikipediaを眺めたりすると「ε_α = α を満たす最小の順序数α」とかが普通に登場するので、もしかしたら |β| = ℵ_β となるような順序数も存在するのかも、とかちょっと思ったりもしたのですが、さすがにそれは無いと証明できるのでしょうか？それとも僕が何か見落としてて普通に「当たり前」なんでしょうか。
@@Sons1717 まず僕のコメントが間違っていて申し訳ないのですが、|α| = |ℝ| のときは |ℝ| ≦ ℵ_α が正しいです。なので |ℝ| < ℵ_α にしようと思うともう少し大きいαを取らないといけないですね。それで |β| = ℵ_β となるβは存在します。というのもこの動画で説明しているσ_ωがその条件を満たすからです( C(σ_ω) = σ_ω というのが |σ_ω| = ℵ_{σ_ω} に相当します)。つまり動画の最後の定理は |ℝ| = ℵ_{|ℝ|} と仮定しても矛盾しないという話になります。
全然知らない話で，面白かったです．ちなみに，選択公理を仮定しないと，結論って変わるんですか？
議論がめんどくさくなりますが大体は同じ話ができると思います。ただ「λ^+が(*)を満たさない」というのは証明できなくなります。(探したら他にも証明できないところあるかも)
C(σω) = σω ←かわいい
σωσν
ゲーテルの「連続体の濃度はアレフ2では？」という予想は、どうなったのでしょうか？
その予想は知りませんが、この動画で説明した通り、(ZFCでは)分からないことが分かったということです。
ゲーデルは巨大基数公理というＺＦＣを拡張した公理系において連続体濃度を決定するということを考えました(ゲーデルのプログラム)が、巨大基数公理は連続体濃度に影響は与えないということがわかったので、連続体の濃度はアレフ２というのは現在では、積極的に受け入れるような命題にはなってないです。現場からは以上です。
数学の先生みたいな喋り方で草
連続体仮説が証明も反証も不能というのは知っていましたが、まさか濃度を上から抑えることも叶わないとは...ところで、|ℝ|がℵ₀より真に大きいことの証明として対角線論法がありますが、これは無限というものの捉え方によっては使い物にならなくなる場合があります。それが可能無限という捉え方で、現代の数学で公理となっている実無限とは対をなす概念です。可能無限を採用した場合はℝもℕも等しく可算無限集合であり、連続体仮説などはじめから存在しなかったことになります。『無限＝終わらないこと』という観念を非常に重要視していて実無限に比べるとかなりめんどくさいことをやっている感じですが、今なおこちらの無限を支持する声があり、無視できない存在だと思います。かなり難しいというか、もしかしたら無理難題かもしれませんが、『実無限は認めません。』で始まる動画というのも見てみたいですね。
冪集合をP()として、Rの濃度がP(ℵ₀)なのは(ZFCで)正しいって認識で良いんですかね。P(ℵ₀)が何番目に大きい濃度なのかがZFCでは示せないだけで……
それで合ってます
ωを説明するときの「行った先の…」という言葉はどういう意味でしょうか。
Cardには順序が入っているので、この順序でsup (上限=最小上界)を取るということです。(微積分で言うと、単調増加する実数列があった時その極限が「行った先」です)
無限集合の濃度が無限に階層を持っていると仮定すると、その中の実数の立ち位置が分からなくなるということで合っていますか？自然数とも実数とも濃度の異なる無限集合を聞いたことが無いのですが、そのようなものが存在するのか、というと数学としては変な表現になってしまいそうですが、ある程度具体的にこれ、というものはあるのでしょうか？自然数の濃度から実数を定義しようとしているので、ℵの添え字には自然数を用いるのでしょうか？ℵ_ωが実数の濃度でアルト仮定すると矛盾してしまうそうですが、ℵ_(ω+ω+ω...)が実数の濃度とすると矛盾しないのではないかと思いました。
一般に、無限集合Xに対して、その冪集合P(X)を考えると、Xの濃度よりP(X)の濃度の方が真に大きくなります。なので、自然数全体の集合NからP(N)、P(P(N))、P(P(P(N)))、…と考えることで濃度の異なる集合をいくらでも考えることができます。ℵ_(ω+ω+ω...)の話は、ℵ_ωと全く同じ理由で矛盾すると思います。
あと割と怖いのは自然数はもちろんのこと、整数と有理数もアレフ０だしよくよく考えたら代数的数もアレフ０になるので実数がアレフ０でないとしたら実数の濃度と超越数の濃度がたぶん等しくなるんですよね（少なくとも超越数はアレフ０でない）さらには現状、超越数の定義ってほぼ代数的数を用いて定義されてるのでそれぞれの定義は全てアレフ０になるので足したところでアレフ０にしかならなくてどうあがいても全超越数を知るすべはないんですよね……
不完全性定理ですよね～
サムネ滅茶苦茶しぐれういに見えた
連続体濃度がめちゃくちゃデカいかもしれないというより、連続体濃度より小さい基数がめちゃくちゃ沢山いるかもしれないって感覚のほうが近い
連続体仮説は、集合論を勉強した時に気持ち悪いと思ったものです。これのせいで、一生かけてでも公理的集合論を勉強しようという、趣味というかライフワークというか・・・生きる楽しみができました。まだ大学二年ですが。
どうやったらこんなふうに面白い構成にできるんですか...??
