The concept of "size" doesn't inherently exist within the notion of "infinity," to begin with, does it? The concept of "size" is fundamentally applicable only to finite entities, and the moment we start talking about things like "infinite sets of the same size," it seems to fall outside the realm of the infinite, rendering the discussion inoperative, but is that really the case?
子供から大学院生に至るまでは、無限を「説明する」「定義する」というような雰囲気だったのに、専門家同士の会話になると無限そのものをどのように捉えているか、どんな存在なのかについてお話し出すのが趣き深いですね。
個人的に先生の「数学と人文科学はそうかけ離れてはいない」という言葉にとても感銘を受けました。学問の入り口では文系と理系で別れてしまいますが、いずれの学問もこの宇宙を書き表すのに非常に重要です。百年後の未来では、文理関係なく数学にアクセスしやすい世の中だといいなぁと思いました。
この先生、人のレベルに合わせて教えるのクッソうめえな
正直、実数濃度と自然数濃度に関しては大学生の人の察しが良すぎて説明不足感は否めないが
@AliensKillDevils.
糖質
@AliensKillDevils.エネルギーは保存してもろて
博士の院生までは、これまでの数学の知識を相手に合わせて説明してる。
研究者同士だとまだ分かっていないこれからの数学について対話しているから、博士の院生相手より専門用語少なめになるんだけど、むしろこれこそ研究者同士の会話って感じがする。
大学院で脳が理解を拒んだけど、専門家の話は落ち着きがあってスーッと頭に入ってくる
この９歳の子のほうが自分よりレベル上で困る
わかる
発達障害ですね☺️
いっつも思うけどレベル１で出てくる子供が優秀すぎるｗｗ
次元の時もそうだったし、今回の子は上界・上限の考え方にこの対話の中で気づいてるｗｗｗ
何がそんなおかしいんだこいつ？🤔
は？
上2人怖い
俺だったら"無限は大きくなる？"なんて質問絶対出てこないわ…無限だからどれだけ数があっても無限という括りのままかな？とか思った。
@@Daichi-G「無限+1は何なの？」が小学生の時話題になったのはあるあるだと思ってた
単純に数学者の女の人がかっこいい。最後の女性2人が話してるのもかっこいい。
このシリーズ毎回思うけど，最初の子供のレベルが高い
別にこれくらいわかるくね？
それくらいわかるだろ、子供舐めすぎ
こういう子供を過小評価するバカ大人のせいで社会が迷惑してるんだよコメントとっととやめろ
@@ooooocccccoocc どうして意地でも張り合おうとするのか
最初猿から始めたいいいんじゃない？
無限は大きくなるの？って子どもだからこそ出る面白い疑問だと思う
最初は全然分からなかったのに説明されるとスッと腑に落ちるこの不思議な感覚、、たまらん
本読んだこともある数学者がこういうメディアに出ているとすごい時代だという気持ちになる
最後のところで、専門家が数学のことを「人間が意味を構築してるだけ。抽象画のように」と言っていて、これさ僕が普段考えてることと同じで、専門家も同じ見方をしてるんだと思ってちょっと安心した。
左の人が言う「無限は存在する」とはどこに？かな。
そもそも数学に関わらず、身の回りのあらゆることに「意味」を求めること自体、人間しかやってないですよね。
素数や円周率は宇宙人も理解できると思うけど、フェルマーの最終定理とかは「なんでそんなこと必死に証明してんの？」って言われそうだと思うんですよね。無限の概念を持たない宇宙人はいると思う。
数学者の間でも研究の意義については意見が分かれますからね
現在の数学定義で言えば、常に理性による認識の内側ですね。
