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9:54xが虚数→xが純虚数xが複素数→xが虚数
xが複素数の部分も正しいわけではないと思います。コロンの使い方による不明瞭な部分なので、どうにもならないのではないでしょうか。口頭の説明が正しいので気にしないでいいのではないでしょうか。蛇足ですが、複素数はα+βi (α,βは実数)と表せる数全体の集合です。αとβには実数ということ以外なにの制限もありません。
@@ヨシヒコ-i6u 複素数と虚数に関しては複素数のほうが広い(?)のに複素数のほうが条件厳しくなってるんですがそれは
@@p0kMNyziCA-o5r あっ！！ホントだ！！訂正訂正
@@p0kMNyziCA-o5rα , βを実数とする。このときx = α + βi を複素数という。またβ = 0のとき、xを実数α = 0 のとき、xを純虚数β ≠ 0 (実数ではない複素数)のとき、xを虚数という。α , β ≠ 0 のとき、xは実数でなく、かつ純虚数でもない複素数を表す。以上のような表現方法が正しくなりますかね？
高校生の頃、サークルの先輩の一人から「sin(x)=2の解を求めろ」と言われて、面食らったことを思い出しました。定義域が実数に限られる場合、正弦関数の絶対値は1を超えないため、解が実数でないであろうことはわかりますが……というのが、当時の理解の限界でした。ちなみに、上記の方程式の解は複素数で、無限個存在します。
急sinx=2を求めよとか言われんの
数学系のサークルなのかも
第3象限にあるはずのほうの解が第4象限に図示されてしまってます…あと、正の実数の2つある「平方根」のうちルート記号は「正のほう」と定義します。2つある虚数の「平方根」は原点に関して対称の位置にありますが、ルート記号がそのどっちを表すと約束するかはいろいろ考え方があるので、「平方根」と「ルート」は使い分けたほうがいいと思います。
高校生のときに、マイナスの積は数直線上のゼロを起点に回転する、つまりｉは９０度回転だな。と着想した自分は複素数平面を後で知ったときに俺は天才かと思いましたね。
複素数の指数関数は1つの値に定まらないので厳密には関数ではない。(多価関数と言う関数よりも緩い概念になる。)
そういえば、大学受験生の頃、高校生向けのとある数学啓蒙書に「指数関数は虚数周期2πiの周期関数である」とあるのを読んで、「？」と思ったことを思い出した次第。今から40年近く前の話です。
負の数が出た時はFFで船を入手した時のような高揚感、虚数が出た時はFFで飛空挺を入手した時のような万能感があったな〜
負数は、大きさだけの数値に 向き が加わるからな。
紀元前から生きてるのか？
わかる
霊夢の最後のダジャレ文系適正すらない件w
iの平方根は解析学のテストに出たので懐かしくなって見に来ました！動画では恒等式使って解いているけど、平方根を2分の1乗とみなしてオイラーの公式使って求めました。
さらに4次元に広げることで四元数に…割と楽しかった記憶
かけ算の順番を変えると答えが変わるのが気に入らん
@@tsubossie 逆に複素数までで交換法則が成り立っていたのが奇跡なんだよ．
@@tsubossie 一般論で言えば計算の順序は非可換なのが基本です。そもそも2×3は元々は2+2+2であるのに対して3×2と言う計算は3+3であって意味が違うわけですから、意味が違う計算の結果が同じにならないのはむしろ自然だと思います。
「さらに4次元に広げることで四元数に」と言うよりは「3次元に広げるのに失敗したから諦めて4次元でやってみた」と言うのが歴史的には正しいようですね。
複素平面(ガウス平面)が考案される以前にオイラーの公式作っちゃうのヤバいな
10:01 ここ、正しくは、xが実数 : β＝0xが純虚数: α＝0, β≠0xが虚数 : α≠0, β≠0ですね。複素数は、実数α,βを用いてα+βiと表される数のことなので、実数と虚数全部まとめて複素数ですね。
ド文系の私にとって、とても面白い動画でした。数学に詳しい人は、誤謬のチェックも楽しめるのですね。羨ましいです。
やべぇ、頭痛くなってきたけどこういうの見てると数学が1種の娯楽に思えてきた
わたしも娯楽だと思います
元々は何もすることがない貴族の遊びですからあながち間違いでは無いですねえ
@@inversedfunc そうなんですね！初めて知りました！
西欧文明は遊びや娯楽から始まったところが結構ありますよね。新渡戸稲造はそういうのを見て取っていて、青空文庫にある『教育の目的』で、〈以上教育を施す第一の目的が職業であることを述べて来たが、然るに第二にはまたそれと反対の目的がある。それは即ち道楽である〉と言っています。夏目漱石の『現代日本の開化』の「内発的」に通じます。日本の文化も「遊びをせんとや生まれけむ」の精神が基底にあり、古くは中国・近代以降は欧米の文化にさらされながらも自分を失わなわずこれらの外来文明を咀嚼した人々がいた原因と思っています
数学に限らず学問はある意味娯楽ですから。
w = log ze^x e^iy = re^iθr = log x, θ = y + 2πnlog z = log|z| + i arg z + 2πniz = i^ilog z = i log i= iπ(1/2 + 2n)i^i = e^iπ(1/2 + 2n)複素数範囲での指数対数は多価関数になるので、動画内の i^i = e^iπ/2 は主値ですね
