有理数の稠密性

[@MrOrz1988]

俺もう大学卒業して何年も純粋数学関わってないけど、こういう話ほんとに好き
それを面白く分かりやすく教えてくれるヨビノリ先生に感謝

[@川上幸治-k9g]

稠密性は聞いたことはありましたが、この受講でハッキリと理解できました。ありがとうございます。
やっぱり、たくみさんの講義は、板書の見やすさ、説明のうまさ、分かりやすさ、どれもピカイチだと思います。

[@まえたか-g9o]

無限ってそれだけでも怖いのに、どこにでも出てきて怖い。

[@kyo_masiro_39ra]

とても面白い話でした。有理数の稠密性は大学受験でたまに書いてたけど本質を理解してなかったので大変勉強になりました。

[@professorohkido49]

考え方がε-δ論法にそっくりなんじゃの〜

[@Kana_AzureLake]

博士！

[@やま-b8g]

「単調増加で上に有界な数列が収束する」って定理を高校範囲で使えない理由は稠密性をまだ知らないからだって習った

[@somayaBluemountain]

まじか、自分は使ってもいいよと言われたことあります。

[@やま-b8g]

@@somayaBluemountain
正しいので使うことには問題ないですが、答案内でこの定理を根拠とすることは避けた方が良いということです
例えば、もしこの定理を認めてしまえば、大学入試では典型の
「数列{a_n}が
a_0=1, a_(n+1)=√(a_n+2)
で定められている時、この極限を求めよ」
という問題において、a_nが2未満の範囲で単調増加することを示した上で
極限値をαとおいて
α=√(α+2)⇔α=2
より答えは2
としてしまっても良いことになりますが、大問1つレベルの問題に対してこの解法では余りにも呆気ない(つまり求められている解法ではない)ですよね

[@somayaBluemountain]

確かにそうですね。使うのであれば最終手段で、ということですかね

[@やま-b8g]

正しい解法はこうです
まず、数学的帰納法により、
1≦a_n＜2…①
が成立することを示す
(i)n=0のとき
a_0=1より1≦a_0＜2
(ii)n=k(k≧0)のとき、1≦a_k＜2と仮定すると
√(1+2)≦a_(n+1)＜√(2+2)
より
1≦√3≦a_(n+1)＜2
となりn=k+1のときも成立する
よって①は正しい
次に、
a_(n+1)-2=√(a_n+2)-2
⇔a_(n+1)=(a_n-2)/(√(a_n+2)+2)…②
であり、
c_n=1/(√(a_n+2)+2)
とすると①より
1/4≦c_n≦2-√3
であるから、②と併せて
|a_(n+1)-2|≦(2-√3)|a_n-2|
これを繰り返し用いて、
|a_n-2|=(2-√3)^n|a_0-2|
=(2-√3)^n
n→∞のとき(右辺)→0なので、挟み撃ちの原理より
lim[n→∞]|a_n-2|=0
∴lim[n→∞]a_n=2

[@やま-b8g]

@@somayaBluemountain そういうことですね～

[@ちゃんねるあい-w4i]

稠密性という言葉はよく出てくるのですがはっきりと意味がわからず困っていたのでとてもありがたいです！！区間abをとってその間にある整数について考えるというのはわかりやすいし思い出しやすいので覚えておきたいと思います！

[@しばく犬]

数学科の授業で一番初めに習う話だ、実数の連続性から微分積分学の基本定理まで繋がって行ったときは感動したなあ

[@oh_kuwa]

すまん名前草

[@しばく犬]

@@oh_kuwa 正直この名前ちょっと滑ってると思ってたから自信湧いたわ、ありがとな

[@ニシガキタクミ]

3:21 ナトリウムとニオブ(だから何)

[@ぷゅあほわいと]

このコメ好き

[@nomusicnolife5558]

共感です

[@亀井敦史-f8g]

やすさんがサラリーマンやめてから編集がバリエーション増えてる（いまさら）
そこも楽しみながら拝見してます

[@小田茉希]

稠密の右側は、周ではなく中が突き出すので間違えやすい

[@navierstokes.4128]

小田茉希 ほんとだ笑気づかなかった笑

[@仲原健太]

デザインの差です
どちらでも構いません

[@mentosukoala]

仲原健太 漢字辞典で調べたら、たしかに周の旧字体でした。つまりあなたのおっしゃるようにどちらで書いても間違いではありません。

[@ru7232]

