О каких первокурсниках речь? Это задачка из начальной советской школы, для четвертого класса. И решается в уме. Поскольку n^4 растёт намного быстрее, чем n, то под корнями всё, кроме n^4, режем к чёртовой матери, не дожидаясь перитонитов. Получаем сумму арифметической прогрессии с числителями 1, 2, 3, ... n и со знаменателем n^2. Её сумма n(n+1)/2n^2 стремится к 1/2. Всё.
Это оценка сверху (уменьшили знаменатели). Теперь надо сделать оценку снизу: увеличить все знаменатели до √(n⁴+n) и получить опять ½. Ранее такой способ доказательства предложил уже один из комментаторов. Математика наука точная: "n⁴ растёт намного быстрее n" не годится. Обязательно нужно точно найти, насколько быстрее.
@@drdynaniteТак забавно читать комментарии малолетних интеллектуалов, неудосужившихся даже ознакомиться с принятыми на данном канале юмором и сарказмом.
Сразу хочется отбросить второе слагаемое под корнем, так как оно много меньше первого при больших n. Это приводит к правильному ответу, насколько это строго, не уверен
Возникла идея применить предел n→∞ дважды к сумме под знаком предела. Действительно, если существует единождый предел, то второе взятие предела его не изменит. Вынесем в сумме под знаком предела множитель 1/√(n⁴+1) за скобку, тогда в скобке останется ряд 1+ 2•√[(n⁴+1)/(n⁴+2)]+...+ +n•√[(n⁴+1)/(n⁴+n)]. (*) Применяя дважды предел n→∞, заметим, что одиночный и двойной предел одинаковы для величины множителя 1/√(n⁴+1), поэтому его можно вынести за знак второго (внутреннего) предела. Под знаком второго внутреннего предела останется ряд (*). Т.к. пределы √[(n⁴+1)/(n⁴+k)] при k=1, 2, ..., n равны 1, то после взятия внутреннего предела останется простой ряд 1+2+...+n, сумма которого равна n•(n+1)/2. Тогда внешний предел от произведения [1/√(n⁴+1)]•[n(n+1)/2] даст ½. В духе Рамануджана. 😂
можно уйти от двойного предела, применив "теорему о двух милиционерах" - если каждый элемент последовательности заключен между соответствующими элементами двух последовательностей, сходящимися к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу. sum k/√(n⁴+n)
@@vitaliikuzminov2888 Посмотрите ещё в комментариях. Один из комментаторов очень ясно и кратко написал. Двойной предел не очень сложен и позволяет обойтись без оценок. 😀
Согласен, навешивать второй идентичный предел снаружи ничего не меняет, так как внутренний предел уже не зависит от n, однако я утверждаю, что выносить множители, зависящие от n, из внутреннего предела - незаконно. Приведу доказательство с помощью простого примера. lim(n->inf) lim(n->inf) n^2/n = lim(n->inf) n^2 * lim(n->inf) 1/n = lim(n->inf) n^2 * 0 = lim(n->inf) 0 = 0 Хотя изначальный предел равен бесконечности.
@@regulus2033 Если после взятия внутреннего предела получается число, а не выражение, зависящее от n, число автоматически выносится за знак внешнего предела, т.к. не зависит от n.
решил через тейлора, переписал общий член как k/n²(1+k/n⁴)^(-1/2), k от 1 до n. скобку раскрыл по тейлору, дальше получилось, что единственный член, не стремящийся к нулю стремится к 1/2.
@@regulus2033 нет, я рассматриваю конечную сумму c k от 1 до n и устремляю n к бесконечности. ход действий примерно такой, сначала для каждого k разложим скобку по тейлору, получим k/n²(1-k/2n⁴+o(1/n⁷)), раскрываю скобки и складываю все k от 1 до n. получим n(n+1)/2n²-n(n+1)(2n+1)/12n⁶+k³o(1/n5) . не очень корректно тут расписал, но идея в том, что во всех следующих членах сумма всех k^j от 1 до n не сможет противодействовать степеням n в знаменателе и все члены дальше это o(1/n)
Любой уважающий себя первокурсник при виде этой задачки сразу подумает о суммах Римана и сведёт предел и сумму к интегралу, за пару минут получив тот же ответ
@@Thesaddestmomentinourlives Этот вопрос к Вам. Не знаете, что делают на математических каналах? Отнюдь не пи...ят. Пи...еть просьба на клоунских каналах, где Вам всегда рады.
