無限ホテルのパラドックス【なぜ直感と反するのか】
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- Опубликовано: 1 мар 2022
- どんなに人気になってもすべての方にご宿泊いただきたい。
当ホテルではそんな願いを叶えました。
素敵な時間をお過ごしください。支配人より
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noto / 2nd single『Telescope』(feat.みきなつみ)
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【noto -『Telescope』】
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高校生に数直線をイメージさせながら{x | x∈(0, 1)}と{x | x∈(1, ∞)}の「個数」を比較させると後者のほうが多いと答えられがちだけど、そのあとに反比例のグラフをイメージさせると大混乱してもらえる
すげえ、全単射って言葉を使わずに全単射的な議論してる…
数学ようわからんけど面白そう
もしかして、このまま連続体仮説の話とかしてくれるんですか!?ヨビノリで連続体仮説解説してくれたらめちゃくちゃ嬉しい!
ついでに強制法とか ZFC とか(以下超限個続く)も頼む!
楽しすぎました!あっという間に終わってしまいました!!ありがとうございます✨
ruclips.net/channel/UC5LVp78amYUpDojPEEwannw
無限ホテルの話は何度も見聞きした事がありますが、濃度も一緒に説明して下さったのはたくみさんだけです。ありがとうございます😊
このパラドックスは満室の定義の考え方によって納得できる人とできない人がいると思います。
全ての部屋に人が泊まっている状態を満室と考える人は受け入れられる。
これ以上人を泊められない状態を満室と考える人は受け入れられない。
今回は前者の「全ての部屋に人が泊まっている状態を満室」という考え方で話が展開していますので、このパラドックスは成り立っているのだと私は思います。
無限ホテルの話は聞いた事あって少し???って状態でしたけど、数学の話を加えて説明を頂けた事で、凄くスッキリしました!
とても面白かったです!
集合論の勉強にもなり面白かったです!
別の人の解説動画見たときは、わかったのかわかってないのかすらわからなかったんだけど、この解説で納得できた!
高校の先生が、「無限は概念で数じゃない」って言ってた
無限をイメージしようとすると(とりあえず大きな数の)有限個に置き換えてしまう癖が💦
「無限は無限!そういうもの!」として捉えると、思いの外するっと腑に落ちました。
勉強になります!面白かった♪
無限ホテル…泊まってみたいかも!
部屋移動するの大変そうだけど🤣
こういうのもしてくれるの嬉しすぎ
こういう話を聞くと、賢くなった気がして自己肯定感があがるのでめちゃくちゃ助かります😁😁幸福度上げてくれてありがとうございます!!
自然数を整数に全単射する関数は大学受験の時見たことがあってそれを思い出しました!
点と点が繋がる時って楽しいですよね……
8:50 たくみさんの周りには納得できないとすぐ胸ぐら掴んだりして抗議する人がよくいるようでいつも笑っちゃいます
いつも分かりやすくて聞きやすくて楽しく見させてもらっています。
初めて聞いたお話だったけど、直感的にすっと入ってきました。
なんとなくはここが直感に反する部分なのかなっという所はわかったんですが、このようなテーマの話の時には動画のどこが直感に反する部分なのか少しだけでもいいので触れていただけると助かるかなと思いました。
これからも動画楽しみにしています。
面白かったです!濃度、全単射など、有限個なら明らかに個数が違うものがきれいに対応したりそろっていく感じがとても気持ちいいですね!難問とは違う、シンプルなのに知らなかった概念を知ることができてワクワクしました。ありがとうございます。
部屋が無限にあるのに満室ってイメージがまずつきません。
満員の最後の部屋の人の次にまた新しい空室が出来てしまい、満員なのでそこにも人がいる、でもその隣にまた部屋が出来てしまう。
多分このイメージが有限の数の部屋って考えになってしまってるのだと思います。
部屋を移動させるイメージはすんなり入るのですが、満員って言葉にどうしても引っかかって消えません。
非常に興味深い
この前NHKでやってた話だ!
さらに理解が深まりました!
