ロピタルの定理①(定理と使用例)
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- Опубликовано: 18 окт 2024
- 受験数学で悪名高い(?)ロピタルの定理についてしっかと解説します。
大学生にとっては解析学の学習の入り口です
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【おすすめの教科書や資料】
数研講座シリーズ 大学教養 微分積分
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→ロピタルの定理の証明が詳しく書かれています
チャート式シリーズ 大学教養 微分積分
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→上の本の演習書として最適。例題が豊富です
ネット上のpdf
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→さまざまなケースの証明が非常に詳しく書かれています
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受験の時、めっちゃお世話になりました。答えが分かるとどう変形して極限求めればいいか察しがつくので重宝してた。
※進んだ注
「(sinx)'=cosxの証明にlim_{x→0}sinx/x=1を使うから、lim_{x→0}six/xの計算にロピタルの定理を用いてはいけないのでは？」
という(趣旨の)コメントがいくつかありますが、(たとえ高校の範囲でも)sinxの微分はlim_{x→0}sinx/x=1を使わずに導出することができるので、
特に問題のある行為だとは認識しておりません(導出方法についてはググってみてください)
@rariru
自分がサラっとググった感じでは「高校数学の範囲内でlim sinx/x = 1を用いないsinxの微分の導出方法」について東北大学大学院理学研究科数学専攻の黒木玄助教による解説がありました
twitter.com/i/events/857377316032307200
そもそも扇形の面積を円内の三角形と円外の三角形の面積を使って、はさみうちの定理で持ってくのはだめなの？
sin x/2＜x/2＜tan x/2 からの式変形
シェゾウィグィィ それが一応正解なはず
@@Iolite-gm3vq 確かに教科書に載ってるオーソドックスなやつなんだけど、そもそも扇形の面積は積分の計算からきていて、sinの微分を考えるための(sinx)/xの極限を考えるはずなのにsinなどの積分を使っちゃっているから堂々巡りな気がする。自分はまだ大学の数学をきちんと学んでいないからうまい方法とかは言えないけど、数Ⅲを一週学び終えたときには気持ち悪くなった。
@@あい-h8r3o 11ヵ月も経ってるしもう解決してるかもしれないけど扇形の面積は「面積を用いて中心角を定義した後その中心角が弧度法によって定義されるものと一致することを証明する」という方法で弧度法における積分を使用しないで導ける。(面積による定義でlim x→0 sinx/x = 1を証明→それを用いて面積による定義上で(sinx)’=cosxを証明→それを用いて置換積分で中心角x、半径1の扇形の弧の長さがxを証明→弧度法においてもlim x→0 sinx/x = 1、という流れ)
この流れの一部の省略と言い換えをすれば教科書の証明になる。
ロピタルの定理って大学の授業でやるのが普通なのでしょうか。(単純な疑問)
ロピタルの定理は(例えば解析概論に載っていないように)好まない先生もいらっしゃるように感じます。僕自身も、滅多に使わないので主張の厳密な形を覚えていないのが現状です。
少なくとも物理系、工学系だとカリキュラムに組み込まれてることが多い印象
数学的にあんまり価値がないという槍玉にあげられることは多いですよね。その割に定期の問題を作りやすいから触れておくだけ触れておくという、困った時の古女房みたいな扱い方をされるのではないでしょうか。
∞/∞型不定形の場合の証明はkogaさんに期待( ˘ω˘)
@@mtmath1123 お
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 私は工学系なのですが、大学の硬くない教科書には殆ど今回のような厳密な内容が全く含まれていません。硬くないので大学生向けの教科書ではないのかもしれません()
もう四半世紀も前の大学受験の時に予備校で習いました。ものすごく便利だけど全然その理由がわからない定理だったので、とてもよく覚えてます。文系だったこともあってその証明までは手が伸びませんでしたが、今になってこうやって学びなおすことができることをとても嬉しく思います。
続きを楽しみにしています。これからも頑張って下さい！