ほんとこれ。多価関数だって補足しないのはいただけないですね。
@@YoshioHasegawa421 ところどころ厳密性に欠けるかも、と書いてありますが、無視してはいけないところまで雑になってしまっている感じはありますよね
@@ifq7vj0 雑学なので論理の厳密性は省かれるものかなと思いますが、誤った結論は厳密性とは違うんじゃないかと感じてしまいますね
-√2/2-√2/2iが第３象限、実軸から-135°（=-3/4*pi）回転しているということですねモヤモヤ感の正体がわかりました
虚数のおかげでマルチバースの多次元宇宙解釈が可能になるのですね！わかります！！
複素数係数の方程式は複素数の解を必ず持つ(代数学の基本定理)から、x^2-i=0の解の1つである√iも必然的に複素数になる。
複素数解が2つあることが保障されているだけで複素数でない解が存在するかどうかは言及されてない。
複素数では多価関数の性質から安易に指数法則は持ち込めないのでは…？
動画掲載当時は色々あったようでお疲れ様です自分も大学に入って初めて複素平面を習った口ですただ、高校で代数幾何中の「ベクトルと行列」は習っていたので、そこまで混乱しないで理解できた気がします実数1と虚数iを単位ベクトルとした２次元平面と捉えればだいぶ似てます。複素平面でのやり方とは違いますが、1次変換でも回転を表す行列がありました（しかも成分は三角関数）そういえば、シュレディンガーの方程式も代数学的なアプローチと行列を使ったアプローチの2派閥があり、結局同じ結果になったことを思い出しましたすいません、４か月前にも見てたようです💦
わかりやすいですね。√2/2は1/√２にしたくなってしまいます。ペギー葉山さんの算数チャチャチャが空耳。ちなみに1/√２って実生活でも体感していて、缶ビール500㏄の1/√2は350㏄ですね。
愛の愛情なんて詩的だなぁって思っていた時期が私にもありました
i^2（愛の事情）はマイナスなんてのもありまして
愛の愛情は実数。いいパイ（ｅ、π）が重要。三角関係（sin、cos）にも注意。
愛に愛情を抱くとは恋に恋するみたいなもんか？
当該期間の高校生で，大学で数学以外の理学系だったところ結局最後までその辺りのことを履修しなかった者です．（流石に大学時代は必要最小限で微積と行列を掘り下げた感じ．）よく分かって有り難かったです．
i^i で既にオイラー方程式使っているのだから、√i もi = e^i(π/2+2nπ)、但しn=整数 より、√i = i^(1/2) = {e^i(π/2+2nπ)}^(1/2) = e^i(π/4 + nπ) = cos(π/4 + nπ) + isin(π/4 + nπ)ですぐに答えが出て来ると思うのだが…
実数は一次元の数直線、虚数は二次元の複素数で表せるということは、三次元で表せる新たな数もあるのかな？
iのi乗と聞いて「はぁ？」と思ったけど、すごく分かりやすくて面白かった
複素数は高校の時舐めてたけど、何でもかんでも複素数で閉じてるとは思わなかった。無限に新しい記号がいるかと思ってた。
途中から「 i 」が全部「愛」に聞こえてきて、愛と愛情について考えてたら動画が終わってたよ…。やはり私はコテコテの文系脳なんだと確信しました。
愛の愛情は実数
iは,3次方程式の解の公式を作る時,必要に迫られ定義したらしい(2次用では定義されず)。なぜ急に？ 3次用では実数解すらiを使って表す時があるからだと思う。例えばx^3-9x=0の解は 0, -3, 3 で3つとも実数解ですが,解の公式では(√3)i+(-√3)i、(√3)iω+(-√3)iω^2、(√3)iω^2+(-√3)iωを計算します。ただし,ωとは,( -1+(√3)i)/2 を略記した物ね(そのまま書くと長くなるからωを書いた)。3つとも,計算した結果,iが打ち消し合ってすべて消え実数になります。つまり、iが定義されてると、現実世界の答えを出す際に、それを出す式をどう書くかの幅が拡がるわけです。それに対し、2次方程式の解の公式では、もし実数解しか要らないのならiは必要ありません(ルート内が負だから解なしと明記して終わり)。
高校生のときに√iはド・モアブルの定理を応用して導くことができるんだろうなとは思ってた
なんか1ヶ月くらい授業で複素数平面やったけどこの10分くらいで変わらないのなんか辛い
i^0.5の解は全部求めるのにi^iの解は一個しか求めないんだ
4:50 高校は1988年度の入学ですが、複素平面は習わず、大学でオイラーの公式とセットで度肝を抜かれたクチです。高校数学における複素平面は一旦解禁され、再度「禁止」されたのでしょうか。
虚数の虚数乗が実数になるのは、もの凄く違和感がありましたが。虚数に虚数を掛けると実数になる時点で、実在する数字と関係性が高い存在ですからね。納得できました。ところで「ある数」に、その「ある数」乗した時に、0.2になる数字って実数の範囲に無いのでしょうか？例えば「0.1^0.1」は約0.79 「0.5^0.5」は約0.71 「0.9^0.9」は約0.91になりますし。 難しいです数学は……。
