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- Опубликовано: 8 фев 2025
- 有理数と無理数の稠密性について解説します
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俺もう大学卒業して何年も純粋数学関わってないけど、こういう話ほんとに好き
それを面白く分かりやすく教えてくれるヨビノリ先生に感謝
稠密性は聞いたことはありましたが、この受講でハッキリと理解できました。ありがとうございます。
やっぱり、たくみさんの講義は、板書の見やすさ、説明のうまさ、分かりやすさ、どれもピカイチだと思います。
とても面白い話でした。有理数の稠密性は大学受験でたまに書いてたけど本質を理解してなかったので大変勉強になりました。
稠密性という言葉はよく出てくるのですがはっきりと意味がわからず困っていたのでとてもありがたいです！！区間abをとってその間にある整数について考えるというのはわかりやすいし思い出しやすいので覚えておきたいと思います！
無限ってそれだけでも怖いのに、どこにでも出てきて怖い。
やすさんがサラリーマンやめてから編集がバリエーション増えてる（いまさら）
そこも楽しみながら拝見してます
数学科の授業で一番初めに習う話だ、実数の連続性から微分積分学の基本定理まで繋がって行ったときは感動したなあ
すまん名前草
@@oh_kuwa 正直この名前ちょっと滑ってると思ってたから自信湧いたわ、ありがとな
有理数はスカスカだがギッシリと詰まっている
いい言葉だなあと思いました
「単調増加で上に有界な数列が収束する」って定理を高校範囲で使えない理由は稠密性をまだ知らないからだって習った
まじか、自分は使ってもいいよと言われたことあります。
@@somayaBluemountain
正しいので使うことには問題ないですが、答案内でこの定理を根拠とすることは避けた方が良いということです
例えば、もしこの定理を認めてしまえば、大学入試では典型の
「数列{a_n}が
a_0=1, a_(n+1)=√(a_n+2)
で定められている時、この極限を求めよ」
という問題において、a_nが2未満の範囲で単調増加することを示した上で
極限値をαとおいて
α=√(α+2)⇔α=2
より答えは2
としてしまっても良いことになりますが、大問1つレベルの問題に対してこの解法では余りにも呆気ない(つまり求められている解法ではない)ですよね
確かにそうですね。使うのであれば最終手段で、ということですかね
正しい解法はこうです
まず、数学的帰納法により、
1≦a_n＜2…①
が成立することを示す
(i)n=0のとき
a_0=1より1≦a_0＜2
(ii)n=k(k≧0)のとき、1≦a_k＜2と仮定すると
√(1+2)≦a_(n+1)＜√(2+2)
より
1≦√3≦a_(n+1)＜2
となりn=k+1のときも成立する
よって①は正しい
次に、
a_(n+1)-2=√(a_n+2)-2
⇔a_(n+1)=(a_n-2)/(√(a_n+2)+2)…②
であり、
c_n=1/(√(a_n+2)+2)
とすると①より
1/4≦c_n≦2-√3
であるから、②と併せて
|a_(n+1)-2|≦(2-√3)|a_n-2|
これを繰り返し用いて、
|a_n-2|=(2-√3)^n|a_0-2|
=(2-√3)^n
n→∞のとき(右辺)→0なので、挟み撃ちの原理より
lim[n→∞]|a_n-2|=0
∴lim[n→∞]a_n=2
@@somayaBluemountain そういうことですね～
最近こういう動画見て中学生ですが数学のおもしろみを深めていっています
受験勉強頑張ります！
更新頻度高くてすごく嬉しいです！受験生もヨビノリのお二人もふぁいと
たくみさんを観ると安心します。
分かりやすい説明いつも助かってます 稠密性面白い！
面白かったです 対角線論法もぜひ見てみたいです！
この辺の分野の連続講義需要あるはずです！
稠密の右側は、周ではなく中が突き出すので間違えやすい
小田茉希 ほんとだ笑気づかなかった笑
デザインの差です
どちらでも構いません
仲原健太 漢字辞典で調べたら、たしかに周の旧字体でした。つまりあなたのおっしゃるようにどちらで書いても間違いではありません。
違います。コメ主さんが正解です
まずこれはデザインやフォントの差などではありません。突き出すのが正しい形ですし周とは書き順も異なります
周の旧字体の件は正しいですが、それは周の話であって稠の場合はこちらが今でも現役の正しい字体です
この稠という字は漢検一級の対象ですが、仮に突き出さずに禾周と書けばおそらく誤答とされるでしょう
そんなことありませんよ
どちらでかいてもよいです
この場合は単に稠の康煕字典体がそうであり、それに由来するJIS印刷字体がそうであるだけです。少なくとも、漢検の基準としてはどちらも正答になるでしょうし、歴史的には、どちらの書き方も見られます。
3:21 ナトリウムとニオブ(だから何)
このコメ好き
共感です
こういう講義ほんっっっっとすこ
考え方がε-δ論法にそっくりなんじゃの〜
博士！
有理数ってなに？って聞くと分数の形で表せる数です！って答える人がいたんだけど、1/πって分数ですけど、ってツッコミが入っちゃうから、実際には整数/自然数で定義されますよ！
ゴリゴリの文系で数学全然わらないけれど、これを見て数学って面白いんだなって改めて思った。
もう一回始めようかな…
めっちや面白かった！
2.00000001と2.00000002の間にたくさんの有理数と無理数があるのか。きっとあるんだろうなぁ。
@@ぱわふる-e6z
数字って不思議です
その点トッポはすげぇよな
最後までチョコたっぷりだもん
レイハ
ちゃんと授業聞いて下さい(迫真)
クッソワロタwww
ポッキーは??