大学から本格的な数3始めたけど、毎回助かってます。ロピタルの定理は神
ファボゼロ大学の教授の有難い授業
大学の授業では、いきなり証明から、しかも１時間半の授業一コマでドバっと説明され混乱していました。後の講義もちらっと見ましたが、丁寧に疑問点も説明されているので助かります。
社会人ですが、たくみさんのおかげで、素敵な数学ライフを過ごさせていただいております。第二講以降もしっかり受講させていただきます。
センター終わって2次の対策してくれてて嬉しい
高校時代、数学の証明とかはぼんやりなんかやってるな〜と遠目に眺めてるだけだったのですが、ヨビノリさんの授業を受けてると、なんだか自分も感情移入してきて、早く理解を進めたい。って気持ちが昂ってきます。
いつもありがとうございます。これからも頑張ってください。
3年前は二次関数ですらよく分からなかったのに高２の今、このレベルの講義をある程度まで理解出来るようになった自分に驚き。なんか遠い所まで来ちゃったな…
存在は知ってたけどここまで深い内容は知らなかったし知れて凄いおもろい
いつも通りわかりやすい授業の上編集がお洒落だったのでこの動画は5回高評価を押させていただきました。
大学に入るにつれ見られる動画が増えてうれしいです！
ものすごいわかりやすくて感動です！！
授業で意味不明だったのでもう授業中話聞かずにこっち家で勉強する方が効率いいことに気づきました！
これからお世話になりますー！！
ほんま字きれいやな、ユーキャンの黒板チョーク字講座してた？
そんなのあるんだ、、ユーキャンの守備範囲広いな、
近傍という言葉が使えればもっと簡単に説明できるのに高校生にもわかる範囲の単語だけで説明するのはつらいのう
Focusに最大値の定理からロルの定理、平均値の定理を導いて最後にロピタルの定理を証明の記述がありましたね…
ファボが0/0の時もロピタルの定理を適用すれば解決だね
結局ゼロに収束することは自明でしょ（）
分母のゼロの起源は(笑)？もしかして見ている人がいないとかですか？
Hiroaki Nakajima みんなが見なかったことにする、忘れようとするため0になる。
@@ccxx3789 なるほど～極限だからそうですね！
@@森石-q2v そこまで考えてなかったです。まあロピタルの定理を何回も使わないといけないかもしれないケースということでご勘弁ください(笑)。
ありがとうございました。大学の先取りの課題が出ていて難しくてできなかったのですが、この講義をきいて理解できました。本当に助かりました。
俺のバンザイシステム全然バンザイしてなくて泣きそう…
切り替えよう
マジで助かる なんなんだよこの授業
今日、ロピタルの定理について友人と話していたところだったのでありがたいです！
よびのり大好き。よびのり最高。よびのりこれからも頑張って！
最近の学問書は圧倒的に柔らかい(物理的に)
微分の比の極限の存在確認が取れてからでないうちに元の極限について繋げて書くのはまずい！という指摘がとてもいいですね。細かいことのようで、照明をフォローしたりまずい例を考えたことのある者がその重要さに気付けるところですね。
ざっくりいえば(無限遠点含め)テイラー展開の係数を比較している定理なので、ある意味平均値の定理を何度も使っているという感じなのでしょうが、やたらに背伸びしてロピタルを使いたがる人が受験生のみならず大学生にも居たり居なかったりする実情は少し危険かもしれませんね。
シリーズ化するようで楽しみです👍🏻
うぃ
*うぃ*
3浪阪大生たぴおか【数学解説ch】
謎の連帯感が生まれつつある
大学のテストの採点とか見てると先生達はかなり好意的に回答を汲み取ってくれるイメージ
え？大学受験では使うなって言われてるよ
@@oñanoco 日本語理解力皆無で草
@@oñanoco人の話聞いてないねってよく言われない？😢
「微分が先」っていうのがロピタルの定理を繰り返して適用することで極限が求まることの根拠になってるのか……
明日期末で泣きながら見とる
テストでロピタルこんな細かいの出る？
@@ぽぽぽ-i9f大学生じゃね？
大学の授業ですらもlim（x→a）g'（x）/f'（x）の計算するだけと教わってました（数学科）
なので驚きました
高専2年でロピタルの定理習ったから受験で使える！やった！
説明が分かり易すぎてヨビノリを見るのが「逃げ」だと思えてくる．
わかろうとしてるんだから君は偉い
理系大学生じゃないけど素敵な数学ライフのためにロピります。
個人的に結構気になってたからめちゃめちゃ嬉しい
8:48くらいに赤ん坊の泣き声がする
わかりやすく説明してくれてる気がしますが中1の僕にはわかりません
勉強してきますね（この動画が理解できるまで）
中１で微分が分かる方がマイノリティだと思います？(因みに微分は、グラフの傾きを出すモノ。中学生が興味持つ言い方すると｢オッパイの形を求めるのが微分｣で｢オッパイの大きさ求めるのが積分(因みに２重積分は、高校生でも習わないです)｣)