違います。コメ主さんが正解です
まずこれはデザインやフォントの差などではありません。突き出すのが正しい形ですし周とは書き順も異なります
周の旧字体の件は正しいですが、それは周の話であって稠の場合はこちらが今でも現役の正しい字体です
この稠という字は漢検一級の対象ですが、仮に突き出さずに禾周と書けばおそらく誤答とされるでしょう

[@shibuyaan]

有理数はスカスカだがギッシリと詰まっている
いい言葉だなあと思いました

[@bibun-sekibun-iikibun]

たくみさんを観ると安心します。

[@あああ-p5o9d]

最近こういう動画見て中学生ですが数学のおもしろみを深めていっています
受験勉強頑張ります！

[@レイナ-q5i]

更新頻度高くてすごく嬉しいです！受験生もヨビノリのお二人もふぁいと

[@Akira-cy6kl]

こういう講義ほんっっっっとすこ

[@望月寛紀]

分かりやすい説明いつも助かってます　稠密性面白い！

[@MiNoZoV]

大学の授業つまらないけどこういう授業ならしっかりと寝られそう

[@かい-y8t]

どのみち寝てて草

[@InmuAyuayu]

みーのぞ 起きろ(起きなさい)

[@user-me8ss1ni9y]

ちゃんと失礼w

[@朧のてんぐ_j.p]

有理数ってなに？って聞くと分数の形で表せる数です！って答える人がいたんだけど、1/πって分数ですけど、ってツッコミが入っちゃうから、実際には整数/自然数で定義されますよ！

[@reiha342]

その点トッポはすげぇよな
最後までチョコたっぷりだもん

[@professor_t]

レイハ
ちゃんと授業聞いて下さい(迫真)

[@moons6172]

クッソワロタwww

[@user-kai_fuu]

ポッキーは??

[@ph4746]

この辺の分野の連続講義需要あるはずです！

[@高拓-t5b]

面白かったです 対角線論法もぜひ見てみたいです！

[@tonnura_12]

6:50たくみ「例えば5億とかね」
数字の選び方が可愛いんじゃ

[@竹取の翁-c1m]

ゴリゴリの文系で数学全然わらないけれど、これを見て数学って面白いんだなって改めて思った。
もう一回始めようかな…

[@louispowalski981]

ヨビノリの最初の素晴らしいボケをずっと観てるのだが、友達に履歴とかホームとか観られた時、すごく頭いい奴と勘違いされて困ってます。

[@数学への挑戦]

これだけ稠密な無理数の中で選ばれるのはだいたい√2

[@鯖回収]

π「解せぬ」

[@ru7232]

√2の人気に嫉妬

[@全知全能の猫]

独学で解析やってたけど、まるでわからなかった。この動画を見て世界が変わった。

[@ますふわ]

「どんな小さな幅でも無数の有理数が入ってる」とかいう話は宇宙を連想させるから好き。
もっと連続性の話してほしいです。

[@中村裕二-m4e]

これはヨビノリの代表作になるな

[@yobinori]

それハマってんのか

[@suzume_hinohara]

授業の導入とかどんどん上手くなってる。めっちゃスッと話に入れた。

[@TheHaretahi]

めっちや面白かった！
2.00000001と2.00000002の間にたくさんの有理数と無理数があるのか。きっとあるんだろうなぁ。

[@ぱわふる-e6z]

たくさんどころか無限にある、、、

[@TheHaretahi]

@@ぱわふる-e6z
数字って不思議です

[@trafalgar_rho]

ぎゅうぎゅうに詰まってるって…まさかあんこよりもぎっしりと？！

[@ベイトソン]

文系の自分でもついていけたしワクワクする話だった。

[@downsenyou555]

グリーン関数と久保公式についてlecture動画希望です！

[@vhpf1699]

連続体仮説もやってください！

[@omanta]

これをやったのなら、チューリングの計算論、停止性問題をやって欲しいです。カントールの理論と密接に関係しているし、情報化社会に極めて重要な理論です。さらに、シャノンの情報理論もやって欲しいです。私は、これらの数学が現実の世界を変えて、IT革命を起こしたのをリアルタイムで見ました。とても面白い経験でした。ヨビノリさんにはぜひやって欲しいです。

[@りゅ-x8k]