ヨビノリの最初の素晴らしいボケをずっと観てるのだが、友達に履歴とかホームとか観られた時、すごく頭いい奴と勘違いされて困ってます。
授業の導入とかどんどん上手くなってる。めっちゃスッと話に入れた。
文系の自分でもついていけたしワクワクする話だった。
そのアルキメデスって梃子の話かな
6:50たくみ「例えば5億とかね」
数字の選び方が可愛いんじゃ
独学で解析やってたけど、まるでわからなかった。この動画を見て世界が変わった。
コーシーの関数方程式から飛んできました。
実数の方が有理数より集合の濃度で大きいのに、有理数の稠密性と連続の性質があれば実数で成り立つの不思議。
大学の授業つまらないけどこういう授業ならしっかりと寝られそう
どのみち寝てて草
みーのぞ 起きろ(起きなさい)
ちゃんと失礼w
おいこら
グリーン関数と久保公式についてlecture動画希望です！
「どんな小さな幅でも無数の有理数が入ってる」とかいう話は宇宙を連想させるから好き。
もっと連続性の話してほしいです。
ぎゅうぎゅうに詰まってるって…まさかあんこよりもぎっしりと？！
最初、なんでこんな複雑な証明が必要なんだろう q = (a + b) / 2 で終了ではと思ったけど、a, b が実数だからこれだと q が必ず有理数になるといえないのか。
無理数の稠密性の証明が華麗すぎる。
これをやったのなら、チューリングの計算論、停止性問題をやって欲しいです。カントールの理論と密接に関係しているし、情報化社会に極めて重要な理論です。さらに、シャノンの情報理論もやって欲しいです。私は、これらの数学が現実の世界を変えて、IT革命を起こしたのをリアルタイムで見ました。とても面白い経験でした。ヨビノリさんにはぜひやって欲しいです。
これだけ稠密な無理数の中で選ばれるのはだいたい√2
π「解せぬ」
√2の人気に嫉妬
これはヨビノリの代表作になるな
それハマってんのか
ワイヤレスイヤホンで最初に見た動画がこれです
高音質ヨビノリは良いですね
この授業聞いてて有理数と無理数それぞれの濃度が気になって調べてみたけど明確な値って算出できないんだね。数直線を占める有理数の濃度は、数直線を占める整数の濃度と同じって書いてあったけど、今回の証明はまさにそれを示してるってことだね。よく考えたら、ある具体的な数を挙げてもそれ自体が持つ数直線状の幅は明確にゼロだから足し合わせられないのか。微積分のときに使う微小要素dxとかは一応微小な幅を持ってるけど、数に幅はないもんな。ってことは数って0次元な概念なのか。そりゃそうか。点だもんな。
直感的には、無理数の濃度:有理数の濃度=1:0って極端な結果になりそう、と予言してみる。実際のところどうなの？教えてアンパンマン。
@@EnglishNijisanji
Lebesgue積分では無理数上の積分は値を持つけど，有理数上の積分は必ず0だから，1:0というのはあなたがち間違ってない
有理数の濃度は自然数の濃度と同じなので ℵ0です
無理数の濃度は実数の濃度と同じなのでאです
その点トッポはすげーよな最後までチョコたっぷりだもん
@@EnglishNijisanji そのイメージでも問題ないくらい実数の濃度は有理数の濃度と比にならないほど多いですからね...