@@Alexander_Goosev Ваш инфантилизм меня не особо интересует, меня интересует почему вы вообще накидываетесь на людей(ад гоминемом попахивает) под тем видео, где есть достаточные объяснения? Приписали к чему-то Туркменистан ещё)) Может вы ещё заходите на каналы для 11-классников по опр интегралам и строчите в комментариях про предел по базе?)
Раньше при царе батюшке на Руси люди были все верующие женились рано в 15 лет и имели кучу детей , по восемь по 10 ...Но потом пришли коммунисты и уничтожили православие... И сейчас мы имеем в стране демографический кризис , молодежь ведёт беспорядочные половые связи , поздно женятся, пацаны с девками общаться не могут , детей не хотят , много разводов... Скоро на Руси благодаря комунякам будут жить одни таджики, узбеки ,мастурбеки...
Хо... В Великобритании с мусульманами проблем столько же. И падение рождаемости среди коренных англосаксов такое же. Будущий вице-президент США Вэнс (идёт на выборы на пару с Трампом) назвал Великобританию первой мусульманской страной с ядерным оружием. Тоже коммуняки виноваты?
Я может чего-то не понимаю, НО. Берём общий член n/sqrt(n^4+n), выносим под радикалом за скобки и заодно из-под радикала n^4, получаем n/sqrt(n^4+n) = n/(n^2*sqrt(1+1/n^3)) = 1/(n*sqrt(1+1/n^3)), устремляем n к бесконечности, и для общего члена получаем НОЛЬ. Общий член последовательности в пределе ноль, соответственно, все члены в пределе ноль, соответственно, вся сумма равна нулю. Откуда у вас одна вторая-то вылезла?
Если ты решил вынести "общий член" за скобки, то в скобках каждый член нужно разделить на "общий член". Последний член в скобках после такого деления будет равен 1. Как он может стремиться к 0 ?? А вообще сумма в этих скобках при n→∞ будет стремиться к частичной сумме 1/n +2/n + 3/n +... n/n= =(1+2+3+...+n)/n=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2, т.е. к бесконечности.
А, ты думаешь, что сумма бесконечного числа положительных слагаемых, стремящихся к 0, не может быть числом, бо́льшим 0. Это ты тогда в каком классе учишься? Оспади, помилуй. 😀
В советское время я не смог решить такую задачу на собеседовании и поэтому меня не приняли в детский сад при Мехмате МГУ.
В роддоме забраковали за нерешение😂😂😂
эх жаль, вижу ты порядочный парень, мы бы могли оказаться в одной группе (
По теореме о двух милиционерах)
Оценка сверху: (1+2+…+n)/n^2 =n(n+1)/2 -> 1/2
Оценка снизу: (1+2+…n)/sqrt(n^4+n) =n(n+1)/(2n^2 sqrt(1+1/n^4)) -> 1/2
Так что у суммы есть предел, равный 1/2.
Михаил Абрамович, поступил я на матмех урфу, очень доволен, ведь буду изучать настоящую математику, совмещая с разработкой в ml и ds))
О, какое направление?
А я собираюсь в Синергию благодаря Борису Абрамовичу. Лучшая реклама😂
@@relesgod6230 комп и инф науки
Ура, ещё одна задача, которую смог решить, поставив на паузу. Просмотр канала делает меня умнее!
О каких первокурсниках речь? Это задачка из начальной советской школы, для четвертого класса. И решается в уме. Поскольку n^4 растёт намного быстрее, чем n, то под корнями всё, кроме n^4, режем к чёртовой матери, не дожидаясь перитонитов. Получаем сумму арифметической прогрессии с числителями 1, 2, 3, ... n и со знаменателем n^2. Её сумма n(n+1)/2n^2 стремится к 1/2. Всё.
Это оценка сверху (уменьшили знаменатели).
Теперь надо сделать оценку снизу: увеличить все знаменатели до √(n⁴+n) и получить опять ½.
Ранее такой способ доказательства предложил уже один из комментаторов.
Математика наука точная: "n⁴ растёт намного быстрее n" не годится. Обязательно нужно точно найти, насколько быстрее.
@@Alexander_GoosevА я, как профессиональный физик со стажем, на математическую точность кладу большой и толстый.
@@romank.6813 В том-то всё дело, что здесь математический канал, а не физический.
И кроме того, здравый смысл иногда подводит. 😀
А чего не ясельной группы?) Так забавно читать эти фантазии совковых динозавров)
@@drdynaniteТак забавно читать комментарии малолетних интеллектуалов, неудосужившихся даже ознакомиться с принятыми на данном канале юмором и сарказмом.