変なこと言ってるかもしれないですが、Mを設定するというより、微分が0になるxの値が壁のようになっていて、それより向こうに行けないみたいな感じだと思いました
ピカルの定理って懐かしいですよねー
この定理まじで便利
いつも知識の整理の仕方や解説の手順が
芸術的でおもしろい！
うちのクラスの今年の流行語は「ロピる」でした
うちのクラスは「ロピタる」でした
うちのクラスの流行語は｢タピる｣でした
うちのクラスの俺に対する口癖は｢タヒね｣でした
この流れすこ
流行語で偏差値わかるの草
大学休校になって微積分が先生の授業ノートをみて自分で勉強しなさい形式だったから、困ってたけどヨビノリいて助かった
なんでヨビノリってこんなにわかりやすいんだ
そういえば本届きました！！めっちゃ分かりやすいですね！
あれ今回めちゃくちゃ聞こえやすいんですが？？僕難聴なんですけど結構聞き取りやすいです！！！
よかった！ピンマイクにした！
@@yobinori ピンマイクというと初期のころ使ってたと思いますが黒板のおとが大きかったような……
けど今回のは黒板のおとが気にせずすごく聞き取れて何度も再生しなくても聞き取れやすくなりました！ありがとうございます！
片側極限でもロピタルの定理は成立するので実際はもっとバリエーションが多いですね
あとロピタルの定理は±∞に発散することの証明にも使えるのでもっともっとバリエーションが多いですね
実は第6講にその話が
つまり(Ⅱ)の条件(分母の導関数が自分で設定した開区間で0じゃない、ただし極限を考える場所だけなら0でもいい)ってことは、分母の導関数が常に0になってはいけない、つまり分母が定数になる場合はダメなのかと思いましたが、他にも何か実数に近づける極限を考えるときにⅡの条件がダメになることってありますか？
これ思ったどうなんだろう
私でも理解できました。ありがとうです☆
解析教程(ヴァンナー、ハイラー)によれば、ヨハンベルヌーイが1691年に示していて、ロピタルは1696年らしいですね
高校の先生がプリントに「ギョーム・ド・ロピタル大先生」って書いてた
関数の漸近挙動を求めてグラフを描くのに便利なんですよねえ～
友達にロピタルの定理を使ったことを「この式ロピッた」と言う同士はいますか？
タピる的な
言う言う
ロピタるっていう
ロ↑ピタルの定理 ロピ↑タルの定理
小田茉希 後者派です
微分形の極限があるから元の形の極限もある。
完全に逆に覚えていました😅。
ロピタルの定理、ので、証明が楽しみです😀
待ってました
まってました
ε-δ論法でのロピタルの定理の証明を理解できた時は感動したなぁ。
ええ、ε-δは不可避ですね。
ε-δ論法って、何で２の２乗が４になるのか？という様な、当たり前体操な事を難しく証明するモノ(１＋１が２になるのを証明するペアノとかいうえげつない証明といういけずなイメージ)だと思いましたが、こんな使い道もあったのですか？
因みに高校生の頃に、手抜き計算目的で使ったら答えが合わない(ロピタルが使えないパターン)&｢習っていない方式使うのは邪道(小学生のときに、桁数が多い数の計算を指数使って計算して手抜き。中学生の頃は解の方式で解無しが納得行かず虚数出してボツ等)｣と怒られて封印しました。
@@小林カムイ ε-δ論法が分からないのはまずいですね。学部卒業は無理です。
@@森石-q2v 高卒ですが、全く学校では習っていないんですけど､何処で習うモノですか？(職場で大学生がバイトとして来ていましたが｢そんなの知らね～｣とか｢こっちが習っているのは、数３レベルまで(極限とか、自然対数や三角関数の微積分等と言っていました。当然グラディエントやローテーション等のベクトル演算子とかε-δ等知らねってレベル)｣等言っていました。
小林カムイ 理系なら大抵学部1年で習う
イメージ的には、f(x)の変化量/g(x)の変化量を 例えば n として見ると、
""切片が0のときを考えれば""明らかに n とf(x)/g(x)は一致している
(例えば、「xと3x」「2x(^2)と5x(^2)」は n と関数の値が一致していて、「xと2x+100」は一致しない)
ここで、0/0の時を考えれば、式からわかるように切片は無い。
∞/∞のときは、有限の切片は無視できる。
よってこれらのときだけロピタルの定理は使うことができると言うことなのかな？(①だけ見た感想)
任意の開区間Iということだね。
待ってました〜！
軌跡の逆教えてほしい
「開区間を自分で設定」という言い方が、ちょっとストレートじゃなくて分かりにくかったんで、関数f(x),g(x)に対して、aを含む微分可能な開区間で、aを除くすべての点でｇ’(ｘ)≠0 であるような開区間Iが存在すれば、とここまで整理して、あれ、存在しない場合ってありうるのかなって思って考えたら、Aの近傍でｇ’(ｘ)＝0 となるような場合はそうだけど、そりゃどういう関数だ？とさらに分からなくなりました。