この調子で、CHまでの解説講座
待ってます!!
全単射という概念を説明していただいたおかげで理解できました!!
これを厳密に解説してくれる人少なくて、嬉しい
少ないことを喜んでるかのような文
大学時代の集合論という講義でいちばん初めに出てきて面白いと感じた問題だったから、めちゃくちゃ印象に残っている。
理解するまでは悩んだけど…
感動しました...!すごいです…!
直感に反するし想像がしにくいから、無限を正しく理解しづらいのに
分かりやすく丁寧に説明されててとても良かった
か
い
し
ん
の
これだけ難しい話を言語化して伝えられるの本当に凄いと思う!
学生時代に計算機理論を学んだ時以来に濃度の話を聞きました、たくみさんの説明は本当に初学者向けに分かりやすくて感服します。今回触れられてませんが、カントールの対角線論法の解説や(難しいと思いますが)停止性問題の決定不能性について紹介頂けたりすると嬉しいです!(計算機理論は意外と楽しいことを広めたいだけの民)
同意です。あれだけは毎回胸ぐら掴みたくなる。「数を並べきれてねえだろ!」「並べきれたって仮定がそもそもおかしかっただけだろ?あーん?」ってなる。
無限 というのは数値でなく概念だから、演算しようとすると矛盾が起きる
😺😺😺
「停止性問題の決定不能性」って、クルトゲーデルの不完全定理や自己言及のパラドックスみたいなヤツかなぁ?(万能チューリングマシーンの停止問題みたいなヤツ?)
自分が一番好きなやつだ…
嬉しいです
この話めっちゃ好き!
ヨビノリがやってくれるとは!!!
無限ホテル、いつでも泊まれるというのは魅力だけど新たに客が来るたびに部屋移動はだる過ぎる
有限の人数の客しか泊まっていない場合かつ有限の人数の客しか来ない間は部屋の移動をしなくても空室は無限にあるから大丈夫
そうそう無限の客なんて来ないしヘーキヘーキ
特に無限人、来た時は2倍移動しなければいけないのがツラい
移動先の部屋がすげー汚かったら最悪だよな
満室のホテルに泊まろうとか普通考えないから大丈夫
確かに無限はどっか数直線上のずーっと遠くに存在するものだと思ってましたが、そういうものじゃないんですね。
覚えました。
これ友達に教えてもらって数学ってすごいんだなって興味持った
丁寧に説明してくれるばかりでなく他人の胸ぐらを掴む機会まで減らしてくれる
“満室”の定義が、“すべての部屋が埋まっている”ではなく、“N号室は埋まっている。ただしNは正の整数とする”ってことか。
無限の個数に言及しようとする時に、「”個数”」と「””」を付けて表記する(たくみさん、動画内でエアクォーツしてましたよね!笑)等、数学的な正確さも重視しながらも、一般人の私にもわかりやすい授業でした!
いつもこんなに良質な授業を提供していただき、本当にありがとうございます!!
めちゃめちゃ面白かった!!笑笑
早く見れた!いつも分かりやすくて詳しくて、とてもありがたい。
無限が有限個(終わりがあるくらいの大きな数)と感覚的に捉えてしまっていました。
でも言われて考え方を変えると話してもらった話を納得出来ました!
「いったん無限という言葉の意味を忘れて、数学的な意味を一から考えてみる」という気持ちで視聴すると分かりやすいのかも。
満室になるかどうか以前に、部屋が無限にある時点でもう数学の世界に入っていて、それ以降は「現実的に無理」という考えは使えないのだから。
理解していたつもりが、不完全なところがあり、そこがパズルのピースの様に埋まりとても勉強になりました。どうも有難うございます。
高校時代(40年前)無限を概念として捉えると簡単に理解出来たが、無限に対し色々計算したら、納得出来ない部分が生まれて、悩み先生に相談したら、明確な回答は教えてもらえなかったが、無限や連続についての書物を紹介してもらった。それでも完璧に晴れた気分が得られる理解は出来なかった。分かり易い解説に感謝します。
数字でなく概念だから、演算出来ない。
対角線論法とかやったなぁ。懐かしい。そして集合が位相になった瞬間わからなくなった記憶…。
今、数Ⅲで極限を勉強していて個人的にとてもタイムリーな動画でした笑
まだまだ知らないことが沢山ありますが、大学の数学が楽しみです!!