ZFCだけじゃ実数濃度が理解できないの、ほんとに理解できない、そこにあるのになぜ…
なるほどそういうことですね
分かってくれてうれしいです😊
@@alg-dx 懸命に理解しようとして視聴はしました（ ; ; ）
実数、完全に理解した。
わけわからんわけをわかるのに20分弱…ぐぬぬ…
なんとなくふわっとさらっとしか分からなかったので(*)の意味から勉強していきます
この動画だけ見ると連続体仮説ってものすごい強い仮定をしているように聞こえますね。
わざわざ実数濃度がaleph_1に等しい(aleph_onega+1とかではなく)仮定に「連続体仮説」という名前がついているということは、連続体仮説はZFCに自然な公理を加えて証明できたりするんでしょうか？
名前がついてるのは、当時はこれが正しいに違いない(で後から全然違うことが分かった)と思われていたということではないでしょうか? (実際どうかは分からないです。)
また、(自然ではないと思いますが)構成可能性公理という公理があって、「ZFC+構成可能性公理」から連続体仮説が証明できることなどは知られています。
@@alg-dx なるほど。返信ありがとうございます。勉強になります。
「どんなに超越的な濃度でも良いから、(ZFCで)連続体濃度を上から抑える」ということもできていないのでしょうか？
こういうことが言いたいのではないと思いますが、例えば X := P(ℝ) (ℝの冪集合) とすると |ℝ| < |X| となります。
@@alg-dx ありがとうございます。仰る通りそれももちろん upper bound にはなるのですが、例えば ℵ_k のような明示的な(??)形で何か無いのかな、という問いでした。
さすがに(?) ℵ_(ω_ω_ω_...) のようなめちゃデカいものでは何かしら抑えられてて欲しい、という欲求と、一切アレフ数による上界がZFCで知られてない(or独立性が証明されてる)ならそれはそれで激アツだな、という気持ちの両方です。
@@Sons1717 またまた当たり前な話になりますが、順序数αを |α| = |ℝ| となるように取ったら |ℝ| < ℵ_αになりますね。もちろんℝを使わずにαを取りたいですが、そうすると「そもそもℝを使わないって何だ?」という話になって難しそうだなと思いました。(もちろんもっと簡単なℵ_αで抑えられる可能性もあるかもですが、僕はこれ以上は知らないです)
@@alg-dx ありがとうございます！確かに連続体濃度を持つ順序数αを使えば |ℝ| < ℵ_α が言えそうですね。「ℝを使わずに〜」の部分については同感です。
そしてこれはちょっと分からない部分なんですが、そのようなαで |ℝ| < ℵ_α になる、というのはどのレベルで「当たり前」なのでしょうか？超限数のwikipediaを眺めたりすると「ε_α = α を満たす最小の順序数α」とかが普通に登場するので、もしかしたら |β| = ℵ_β となるような順序数も存在するのかも、とかちょっと思ったりもしたのですが、さすがにそれは無いと証明できるのでしょうか？それとも僕が何か見落としてて普通に「当たり前」なんでしょうか。
@@Sons1717 まず僕のコメントが間違っていて申し訳ないのですが、|α| = |ℝ| のときは |ℝ| ≦ ℵ_α が正しいです。なので |ℝ| < ℵ_α にしようと思うともう少し大きいαを取らないといけないですね。
それで |β| = ℵ_β となるβは存在します。というのもこの動画で説明しているσ_ωがその条件を満たすからです( C(σ_ω) = σ_ω というのが |σ_ω| = ℵ_{σ_ω} に相当します)。つまり動画の最後の定理は |ℝ| = ℵ_{|ℝ|} と仮定しても矛盾しないという話になります。
全然知らない話で，面白かったです．ちなみに，選択公理を仮定しないと，結論って変わるんですか？