Сразу вспомнил пример из "Основ Математического Анализа" Фихтенгольца
Тоже сразу подумалось о теореме о двух (или трех?) милиционерах
Всётаки трёх. Пересмотрел конспекты Петровича.
@@lecombustor3571 не, милиционеров два, третий преступник, которого эти двое в участок тащат (собственно предел)
@@lecombustor3571У нас лектор называл её леммой о двух милиционерах или теоремой о трёх последовательностях
Отличная задача!
Друзья! Помогите найти видео дебатов Поступашки с Бояршиновым!
Я знал что надо было использовать ментовскую теорему)))
Это даже для 10 или 9 профильного класса будет достаточно просто
Нет
Сразу хочется отбросить второе слагаемое под корнем, так как оно много меньше первого при больших n. Это приводит к правильному ответу, насколько это строго, не уверен
Это оценка сверху. Осталось заменить все знаменатели на √( n⁴+n). Это оценка снизу. Получается тоже ½.
Это единственно строгий способ.
Возникла идея применить предел n→∞ дважды к сумме под знаком предела.
Действительно, если существует единождый предел, то второе взятие предела его не изменит.
Вынесем в сумме под знаком предела множитель
1/√(n⁴+1) за скобку, тогда в скобке останется ряд
1+ 2•√[(n⁴+1)/(n⁴+2)]+...+
+n•√[(n⁴+1)/(n⁴+n)]. (*)
Применяя дважды предел n→∞, заметим, что одиночный и двойной предел одинаковы для величины множителя
1/√(n⁴+1), поэтому его можно вынести за знак второго (внутреннего) предела.
Под знаком второго внутреннего предела останется ряд (*).
Т.к. пределы √[(n⁴+1)/(n⁴+k)]
при k=1, 2, ..., n
равны 1, то после взятия внутреннего предела останется простой ряд
1+2+...+n,
сумма которого равна n•(n+1)/2.
Тогда внешний предел от произведения
[1/√(n⁴+1)]•[n(n+1)/2]
даст ½.
В духе Рамануджана. 😂
можно уйти от двойного предела, применив "теорему о двух милиционерах" - если каждый элемент последовательности заключен между соответствующими элементами двух последовательностей, сходящимися к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
sum k/√(n⁴+n)
@@vitaliikuzminov2888
Посмотрите ещё в комментариях. Один из комментаторов очень ясно и кратко написал.
Двойной предел не очень сложен и позволяет обойтись без оценок. 😀
Согласен, навешивать второй идентичный предел снаружи ничего не меняет, так как внутренний предел уже не зависит от n, однако я утверждаю, что выносить множители, зависящие от n, из внутреннего предела - незаконно. Приведу доказательство с помощью простого примера.
lim(n->inf) lim(n->inf) n^2/n =
lim(n->inf) n^2 * lim(n->inf) 1/n =
lim(n->inf) n^2 * 0 =
lim(n->inf) 0 = 0
Хотя изначальный предел равен бесконечности.
@@regulus2033 Если после взятия внутреннего предела получается число, а не выражение, зависящее от n, число автоматически выносится за знак внешнего предела, т.к. не зависит от n.
@@Alexander_Goosev что скажете по поводу моих утверждения и примера?
Если к Вам на собеседование придёт странный человек, то вы не серчайте на него, примите уж...
Спасибо.
Squeeze theorem
решил через тейлора, переписал общий член как k/n²(1+k/n⁴)^(-1/2), k от 1 до n. скобку раскрыл по тейлору, дальше получилось, что единственный член, не стремящийся к нулю стремится к 1/2.
А поподробнее, какой член стремится к ½ ?
Можно поподробнее плз? Вы каждый член суммы в ряд разложили что ли? Двойной ряд получается? Или как?
@@regulus2033 нет, я рассматриваю конечную сумму c k от 1 до n и устремляю n к бесконечности. ход действий примерно такой, сначала для каждого k разложим скобку по тейлору, получим k/n²(1-k/2n⁴+o(1/n⁷)), раскрываю скобки и складываю все k от 1 до n. получим n(n+1)/2n²-n(n+1)(2n+1)/12n⁶+k³o(1/n5) . не очень корректно тут расписал, но идея в том, что во всех следующих членах сумма всех k^j от 1 до n не сможет противодействовать степеням n в знаменателе и все члены дальше это o(1/n)
Все понятно, но откуда взяли, что 1+2+3 …=n(n+1)/2???