再度視聴させて頂いております。非常に勉強になっております。どうも有難うございます。
これはたくみさんが講義した内容を記述すれば入試でもロピタルの定理が使えるのでしょうか？
数学苦手だけど見に来ちゃうなぁ
5:00の例題(1)についてですが、sin(x)/xの極限が1であることはsin(x)の導関数がcos(x)であることの前提になっているため、ロピタルの定理を適用することは循環論法ではないでしょうか？
追記:円に内接する正n角形がn→∞で円になる(厳密な言い方ではありませんが)ことを用いたsinc関数の極限の証明やマクローリン展開を用いた各三角関数の定義を用いればこの矛盾は回避可能である、と自己解決しました🙇
過去一ファボった
ロピタル数ⅢCのチャートに載ってるから今年から使えるようにならんかなー
うれぴー
初歩的な質問なのですが、正確な表現①の例題2において開区間Iを0
考えなくてヨシ！
@@jalmar40298 ありがとうございます！
本当にありがとう
ロピタル2回繰り返す例題の1回目使った後って、分母分子に1+cosxかけたら極限求まりますよね？
ファボゼロってなに？
ロピタルの定理は分かったけど、それだけが分からない
ファボとはfavoriteから来た造語でTwitterにおいてお気に入りのハートマークを押すことを言います
今、高二なんですけど数検（3もしくは準2級）を受けようとしてます。数検ってあんまり意味無いんですかね…自分は数学が好きなんですけど… 数検を取るメリットって、具体的にあるんですかね？ また、高二が三級を受けるのって珍しいですかね？
中学のときに三級を合格しました(周りも中学生)が、高校入試の際にプラス点が与えられました。数検のサイトにメリットが載ってるので確認してみたらどうですか？
数検3級は中学範囲なので高校生が受けるメリットはないと思います。数2Bまでなら2級、数IIIまでなら準1級を受けるのが良いと思います。
たまには予備校のノリじゃないたくみさんがみたい。違うノリの授業も見てみたいです
ロピタル便利！！が去年の口癖だった
模試の直しをしてるとlim(x→0)(e ⷯ-1)/e ⷯ=1などを覚えておくべきとあって知らなくてやばい！と思っていたけど、ロピタルの定理で出せる！
ありがとうございます！
分母はeのx乗じゃなくてxだと思います
本当だ、このままじゃ0だw
ありがとうございます
だって微分の定義から出せるでしょ？君数学苦手？
厳密さうんぬんより使えば答えが出るんだからそれでいいじゃないという物理脳
受験時はそっちのが有利という罠な！
ありがたい
ロピタル定理も力学入門とかみたく「ロピタルの定理⑫」とかまであるんですか！？
⑳あたりまで来ると三次元でもロピタルの定理を使えて、
lim (アンパンマン/たくみ)=１
が示せるんですよね！
２パターンの表記があるところとか、区間をうまく設定するところとか、ε-δ論法にすごく似ていると思いました
リアルに明日のテスト範囲なんけど。感謝
東大出版会基礎数学シリーズのハードカバーめっちゃ好きです（？）
今日テストだからマジ助かる
偏微分と積分の入れ替えのときにロピタルの定理使うけどいまいちわかってないので説明してほしいです。
ロピタルさんがベルヌーイさんからもらった定理
編集ちょっと凝ってきたね
一番外側の紙が厚くて硬い
1の無限大乗形、0の0乗形など不定形があります
ひいばあちゃんが受験数学でロピったらだめって言ってた
高専では、証明せずにとりあえずlimの中代入して0になったら使えって説明される。
受験生に時間無いけど、全部見るべき？
ロピタルの定理ってそんなに奥が深いんや……。
Iと１が文字だけ見るとかぶってますね
教科書硬い好き
うちのクラスだけの教科担任がいたんですが、授業でもテストでも簡単な問題しか出さない人で、ラッキーと思ってたら全クラス共通の課題が全く解けなくて絶望しています
例2の極限は数III流にいくなら
逆数の極限考えると
(x+sinx)/sin2x
=(x+sinx)/(2sinxcosx)
=((x/sinx)/2cosx)+1/(2cosx)
→(1/2)+(1/2)=1かな？
だからsin2x/(x+sinx)=1/1=1
例3は色々考えたけど私にはマクローリン展開が限界でした
sinxを3次近似してやると
sinx≈x-x³/3!+x⁴O(x)(x→0)
故にこのときx-sinx=x³/6→1/6(x→0)
28:13の式ってどちらも∞に収束するけど、全く同じ∞ではないけどイコールで繋げてもいいんですか？
予備のりが夢に出てきて、ボーリングに誘われた。
ヨビノリの頭がボールですか？？
友達(?)はボール
あるあるでもファボゼロ目指すとかむだに裾野を広げるなw
ド・ロピタルの定理という名前で覚えてたなあ
解くときにドロピタルの定理よりという注釈を入れてたような