自分も今、数 lllで極限やってるのでワクワクしてます!
めちゃ分かるー無限引く無限は不定とかなんで同じ数引く同じ数なのに不定なの?って思ってた
それな
大学の数学はそんな簡単なものではないし楽しくないよ
楽しい数学は高校まで
@@keish2460
言いたいことは分かるけど、
そんな風に言う必要は無いと思いますよ
やってから分かればいいんですから
ただ数学科、物理学科に行きたい
と思ってる人は「高校数学が得意だったから」
「深いことは知らないけど何となく数学が好きだから」という理由で入るのは
自分が困ると思いますので、
しっかり調べるべきだとは思います
ありがとうございます!
整数を部屋や箱とみなす考え方は勉強になりますね。
オカルト的な方ではみたことあるけど数学的に見るのは初めて!こういうパラドックスとかそういうみんなが知ってるようなのを勉強でもみれるのは嬉しい
(でもまだ高1で数学2までしか終わってないから、理解には苦しみます
今なら数3終わる頃だろうし理解できると思うよ!
5億階に泊まらせて頂きました。
評判通り夜景はきれいでしたが、バスが来るたびに戦々恐々で
お客のことを考えていないのではと思ってしまいました。
1階層の高さを4mと仮定すると、5億階は地球と月のほぼ中間地点(高度200万km)。
地球ははるか下方、星空の方がよく見えそう。
10万階の部屋から外を見たら、宇宙ステーション(高度400km)の乗組員と窓越しに目があったらしい。
5億階はその5000倍の高さ。
でも・・・無限ホテルの全体規模はその∞倍なんだよなあ。
スゴ!超わかりやすい。
恐らくこの話で直感に反して胸ぐらを掴んでくる(笑)人は、無限を、とてつもなく大きな”数値”だと”数”として捉えているのだと思います。
違和感を持たないでこの話を聞ける人は、∞を、全ての数を含む状態として、数値では無く「状態を表す記号」と教わったラッキーな人だと思います。
めっちゃ面白いですね〜
撮影前に黒板クリーナー綺麗にすればいいのにと思いました
無限大にも大小があると高校の数学の先生に言われたことがあり
約45年、心に刺さったままでした。今回の動画で少しすっきりした気がします。
ありがとうございます。
前半のCase2までは「プログラミングで言う配列の表現みたいだな」という感覚でしたが、後半の濃度の話になった途端に今まで感じたことの無い非常に興味深い、しかも明瞭でわかり易い解説で感覚が実に研ぎ澄まされました…!
今日ちょうど離散数学で無限の話きた!この動画で見たやつや!ってなって1人で感動してた
移動多すぎてチェックアウトするわこんなホテル
case3の最後、cが無限になっても対応できるのは、素数は無数にあるから成り立つということでいいのかな?