つまりナトリウムからニオブの間に整数mがあるんですね！！

[@コーシーとシュワルツ]

ワイヤレスイヤホンで最初に見た動画がこれです
高音質ヨビノリは良いですね

[@9cmParabellum]

xy平面を思い浮かべたとき、人間の目には有理数だけでもびっしり隙間なく敷き詰められているように見えるが、数学的には実数の方が濃度が高いと言う。そういう意味では有理数はスッカスカ。

[@eggmanx100]

スッカスカの有理数だが、それでも無理数と無理数の間には必ず有理数が存在するというのが面白い。

[@大野武丸]

アレフ0、1

[@PS-iz2cp]

実数の連続性に関する講義をお願いします。

[@小田茉希]

有理数は番号づけ構成できるが、無理数はカントールの対角線論法から濃度の違いがわかるので、気になる人は調べてみましょう

[@anago127]

言葉が正しいかどうか自信は無いのですが、無限の世界にも大小があるというのは、とても魅力的に感じます。

[@mobo3426]

黒板の切り替わりがビックバンセオリー の場面展開みたいでカッコいい

[@caninedaily5017]

わかる

[@obsan_trader]

最初、なんでこんな複雑な証明が必要なんだろう q = (a + b) / 2 で終了ではと思ったけど、a, b が実数だからこれだと q が必ず有理数になるといえないのか。
無理数の稠密性の証明が華麗すぎる。

[@2klast549]

大阪大の問題で無理数の稠密性についての問題ありましたね

[@EnglishNijisanji]

この授業聞いてて有理数と無理数それぞれの濃度が気になって調べてみたけど明確な値って算出できないんだね。数直線を占める有理数の濃度は、数直線を占める整数の濃度と同じって書いてあったけど、今回の証明はまさにそれを示してるってことだね。よく考えたら、ある具体的な数を挙げてもそれ自体が持つ数直線状の幅は明確にゼロだから足し合わせられないのか。微積分のときに使う微小要素dxとかは一応微小な幅を持ってるけど、数に幅はないもんな。ってことは数って0次元な概念なのか。そりゃそうか。点だもんな。

[@EnglishNijisanji]

直感的には、無理数の濃度:有理数の濃度=1:0って極端な結果になりそう、と予言してみる。実際のところどうなの？教えてアンパンマン。

[@RYO-wd2cp]

@@EnglishNijisanji
Lebesgue積分では無理数上の積分は値を持つけど，有理数上の積分は必ず0だから，1:0というのはあなたがち間違ってない

[@TaiyoSuzuki-w4d]

有理数の濃度は自然数の濃度と同じなので ℵ0です
無理数の濃度は実数の濃度と同じなのでאです

[@ああ-n1o7y]

その点トッポはすげーよな最後までチョコたっぷりだもん

[@NearlyCat]

@@EnglishNijisanji そのイメージでも問題ないくらい実数の濃度は有理数の濃度と比にならないほど多いですからね...
因みに有理数全体の濃度は自然数全体の濃度、整数全体の濃度と等しく、実数(0,1)(開区間)よりも濃度が小さいです。
そして(0,1)と実数全体の濃度は等しいです。
なので一般的に自然数全体の濃度をℵ₀、実数全体の濃度をℵと表現します。
(濃度が等しいか調べる為には全単射かどうかを調べる)
長文失礼しましたー

[@munepixyz]

（数学において）「適当な」という言葉を分からない方がかなりいらっしゃいます。
そのほとんどの方は、「適当な」という言葉を「任意の」と解釈してしまいます。
もちろん、そう解釈してしまうのは、なんとなく日常生活でそんな感じで使っているからに依ると思います。
なので、わたしが数学を教えるときは、「適切な」を使います。
「適当な元aを取ってきます。」を「任意の元aを取ってきます。」と思われたら、たまったもんじゃないですから :D
今日はファボ0なボケがなくて、ちょっとしょぼんです。

[@eggmanx100]

直感的にはとても不思議
無理数は有理数よりもはるかに多い
でも２つの無理数の間をいくら狭くしてもそこには有理数が無数に存在する

[@user-3fju4x5sm1]

3:21ナトリウムとニオブ……

[@Eireann_]

同じこと思いました笑

[@MOMO-ig4hd]

稠密性って読むんだ...またひとつ賢くなった(そこじゃない)

[@user-nx9iq7il3h]

自分で突っ込むの寒すぎる

[@とろろ-p7e]