日常生活のレベルでは、無限とは閃きのようなものだと思うね。1,2,3と一つずつ数を数えていった時に、その操作をいくらでも繰り返すことができるという気づきが、自然数の集合ωという形で現れているのだと思う。私の中では、ωは数直線の彼方にあるものでなく、原点に戻って来るイメージだ。ωから連想することは、それまで積み重ねてきた物事の概念が発展的に解消し、新たな方向性が見出されるということだ。
0:11: 🔢 数学者のエミリー・リアルは、増加する複雑さの5つのレベルで無限の概念を説明しています。
3:53: 🏨 ヒルベルトのホテルは、無限に多くの部屋を持つホテルと無限の性質を示す概念です。
7:18: 🔢 ビデオでは、数学における写像または一対一対応の概念について説明し、それが数学者が無限と無限集合のサイズについて推論するのにどのように役立つかを示しています。
10:45: 🔢 ビデオでは、有理数、自然数、実数の異なる数の集合の大きさの関係について説明しています。
14:22: 📚 ビデオでは、代数幾何学における無限の概念と数学研究における圏論の使用について説明しています。
17:57: 🔢 カントールの対角線論法と集合論によって、無限の多くの無限が存在し、全ての集合の集合は存在しないことが示されています。
21:49: 🧮 連続仮説は、異なる無限の大きさと、自然数の基数または連続体の間に第三の可能性があるかどうかについて扱うため、理解するのが難しい概念です。
Tammy AIで要約できました！ご参考になれば幸いです…
時短をありがとう！完璧な要約！
子どもの時と専門家の時は「概念」「そういうもの」に近くて逆に専門用語が減ってききやすくなるのが面白い
22:47 あたりの Moduli Space が 「モジュール化された空間」になっていて気になりました。和訳するとしたら、パラメータ空間とかになるんでしょうか。target もこの場合は圏論の文脈っぽいので関数の目的ではなくて、関数の値域のことを言っているのだと思います。ここら辺の話が代数多様体のモジュライのセミナーの雰囲気がして数学やってた頃の懐かしい気持ちになりました。
言っていることは何一つ理解できないけど、あなたが頭良いってことだけ分かりました。
自分の脳が9歳児未満であるということを理解できました！ありがとうございます。
くさ
理解できたなら救いのある猿だよ君😊
最初の子すごく聡明...
22:48 頃の「moduli space」は「モジュール化された空間」というよりかは代数幾何のモジュライ空間なんじゃないでしょうか？
文脈的に違うのでは？
最後は宗教家が信仰心について語り合う風景みたいだったな、学生にどうクローズしてるか話し合う感じもまんまそれ
理解という意味では大学レベルでギリッギリなんとかって感じだったけど、感覚的には全体を通してすごく興味深く感じた
子供との対話でさえ、既に数学の限界が漏れていて素敵w
数学ってやっぱりすごいクリエイティブなんだな
まえ友達が悩んでた問題にふざけて0以上の実数全体で帰納法回せば？って言って笑ってたら本当にそういう話があってびっくりした笑
どっからこの優秀な子供を連れてくるんだろう
哲学的という意味で数学と人文科学は実はかけ離れたものではないという意見、なるほどなーと思いました。
ついつい文系・理系や、より細分化されたジャンルに分けてしまいがちですが、思考という点では同じ「学問」なんだと再認識しました。
ちょいちょいオススメに出てきて気になったのでチャンネル登録します。
12:00 今は眠いから視聴をやめるけど、明日起きたらここから見よう。復習も兼ねて。
大学生あたりから内容も英単語も全くわからないのに何故か最後まで見てしまった（笑）
専門家同士が語り合っている様子が、そしてその楽しそうな様子を「理解したい」と思う気持ちが、僕を英語学習へ駆り立ててくれる
和訳みたいな文章
物理は現実に一致しないといけないけど、数学はそうではない。
数学にはそういう自由がある。
この話を表現できる言語こそ素晴らしいと思う文系です。
中卒レベルだけど無限の反対を想像したら、何もないって考えてググったら有限になってモヤモヤした
このシリーズ面白いなあ😊
こんな素敵な動画が無料で見れる時代に生まれて良かった