サンドウィッチマンの富澤たけしが私のゴーストになにかを囁くのがわかる…
数学(算数)は、段々と世界が広がってくのが面白いよね。自然数だけの世界から、少数・分数、負の数、ルート、虚数みたいに世界が広がって、答えも変わってくのは数学くらい。
2002年入学だったから、必死に覚えた複素数平面を浪人した瞬間使わなくなると言う所業に遭ったw
電気では電池の+/-の直流は実数に相当、家庭の100Vは交流は実数と虚数の組合せな訳で波が虚数に相当。
i^iは多価関数になるからe^-π/2だけじゃないんだけど…あと√iは45°と225°(-135°)では？？
多価関数なのが大事なんですが
よく理解できました🎉
ほんと虚数て不思議他に書かれてなさそうだったのでついでにi = exp(iπ/2)で考えたほうが良いんじゃなかろうか（特に√の方は）
虚数の虚数乗や、虚数の平方根も存在するのか。数学の世界はすごいんだね。
「存在する」と言うよりは「作った(存在させた)」と言うべきかと。そもそも指数の元々の意味から言えば0乗やマイナス乗もあり得ないわけですし。
ある数aのn乗は「(aをn回足したまとまり)達をn回足す」って事で、iのi乗は「(iをi回足したまとまり)達をi回足す」⇒i×i×i…あれ、-iになるわ…何言ってるんだろ俺…
それだとa×n×nだよ
iのi乗は無数に存在して、動画の解はその一つに過ぎないことに注意！
駿台模試で虚数係数の複素数方程式が出てたから途中のa+biのやつ使って解けて嬉しかった
むしろ、高校生がこれに出会えなかったことに驚愕している。。。百年くらい損してる
電気科ならコブラツイストのように覚えさせられるアレですね…。
今日も今日とて難しい！！けど、面白い！！
いつもながら霊夢の反応の速さが凄い😅。これで赤点ってどんなレベルの進学校に行ってんの？
ルートiはi^(5/2)とかではダメなの？
両辺をi乗する前の指数の数を足す説明がありましたが、どこで使ってますか？ 両辺i乗したら、左辺は、［e^（iπ／2）^i］で、指数の数の乗算となり、あとは説明のとおりだと思います。（2^2）^3は、2^6の説明の方が、わかりやすいかもです。違ったらごめん
複素数a+biのうちb≠0のものを虚数、b=0のものを実数、a=0かつb≠0のものを純虚数と呼ぶと理解しているのだけれど、この動画は純虚数のことを単に虚数といっている気がする。（間違ってたらご指摘ください）
細かいけど複素平面の導入とかは逆かなぁ。微積分学が発展してオイラーの公式を見つけたあとに、実数とは独立の(直交する)数を定義すれば合点がいくやん、という経緯かと。なので、交流回路とかも虚数使わずに解けなくはない。
最後の虚数平面の図 ー√2/2，ー√2/2ｉ位置は 実部がプラスになってます。違いますよね。
10:50 右の上から2番目xが純虚数ならα=0では
iのi乗は無限個あるんじゃないのですか？
愛の愛情は実数。複数（無限個）のあたいを取るから純愛でないね・・・
@@shhi9379 上手い！座布団1枚！
あれ？-45°回転って二乗したら-90°で-iになるよな？と思って検算とかして一瞬混乱してしまったw225°(または-135°)回転の間違いかw
実数も準拠数も複素数に含みますよ？
4:5618禁学校に投げるとはなんてサービスの悪い文科省だ
世界からi（愛）を排除したら、私どもの子孫は生まれてこないのです（私らが自然分娩するにはズッ根抜根する以外にないのです）。その当たり前の宿命を、文科省はなぜ理解しようとしないのだろう？
入試でこのような答え方をした場合は減点ですね・・・
これ学校の先生も分かって無い人多いんじゃないかと思う。
より正確には、教えかたを分かって無いのでしょう。
愛(i)はただそのままだと虚だけど愛情（i乗）なら実になると
複素平面…学校で習いたかった…
負の数は現実でも何かが足りないときとかに使えるから想像できるけど、虚数を日常で感じることは無いからイメージしにくい
虚数の階乗もお願いします
階乗の概念の拡張って、ガンマ関数以外には存在しないのかな？ Windowsの電卓アプリもGoogleの電卓機能も、あるいはCASIOの高精度計算サイトも、非整数に対する階乗の計算結果はすべてガンマ関数によるもののみ。
e^(iπ) = -1 = e^(-iπ)ってことは、動画内でやってるように両辺をi乗したらe^(-π) = e^π1/(e^π) = e^πになりますよね？e^πが1ってわけでもないし流石におかしいと思うんですが…
別動画で「嘘証明」ネタがありましたが、このあたりもネタになります。「こっそり0で割る」とかに比べるとだいぶ説明が難しくなりますがw他にもたとえば、√(-1)=√(-1) ⇒ √(i/-i)=√(-i/i) ⇒ √i/√(-i)=√(-i)/√i ⇒ 分母を払って√i × √i=√(-i) × √(-i) ⇒ i=-i ⇒ 1=-1 とか。
@@山崎洋一-j8c なるほどたしかに虚数が絡むとやってもいい操作とやってはいけない操作が簡単には分からなくなりますね…
e^iπ/2 = i を両辺1/2乗すれば、√i = i^1/2 = e^iπ/4 = 1/√2 + i 1/√2で求めれるな！と思った。甘かった
虚数乗なんて考えた人がすごい..
