I can't understand most of the japanese, so it's possible you mentioned this in the video, but the noncontinuous functions satisfying this equation are great examples of functions whose graph is dense in the plane. Indeed, the graph of any such function has to be closed under vector addition and scaling by rational numbers by the arguments in the video. Therefore, if the graph contains two vectors which don't lie on the same line, then linear combinations of those two vectors with real coefficients span the whole plane, and the linear combinations with rational coefficients (which must all lie on the graph) and be used to approximate any point arbitrarily well.
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これを高校から大学に数学科で入ったときはこんな証明ばっかで？？ってなってたけど卒業間近になって久々にこう見てみると普通に思える。
ヨビノリさんがわかりやすいのが大きいんでしょうけど自分も成長したな〜と思いました笑
こういう動画どんどんあげてください！
これは本当にいい動画
一つの定義式から色んな性質を導いていて興味深かったです！
特に線形関数が原点を通って奇関数とか考えたことなかったので、ためになりました〜
最後の実数を有理数で表すのも面白かったです！
関数方程式だ！！パズルゲームみたいで数オリの中で1番好きな分野です〜今週の関数方程式を期待！
実数体を有理数上の無限次元ベクトル空間だとみなすと、選択公理を認めれば基底がとれる。基底の行き先だけ考えてQ線形に伸ばすと、連続という仮定を外した場合の非自明な解が得られる、なるほど。
ディリクレ関数みたいな感じで解の具体形って作れないんでしょうか？
@@hiroakinakajima ハメル基底には少なくとも 2 つの元 a，b (≠0) が属するので，例えば，a に 1 を，その他に 0 を対応させて得られる解は f(a)=1，f(b)=f(0)=0 を満たすので f(1)*x でないことが解りますね．
@@JohnSmith-dp4kt ありがとうございます。「ハメル基底」で検索してみます。
稠密論法は関数解析でも使うしカッコいいから好き
丸顔さんは線型にあこがれる(真理)
面白かった！
狭い区間の中に、ものすごい数の無理数があるのに、そいつらを完全に無視しても有理数だけで連続を証明できるのが不思議だった。考えたら気が遠くなりそうだったから、そういうもんだと納得することにしました。
要は無理数も無限小数で表せるでしょうということです。√2=1.4142... など
@@hiroakinakajima
ふと疑問に思ったんですが、
例えば0から+1の間に有理数と無理数はそれぞれ何個あるんですか？それぞれ無限個あるんでしょうか？
@@TheHaretahi 例えば有理数なら整数m, n (nは0でないとする)を用いて m/n と表されますが、
0から1までの間に入るようにするには n は正の整数、m は 0≦m≦n を満たすmと互いに素な
整数とすればいいです。このような組み合わせは無限個あるので、区間[0,1]内に有理数は無限個あります。
より詳しく言えば整数の組(m,n)で番号がつけられるので可算無限個です。
無理数も無限個ありますがこちらは番号がつけられません。こういう場合は連続無限個あるといいます。
@@hiroakinakajima
ありがとうございます。
すいません、可算無限個と連続無限個ってどういう意味ですか？
@@TheHaretahi こちらこそすみません。混乱させてしまいました。要は両方無限個あるのですが、有理数の無限個より無理数の無限個の方がはるかに多いということです。ヨビノリさんの「有理数の稠密性」という動画も参考になると思います。