議論がめんどくさくなりますが大体は同じ話ができると思います。ただ「λ^+が(*)を満たさない」というのは証明できなくなります。(探したら他にも証明できないところあるかも)
C(σω) = σω ←かわいい
σωσν
ゲーテルの
「連続体の濃度はアレフ2では？」
という予想は、
どうなったのでしょうか？
その予想は知りませんが、この動画で説明した通り、(ZFCでは)分からないことが分かったということです。
ゲーデルは巨大基数公理というＺＦＣを拡張した公理系において連続体濃度を決定するということを考えました(ゲーデルのプログラム)が、巨大基数公理は連続体濃度に影響は与えないということがわかったので、連続体の濃度はアレフ２というのは現在では、積極的に受け入れるような命題にはなってないです。現場からは以上です。
数学の先生みたいな喋り方で草
連続体仮説が証明も反証も不能というのは知っていましたが、まさか濃度を上から抑えることも叶わないとは...
ところで、|ℝ|がℵ₀より真に大きいことの証明として対角線論法がありますが、これは無限というものの捉え方によっては使い物にならなくなる場合があります。それが可能無限という捉え方で、現代の数学で公理となっている実無限とは対をなす概念です。
可能無限を採用した場合はℝもℕも等しく可算無限集合であり、連続体仮説などはじめから存在しなかったことになります。
『無限＝終わらないこと』という観念を非常に重要視していて実無限に比べるとかなりめんどくさいことをやっている感じですが、今なおこちらの無限を支持する声があり、無視できない存在だと思います。
かなり難しいというか、もしかしたら無理難題かもしれませんが、『実無限は認めません。』で始まる動画というのも見てみたいですね。
冪集合をP()として、Rの濃度がP(ℵ₀)なのは(ZFCで)正しいって認識で良いんですかね。
P(ℵ₀)が何番目に大きい濃度なのかがZFCでは示せないだけで……
それで合ってます
ωを説明するときの「行った先の…」という言葉はどういう意味でしょうか。
Cardには順序が入っているので、この順序でsup (上限=最小上界)を取るということです。(微積分で言うと、単調増加する実数列があった時その極限が「行った先」です)
無限集合の濃度が無限に階層を持っていると仮定すると、その中の実数の立ち位置が分からなくなるということで合っていますか？
自然数とも実数とも濃度の異なる無限集合を聞いたことが無いのですが、そのようなものが存在するのか、というと数学としては変な表現になってしまいそうですが、ある程度具体的にこれ、というものはあるのでしょうか？
自然数の濃度から実数を定義しようとしているので、ℵの添え字には自然数を用いるのでしょうか？
ℵ_ωが実数の濃度でアルト仮定すると矛盾してしまうそうですが、ℵ_(ω+ω+ω...)が実数の濃度とすると矛盾しないのではないかと思いました。
一般に、無限集合Xに対して、その冪集合P(X)を考えると、Xの濃度よりP(X)の濃度の方が真に大きくなります。なので、自然数全体の集合NからP(N)、P(P(N))、P(P(P(N)))、…と考えることで濃度の異なる集合をいくらでも考えることができます。
ℵ_(ω+ω+ω...)の話は、ℵ_ωと全く同じ理由で矛盾すると思います。
あと割と怖いのは自然数はもちろんのこと、整数と有理数もアレフ０だしよくよく考えたら代数的数もアレフ０になるので
実数がアレフ０でないとしたら実数の濃度と超越数の濃度がたぶん等しくなるんですよね（少なくとも超越数はアレフ０でない）
さらには現状、超越数の定義ってほぼ代数的数を用いて定義されてるのでそれぞれの定義は全てアレフ０になるので足したところでアレフ０にしかならなくて
どうあがいても全超越数を知るすべはないんですよね……
不完全性定理ですよね～
サムネ滅茶苦茶しぐれういに見えた