電気数学だと「ｉ」を使うと電流と紛らわしいので「ｊ」を使います....電気関係の人のノートを見て間違いだと言わないでね回路計算で「İ=Ė/(r+jx)」みたいに書きます。
物理学科で電流密度が出てきたとき小文字のjを当てていたのですが、いま考えると虚数単位をiにするために電流密度の方の文字を変更したってことなんでしょうね。
花粉辛いよー
質問 ｘ∈R √ｘ と ｘの1/2乗 の定義はわかるんですが ｚ∈C √ｚ と ｚの1/2乗 の定義は何ですか
愛の愛情……そんなものは実在しない、かな？
虚数や複素数を底とする指数関数は、どんな形に？
a, b, cがいずれも非零数である場合、log_a(b)={log_c(b)}/{log_c(a)} がいつも成立するとすれば……
@@hosamu7077 それは不成立対数函数の定義として、真数は正の実数！定義を拡大した新しい函数を考える必要がある
@@juuxlb9401logｚ=In|ｚ|+iargｚでどうですかねギリシャ文字のzが出てこなかったので全角のｚで代用していますが
虚数のサイン乗とかコサイン乗とか、虚数の無限級数乗とか考えたことあるけど頭がパンクした。
両辺を虚数単位乗するって操作はしてもいいことなんですか？
√i=ｘ ならば i=ｘ^2ですが、i=ｘ^2 ならば x=±√iです。ｘ=√i のｘとｘ^2=i の x とは、同値ではありません。したがって、同値として解を求めている You Tube動画の解答は、間違えています。解答は√i=｛e^(πi／2)｝^(1/2)=e^(πi／4)=cos(π/4)+i・sin(π/4)=1／√2＋i・（1／√2）=(1+i)・√2／2
そもそも√iと言える数を一意に定めるルールは存在しないのでここでは2乗するとiになる複素数の意味で用いられているのかと
数学習ってる人の病気だと思うんですけど、度数法より弧度法の方がわかりやすいので45°→1/4π135°→3/4πでお願いします。まあそうなると「ド文系でも楽しい」ではなくなりますが😅
1/4π よりは π/4 のほうが、3/4π よりは 3π/4 のほうが、いずれも誤解がなくてよいと思います。1/4π と書かれると、なぜか 1/(4π) のことだと思ってしまいますので……。
計算すると無限個の答えって変なの
α=β=-√2/2の時のα+βiって-√iじゃないですか?±√iどちらも二乗したらiになるから、この計算だと両方出てきそうですけど
虚数は今日数学を一夜漬けで、バッチリ。
使っている指数法則はa^m×a^n＝a^(m+n)ではなく(a^m)^n＝a^mnですね。
誰か霊夢の駄洒落を解説してください。
岸田総理が「異次元の少子化対策」と言っていたから、複素数平面を使って「愛の愛情」を納税することになるかもしれませんね！🤔？
深い、愛より深いものはないですね、愛を２回かけるとマイナスになります。つまり脱税。
4回かけると更生する。
みなさん地獄の空気でさようなら
でも、現実に見えているのは、実部だけです。いくら絶対値が大きくても、実部が0に近ければ、効果は限りなく低いかも。
虚数が正の数でも負の数でもないなら-iの表記おかしくね？-iができちゃうとiは正の数になっちゃう追記iは正の数でも負の数でもなければ0でもないi^3=-iこれは矛盾している
Log,logの記号表現はいい加減,Ln,lnにしてほしい
これ見てるといつか i^ε乗とかも知りたくなったε²=0とする
双対数でしょうか。ε²＝0でありε≠0ですかね。複素関数のように多価関数になってしまったり、双対複素数は非可換なのでそちらの弊害も出てきそうですね…。
サインとコサインを多項式に展開してε代入すれば2乗以上の項が0になるからそこから世界一美しい数式もどき作ってε乗の定義ができそう
厳密かは置いといて、このような感じで求められそうですe^εx = Σ [i = 0 to inf] ((εx)^i / i!)= 1 + εxw = log ze^x e^iy = re^iθr = log x, θ = y + 2πnlog z = log|z| + i arg z + 2πnii^ε = e^(ε log i)= 1 + ε log i= 1 + εiπ(1/2 + 2n)
@@ifq7vj0 あれ、iπε…どこかで見たことあるような…と思ったら、だいぶ前に示した-1の双対数乗でした。そうか、そこからiの双対数乗出せるのか…。
@@ふふ-l5j z^ε = 1 + ε log z で偏角が違うだけだから方針は同じかな...あっ、二重数は非可k...
多価だねえ
頭が良いツッコミとアホなふりして実は賢いボケ・・ロザンやん
もっとおっさん（平成8年3月までの高校卒業）も複素平面やってない。
虚数と言う訳も問題。仮数とか想数とかは？うつろはないでしょ！複素数は重要なのに。
xをα＋βiって仮定するって学校でも教わった覚えがあるけど、そもそも複素平面上にない様な解がある可能性ってないの？
なるほど、ガウス平面が高校数学から消えていた時期があったのですね。そういえば、行列や微分方程式も、普通科の数学から消えてしまった（必修項目から外された）と聞いております。二次正方行列の逆行列表現を書き下ろすとか、一次常微分方程式を変数分離化して解くとかいうことを、今の高校生の多くはしなくなっているということか。う～む。
絶対値が1だからね。
２００３～２０１１年まで高校で複素平面をやらないということは複素数自体習わないということか？ それで大学入試に通用するんだろうか。
iをかけると90度回るのに、1をかけても何も起こらないのが不公平な気がするいつの日か数学を理解できるようになりたい
あちこちに出てくる表現"数字"は、違和感たっぷりです単に"数"で良いんじゃないでしょうか
ちなみに...俺高一だけど複素平面飛ばしました...