C^1級の場合は定義から f'(x)=f'(0) が従い
（実際 (f(x+h)－f(x))/h＝f(h)/h である）
直ちに
f(x)＝f'(0)x+f(0) が分かって
定義から f(0)＝0 なので f(x)＝f'(0)x が分かる
ありがとうございます！a=f'(0)としていいのか悩んでました。。
情報理論の最初に出てきて感動したやつ！
工学部機械系の学生なんですけど、情報幾何学を独学しようとして数学系の本の難解さ(抽象的すぎ…)に挫折した人なので、是非たくみさんに教えていただきたいです！！情報系の講義待ってます！！！
パターン認識と機械学習の解説動画みたいです！
この手の関数論めっちゃ好きやわ
理系離れもそうだけど文系の経済学部もめっちゃ数学使うし、数学2bしかやってないので助かります。eと対数とかでてくるともう無理です
いっそのこと経済学部を理系枠に持っていくのもありかなあと。
どこかの入試問題か問題集で、
(1) f(0)
(2) f’(x)
(3) f(x)
を求めなさいという誘導付き問題を見たことがありました。
ですので、これも同じかなと思って見ていたんですが、連続関数ではあるが、微分可能であることは述べられていないことに気づきました。
それだけでこんなに大変なステップを踏むのですね……。
多分、やさ理かハイ理と予想
タイトル表記が英語、。。
海外進出狙ってます？？
日本のアニメは海外でも人気ですからね
@@poteton おいこら
証明の全体像(何を示せば示したことになるのか)に対しての説明が欲しいです。
例えば今回の場合だと実数で直接示す事が困難な理由やその為に自然数から構成的に示していく事、格集合(自然数の集合や整数の集合など)でどの様な性質を確かめるのかをアナウンスしてから入ると全体の流れがスッキリして観れると思います。
導きかたが丁寧で分かりやすくてありがたいです！
英語タイトルついたー！！！！！
有理数の稠密性の定義、私が知っていた定義（任意の有理数a、b についてa
一方通行ですが、あなたの知る定義を使えば
ある実数kを挟む2つの有理数を持ってきて、その平均値となる有理数を持ってきて次の一端にする…ってやれば有理数列が出来るとかですかね?
関数方程式、とっつきにくいなと思っていたのですが、ドンドン性質がわかっていくの、面白いですね
大学数学の入り口的議論ですね！そして更にいろんなことが基礎づけとして必要になることを意識し始める嚆矢といえるでしょうか。
まずは線型代数や群論、環論を学ぶと前半の議論は嫌というほど(?)やらされますね笑
そしてそこから人によっては実数の構成に興味を持ったり、むしろ微分可能性を課すともっといい旨味があるとか分岐するかも知れませんね。実際微分可能性を仮定すればものの一瞬で一次比例であることが出てきますしね。
さらに連続性さえ落とすと一次比例にならない例も簡単に作れるというのがやはり代数構造に注目することの力強さでしょうか。
久々の気分で楽しかったです👍🏻
めっちゃ気持ちいい
I can't understand most of the japanese, so it's possible you mentioned this in the video, but the noncontinuous functions satisfying this equation are great examples of functions whose graph is dense in the plane. Indeed, the graph of any such function has to be closed under vector addition and scaling by rational numbers by the arguments in the video. Therefore, if the graph contains two vectors which don't lie on the same line, then linear combinations of those two vectors with real coefficients span the whole plane, and the linear combinations with rational coefficients (which must all lie on the graph) and be used to approximate any point arbitrarily well.