因みに有理数全体の濃度は自然数全体の濃度、整数全体の濃度と等しく、実数(0,1)(開区間)よりも濃度が小さいです。
そして(0,1)と実数全体の濃度は等しいです。
なので一般的に自然数全体の濃度をℵ₀、実数全体の濃度をℵと表現します。
(濃度が等しいか調べる為には全単射かどうかを調べる)
長文失礼しましたー
直感的にはとても不思議
無理数は有理数よりもはるかに多い
でも２つの無理数の間をいくら狭くしてもそこには有理数が無数に存在する
稠密性って読むんだ...またひとつ賢くなった(そこじゃない)
自分で突っ込むの寒すぎる
ああ 寒いとか言うの寒すぎる(以下無限ループ)
黒板の切り替わりがビックバンセオリー の場面展開みたいでカッコいい
わかる
実数の連続性に関する講義をお願いします。
xy平面を思い浮かべたとき、人間の目には有理数だけでもびっしり隙間なく敷き詰められているように見えるが、数学的には実数の方が濃度が高いと言う。そういう意味では有理数はスッカスカ。
スッカスカの有理数だが、それでも無理数と無理数の間には必ず有理数が存在するというのが面白い。
アレフ0、1
連続体仮説もやってください！
最近編集が凝ってますね
部分集合が全体に dence な場合は関数解析で腐るほど出てくるし、単純な極限を考える際にも扱ったりするから大切何だよな～
この例は最も簡単だけどイメージしやすく大体このイメージで大丈夫だから、重要な例ですな
大阪大の問題で無理数の稠密性についての問題ありましたね
数直線上に点を取るとき、無理数を示す点が2つ連続で並ぶことはなく必ず有理数で挟まれる形になるのに、有理数を示す点の総数より無理数を示す点の総数の方が多いんですね？不思議
3:21ナトリウムとニオブ……
同じこと思いました笑
有理数は番号づけ構成できるが、無理数はカントールの対角線論法から濃度の違いがわかるので、気になる人は調べてみましょう
言葉が正しいかどうか自信は無いのですが、無限の世界にも大小があるというのは、とても魅力的に感じます。
（数学において）「適当な」という言葉を分からない方がかなりいらっしゃいます。
そのほとんどの方は、「適当な」という言葉を「任意の」と解釈してしまいます。
もちろん、そう解釈してしまうのは、なんとなく日常生活でそんな感じで使っているからに依ると思います。
なので、わたしが数学を教えるときは、「適切な」を使います。
「適当な元aを取ってきます。」を「任意の元aを取ってきます。」と思われたら、たまったもんじゃないですから :D
今日はファボ0なボケがなくて、ちょっとしょぼんです。
癖字がどうちゃらってツイートしたときの授業か
楽しみに待ってたぞ
任意の実数xに対して、x-1≦m
今まさに稠密性について読んでたからすごいタイミング（笑）
つまりナトリウムからニオブの間に整数mがあるんですね！！
たくみさんの顔にも何かがぎっしり詰まっているけど穴だらけなんだな(？)
7:02
有理数の稠密性を示すために、実数の連続性を前提としたしたアルキメデスの原理を正しいとするの？
有理数の稠密性より実数の連続性の方が先なの？
いや良いのかもしれんけど、良いのそれで？
教えて誰か。
てか、アルキメデスの原理なくても、Nってaの分母とbの分母の最小公倍数でも良いんじゃないの？
教えて誰か。
@@なっちゃん-x2j aとbが有理数ならね
実際はaとbは実数だからそもそも分母があるとは限らない
実数の個数と有理数の個数って比較するとどんな感じなんだろ。
right ctrl どうしても実数が余りますので実数のが多いみたいです
カントールの対角線論法で調べてみてください
めちゃくちゃ面白い
コメント早い
ちょっと野矢茂樹先生の「無限論の教室」みたいだと思いました。
「ぎっしりスカスカ」とか見ると「南無桃金飴べったりニョキニョキ」が出てくるよね…
ちょっt真面目な話！
数学科の怖いところはこれを大学1年生で完璧に説明できなければならないところ。
話を聞いたら理解できるのに、説明しようとするとわけわからないところですね。
いいサムネですね
数学ってガチガチのくせに曖昧な表現だからきらーい
バナッハ=タルスキーの定理の証明ってできますかね？？？
もし、出来たらお願いします
Nが有理数限定の時で
Nが無理数の場合は
特定出来ないですよね。
有理数の稠密性か...。
そーいえば、頭にあんこが詰まってる男がいてだな...。
ところで稠密に定義された作用素って何ですか？
グーテンモルゲン
なんでだよ
アンパンチ!!!!!!!!
@@user-ht9wy5bj2j 何で食パンマンが居るんだよ....