4:40 -2じゃなくて2って言ってね？
オイラーボイラー 知ってる人は知っている
√i = √2/2i+√2/2, -√2/2i-√2/2
【訂正】
12:30 -45度回転→-135度回転
申し訳ございません🙇
9:54
xが虚数→xが純虚数
xが複素数→xが虚数
xが複素数の部分も正しいわけではないと思います。
コロンの使い方による不明瞭な部分なので、どうにもならないのではないでしょうか。
口頭の説明が正しいので気にしないでいいのではないでしょうか。
蛇足ですが、複素数はα+βi (α,βは実数)と表せる数全体の集合です。
αとβには実数ということ以外なにの制限もありません。
@@ヨシヒコ-i6u
複素数と虚数に関しては複素数のほうが広い(?)のに複素数のほうが条件厳しくなってるんですがそれは
@@p0kMNyziCA-o5r
あっ！！ホントだ！！
訂正訂正
@@p0kMNyziCA-o5r
α , βを実数とする。
このとき
x = α + βi を複素数という。
また
β = 0のとき、xを実数
α = 0 のとき、xを純虚数
β ≠ 0 (実数ではない複素数)のとき、xを虚数
という。
α , β ≠ 0 のとき、xは実数でなく、かつ純虚数でもない複素数を表す。
以上のような表現方法が正しくなりますかね？
高校生の頃、サークルの先輩の一人から「sin(x)=2の解を求めろ」と言われて、面食らったことを思い出しました。定義域が実数に限られる場合、正弦関数の絶対値は1を超えないため、解が実数でないであろうことはわかりますが……というのが、当時の理解の限界でした。ちなみに、上記の方程式の解は複素数で、無限個存在します。
急sinx=2を求めよとか言われんの
数学系のサークルなのかも
第3象限にあるはずのほうの解が第4象限に図示されてしまってます…
あと、正の実数の2つある「平方根」のうちルート記号は「正のほう」と定義します。2つある虚数の「平方根」は原点に関して対称の位置にありますが、ルート記号がそのどっちを表すと約束するかはいろいろ考え方があるので、「平方根」と「ルート」は使い分けたほうがいいと思います。
高校生のときに、マイナスの積は数直線上のゼロを起点に回転する、つまりｉは９０度回転だな。と着想した自分は複素数平面を後で知ったときに俺は天才かと思いましたね。
複素数の指数関数は1つの値に定まらないので厳密には関数ではない。(多価関数と言う関数よりも緩い概念になる。)
そういえば、大学受験生の頃、高校生向けのとある数学啓蒙書に「指数関数は虚数周期2πiの周期関数である」とあるのを読んで、「？」と思ったことを思い出した次第。今から40年近く前の話です。
負の数が出た時はFFで船を入手した時のような高揚感、虚数が出た時はFFで飛空挺を入手した時のような万能感があったな〜
負数は、大きさだけの数値に 向き が加わるからな。
紀元前から生きてるのか？
わかる
霊夢の最後のダジャレ文系適正すらない件w
iの平方根は解析学のテストに出たので懐かしくなって見に来ました！
動画では恒等式使って解いているけど、平方根を2分の1乗とみなしてオイラーの公式使って求めました。
さらに4次元に広げることで四元数に…
割と楽しかった記憶
かけ算の順番を変えると答えが変わるのが気に入らん
@@tsubossie 逆に複素数までで交換法則が成り立っていたのが奇跡なんだよ．
@@tsubossie 一般論で言えば計算の順序は非可換なのが基本です。そもそも
2×3
は元々は
2+2+2
であるのに対して
3×2
と言う計算は
3+3
であって意味が違うわけですから、意味が違う計算の結果が同じにならないのはむしろ自然だと思います。
「さらに4次元に広げることで四元数に」と言うよりは「3次元に広げるのに失敗したから諦めて4次元でやってみた」と言うのが歴史的には正しいようですね。
複素平面(ガウス平面)が考案される以前にオイラーの公式作っちゃうのヤバいな
10:01 ここ、正しくは、
xが実数 : β＝0
xが純虚数: α＝0, β≠0
xが虚数 : α≠0, β≠0
ですね。
複素数は、実数α,βを用いてα+βiと表される数のことなので、実数と虚数全部まとめて複素数ですね。
ド文系の私にとって、とても面白い動画でした。
数学に詳しい人は、誤謬のチェックも楽しめるのですね。羨ましいです。
やべぇ、頭痛くなってきたけどこういうの見てると数学が1種の娯楽に思えてきた
わたしも娯楽だと思います
元々は何もすることがない貴族の遊びですからあながち間違いでは無いですねえ
@@inversedfunc そうなんですね！初めて知りました！
西欧文明は遊びや娯楽から始まったところが結構ありますよね。新渡戸稲造はそういうのを見て取っていて、青空文庫にある『教育の目的』で、〈以上教育を施す第一の目的が職業であることを述べて来たが、然るに第二にはまたそれと反対の目的がある。それは即ち道楽である〉と言っています。夏目漱石の『現代日本の開化』の「内発的」に通じます。日本の文化も「遊びをせんとや生まれけむ」の精神が基底にあり、古くは中国・近代以降は欧米の文化にさらされながらも自分を失わなわずこれらの外来文明を咀嚼した人々がいた原因と思っています
数学に限らず学問はある意味娯楽ですから。
w = log z
e^x e^iy = re^iθ
r = log x, θ = y + 2πn