ちなみに、この関数方程式を満たし、かつ連続でないものとしては、
ある適切な実数の集合Rの部分集合Wが選べて(後述)、
どんな実数xも、あるただ一つの3組有理数q,r,およびw∈Wが存在してx=q+r*π+wと書けます（πは円周率）。
この表示に対してf(x)=q+2r*πと定義すると、与えられた方程式を満たし、かつx=πの周りで明らかに連続ではありません。
------------------------
（大学数学の勉強をしている人のために）
より具体的には、与えられた関数方程式は、
動画で示している通り有理数体Q（さらに言えば素体）-線型空間としての実数体Rに対する
線型写像であることと言い換えられます。
このとき、Q上独立なRの元の組{1,π}を拡張した基底の集合Sを作り、S＼{1,π}の張る空間をWとすれば
RはQ-線型空間としてR=Q+Qπ+Wという直和分解ができます。
あとはQ-線型写像として、全体を定数倍するものではない写像、
例えば1を1に、πを2πに移し、他は0に潰すような写像を定義すれば連続でない写像が構成されます。
ただし、Q-線型空間としてのRのように、無限次元のベクトル空間の場合、
基底の延長の可能性にZornの補題を使用する(すなわち具体的な構成法を与えない）ため、
適当に与えた元（例えば自然対数の底e）のfによる像を知ることはできません。
問題もきれいだし導きかたもきれい すごくすき
これはありがたすぎる
f(x)=xだ！！！
と思ったけどそんな簡単な話じゃなかったわ
選択公理を採用すると，ハメル展開を用いて不連続解が構成でき，そのグラフは R^2 で稠密になりますが，決定性公理を採用すると，ルベーグ可測になるべきなので不連続解は存在しません．
まるでわかんねえ
なにもわからん
おもしろかった😊
理系大学生がほとんど1年生とか2年前期で履修して、院試でも使うことが多い線形代数と解析学を攻めるとは、なかなかやるな
いつも助かってます
有理数の稠密性が
「a
3.333...=1/3だから有理数じゃね？
あと0.999...=1は小数ってゆう表示がwell-definedじゃないから表現が一意じゃないからって先生が言ってたわ
なお分数はwell-definedな模様
レモ兄
たしかに、3.33…は例が悪かったです
円周率について、
フーリエ級数展開により
π/6=Σ(n=1→∞)1/n^2 とできますが
有理数ではありません。
0.99…=1について
恒等式がwell-definedではないということの意味が僕には分からないです…
表現が一意じゃないってこと、1は分数では「1」としか表せないけど小数だと「0.99...」とも表せちゃうよってこと。
微分可能だったらすぐだけど、連続性だけから言うのは意外と難しいね。証明見事だった。
多分微分可能が言えてたらf(x+y)-f(x)/y=f(y)/yとして両辺y->0の極限で左辺は微分可能だからf'(x)になり、一方で左辺有限だから右辺よりf(y)=yg(y)が言えて、全部合わせてf'(x)=g(0)となってf(x)=axと言えるのかな。数学詳しい人あってるか教えていただけると嬉しいです。
後半はf(0)=0よりf(y)/y=[f(y)-f(0)]/yがy→0の極限でf'(0)に収束するのでこれをaとおいて、
一回積分してf(x)=ax+C、再度f(0)=0からC=0よりf(x)=axとするのがいいと思います。
これ、学校でもやりましたー。
復習になります。
この問題があるから、関数解析の本場ポーランドでは有限次元ベクトル空間間の線型写像のことをf(x+y)=f(x)+f(y)を満たす写像として導入するみたいなことを聞いたことがある。
(有限次元ベクトル空間に自然に定まる位相は1つで、その位相の元では連続になるから)
こういうのかなり好き
あーなんか重要問題集にこういう問題あったわ。こういう背景があるのか。
楽しい！！！✨😆
最後の有理数の稠密性っていうのは高校数学のlog(ax)＝alog(x)(0＜x)でaが0より大きい任意の実数で成り立つことでも使えますね！
理屈ではわかってたのですが厳密な証明を見ることが出来てスッキリしました！
2つの実数値連続関数f,gにおいて、その定義域の稠密部分集合上(有理数に限らず)で値が一致すれば、定義域のすべてで値が一致する(つまり関数として一致する)という一般的な定理ですね。