一昔前にインターネットが発明されてたら、ファインマンの配信が見れたのか…
ほぼ全て内容としては理解したけれど、やはり動画が進むにつれて、専門性を極めていくにつれてメタ的に存在意義を確認するようになるんだなぁ
それな
まぁワイは大学院で容量オーバーだったけど笑
院生あたりから数学の話じゃなくて哲学になってきてるの面白いな
イケメン過ぎて話が入ってこない
説明分かりやすいし質問に即答えられるし面白いし頭がいいってこういう人のことを言うんだね
この英語を翻訳してる人は、この難解な英語と日本語を両方理解してる上に、数学的な理解も持ってるって事か？
多分だけど、ここまでの数学的な理解を持っている人は海外の論文とか見るために英語を習得するのが必須になるはず
いや、持ってないね。言ってることが数学的におかしいところが多すぎる。「半径1の無限小の円」とかね
@@いろはうた-n6z 半径1の無限小の円ってそこまでおかしな言葉か？
専門分野聞いてなるほどと思った
相手が話分かるようになるにつれ早口になるの好き
この人の圏論の本読んだことあるな
kan拡張の前あたりの章で圏論的に集合論を公理づける、みたいな話かいてておもろかった
ところで、俺も数学で学振もらってる博士学生だけど、なんか最後の専門家との会話がよくわからなかった これ何を話しあってるんだ
大学院生の話は普通に数学やってる人同士の話だったけど、この人との話だけ急に主題が吹っ飛んでる
少なくとも無限に関する解説ではないし
編集の段階で重要なところがカットされてんのかな
確かに、集合論的な無限に直接関係するのは連続体仮説までで、後半はその独立性に端を発する数学の解釈問題に主題が移っているように見えます。
（数学は真理の探究か、創作的活動か）
それぞれ数学基礎論、および数学の哲学における古典的テーマですね。
ただし各テーマについての専門的な会話というよりは、実践者としての素朴な実感を共感している印象です。
もうコメントあるかもだけど
大学生の子が頭に乗せてるのは ユダヤ教徒の男性がかぶる伝統的な帽子だよ
数学の得意な中学生だけど、大学生の実数全体の集合のところまで理解できた‼︎数学って面白い！
cardinality？ Q(有理数)⇨N(自然数) 中間集合の整数点のペアを抽出すると有理数の無限の方が小さいことが証明できます。同時に逆方向には単射関数存在するのでどちらの無限も同じサイズになります。わわわからん
現在までの宇宙の曲率の観測結果は限りなく０にちかい＝宇宙は平坦で無限。
そしてよく知られている通り膨張し続けている。
最初の子共が「無限は大きくなる？」と聞いていたけど
宇宙の厳密なモデル化には現在の数学とは異なる動的な無限を含んだ公理系が必要かも？
気のせいかもしれないけどもレベルが上がるごとにみんなの目が輝いているように見える。
面白いんだろうなー
childレベルとして出てくる子供の時点でレベル高いんだが
無限は数えられないが、性質がある。性質がわかれば、付き合い方もわかる・・・
うわー中学生ぐらいまでは容易理解できるが大学クラスになると
関数の概念出てくるから一気に難しくなるな
段々と専門用語が増えていくのに最後の専門家同士の話だと今度は最初に戻ったような話で不思議
あと大学生の人が被ってるのはキッパかな？
数は実在するか、か。実際のところ数学の公理というのは数ある公理の中から物理を始めとした諸学問に寄与するものを選ぶ選択圧を受けているように思う。この点で数学は高度化された帰納的推論の試みにすぎないのではないか。無限はしらないが自分の知る限りで極限の仮定は多くの場合の物理現象を説明している。ならば少なくとも極限の存在は疑わなくていいような気がする
一番上の知性同士だと、もはや哲学談話のようになるのが、なんかイイ。
最近集合論学んだから理解できて嬉しい
ぼくは14:40あたりのところが前塾で単位円での反転を習っときに教えてもらった直線は半径∞の円っていう考え方と一緒でなんか嬉しかった
無限とはなにか、ラメとはなにか
圏論やってるのはマジで尊敬する…俺は解析と数論と代数整数、解析整数が専門やもんでそっちの話はマジで知らん
有限を否定する無限って存在するんだろうか
ただ、数字としては存在し得るから矛盾してるって事だもんね。