log z = log|z| + i arg z + 2πni
z = i^i
log z = i log i
= iπ(1/2 + 2n)
i^i = e^iπ(1/2 + 2n)
複素数範囲での指数対数は多価関数になるので、動画内の i^i = e^iπ/2 は主値ですね
ほんとこれ。多価関数だって補足しないのはいただけないですね。
@@YoshioHasegawa421
ところどころ厳密性に欠けるかも、と書いてありますが、無視してはいけないところまで雑になってしまっている感じはありますよね
@@ifq7vj0 雑学なので論理の厳密性は省かれるものかなと思いますが、誤った結論は厳密性とは違うんじゃないかと感じてしまいますね
-√2/2-√2/2iが第３象限、実軸から-135°（=-3/4*pi）回転しているということですね
モヤモヤ感の正体がわかりました
虚数のおかげでマルチバースの多次元宇宙解釈が可能になるのですね！わかります！！
複素数係数の方程式は複素数の解を必ず持つ(代数学の基本定理)から、x^2-i=0の解の1つである√iも必然的に複素数になる。
複素数解が2つあることが保障されているだけで複素数でない解が存在するかどうかは言及されてない。
複素数では多価関数の性質から安易に指数法則は持ち込めないのでは…？
動画掲載当時は色々あったようでお疲れ様です
自分も大学に入って初めて複素平面を習った口です
ただ、高校で代数幾何中の「ベクトルと行列」は習っていたので、そこまで混乱しないで理解できた気がします
実数1と虚数iを単位ベクトルとした２次元平面と捉えればだいぶ似てます。複素平面でのやり方とは違いますが、1次変換でも回転を表す行列がありました（しかも成分は三角関数）
そういえば、シュレディンガーの方程式も代数学的なアプローチと行列を使ったアプローチの2派閥があり、結局同じ結果になったことを思い出しました
すいません、４か月前にも見てたようです💦
わかりやすいですね。√2/2は1/√２にしたくなってしまいます。ペギー葉山さんの算数チャチャチャが空耳。ちなみに1/√２って実生活でも体感していて、缶ビール500㏄の1/√2は350㏄ですね。
愛の愛情なんて詩的だなぁって思っていた時期が私にもありました
i^2（愛の事情）はマイナスなんてのもありまして
愛の愛情は実数。いいパイ（ｅ、π）が重要。三角関係（sin、cos）にも注意。
愛に愛情を抱くとは恋に恋するみたいなもんか？
当該期間の高校生で，大学で数学以外の理学系だったところ結局最後までその辺りのことを履修しなかった者です．
（流石に大学時代は必要最小限で微積と行列を掘り下げた感じ．）
よく分かって有り難かったです．
i^i で既にオイラー方程式使っているのだから、√i も
i = e^i(π/2+2nπ)、但しn=整数 より、√i = i^(1/2) = {e^i(π/2+2nπ)}^(1/2) = e^i(π/4 + nπ) = cos(π/4 + nπ) + isin(π/4 + nπ)
ですぐに答えが出て来ると思うのだが…
実数は一次元の数直線、虚数は二次元の複素数で表せるということは、三次元で表せる新たな数もあるのかな？
iのi乗と聞いて「はぁ？」と思ったけど、すごく分かりやすくて面白かった
複素数は高校の時舐めてたけど、何でもかんでも複素数で閉じてるとは思わなかった。無限に新しい記号がいるかと思ってた。
途中から「 i 」が全部「愛」に聞こえてきて、愛と愛情について考えてたら動画が終わってたよ…。やはり私はコテコテの文系脳なんだと確信しました。
愛の愛情は実数
iは,3次方程式の解の公式を作る時,必要に迫られ定義したらしい(2次用では定義されず)。なぜ急に？ 3次用では実数解すらiを使って表す時があるからだと思う。例えばx^3-9x=0の解は 0, -3, 3 で3つとも実数解ですが,解の公式では(√3)i+(-√3)i、(√3)iω+(-√3)iω^2、(√3)iω^2+(-√3)iωを計算します。ただし,ωとは,( -1+(√3)i)/2 を略記した物ね(そのまま書くと長くなるからωを書いた)。
3つとも,計算した結果,iが打ち消し合ってすべて消え実数になります。
つまり、iが定義されてると、現実世界の答えを出す際に、それを出す式をどう書くかの幅が拡がるわけです。
それに対し、2次方程式の解の公式では、もし実数解しか要らないのならiは必要ありません(ルート内が負だから解なしと明記して終わり)。
高校生のときに√iはド・モアブルの定理を応用して導くことができるんだろうなとは思ってた
なんか1ヶ月くらい授業で複素数平面やったけどこの10分くらいで変わらないのなんか辛い
i^0.5の解は全部求めるのにi^iの解は一個しか求めないんだ
4:50 高校は1988年度の入学ですが、複素平面は習わず、
大学でオイラーの公式とセットで度肝を抜かれたクチです。
高校数学における複素平面は一旦解禁され、再度「禁止」されたのでしょうか。
虚数の虚数乗が実数になるのは、もの凄く違和感がありましたが。
虚数に虚数を掛けると実数になる時点で、実在する数字と関係性が高い存在ですからね。納得できました。
ところで「ある数」に、その「ある数」乗した時に、0.2になる数字って実数の範囲に無いのでしょうか？
例えば「0.1^0.1」は約0.79 「0.5^0.5」は約0.71 「0.9^0.9」は約0.91になりますし。 難しいです数学は……。