連続である場合は、「ぎっしり詰まっている」部分集合での値が、本質的に全体を決めてしまうわけですね。
(連続関数を紐と思ってピン留めしていくと、ピンがぎっしり詰まってたら紐ががんじがらめになって、ただ1つに定まるしかないような姿をイメージするとわかりやすいかも)
4〜5年前の東北大入試で類似問題を見掛けたような…
“abs(x) < 1 で定義されるf(x)が下記の性質を満たす場合、その関数f(x)は？”
A)abs(x,y) < 1なる任意の実数x,yに対し、
f((x+y)/(1+xy)) = f(x) + f(y)
B)f(x)はx = 0で微分可能で、その値は1
結論をいうなら、”f(x) = artanh(x)”
［※tanhの逆関数、即ち「逆双曲線正接関数」］ですが、丁度良い位の難易度な気がします。
すげえ！おもしろい！わかりやすい！
連続性が失われた場合もやってくださいー(^.^)
この動画めっちゃ座りやすい！
素晴らしい
感動した
こんな頭賢い人が自分みたいな下僕に丁寧懇切に説明してくれるなんて凄い社会になったもんですね
例えば経営にその才を使えば
と少し苦悶したりしている今日この頃
たくみさんの声がめっちゃとおりやすくてすきですw
(唐突)
線形性の説明で答えだけ習ってましたがイメージがいまいち掴めてませんでした。今少し理解できました。
以前どこかで誰かに「有理数より無理数の方がずっと多い」みたいなことを聞いたのですが、「有理数はぎゅうぎゅうに詰まっているから有理数のみ考えればよい」というのが不思議に思いました。
ぴろにん 個数というよりも稠密性、濃度
Empty BALL ありがとうございます
でも、濃度にしても同じだと思ったんですけど、いかがでしょう？
有理数より無理数の方が濃度が高いということかなぁ、と思ったんです…
ダーレン ありがとうございます
連続関数、好きになりました（）
有理数から実数に移るところがやはり一段階上の難しさだなぁ
前半部分は大学入試でも使いますよね？
すごくわかりやすいです！
多変量解析(とくに重回帰分析、クラスター分析)お願いします🥺
次はサボさんの関数方程式を紹介してください
ニュートン メルカトル級数、とJensenの不等式やって欲しいです🙇♂️
コーシーシュワルツの不等式ならみたことあるわ
線型写像
式変形からf’(x)が定数関数であることを示す方が良さそう
8:30 kが自然数なのでkx=1 x=2 などの値が取れないと思うのですが置換えちゃって大丈夫なのですか？
あくまでf(nx)=nf(x)を満たす(と仮定した)等式に登場するnが自然数なだけで、(*)式:f(x+y)=f(x)+f(y)に登場するxやyは任意の実数なので、置換できると思いますよ！
1000いいね目貰いました
ココッココッココココ Cauchy's functional equation.
僕はCauchy、ナイスなイスだよ
ココッココッココ ココッココ
レボリューション !!!!
f(x)が少なくともどこか1点で連続としても同じ結果になりますね。
今回も勉強になりました。
いつもありがとうございます。
そういえば最後の
実数に拡張するときの議論って関数の微分可能性って
必要としないのですか。
普通に二次で出そうな題材だ
ね
N
f(0)=0だから、与式を用いて
f'(x)=lim[y→0]{(f(x+y)-f(x))/y}=lim[y→0]{(f(y)-f(0))/(y-0)}=f'(0)ってなってf'(x)=f'(0)を両辺積分してf(x)=f'(0)x+C、f(0)=0だからC=0、
よってf(x)=f'(0)xってなったんだけどa=f'(0)ってしていいのかな？
微分可能性は仮定されていないことに注目！
なるほど！ありがとうございます😊
f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3....と表して解くのはダメですか？何か前提が要りますか？
f(x)が多項式関数かn回微分可能という前提がないとマクローリン展開等はできないと思います
fがRからRへの連続関数であったとき、Q上でのfの値が全て判明していれば、fは一意的に定まると言う奴ですね。そのことを用いると「RからRへの連続関数の"数"はとても少ない」ということも言えますね。