存在してるんだろうけど検証出来ないのなら概念になるのかなぁ
面白い視点だね
作ろうと思えば作れるかもしれない(その体系が面白いかは俺じゃあ分からんが)
「有限をどう否定」するのかが味噌になりそう
数学は実は意外と自由で、ルールを変える事は許容されてるんだよね
ルール変えたりってオッケーなんですね！知らなかった 笑
僕には数学の知識や教養が乏しいので、夢のような考えしか思い付かないですが
「有限をどう否定」するかの研究が、されて行って欲しいなぁと個人的には思いますね！
英単語まあまあ聞き取れて嬉しい
無限については全然分からんかったな
無限に巨大な”円形”のホテルでは、隣に一斉に移動しても空室はできません。
次から次へ隣に移動するのに１秒でも時間が掛かれば、無限秒かかるので空室が出来たと錯覚しているだけです。まあ、それを空室と言うならそうですが。
「瓶の中に飴は何個あると思う？」
「（は？どう見ても217個じゃん。）217個」
大学院生よりも専門家の方が簡単な話に聞こえるのは俺だけじゃないはず
2人目でヒルベルトホテル……すごい…
小学生の頃、なんでも無量大数個！とか無限個！とか言ってたよなぁ😊
3人目から何言ってんのかさっぱりだったわ
Googleマップでどんどんカメラを上に上げていく感覚で見え方が変わってゆくね
なんか直感的には無限ってつまり概念というか夢というか物理的に存在するもんじゃないんだろうなって思いました。
でも無限キャベツは存在しているんだ(失神)
この先生、見た目から美意識の高さを感じる。
？？？？「写像ってなんすか？」
射精？どぴゅっと出ることだよ。
話にならないわ
なるほど、俺はレベル1の子よりも頭が悪いことを学びました
The concept of "size" doesn't inherently exist within the notion of "infinity," to begin with, does it? The concept of "size" is fundamentally applicable only to finite entities, and the moment we start talking about things like "infinite sets of the same size," it seems to fall outside the realm of the infinite, rendering the discussion inoperative, but is that really the case?
既に9歳がかしこすぎるわ！
無限はね至る所にあるんだよ
僕の呪術はそれを現実に持ってくるだけ
でもねえ、やっぱりアメリカ人の教え方というか、コミュニケーション能力の高さが光ってる。日本人でこれと似たような説明した人いるのかな？もちろん対象は理系ではなくて蚊系だけど。
このレベルの説明は無理でしょうな
12:04 ここから先の話が分からないんですけど具体的に解説してくださる方いますか
解説してみます。
まず、自然数の集合をℕ, 実数の集合をℝと書くことにします。
今は、ℕとℝの間に1対1の対応があるかを考えています。実際には1対1対応は存在しないのですが、それを説明するために、「もし1対1対応があったら」という状況を考えて、矛盾が起こってしまうことを論理的に導いています。(背理法という証明方法です)
ではこれを説明します。まず、実数(ℝという集合の要素)は全て無限に続く少数でかけるので、πや√2なども含めて全部少数の形にして考えることにします。また、少数の形にかけている数は全てℝの要素であるということも重要です。(この性質はℝの連続性と言います。)
今はℕ={1,2,3,...}とℝの1対1対応がある場合を考えているので、1に対応するℝの要素を1番上に、2に対応するℝの要素を上から2番目に、3に対応するℝの要素を上から3番目に、、、とℝの全部の要素を書き並べることができます。(実際に書き並べようとしても無限にあるので書き終わりませんが、何番目か決めたらそこに書いてあるℝの要素はちゃんと決まっているということが大切です。)
