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最初はほえーって聞いてたけど最後らへんで急に聞いたことない単語ラッシュに襲われた
選び方が明示的に与えられるときは, 無限個の非空な集合達から1つずつ要素を選んで新たな集合を作れるけど選び方が明示的に与えられないときは, 確かに無限個の非空な集合達から1ずつ要素を選ぶってなんか気持ち悪いかんじ…
この動画の袋の例えで言えば、各々の袋に赤玉は一個だけ入ってるよっていう状況であれば、すべての袋からその赤玉を取るという選択を明示的に与えられるわけですね
各A_λが整列集合なら、各袋に赤玉としてmin(A_λ)が一個ずつ入っている、と考えられるわけですね。
バナッハタルスキは選択公理の不自然さの例というより測度が万能じゃないことの例という認識
位相空間論ではツォルンの補題でなく超限帰納法を使う形で選択公理が結構出てきますね
ツォルンの補題と選択公理が同値である事のイメージ「選ぶ操作」が定義されれば「全て選びきれてる状態」は自然に定義されるし、逆にそんな状態を定義してしまえば、それをもって選ぶ操作を定義すればいい。つまり、「選ぶ操作」を定めることと「選びきれてる状態」を定めることは同値。ツォルンの補題では極大元(選ぶという操作の限界)の存在を確定することで全て選び切れてる状態を定義してる。選択公理では直感に馴染みやすく無限個あろうと1個ずつ取ってこれることを確定することで純粋に選ぶという操作を定義してる。こんなイメージで俺は理解してるけど、あってるかなぁ
AからBへの全射fがあればg:B→Aでf○g=id(B)なるものが存在する、も確かACと同値ですよねー
右逆写像の存在ですね
最初の6分と最後の6分よく分からなかった
全部じゃねぇか笑笑
お、こんなところに選択公理の動画がある興奮してきたな
ネタにしにく過ぎる芸
ちょっと何言ってるかわからない
「どの氷がいい？」選択氷！！！！！！！！！
3:40 フランケル ---> フレンケル
最初の2分間と最後の5分間で「？？？」状態になった
京大のオープンキャンパスかなにかの数学教室みたいなものの体験講義でバナッハ＝タルスキーの定理の証明したなあ……
よく言われるように、バナ・タルは動画で言及のあった、体積の定義できる集合→できない集合→できる集合という移し換えが肝です。...(f)選択公理はただ単に、図形という無限個の点による集合を、群の作用による軌道の代表系....いわば"基底"モドキで整理するために使います。点に作用する群Gと点集合Aについて、Aの各点のGによる軌道によってAを直和分割するのですが、軌道が無限個あると、代表元をそれぞれの軌道から見繕うために選択公理を使うことになる。というロジックです。選択公理より真に弱い主張でも(f)ができるのでそのような主張を公理としてもこの定理は証明可能だそうです。一方で、無限次元基底の存在と極大イデアルの存在はどうあがいてもツォルンの補題を必要とします。このツォルンの補題が、ACと同値になります。従って、本質的に選択公理に依っています。
とか書きましたが、残りについては勉強してなくてわかりません(笑)
軌道による直和分割が関わってたのか
チップスター「俺は無限個に増えることができる」
学部じゃないけど聞いててワクワクする（理解できたわけではない）
無限次元ベクトル空間の基底の存在もそうだけど、そもそも下部集合が無限集合であるベクトル空間の基底の存在いうのにも選択公理て必要だったきがする
代数学に限らず、数学では意外と根本的な所で選択公理が必要ですね。例えば、有理数の世界から実数(の連続性)を構成する時に(デデキントの方法でも、コーシー列による方法でも)、暗黙の内に選択公理が使われています。あと、選択公理と同値なものといえば、整列可能定理がありますね。
使われてないですね
そうですか。すみません。「…使われている、と私は思います。」に訂正します。例えば、収束しないコーシー列があれば、選択公理の反例を作れます。また、収束しないコーシー列が存在しても、ZFとは矛盾しない、と私は思っています。しかし、私の能力ではそれを論証することは出来ないので、コメントを訂正します。「収束しないコーシー列の存在が、ZFと矛盾する」ことが書かれた書籍などをご存じであれば教えて下さい。