ちょっと気になったのが「有理数よりスカスカで稠密性のある実数の部分集合はあるのか？」
ということ。どうなんだろうね。
「0から1の間にある有理数」と「1から∞の間にある有理数」はどっちがどれくらい多い？
同じです
1から無限じゃないのw
多いを定義しよ
タンジェント
9:23辺りで「無理数のほうが有理数より多い」と言われていますが、これは語弊がある表現ではないでしょうか。
恐らく、集合論の内容に言及されているのだと思いますが、それならば「計数が大きい」あるいは「濃度が大きい」と言うべきではないですか。
有限の場合であれば、「二つの集合間で一対一対応がつかない」場合は、「どちらか一方が多い」というのは、小学校の玉入れ競争の結果確認にも使われるほど自明なことだと思いますが、それを無限の場合にも適用可能かどうかは証明されていないと考えます。
（有限では成り立つことが、無限では成り立たないことがあり得ることは、高校の範囲でも極限値などで出てくるのでは）
もしも、「それは証明されている」のであれば、この動画や他の多くの動画と同じように、数学が専門外の私でも理解できるような動画を追加していただけると非常に有難いです。
朝に積分ができなかったから一日中調子悪かった
最近頻度高嬉
しょうぶどき
中国語定期
アルキメデスの原理の時
5億！と思ったと同時に5億！ってたくみさんに言われたからマジでビビった。運命やわ
１２月２４日なので
y=log(x/m-sa)^1/r^2
私の髪は稠密に詰まっていますか？
........ちょっとなにいってんのかわかんない
彡⌒ミ
(´･ω･`) また髪の話してる・・・
@@31歳男ニート えっ、ど、💦どうゆうこと？💦
お前の髪は離散だろ
地肌が見えないほど稠密に生えてる人なんか居ません！（事実）
だから皆同じです（極論）
この話どこかで聞いたことがあるぞ…
どこで聞いたかは全く覚えていないけど
a'って有理数引く無理数だから無理数になってb'も同じく無理数になるから、有理数の稠密性よりa'
有理数が稠密してるのを平行移動させてるからということ？
まだ見てないのに高評価押しちまった
0、0000……1足せば偶数になるから分数で表せるっていうのでいけるんじゃ？って動画見てて思いました
かっこいい
おかしなことを言ったらごめんなさいなんですけど...
証明に√2を使ってるけど別になんでもいいんですよね？無理数であれば
そのとおり
今は物理学科ですが大学院で数学科にいけますか？
もちろん
なるほどー
👍
無理数と有理数の多さを直感的に知るには座標平面上の原点に立って無限に進むレーザー光線を打った時、格子点に当たるよりも格子点に当たらない方が多いって考えるといいと思う
似たような話が、こーじさんの、レーザーで四角い部屋を隙間なく照らせるかみたいな動画でありましたね
体調大丈夫ですか？
おかげさまで
ルベーグ積分でこの話出てきたような…。
結構前に癖字か何かの話題準備している板書の画像が上がっていたと思いますが漸くアップされましたね、お待ち申しておりました(南方先生)
実数の基礎はカントールの集合論に感化されたデデキントの大きな貢献があるわけですが、彼が初めに提出したデデキントカットよりも有利点列により完備化の方がいいとデデキント自身いっていたようですね、しかしそれはデデキントの偉大さを全く損わせませんけれども。
P.S.
無理数の個数の話をするといったときまさか残りの時間で対角線論法でもするのかと思いびっくりしましたが、あくまで稠密性についてでしたね汗
ミトコンドリア・イブの解説詳しく聞きたいです。
これってデデキント切断と関係あります？
ありまくる
ふと思ったのですが、異なる任意の実数を足して2で割ることでも証明はできますか？
できません
何故なら実数とは有理数と無理数からなる数でありaとbの少なくともどちらか一方に無理数が選択された場合に(a+b)/2が有理数になるとは限らないからです
ラテラテ 納得です！ありがとうございます！
麻雀牌の並びは規則性が無いけどぎゅうぎゅうにあるように見えるのと同じか
有理数（理性者） 無理数(悪者)の用が多いみたい
アルキメデスは数学でも原理作ってたのか…
今日の朝サボったな(お身体をお大事に)
Cantor集合やっちゃおう
0.999999...=1
という主張と矛盾が生じている気がするのですが、
それはアルキメデスの性質で無限小について言及していない事と関係ありますか？
0.9 0.99 0.999 0.9999 という数列は永遠に1ぴったりそのものにはなりませんが、1を極限として収束します。
一般に、収束する数列は極限の値にいくらでも近づきますが、必ずしも極限の値そのものにはなりません。言い換えれば誤差εが0にはならない場合がある（いくらでも小さくできるけど）ということです。
コーシーの収束の定義やイプシロンデルタ論法やイプシロンエヌ論法において、εが『0でない』正の実数である限りにおいていくらでも近づく、と定義されているところが、この極限の性質の根底にあります。
そして0.99999…という表現はこの極限を指している表現だと考えてください。（実際、もしこれが極限でないとしたら、数列を表すことになってしまって単一の数を指してないことになりますよね。動いちゃうんだし、、、元がたくさんあるし、、、）
Nが収束することが保証されなきゃいえんのでは･･･?