サンドウィッチマンの富澤たけしが私のゴーストになにかを囁くのがわかる…
数学(算数)は、段々と世界が広がってくのが面白いよね。
自然数だけの世界から、少数・分数、負の数、ルート、虚数みたいに世界が広がって、答えも変わってくのは数学くらい。
2002年入学だったから、必死に覚えた複素数平面を浪人した瞬間使わなくなると言う所業に遭ったw
電気では電池の+/-の直流は実数に相当、家庭の100Vは交流は実数と虚数の組合せな訳で波が虚数に相当。
i^iは多価関数になるからe^-π/2だけじゃないんだけど…
あと√iは45°と225°(-135°)では？？
多価関数なのが大事なんですが
よく理解できました🎉
ほんと虚数て不思議
他に書かれてなさそうだったのでついでに
i = exp(iπ/2)で考えたほうが良いんじゃなかろうか（特に√の方は）
虚数の虚数乗や、虚数の平方根も存在するのか。
数学の世界はすごいんだね。
「存在する」と言うよりは「作った(存在させた)」と言うべきかと。そもそも指数の元々の意味から言えば0乗やマイナス乗もあり得ないわけですし。
ある数aのn乗は
「(aをn回足したまとまり)達をn回足す」って事で、
iのi乗は
「(iをi回足したまとまり)達をi回足す」
⇒i×i×i…
あれ、-iになるわ…何言ってるんだろ俺…
それだとa×n×nだよ
iのi乗は無数に存在して、動画の解はその一つに過ぎないことに注意！
駿台模試で虚数係数の複素数方程式が出てたから途中のa+biのやつ使って解けて嬉しかった
むしろ、高校生がこれに出会えなかったことに驚愕している。。。百年くらい損してる
電気科ならコブラツイストのように覚えさせられるアレですね…。
今日も今日とて難しい！！けど、面白い！！
いつもながら霊夢の反応の速さが凄い😅。これで赤点ってどんなレベルの進学校に行ってんの？
ルートiはi^(5/2)とかではダメなの？
両辺をi乗する前の指数の数を足す説明がありましたが、どこで使ってますか？ 両辺i乗したら、左辺は、［e^（iπ／2）^i］で、指数の数の乗算となり、あとは説明のとおりだと思います。（2^2）^3は、2^6の説明の方が、わかりやすいかもです。違ったらごめん
複素数a+biのうちb≠0のものを虚数、b=0のものを実数、a=0かつb≠0のものを純虚数と呼ぶと理解しているのだけれど、この動画は純虚数のことを単に虚数といっている気がする。（間違ってたらご指摘ください）
細かいけど複素平面の導入とかは逆かなぁ。微積分学が発展してオイラーの公式を見つけたあとに、実数とは独立の(直交する)数を定義すれば合点がいくやん、という経緯かと。なので、交流回路とかも虚数使わずに解けなくはない。
最後の虚数平面の図 ー√2/2，ー√2/2ｉ位置は 実部がプラスになってます。違いますよね。
10:50
右の上から2番目
xが純虚数ならα=0では
iのi乗は無限個あるんじゃないのですか？
愛の愛情は実数。複数（無限個）のあたいを取るから純愛でないね・・・
@@shhi9379 上手い！座布団1枚！
あれ？-45°回転って二乗したら-90°で-iになるよな？と思って検算とかして一瞬混乱してしまったw
225°(または-135°)回転の間違いかw
実数も準拠数も複素数に含みますよ？
4:56
18禁学校に投げるとはなんてサービスの悪い文科省だ
世界からi（愛）を排除したら、私どもの子孫は生まれてこないのです（私らが自然分娩するにはズッ根抜根する以外にないのです）。その当たり前の宿命を、文科省はなぜ理解しようとしないのだろう？
入試でこのような答え方をした場合は減点ですね・・・
これ学校の先生も分かって無い人多いんじゃないかと思う。
より正確には、教えかたを分かって無いのでしょう。
愛(i)はただそのままだと虚だけど愛情（i乗）なら実になると
複素平面…学校で習いたかった…
負の数は現実でも何かが足りないときとかに使えるから想像できるけど、虚数を日常で感じることは無いからイメージしにくい
虚数の階乗もお願いします
階乗の概念の拡張って、ガンマ関数以外には存在しないのかな？ Windowsの電卓アプリもGoogleの電卓機能も、あるいはCASIOの高精度計算サイトも、非整数に対する階乗の計算結果はすべてガンマ関数によるもののみ。
e^(iπ) = -1 = e^(-iπ)
ってことは、動画内でやってるように両辺をi乗したら
e^(-π) = e^π
1/(e^π) = e^π
になりますよね？
e^πが1ってわけでもないし流石におかしいと思うんですが…
別動画で「嘘証明」ネタがありましたが、このあたりもネタになります。「こっそり0で割る」とかに比べるとだいぶ説明が難しくなりますがw
他にもたとえば、√(-1)=√(-1) ⇒ √(i/-i)=√(-i/i) ⇒ √i/√(-i)=√(-i)/√i ⇒ 分母を払って
√i × √i=√(-i) × √(-i) ⇒ i=-i ⇒ 1=-1 とか。
@@山崎洋一-j8c
なるほど
たしかに虚数が絡むとやってもいい操作とやってはいけない操作が簡単には分からなくなりますね…
e^iπ/2 = i を両辺1/2乗すれば、√i = i^1/2 = e^iπ/4 = 1/√2 + i 1/√2
で求めれるな！と思った。甘かった
虚数乗なんて考えた人がすごい..
電気数学だと「ｉ」を使うと電流と紛らわしいので「ｊ」を使います....