そうだと思います。
ちなみに言うとほとんどの部屋は空室です。(例えば6号室には誰も入らない)。スッカスカです。まあそれでも問題はないのですが
実数の濃度がなぜ大きいのかとか、このように濃度を考えることの効用について、次の動画で取り上げて下さいますと嬉しいです。
|N|=|2N|はわかるのですが、
n→2nにとばすと|N|が倍になるような気がして不思議ですね。
不理解が明白になりました。
いつも素晴らしい動画をありがとうございます。
・無限≠とてつもなく大きい数
・無限ホテルの満席状態は客がもう入れないという状態じゃないこと
ここをしっかり説明してくれたからすんなり受け入れられた
@自由律俳句とかいう無法地帯 客の集合から部屋の集合への全単射が存在する(客と部屋がペアを組んで過不足が生じない)ことを「満室」と表現しているだけです。部屋数が無限だろうが有限だろうが関係ありません。
@自由律俳句とかいう無法地帯 新たに客が来た時点では満室(全単射)なのでそのままでは入室できません。なので全単射を敢えて崩す必要があります。それが部屋を移動することなんですよ。
部屋を移動すると全単射の関係が崩れて空室ができる。その空室に新しくきたお客さんを入れてまた満室になる。
結果だけを見ると全体で全単射は保たれているように見えますけど、その行程において一瞬だけ全単射が崩れてます。
@@ittousaiBL 満室を客数と部屋数の間に全単射が存在している状態と定義するなら、全単射が崩れた時点で満室ではなくなるんでない?任意で一時的に満室ではない状態に出来るのであれば、このパラドックスにおける無限ホテルの本質は、部屋が無限にあることではなく、(手段は置いておいて)、任意で無限に空き部屋を作ることが出来る(満室状態を解除できる)、になると思うんだよね。無限に新しい部屋を作ることが出来るなら、無限に新規客を受け入れられることにパラドックスは発生しないと思うんよ。
@@tkyab
>全単射が崩れた時点で満室ではなくなるんでない?
そのとおりです。満室でなくなるからこそ新規の客が空いた部屋に入れるわけです。
>無限に新しい部屋を作ることが出来るなら、無限に新規客を受け入れられることにパラドックスは発生しないと思うんよ。
新しく部屋を作ってるわけではなく、もともとあった部屋を空き部屋にしているだけです。
この無限ホテルのパラドックスは「パラドックス」と言われていますが、論理的矛盾はないのでパラドックスは発生していません。感覚的に受け入れがたいがためにそう言われているだけです。
@@ittousaiBL 「∞と∞+1の間に全単射が存在する」と言ってるだけですから、本質的には新しい部屋を作るのと同じですよね。この話をパラドックス足らしめているのは、「満室」と「新規客の受け入れ(空き室)」に矛盾を感じるからであって、「任意に満室を解除できる」という定義が与えられた途端、感覚的矛盾も無くなるわけで、「定義を伏せてパラドックスっぽく見せかけている」というだけなんですよね。
ぼーってみてたら、ついさっきの動画でびっくり
知ってることばっかでも、ボケが楽しみで見てます。
次は、連続濃度と加算濃度の間の存在が、照明も否定もできない話おねがいしゃす!
照明完了 L.E.D.
@@tatsuyoshii いいね!
@@tatsuyoshii おもろ
素数が役に立つ時ってあるんですね。さすが!
Ted education で多分同じ題材のを英語の勉強で見ました。内容について深く理解していなかったのでありがたいです
数学で濃度という考え方があるなんて、新鮮です!
CASE3が素晴らしい!!
この話は思い入れの深い話だ
なんとなく哲学ものような感じ
ある意味この内容を一番わかりにくくしているのは数でもなく写像でもなくホテルという日常的な物体だと思う
無限人の客がバスから降りるには無限の時間がかかるから、最後尾(?)の人が降りるまでに最初の客はチェックアウトしてると思うw
それ以前に客室までたどり着けず寿命w
よく物理の問題にある「摩擦や抵抗は考えないものとする」ですね。
@@manboh全ての人間は重なり合うことができ、0秒で無限大の距離を移動することができることにする(白目)
なるほど。
無限はこうだからホテルの問題はおかしいと違和感を感じるのではなく、ホテルの問題は正しいから俺の無限の認識の方が間違っていたと考えるべきなのか。そうするとなんとなく掴めてきた気が…
矛盾のしわ寄せの終着点を変えただけで理解できるようになるとは。
テスト範囲に含まれていたので助かります!これみて満点とります!
?
@@Hdshjcsjkxdjbx ?
@@user-jm2ym6tn3f ?全然違いますよ??💦
シースター環に良く出てくる話ですね
とても分かりやすかったです!
それ故に、少し余計なことを思い付いてしまったのですが、もしもホテルに「1人(1を含む有限の数)ずつ順番にしかチェックインできません」
というルールがあった場合、チェックインは永遠に終わらず2台目のバスの乗客はチェックインでき無いことになるのでしょうか?