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
Сумма арифметической прогрессии от 1 до n с шагом (или как там 😀) 1.
@@Alexander_Goosev это был сарказм)
@@artemkudryavtsev3424
Ну, Вы написали 1+2+3+...
Непонятно, чем заканчивается. 😀
Решил помочь. 😂
уровень задачек тупеет из раза в раз
Ютуб виснет!
Любой уважающий себя первокурсник при виде этой задачки сразу подумает о суммах Римана и сведёт предел и сумму к интегралу, за пару минут получив тот же ответ
Кроме слов, можешь что-то написать? Или ты строчишь из обезьяннего вольера ашхабадского зоопарка?
@@Alexander_Goosevвы, извините, клоун?
@@Thesaddestmomentinourlives Этот вопрос к Вам. Не знаете, что делают на математических каналах?
Отнюдь не пи...ят. Пи...еть просьба на клоунских каналах, где Вам всегда рады.
@@Alexander_Goosev Ваш инфантилизм меня не особо интересует, меня интересует почему вы вообще накидываетесь на людей(ад гоминемом попахивает) под тем видео, где есть достаточные объяснения? Приписали к чему-то Туркменистан ещё)) Может вы ещё заходите на каналы для 11-классников по опр интегралам и строчите в комментариях про предел по базе?)
@@Thesaddestmomentinourlives Давай формулы, имбецил.
Я не люблю зоопарков.
ну и показывай свою рекламу..
Раньше при царе батюшке на Руси люди были все верующие женились рано в 15 лет и имели кучу детей , по восемь по 10 ...Но потом пришли коммунисты и уничтожили православие... И сейчас мы имеем в стране демографический кризис , молодежь ведёт беспорядочные половые связи , поздно женятся, пацаны с девками общаться не могут , детей не хотят , много разводов... Скоро на Руси благодаря комунякам будут жить одни таджики, узбеки ,мастурбеки...
Хо... В Великобритании с мусульманами проблем столько же. И падение рождаемости среди коренных англосаксов такое же.
Будущий вице-президент США Вэнс (идёт на выборы на пару с Трампом) назвал Великобританию первой мусульманской страной с ядерным оружием.
Тоже коммуняки виноваты?
Дедушка, вы каналом ошиблись, тут математику обсуждают 😢😅
@@Dean-fh8me Дык, автор канала, Михал Абрамыч, любит про коммунизьм художественные отступления устраивать, вот дедулю туда же понесло... 😀
Так живите как Стерлигов батюшка, кто ж вам мешает
@@Alexander_GoosevСправедливости ради леваки всех мастей захватили все места на западе при огромной поддержке из ссср.
Можно использовать интеграл
А что дальше? После этих 3 слов. Что?
Ничего.
Точнее, "чел, я краткий мyдaк, фсё дальнейшее очэвидно для кратких мyдaков. В ютубе фсе мyдaки".
Не фсе. 😂
Как крючок для ловли говна из унитаза?
Нельзя , платно
Я может чего-то не понимаю, НО. Берём общий член n/sqrt(n^4+n), выносим под радикалом за скобки и заодно из-под радикала n^4, получаем n/sqrt(n^4+n) = n/(n^2*sqrt(1+1/n^3)) = 1/(n*sqrt(1+1/n^3)), устремляем n к бесконечности, и для общего члена получаем НОЛЬ. Общий член последовательности в пределе ноль, соответственно, все члены в пределе ноль, соответственно, вся сумма равна нулю. Откуда у вас одна вторая-то вылезла?
Ну, ты возьми не поленись и посчитай сумму 5-ти слагаемых (для n=5) на калькуляторе.
Как такая сумма может стремиться к 0 при n→∞?!
Ты совсем простой?
Что значит "общий член последовательности"? Где ты этого набрался?
Если ты решил вынести "общий член" за скобки, то в скобках каждый член нужно разделить на "общий член".
Последний член в скобках после такого деления будет равен 1. Как он может стремиться к 0 ??
А вообще сумма в этих скобках при n→∞ будет стремиться к частичной сумме
1/n +2/n + 3/n +... n/n=
=(1+2+3+...+n)/n=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2,
т.е. к бесконечности.
А, ты думаешь, что сумма бесконечного числа положительных слагаемых, стремящихся к 0, не может быть числом, бо́льшим 0.
Это ты тогда в каком классе учишься?
Оспади, помилуй. 😀
@@Alexander_Goosev Я давно закончил институт. Прекрати неси дичь