（正確には濃度という集合論上の概念を用いて説明するものですが）
10進法で無限に桁数を増やせばいかなる実数をも表せる……ほんとにー？(慎重派)
そういった事もちゃんと証明できるε−δ論法は偉大だなあ。
いつも見てますこの方程式を解く過程で、任意の実数aにおいて、f(ax)=af(x) ①を示し、①を用いてf(x)が全ての実数xで微分可能であることを示すことを考えているのですが、微分可能性が仮定されていないとこの方法はダメなのでしょうか。
有理数の稠密性は、知りませんでした！
これって大学入試とかででてくる？
ぺれれれEnchanting human おそらく、(5)までの話は入試で出てくる
tatsumi ありがとうございます
コーシーの関数見た時線形写像が浮かんだ
f(x+y-1+1)=f(x+y-1)+f(1)
f(x+y-1+1)-f(x+y-1)=f(1)
左辺は差分Δで表すと
Δf(x+y-1)=f(1)
u=x+y-1とおくと
Δf(u)=f(1)
両辺の和分Σをとって
f(u)=Σf(1)=Σ(f(1)u^0_ )=f(1)u^1_+C=f(1)u +C (u^n_は下降階乗冪、Cは和分定数）
u=1のとき
f(1)=f(1)+C
⇒
C=0
よって
f(u)=f(1)u
uをxに置き換え、f(1)=aとおいて
∴f(x)=ax (aは実数)
電磁気もやってー
これを題材にした問題って結構多いよね
f(1)=aとおくあたりがよくわからなくなります、、、f(r)=arにr=1を代入してもr=f(1)となるから問題ないと説明していますが、どういう意味でしょうか
こういうのの例題って、整数OK→有理数OK→実数OKって流れになってることが多いですが、
整数OKだけど有理数NGって場合もあるんですか？
少々分かりづらい上にあまり良い例ではないと思いますが、ド・モアブルの定理を関数化するとできます。
f(θ,n)=(cosθ+isinθ)^nとおくと、nが整数の範囲ではf(θ,n)=f(nθ,1)が成り立ちますが、nが有理数の範囲ではこれは成り立ちません。
例えばf(π,1/2)≠f(π/2,1)です。
@@rairaikun1 ああ、なるほど～ 複素関数みたいなのが絡むとこういうの多そうですね！ありがとうございました！
ピッタリじゃなきゃ駄目って時だね。sin(nπ)=0みたいな
楽しい...
∀x,y∈ ℝ, ∀δ,γ∈ ℝ f(δx+γy)=δf(x)+γf(y)
みたいなかんじ⁇
えーこれは、、、つまり、、、
fは線形写像⁇
リクエストいいですか？
ダメです
0^0=1とはならない理由を掘り下げて教えてもらいたいです🙇♂️
0^0をどう求めるとかじゃなくどう定義するかの話ですからね。
代数学的には基本1ですけど、「定義されない」って定義したり0って定義したりもしますね
２つの正の実数 x と y に対して x^y (xのy乗) を考えます。
yを先に0に近づけると答えは1ですが、xを先に0に近づけると答えは0になります。
なので極限の取り方に依存するのです。
サムネの右で風船の物真似するのふさわしくないからやめよう
連続関数に制限すると、加法性のみで線形性が満たされるのか。知らなかった。不連続関数まで含めると、加法性を満たすけど斉次性を満たさないものがあるって事？
関数の凸性の式と似ていると思ったんだけどどうなんだろう、、、
t*f(x)+(1-t)*f(y)=f(t*x+(1-t)*y)
線形部分空間かと思った
気持ちは伝わった笑
なんかxの定義が広そうだ笑
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 線形代数で線形部分空間か判別する問題やったばっかりで…w
16:04にまさかの他動画と関連しててバスの中で叫びそうになった、、、、
閉折れ線？自己交差？
全くわからん（ ; ; ） 幾何学の講義をお願いします！
コーシー・リーマンで出てきたなぁ
センターが近づいてきましたね
これで解の一意性/必要性が言えてるというのがさっぱり?です。連続関数と有理数の稠密性から言えることになるの？
xがどんな実数だとしても、「f(x)の値はxの定数倍になる」ことを示したので、一意性も必要性も言えてますね