逆に、∞人同時にチェックインできるという場合、バス2台 ∞×2の処理も同時に終わるという意味なのでしょうか?
一方はどれだけ処理しても永遠に終わらないのに、もう一方は一瞬で処理できてしまう。
どれだけ大きな数で処理しても終わらない∞という限りの無いものも、1回の処理で全部やる。という一見有限的な単位だと捌けてしまうのはこれまた不思議な感覚に陥ります🤔
∞という新たな概念に戸惑ってたころ
1/3=0.3333...
の両辺3倍してみろって言われて衝撃を受けた
無意識に∞を取り入れていたと
0.999999...=1がいまいちイメージつかなかったけど⬆︎見たらなんとなくしっくりしました!
400号室とかに泊まってて、case3みたいに(2^400)号室へ移動してくださいって言われたら絶対移動したくないよね
400号室から (2^400)号室まで何光年離れているかな・・・。
いや、うまくいけばすぐ隣の部屋か・・・。
ホテルマン「無限ホテルでは最高速度無限大のカートをご用意させていただいております」客「よし!2^400号室までひとっとびだ!」ホテルマン「なお質量のほうも無限大に・・・行っちゃった」
整数や有理数は無限に続くが1,2,3…と番号を振って数える(自然数と一対一対応させる)ことができる。
整数なら絶対値が小さい順に、有理数なら分子+分母の絶対値が小さい順に並べればいい。
実数(無理数や複素数も)は数えること自体ができない。
とても分かりやすかったです。
前提が変わりますが、その無限ホテルから何人かお客さんが帰った場合は、
空室ができたと考えて良いのでしょうか?
それもと、0.9999・・・・・と同じ考え方で、空室はできないのでしょうか?
(幼稚な質問ですみません。)
外人の僕がわかったっていうことはこの説明がうまいっていうこと~
このチャンネルで日本語勉強しております 😄
ruclips.net/channel/UC5LVp78amYUpDojPEEwannw
case 1~3でそれぞれ宿泊者の移動のさせ方が全然異なるのも面白いですね.もしcase 4(「無限個の「無限人乗せた無限台のバス群」」の乗客数?)などがあったらどうすればいいんでしょうね.
@\Ryo\
解説いただきありがとうございます!
なるほど、n次元のタプル(i_0, i_1, …, i_n)は一意の自然数にマッピングできて一列に並べられるので、そうしたら後は動画のcase 2とかの方法で客室を割り当てることができるんですね…
タプルの次元が無限になると足し算の結果が同じ人が無限に出てきてしまって辞書順に並べられないため、客室を割り当てることができないということであってますかね…?🤔
@\Ryo\ なるほど!実数の集合と同じ濃度になるんですね!
動画で説明されていた自然数の集合の濃度と有理数の集合の濃度が同じというのもなんとなくイメージができました…
いろいろ教えてもらってありがとうございます😆
@@suva9812 横から失礼します!
タプルの次元が直接無限になる場合は連続濃度になってしまうので割り当てられませんが、「タプルの次元がいくつでもいい」なら割り当てることができます。
タプルを(i_0, i_1, …, i_n)として、「01...(1がn個)...1がi_n回、01...(1がn-1個)...1がi_(n-1)回、・・・、0がi_0回並んだ文字列」をタプルごとに割り当てると、この文字列は辞書的順序で一列に並べることができて、この順序で自然数と全単射を作ることができます!
case3でのc+1番目の素数を使ったところをcase4では(m+1番目の素数)のc乗番目の素数を使えば無限個の素数を無限個用意できます
よびのりさん、面白かったです!
最後のべき乗の考え方はなるほどってなりましたし、まだまだこのホテルには人が泊まれそうですね笑
べき乗なので密度が違う?数字が大きくなればなるほど隣の号室と隣の間隔が空きますね笑
素数が関係する未解決問題で思いついたのですが、∞の客室が全て埋まっていること(1室も空きがない事)を証明することってできるんでしょうか?