動画の方法は、まずは対角線上に数字を選んで、数を一つ決めます。(□で囲っているものを並べると1つの無限に続く少数になって、これはℝの要素です。)
そして、今決めた数の全ての桁の数字を1つずつずらします。(ずらすのはいくつでもいいですが、とにかく□で囲ったものとは違うものに取り替えることが重要です)
そうすると、また一つ数が決まりました。これも少数でかけているのでℝの要素です。
さて、最後に作った無限に続く少数はℝの要素なので、ℝの要素を全て並べたリストのどこかには書いてあるはずです。以下の説明ではこの数をXと呼ぶことにします。
Xが1番目に書いてあったとしましょう。
でも、1番先頭の数(小数点の前、整数部分)は□で囲ったものとは違うものに取り替えたはずなので、1番目に書いてある数とXは違う数になるはずです。おかしいですね。
では、Xが書いてあるのは1番目ではなく2番目でしょうか？そうすると、2番目の数とXは少数第1桁が違う数になっているはずなので、これもおかしいですね。
同じように、Xが何番目に書いてあるとしても、どこかの桁が違う数字になっているので、矛盾が起こります。(今回の場合は、Xがn番目に書いてあるとすると、少数第n-1桁が違う数字になっています。)
ここまでの議論は全て論理的に正しいのですが、どうしても矛盾が生じてしまいました。
なので、そもそも「ℕとℝの間に1対1対応がある」と仮定したのが間違っていたとしか考えられない。ということになります。
対角線論法という実数と有理数の濃度が異なる(1対1対応しない)事の証明ですね。
何らかの方法で実数と有理数を1対1対応させたとします。
例えば
1.2344532123213etc --- 3/2
7.7342566762345etc --- 8/9
8.3535732573325etc --- 2/5
・・・
のように対応させた時にまだ有理数に対応していない実数が存在することを示します。
1番の一桁目の数字1、2番の二桁目の数字7、3番の三桁目の数字5・・・のようにn番目のN桁目の数字を持ってきて実数を作ります。
1.75・・・
その実数の全ての桁に1を足します（９は0にする）
2.86・・・
この時、作られた実数は対応表の中に存在しない為（n番目とはN桁目の数が異なる）
実数と有理数は1対1対応しないことが示せます。
みなさんありがとうごさいます！
これですっきりして続きが見れます😭
ここのコメ欄だけレベル高すぎるw
@@nontan164 それは良かったです！また分からないことがあればここに聞いていただいても大丈夫ですので。
ここのコメ欄の人たちも凄いわ
院生だったりこの学者さんの著書読んだことあったり
昔「STAP細胞はあります」の問題がありましたが、学術的な内容は「誰がやっても同じ結論に至る」という再現性が大事なので、こういう「数学の厳密な基礎づけを与える道具」を整えることはとても大事なんですよね…
ま、ソコを「再現性がないから存在しない」と決めつけた日本人て神より偉いんか？とはおもたね
STAP研究してる女の学者さんのトイレの中まで付け回して研究を諦めさせようとした挙げ句、すでに認められた博士論文のあら捜しをして博士の称号を剥奪したんだからね？日本の理科研究の学者の世界はソコまで腐ってるんだわ
で、大量の研究者を雇い止めして締め出すとか狂気の沙汰だろ野依
無限の存在を信じているの一言で完全にパンクしたわ。存在するとは一体なんなんだ？そもそも1や2の存在すら確認したことないのに。
存在するという言葉は多義語で、いくつか意味があるが混同されていて、例えば大まかに次のように分類できるはず:
1.数学的に存在する
例えば、何らか(集合など)の存在を保証する公理系に推論規則を有限回適用することで存在が保証されるもの全体の元は数学的に存在するということにできる
2.概念として存在する
例えば、「偶数であるような3以上の素数」などは数学的には存在しないが、概念としては存在する。「サンタクロース」なども数学的には存在しないが概念として存在するとしてもよい。
3.物体として存在する
数学的な概念(数、図形など)は物体としては存在しないが数学的には存在する
急にオススメに出てきたけど面白かった
なるほど、つまり今日私が食べたご飯は親子丼じゃなくて他人丼だったってことね...