欲を言えば例を挙げた定理の中の1つは証明が欲しい…
最近バナッハタルスキー流行ってんのかな？
永遠に袋から玉を取り出す作業
はなおさんの動画でクイズの伊沢君がバナッハタルスキーのこといってたわ、
コンパクト空間て数理論理学の授業以来(情報学徒感)
「この中にひとり、数学者がおる。お前やろ。」「いや、違います」「A.C.←じゃあこれはなんだ」「選択公理」「お前やー！」
ワイ「交流」
ワイ「公共広告機構」
本気で最初の2分何言ってんのかわかんなかった。
よく考えたら全部わかんないな
ヴィタリ集合…
バナッハ＝タルスキーって伊沢taxi
バナッハタルスキーを無人島に持っていきたいとか言ったyoutuberが居たような・・・。
なんだか知らんが分かった気になったぞ(/・ω・)/
これなら簡単、余裕だよ！（とか言ってみる。）
ヒルベルトのホテルに通じる？
全順序部分集合、、、早口言葉かな？
選択公理か〜しらね
選択公理の言い換えは多岐に渡りますが、珍奇で無闇に一般受けするものよりもやはりその心として代表元がとれるとか、実用的にZorn's Lemmaなどを中心に知りたいですね(でないと泥沼？？)
MT [数学・Maths Channel] は？
@@ぴーまん吾郎 勝手に翻訳します選択公理と同値な命題はあまりにも多く、深追いすると頭がおかしくなって死ぬ。なのでその中でも(代数などの分野で)最も汎用性の高いと思われるZornの補題をまず学び使えるようになるべき。選択公理の分かり易い適用例として、任意の同値関係に対し完全代表系がとれることが保証され、バナッハ・タルスキーの定理もこれを用いて証明される。
Zornの補題 自体に何通りか表現のし方があって、すべて同じことを言っているのだけれども、ぱっと見では分からず、ちょっと考えないと理解できない。
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/2bPMN8EYog9LxRFzulgLEGGeCUTWn2_pIINQRrksTF5URZjwMR22QOtsjv32_l71yYWdLpfg=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
![I.N "HALLUCINATION" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/n5B5q1Hwt_U/mqdefault.jpg)
最初はほえーって聞いてたけど最後らへんで急に聞いたことない単語ラッシュに襲われた
選び方が明示的に与えられるときは, 無限個の非空な集合達から1つずつ要素を選んで新たな集合を作れるけど
選び方が明示的に与えられないときは, 確かに無限個の非空な集合達から1ずつ要素を選ぶってなんか気持ち悪いかんじ…
この動画の袋の例えで言えば、各々の袋に赤玉は一個だけ入ってるよっていう状況であれば、すべての袋からその赤玉を取るという選択を明示的に与えられるわけですね
各A_λが整列集合なら、各袋に赤玉としてmin(A_λ)が一個ずつ入っている、と考えられるわけですね。
バナッハタルスキは選択公理の不自然さの例というより測度が万能じゃないことの例という認識
位相空間論ではツォルンの補題でなく超限帰納法を使う形で選択公理が結構出てきますね
ツォルンの補題と選択公理が同値である事のイメージ
「選ぶ操作」が定義されれば「全て選びきれてる状態」は自然に定義されるし、逆にそんな状態を定義してしまえば、それをもって選ぶ操作を定義すればいい。つまり、「選ぶ操作」を定めることと「選びきれてる状態」を定めることは同値。
ツォルンの補題では極大元(選ぶという操作の限界)の存在を確定することで全て選び切れてる状態を定義してる。
選択公理では直感に馴染みやすく無限個あろうと1個ずつ取ってこれることを確定することで純粋に選ぶという操作を定義してる。
こんなイメージで俺は理解してるけど、あってるかなぁ
AからBへの全射fがあればg:B→Aでf○g=id(B)なるものが存在する、も確かACと同値ですよねー
右逆写像の存在ですね
最初の6分と最後の6分よく分からなかった
全部じゃねぇか笑笑
お、こんなところに選択公理の動画がある
興奮してきたな
ネタにしにく過ぎる芸