例えば、ある未知の数列の中から任意抽出した数から導いた数列が、未知の数列と完全に一致することを証明する?って感じでしょうか?
無限ホテルを扱った動画は、どれ見ても文系の私には詭弁としか思えなかったのですが、全単射が出てきた所で、「あ。これ言語学の音韻対応に似てる」と感じて霧が晴れたような感覚を味わいました。面白かったです。中高でこういう授業を受けたかったなぁ……。
23:30 実数から複素数の全単射が気になったので調べてみたら、一例として
実数全体をarctanやシグモイド関数で(0,1)の集合に変換
↓
全ての数が0.abcdef…と表せるので、x+yi=0.ace…+0.bdf…×iに変換
↓
最初の関数の逆関数でx,yを実数全体の集合に戻す
というのがあってすごいな〜と思いました!
最後の素数の話で自然数から素数への写像(cの元からある素数へ)が作れなくても大丈夫なのでしょうか?
“case 3”では、“1”号室が空室のままになってしまうと思うのですが、それでいいのかな???
1が素数でないことと関係してるのでしょうか?
満室を想像できない人は、空室がない状態を想像すればいいと思う
どの部屋を見ても客が埋まっている状態、部屋も客も余っていない状態
それすら想像できないという人には説明できない
それを想像できたら
客に部屋を割り振るときの割り振り方で、客が余るようにも、部屋が余るようにも、客も部屋も余らないようにもできる、
それが有限ではできない、可算無限の性質
部屋の割り振り方を変えることで部屋を余らせるようにできるからこそ、追加の客を受け入れることができる
あとは数学用語に置き換える話
割り振り=写像
どの部屋を見ても客が埋まっている状態=(客から部屋への)全射
部屋も客も余っていない状態=全単射
Case1,2では新しく来たお客さんの入室が完了すると再び「満室」になるのに、Case3の場合はそうではないのが面白いですね。
1号室だけ必ず空室になっちゃうの悔しい
イプシロンエヌ(デルタ)論法を学ぶと理解がしやすいですね
これの派生みたいなので、10月か11月のNewtonで無限ロッカーのパラドクスがあって面白かったです😆
大学で数学を学んだとき1番最初に面白いって思ったのが無限の話だった。さらに踏み込んだ話なんか次回でして欲しい。
大学数学ってほぼ哲学じゃない??
知らんけど
大学数学ってどんな感じなんですか?中高と変わったところってどこか教えていただけますか?
大学生の頃線形代数の先生が全単射のことを"somebody loves me"って言ってて自分1人だけウケてたのを思い出した
落語ですな。落語なんだけど哲学的
数は言葉でもあるから認知バイアスも関わってくる
数学は不思議であり私たちの認知の盲点を教えてくれる
どういう事?
@@user-lw7vm7qe1q
何かしらと必ず繋がっている状態だから、という解釈で合ってますか?なるほど
一人だけ受けてるから全単射ですね()
できすぎてる
無限って寛容なんですね。なんでも受け入れられる。大きさじゃないということですね。
これの一歩レベルがあがったのがバナッハ=タルスキーのパラドックスかなと。是非解説をお願いしたいです!
満室の無限ホテルに無限人客が乗ったバスが無限台来ても、case3の方法なら客室を割り当てた後も無限個部屋が空いていると言う不思議。
この動画のおかげで"数字であそぼ"の第8話の自然数と有理数の濃度が同じという話をやっと理解できました!!!
睡眠用に聞こうと思ってテキトーにこの動画再生したら面白くて眠れなくなった
連続体仮説の話しも聞きたいですね。
この流れで数学基礎論の授業やりましょう
分かりやすさにプロみを感じました…!
数学的には
case 1はN∪{1}とNの全単射性
case 2はN∪NとNの全単射性
case 3はN^2からNへの単射性
(もしくはNの加算無限和からNへの単射性)
を言っていますね!
さらに、ベルンシュタインの定理を思うとcase3はQの濃度がNの濃度と等しいことを示唆している気がします!
( ˙꒳˙ )oh......