電気関係の人のノートを見て間違いだと言わないでね
回路計算で「İ=Ė/(r+jx)」みたいに書きます。
物理学科で電流密度が出てきたとき小文字のjを当てていたのですが、いま考えると虚数単位をiにするために電流密度の方の文字を変更したってことなんでしょうね。
花粉辛いよー
質問
ｘ∈R √ｘ と ｘの1/2乗 の定義はわかるんですが
ｚ∈C √ｚ と ｚの1/2乗 の定義は何ですか
愛の愛情……そんなものは実在しない、かな？
虚数や複素数を底とする指数関数は、どんな形に？
a, b, cがいずれも非零数である場合、log_a(b)={log_c(b)}/{log_c(a)} がいつも成立するとすれば……
@@hosamu7077 それは不成立
対数函数の定義として、真数は正の実数！
定義を拡大した新しい函数を考える必要がある
@@juuxlb9401
logｚ=In|ｚ|+iargｚでどうですかね
ギリシャ文字のzが出てこなかったので全角のｚで代用していますが
虚数のサイン乗とかコサイン乗とか、虚数の無限級数乗とか考えたことあるけど頭がパンクした。
両辺を虚数単位乗するって操作はしてもいいことなんですか？
√i=ｘ ならば i=ｘ^2
ですが、
i=ｘ^2 ならば x=±√i
です。
ｘ=√i のｘと
ｘ^2=i の x とは、同値ではありません。
したがって、同値として解を求めている You Tube動画の解答は、間違えています。
解答は
√i
=｛e^(πi／2)｝^(1/2)
=e^(πi／4)
=cos(π/4)+i・sin(π/4)
=1／√2＋i・（1／√2）
=(1+i)・√2／2
そもそも√iと言える数を一意に定めるルールは存在しないのでここでは2乗するとiになる複素数の意味で用いられているのかと
数学習ってる人の病気だと思うんですけど、度数法より弧度法の方がわかりやすいので
45°→1/4π
135°→3/4π
でお願いします。
まあそうなると「ド文系でも楽しい」ではなくなりますが😅
1/4π よりは π/4 のほうが、3/4π よりは 3π/4 のほうが、いずれも誤解がなくてよいと思います。1/4π と書かれると、なぜか 1/(4π) のことだと思ってしまいますので……。
計算すると
無限個の答えって変なの
α=β=-√2/2の時のα+βiって-√iじゃないですか?±√iどちらも二乗したらiになるから、この計算だと両方出てきそうですけど
虚数は今日数学を一夜漬けで、バッチリ。
使っている指数法則はa^m×a^n＝a^(m+n)ではなく(a^m)^n＝a^mnですね。
誰か霊夢の駄洒落を解説してください。
岸田総理が「異次元の少子化対策」と言っていたから、複素数平面を使って「愛の愛情」を納税することになるかもしれませんね！
🤔？
深い、愛より深いものはないですね、愛を２回かけるとマイナスになります。つまり脱税。
4回かけると更生する。
みなさん地獄の空気でさようなら
でも、現実に見えているのは、実部だけです。いくら絶対値が大きくても、実部が0に近ければ、効果は限りなく低いかも。
虚数が正の数でも負の数でもないなら-iの表記おかしくね？
-iができちゃうとiは正の数になっちゃう
追記
iは正の数でも負の数でもなければ0でもない
i^3=-i
これは矛盾している
Log,logの記号表現はいい加減,Ln,lnにしてほしい
これ見てると
いつか i^ε乗とかも知りたくなった
ε²=0とする
双対数でしょうか。
ε²＝0でありε≠0ですかね。
複素関数のように多価関数になってしまったり、双対複素数は非可換なのでそちらの弊害も出てきそうですね…。
サインとコサインを多項式に展開してε代入すれば2乗以上の項が0になるからそこから世界一美しい数式もどき作ってε乗の定義ができそう
厳密かは置いといて、このような感じで求められそうです
e^εx = Σ [i = 0 to inf] ((εx)^i / i!)
= 1 + εx
w = log z
e^x e^iy = re^iθ
r = log x, θ = y + 2πn
log z = log|z| + i arg z + 2πni
i^ε = e^(ε log i)
= 1 + ε log i
= 1 + εiπ(1/2 + 2n)
@@ifq7vj0
あれ、iπε…どこかで見たことあるような…と思ったら、だいぶ前に示した-1の双対数乗でした。
そうか、そこからiの双対数乗出せるのか…。
@@ふふ-l5j
z^ε = 1 + ε log z で偏角が違うだけだから方針は同じかな...
あっ、二重数は非可k...
多価だねえ
頭が良いツッコミとアホなふりして実は賢いボケ・・
ロザンやん
もっとおっさん（平成8年3月までの高校卒業）も複素平面やってない。
虚数と言う訳も問題。仮数とか想数とかは？うつろはないでしょ！複素数は重要なのに。
xをα＋βiって仮定するって学校でも教わった覚えがあるけど、
そもそも複素平面上にない様な解がある可能性ってないの？
なるほど、ガウス平面が高校数学から消えていた時期があったのですね。
そういえば、行列や微分方程式も、普通科の数学から消えてしまった（必修項目から外された）と聞いております。二次正方行列の逆行列表現を書き下ろすとか、一次常微分方程式を変数分離化して解くとかいうことを、今の高校生の多くはしなくなっているということか。う～む。
絶対値が1だからね。
２００３～２０１１年まで高校で複素平面をやらないということは複素数自体習わないということか？ それで大学入試に通用するんだろうか。
iをかけると90度回るのに、1をかけても何も起こらないのが不公平な気がする
いつの日か数学を理解できるようになりたい
あちこちに出てくる表現"数字"は、違和感たっぷりです
単に"数"で良いんじゃないでしょうか
ちなみに...俺高一だけど複素平面飛ばしました...
4:40 -2じゃなくて2って言ってね？
オイラーボイラー 知ってる人は知っている
√i = √2/2i+√2/2, -√2/2i-√2/2