ああ 寒いとか言うの寒すぎる(以下無限ループ)

[@松本松本-w3y]

癖字がどうちゃらってツイートしたときの授業か
楽しみに待ってたぞ

[@stylishnoob6718]

有理数の稠密性か...。
そーいえば、頭にあんこが詰まってる男がいてだな...。

[@ジュースが飲みたい]

部分集合が全体に dence な場合は関数解析で腐るほど出てくるし、単純な極限を考える際にも扱ったりするから大切何だよな～
この例は最も簡単だけどイメージしやすく大体このイメージで大丈夫だから、重要な例ですな

[@qwertyuiopasdfghjklzxcvbmn]

たくみさんの顔にも何かがぎっしり詰まっているけど穴だらけなんだな(？)

[@秋-d4j]

任意の実数xに対して、x-1≦m

[@user-kai_fuu]

いいサムネですね
数学ってガチガチのくせに曖昧な表現だからきらーい

[@しまのしまじろう-j6s]

今まさに稠密性について読んでたからすごいタイミング（笑）

[@IS-fv8ym]

ちょっと野矢茂樹先生の「無限論の教室」みたいだと思いました。

[@aetos382]

「ぎっしりスカスカ」とか見ると「南無桃金飴べったりニョキニョキ」が出てくるよね…

[@ena__sannnnn]

バナッハ=タルスキーの定理の証明ってできますかね？？？
もし、出来たらお願いします

[@priushiroshi3249]

ちょっt真面目な話！

[@moha1088]

最近編集が凝ってますね

[@たまゆ-i7e]

数学科の怖いところはこれを大学1年生で完璧に説明できなければならないところ。
話を聞いたら理解できるのに、説明しようとするとわけわからないところですね。

[@jalmar40298]

ところで稠密に定義された作用素って何ですか？

[@corn-K]

数直線上に点を取るとき、無理数を示す点が2つ連続で並ぶことはなく必ず有理数で挟まれる形になるのに、有理数を示す点の総数より無理数を示す点の総数の方が多いんですね？不思議

[@oh_kuwa]

私の髪は稠密に詰まっていますか？

[@ちゃんちゃんこ-f7q]

........ちょっとなにいってんのかわかんない

[@31歳男ニート]

彡⌒ミ
(´･ω･`)　また髪の話してる・・・

[@ちゃんちゃんこ-f7q]

@@31歳男ニート えっ、ど、💦どうゆうこと？💦

[@user-hw7mj7lm6d]

お前の髪は離散だろ

[@kure254]

地肌が見えないほど稠密に生えてる人なんか居ません！（事実）
だから皆同じです（極論）

[@jposamu1]

Nが有理数限定の時で
Nが無理数の場合は
特定出来ないですよね。

[@sugishia]

朝に積分ができなかったから一日中調子悪かった

[@newairsystem9089]

まだ見てないのに高評価押しちまった

[@rightctrl3972]

実数の個数と有理数の個数って比較するとどんな感じなんだろ。

[@mentosukoala]

right ctrl どうしても実数が余りますので実数のが多いみたいです
カントールの対角線論法で調べてみてください

[@ああ-b7k]

アルキメデスの原理の時
5億！と思ったと同時に5億！ってたくみさんに言われたからマジでビビった。運命やわ

[@ショーン-i2j]

めちゃくちゃ面白い

[@yobinori]

コメント早い

[@kominochi]

ちょっと気になったのが「有理数よりスカスカで稠密性のある実数の部分集合はあるのか？」
ということ。どうなんだろうね。

[@ryona29]

最近頻度高嬉

[@yobinori]

しょうぶどき

[@nozome-jin]

中国語定期

[@ryos6795]

a'って有理数引く無理数だから無理数になってb'も同じく無理数になるから、有理数の稠密性よりa'

[@ryos6795]

有理数が稠密してるのを平行移動させてるからということ？

[@laptop492]

この話どこかで聞いたことがあるぞ…
どこで聞いたかは全く覚えていないけど

[@イルカ-i2g]

0、0000……1足せば偶数になるから分数で表せるっていうのでいけるんじゃ？って動画見てて思いました

[@良品物語]

グーテンモルゲン

[@yobinori]

なんでだよ

[@user-ht9wy5bj2j]

アンパンチ!!!!!!!!