難易度が増し、高度な話になると最初の小学生との会話に似て言ってる。結局わからないことを討論するとこな最初の基盤が重要なのかも。
数学はやはり最終的に哲学の話に突入しがちよな。
哲学の派生が数学だから
@@zwaaliken6688 どの学問も起源はフィロソフィや
今日の収穫：エミリー・リールが女性だってことは解った
統計学を専攻してる俺からすると、無限で近似することですこぶる便利な結論を出せるのは確かだな
えと、日本の大学生や院生もこれと同じくらいの知識をお持ちなのでしょうか？この話が理解可能なのでしょうか？
@@vonneumann6161 それは良かったです。
ピンキリで、全大学生の1割くらいはレベル3以上と思う。ほとんどの大学生はレベル3まで達してないよ。遊ぶことばかり考えてる。ビックリするくらい物事を深く考えない人が日本には多い。
@@がんも-m6l 理学部数学科にきてこの分野専攻しないとわかんないよ。
このシリーズほんまおもろい
最初の子頭良すぎｗｗｗｗ
難しいよ･･･いつも思うけど国語ができないと数学ができないのよ･･･
こりゃわかりやすくてすげぇ
無限という概念には大きさという概念はないのでは？大きさというのはあくまでも有限のものにのみ考えられる概念ではないか。同じ大きさの無限集合とか言ったとたんにそれは無限の範疇からはずれるような気がするがどうなのか？
>大きさというのはあくまでも有限のものにのみ考えられる概念ではないか。
まず何故そのように思うのか説明できるか？
数学じゃその文章じゃ曖昧すぎる
実数全体の集合Qの大きさ(濃度)は、有理数全体の大きさよりも真に大きいことは示せる。ただし、この主張を理解するには数学の集合論という分野を勉強しなければならない。
30代ですが、10代の途中でギブアップです
最初の子供が一番賢い説
レベルが上がるにつれて物が登場しなくなっていく・・・
「Infinity」っていう英単語が持つ語感と、「無限」という語が持つそれとでは、ちょっと違いがあると思う
どういう風に違うんですか？
俺は違いは無いと思いました
ポアンカレ予想をユークリッドの観点から証明するには閉じられる無限と閉じられない無限の数理モデルを考えれば良い
だからこそπやマンでブラが機能する「終わりが無いのが終わりで原初にして永久」
因果律としての括り出しは既に終えている
さて問題 ∞×0 ∞÷0 0×∞ 0÷∞ それぞれの回答とその理由を述べよ
数学を使って事件を解決していく海外ドラマ昔あったなあ。ナンバーズだったっけ
子供と専門家の話は良くわかった。
この世界は無限の中にある無限だということ
1兆円とかってさ、1億円を毎年使っても10000年かかるってことじゃん。
そんな額稼いでるのやばいよね
13歳の子で追いつくのに限界だ。
単眼猫「きかないでくれ」
これ以上ないってくらいの無限って有限は無限の中にあるってことかな？
はい
数学好きの高校生なんで、ギリギリレベル3まではついていけたけど4からは序盤からよう分からんw直線は平行だと交わらないんじゃなかったのかw
例えば長方形を斜めからカメラで撮影すると遠近法により向かい合う二辺が交わるようになります
また球面上に長方形を貼り付けても二辺は交わりますね
平行線は交わるところが無限遠にあると解釈することができます。このため、無限に伸ばさない限り交わらない。
しかし例で出したように座標変換することにより無限遠は有限な点として現れるようになります
今まで取扱不能だった無限遠が有限として扱えるようになるのです
一見何に役にたつかわからないかもしれませんが、例えばカメラで撮影した画像から3次元の構造を割り出したりするにはこういった概念が必要になってきます。
建物の建設やあるいは自動運転なんかで障害物との距離を測ったり、ニッチな知識に見えて実は色々なことに応用が効く分野だったりします
この無限ホテル半月くらい前にRUclipsでみたわ