ちょっと何言ってるかわからない
「どの氷がいい？」
選択氷！！！！！！！！！
3:40 フランケル ---> フレンケル
最初の2分間と最後の5分間で「？？？」状態になった
京大のオープンキャンパスかなにかの数学教室みたいなものの体験講義でバナッハ＝タルスキーの定理の証明したなあ……
よく言われるように、バナ・タルは動画で言及のあった、
体積の定義できる集合→できない集合→できる集合という移し換えが肝です。...(f)
選択公理はただ単に、
図形という無限個の点による集合を、群の作用による軌道の代表系....いわば"基底"モドキで整理するために使います。
点に作用する群Gと点集合Aについて、Aの各点のGによる軌道によってAを直和分割するのですが、軌道が無限個あると、代表元をそれぞれの軌道から見繕うために選択公理を使うことになる。というロジックです。
選択公理より真に弱い主張でも(f)ができるのでそのような主張を公理としてもこの定理は証明可能だそうです。
一方で、
無限次元基底の存在と極大イデアルの存在はどうあがいても
ツォルンの補題を必要とします。
このツォルンの補題が、ACと同値になります。
従って、本質的に選択公理に依っています。
とか書きましたが、残りについては勉強してなくてわかりません(笑)
軌道による直和分割が関わってたのか
チップスター「俺は無限個に増えることができる」
学部じゃないけど聞いててワクワクする
（理解できたわけではない）
無限次元ベクトル空間の基底の存在もそうだけど、そもそも下部集合が無限集合であるベクトル空間の基底の存在いうのにも選択公理て必要だったきがする
代数学に限らず、数学では意外と根本的な所で選択公理が必要ですね。例えば、有理数の世界から実数(の連続性)を構成する時に(デデキントの方法でも、コーシー列による方法でも)、暗黙の内に選択公理が使われています。
あと、選択公理と同値なものといえば、整列可能定理がありますね。
使われてないですね
そうですか。すみません。「…使われている、と私は思います。」に訂正します。
例えば、収束しないコーシー列があれば、選択公理の反例を作れます。また、収束しないコーシー列が存在しても、ZFとは矛盾しない、と私は思っています。しかし、私の能力ではそれを論証することは出来ないので、コメントを訂正します。
「収束しないコーシー列の存在が、ZFと矛盾する」ことが書かれた書籍などをご存じであれば教えて下さい。
欲を言えば例を挙げた定理の中の1つは証明が欲しい…
最近バナッハタルスキー流行ってんのかな？
永遠に袋から玉を取り出す作業
はなおさんの動画でクイズの伊沢君がバナッハタルスキーのこといってたわ、
コンパクト空間て数理論理学の授業以来(情報学徒感)
「この中にひとり、数学者がおる。お前やろ。」
「いや、違います」
「A.C.←じゃあこれはなんだ」
「選択公理」
「お前やー！」
ワイ「交流」
ワイ「公共広告機構」
本気で最初の2分何言ってんのかわかんなかった。
よく考えたら全部わかんないな
ヴィタリ集合…
バナッハ＝タルスキーって
伊沢taxi
バナッハタルスキーを無人島に持っていきたいとか言ったyoutuberが居たような・・・。
なんだか知らんが分かった気になったぞ(/・ω・)/
これなら簡単、余裕だよ！（とか言ってみる。）
ヒルベルトのホテルに通じる？
全順序部分集合、、、
早口言葉かな？
選択公理か〜
しらね
選択公理の言い換えは多岐に渡りますが、珍奇で無闇に一般受けするものよりもやはりその心として代表元がとれるとか、実用的にZorn's Lemmaなどを中心に知りたいですね(でないと泥沼？？)
MT [数学・Maths Channel] は？
@@ぴーまん吾郎 勝手に翻訳します
選択公理と同値な命題はあまりにも多く、深追いすると頭がおかしくなって死ぬ。
なのでその中でも(代数などの分野で)最も汎用性の高いと思われるZornの補題をまず学び使えるようになるべき。
選択公理の分かり易い適用例として、任意の同値関係に対し完全代表系がとれることが保証され、バナッハ・タルスキーの定理もこれを用いて証明される。
Zornの補題 自体に何通りか表現のし方があって、すべて同じことを言っているのだけれども、ぱっと見では分からず、ちょっと考えないと理解できない。