[@そんな事よりハマグリ食べない]

@@user-ht9wy5bj2j 何で食パンマンが居るんだよ....

[@mathmathmathmath557]

体調大丈夫ですか？

[@yobinori]

おかげさまで

[@sakusaku2375]

「0から1の間にある有理数」と「1から∞の間にある有理数」はどっちがどれくらい多い？

[@kure254]

同じです

[@あいよ-w3x]

1から無限じゃないのw

[@mentosukoala]

多いを定義しよ

[@user-weil_cohomology]

タンジェント

[@笹の葉さらさら-g8n]

おかしなことを言ったらごめんなさいなんですけど...
証明に√2を使ってるけど別になんでもいいんですよね？無理数であれば

[@yobinori]

そのとおり

[@beanjerry8281]

１２月２４日なので
y=log(x/m-sa)^1/r^2

[@mtmath1123]

結構前に癖字か何かの話題準備している板書の画像が上がっていたと思いますが漸くアップされましたね、お待ち申しておりました(南方先生)
実数の基礎はカントールの集合論に感化されたデデキントの大きな貢献があるわけですが、彼が初めに提出したデデキントカットよりも有利点列により完備化の方がいいとデデキント自身いっていたようですね、しかしそれはデデキントの偉大さを全く損わせませんけれども。
P.S.
無理数の個数の話をするといったときまさか残りの時間で対角線論法でもするのかと思いびっくりしましたが、あくまで稠密性についてでしたね汗

[@なっちゃん-x2j]

7:02
有理数の稠密性を示すために、実数の連続性を前提としたしたアルキメデスの原理を正しいとするの？
有理数の稠密性より実数の連続性の方が先なの？
いや良いのかもしれんけど、良いのそれで？
教えて誰か。

[@なっちゃん-x2j]

てか、アルキメデスの原理なくても、Nってaの分母とbの分母の最小公倍数でも良いんじゃないの？
教えて誰か。

[@ru7232]

@@なっちゃん-x2j aとbが有理数ならね
実際はaとbは実数だからそもそも分母があるとは限らない

[@さばんさば]

無理数と有理数の多さを直感的に知るには座標平面上の原点に立って無限に進むレーザー光線を打った時、格子点に当たるよりも格子点に当たらない方が多いって考えるといいと思う

[@jessie2277]

似たような話が、こーじさんの、レーザーで四角い部屋を隙間なく照らせるかみたいな動画でありましたね

[@wasabeef772]

ミトコンドリア・イブの解説詳しく聞きたいです。

[@fightersship]

ルベーグ積分でこの話出てきたような…。

[@蜂谷海斗]

今は物理学科ですが大学院で数学科にいけますか？

[@yobinori]

もちろん

[@doya745]

Cantor集合やっちゃおう

[@yuidt1130]

これってデデキント切断と関係あります？

[@jalmar40298]

ありまくる

[@しゅん-d8b6d]

かっこいい

[@こうちょん-v6p]

阪大の挑戦枠で見ましたね

[@教採不合格系Youtuber]

麻雀牌の並びは規則性が無いけどぎゅうぎゅうにあるように見えるのと同じか

[@tamashii_olympic]

今日の朝サボったな(お身体をお大事に)

[@JoyKing-rj8rx]

有理数（理性者）　　無理数(悪者)の用が多いみたい

[@宮野阿蘭]

さむね逃げるは恥だが役に立つ感ありますね

[@hbenpitsu73]

Nが収束することが保証されなきゃいえんのでは･･･?

[@morimorymotchan]

これは何というジャンルの数学ですか？

[@オタコン-o2w]

解析学？

[@jalmar40298]

実数論の基礎の基礎の基礎

[@cliff22]

解析学で習いました

[@こんにゃく畑_fruit_get]

アルキメデスは数学でも原理作ってたのか…

[@かしゅう-m3h]

ふと思ったのですが、異なる任意の実数を足して2で割ることでも証明はできますか？

[@ラテラテ-t1l]

できません
何故なら実数とは有理数と無理数からなる数でありaとbの少なくともどちらか一方に無理数が選択された場合に(a+b)/2が有理数になるとは限らないからです

[@かしゅう-m3h]

ラテラテ 納得です！ありがとうございます！

[@しろ-u7e4j]

広告入るタイミングばっちりで草

[@1人研究室]

ちゅうみつ、とも読むんですね！
僕はちょうみつ、で習いました。