@@柿本人麿-q2g 解は一意じゃねぇだろf(1)の値によって変わるよ
@@jalmar40298
axという関数に一意に決まるという意味です
柿本人麿 すみません。なぜそれが一意性を意味しているのかがわかりません
@@sei7970
例えば「xにa加える」という性質を持つ関数がg(x)だと言われたらどうですか？
g(x)=x+a
に一意に定まりますよね(性質を式で表しただけだから)。
今回の場合、「xを定数倍(a倍)する」性質を持つ関数がf(x)だと示したのですから、それを式で表すとf(x)=axに一意に決まるのです。
これ、最後に連続性が効いてくるということは逆にいうと不連続な関数ならf(x)=ax以外にもこの条件を満たす関数が存在するということなのだろうか？
そうなんですがどこか1点で連続としても関数方程式からすべての点で連続であることが従うので、
f(x)=ax以外の解はすべての点で不連続ということになります。
f(x+y)=8
f(0)=0わかった後、
(f(x+y)-f(x))/y=f(y)/y=(f(0+y)-f(0))/y
と変形して、y→0 とすれば
f'(x)=f'(0)（定数）
大学入試ならこれでいいんよね
微分可能とは書いてない
@@jalmar40298
f'(x)と書く前の式の成立が微分可能であることも示してるんじゃないかな
@@Dr.Ks_Labo (f(0+y)-f(0))/yがy→0で収束することはすぐには分からんやろ
@@jalmar40298
うん、きちんと示すならたくみさんのような議論が必要になる。だけど大学入試で出せる範囲こえるから、もしも入試で出たならば、せいぜい「これが発散するならば題意をみたす関数にならない」程度の記載しか求められないと思うよ。
塾の授業でやったのだw
線形性をみたす関数って一次関数だけなんですね😢
高校2年生。何にも理解ができません。終わりです
連続性を仮定しないときの病的解の説明をちょっと期待しました
ターゲット層には合わない感じか…
25分くらいの動画なんだしもっと広告挟んでくださいよォ
好き
積サーと対決したときの関数について、しっかり解説してほしいです
y=xを代入してf(2x)=2f(x)なので
すべての実数xに対して
xが2倍になるとf(x)も2倍になる。
つまりf(x)は比例の関数といえるので
f(x)=ax
このとき、
f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y)
より、逆も成り立つので
f(x)=ax
って感じだとちょっとまずいとこありますか？
つまりf(x)は比例の関数といえるのでf(x)=ax が不味そう。
それだとf(x)=axとf(x)=bx (b≠a)が混在するような関数も認められてしまうから動画みたいに連続性も使って整数→有理数→実数 って順に説明していく必要があるはず。
「すべての実数xに対して
xが2倍になるとf(x)も2倍になる。つまりf(x)は比例の関数といえるので」
この部分でギャップがあります。f(x)が比例の関数以外の可能性を排除できていません。
コ◯シーの方程式
椅子かな？
セイヤくん ちょっと思ったw
同じこと思った
無理数の稠密性もあるんでしょうか、、？
あるよー！有理数の稠密性にあるから見てみてー
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 返信ありがとうございます！
見てみます。
青チャートにもほんのちょっとだけ載ってるやつだ
どうして奇関数ってわかるんですか？
任意の実数xで
f(-x)=-f(x)
がなりたつことが「fが奇関数」であることの定義だからです。
いやそれは分かるんですけど、予想なのに奇関数のもとで話進めてるから
@@keitaitamabegi 「予想」は「解はf(x)=axだけでは？」という話ですね。
そこから先はしっかり、前提から出発して証明していますよ。
まず最初にf(0+0)=f(0)+f(0)、ここからf(0)=0。
次にf(x+(-x))=f(x)+f(-x)が成り立って、左辺はf(0)=0。ここからf(-x)=-f(x)となります。この条件式が「奇関数の定義」です。
…とはいえ、動画の中でもその後、この結論を活用してはいませんが。