感動した。
素数のキレイさに久しぶりに感動した。
数学に関して無知なんですが無限の客室が満室であるという最初の事象は起こりうるんでしょうか。満ちることが可能な時点で有限ではないのかと思ってしまいます。
★☆☆☆☆
「最悪のホテルです」
いつでも予約なしで入室できますが、頻繁に部屋変えを強要され、休むことができません。
特に友人と隣部屋に入室したのに、バスが大量に来てから、間に1部屋挟むように移動させられ離ればなれになってしまい最悪でした。
レビューを書くのが宿泊客の1割だったとしても、無限に星1がつくのか……
1:20 おぉ急に三角関数!?って思ったらただのcaseだった
無限という言葉への理解がこの歳になってできました…
中卒で複素数とか全単射とか他にもわからない単語出てきてたけど原理的にはなんとなく理解出来た気がする
質問です
自然数と有理数はどのようにすれば全単射を作れますか?
無理数の集合の濃度はאゼロかאかどちらになるのでしょうか?どちらでもないのでしょうか?
N:自然数全体のなす集合
Q:有理数全体のなす集合
NからQへの全単射を“具体的に”作るのは実は結構大変です。そこで、普通は全射の存在のみを示します。単射の存在は明らか(包含写像は単射)だからです。
以下はNからQへの全射のつくり方です。
自然数nは、2で割った商と余りを考えて
n=2m+r
と表すことができます。しかもこのような表し方はただ1通りしかありません(表し方は『一意である』といいます)。
ここで、mは1でない素数のべきであるとします。
すると、素数pと自然数kを用いて
m=p^k
と一意に表すことができます。
さらに、pはi番目の素数であるとします。
さて、以上のm, r, i, kを利用して、自然数nを(すべての)有理数に対応させましょう。
まず、m=1 のときは0に。
mが素数のべきでないときも0に対応させます。
そしてmが素数のべきであるときは、
i/k × (-1)^r
に対応させます。
これで、すべての有理数に対応しましたね。
今回は本動画のcase.3を参考にしました。
他にも、“2で割れる回数”を利用して全射をつくる方法も有名です。
@\Ryo\
間違ってたらすみません。
その方法だと異なる自然数n,mで同じ有理数に対応してしまっている場所が存在しませんか?
例えば1/2と2/4は同じ有理数ですよね?
@@tarou857 同じ有理数が出てきたら飛ばして対応させてけば全単射性は示せそうな気がする
正しいかは分からんけど
@あゆ (元のやり方が正の有理数だけを数え上げているというところは一旦おいておいて)
仰るとおり愚直に辿っていくと約分して同じ値になるところを通ってしまうので、全射にはなりますが、全単射にはなりません。
雑に解消するなら「2/4 のような約分可能なマスは飛ばす」というルールを付け加えてあげればよいかと思います。
ただ「飛ばす」を数学的に記述するのは面倒なので、実際には
N から Q への単射があれば |N| ≦ |Q| …①
N から Q への全射があれば |N| ≧ |Q| …②
の2つに分けて考え、
①→自然数ならば有理数だから、自然数 n にそのまま n を対応させればこれは明らかに N から Q への単射
(「N ⊆ Q だから |N| ≦ |Q|」と言っているのと同じです)
②→さっきのやり方で N から Q への全射が作れる
で、①と②から |N| = |Q|
のように示すのが楽だと思います。
件の全射は、折り返したりぐるぐる回ったりしながら中心から外側に進むものが作れれば良いので、いろいろなバリエーションがあって興味深いです。
無理数全体 ℝ-ℚ の濃度は ℵ です。
一般に,集合 A とその部分集合 B があるとき, |B|=ℵ₀ ならば |A-B|=|A| であることが保証されます。
そこで, |ℚ|=ℵ₀ なので, A=ℝ, B=ℚ とすれば |ℝ-ℚ|=|ℝ|=ℵ が言えます。
この証明では ℵ₀≠ℵ であるかどうかは問題にはなりませんが,もし示したければ,カントールの対角線論法というものをつかって ℵ₀