В первом задании равенство a=b при достижении максимума c ("цэ") можно обосновать аналитически. Выразим из первого соотношения a и подставим во второе: a=4-b-c; (4-b-c)²+b²+c²=8. Из последнего выражения можно выразить c через b и с помощью производной найти экстремумы функции c(b) в экстремальных точках b. Ясно, что из-за симметрии заданных условий при выражении из первого условия b: b=4-c-a и подстановки его во второе условие: a²+(4-c-a)²+c²=8 выражение с через a будет иметь точно такой же вид, что и через b. Поэтому экстремумы функции c(a) будут в экстремальных точках a, совпадающих по величине с экстремальными точками b при нахождении экстремума функции c(b), т.е. в точках экстремума с ("цэ") a=b.
Решил первую задачу так: Выразил из обоих уравнений "а" и "а²": а = 4 - b - c а² = 8 - b² - c² Возведя в квадрат первое уравнение получаем равенство: (4 - b - c)² = 8 - b² - c² Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем квадратное уравнение относительно " b": b² + (c - 4)b + (c² - 4c + 4) = 0 Находим дискриминант: D = -3c² + 8c Требуем, чтобы было решение, т.е. D ≥ 0, Откуда получаем с ∈ [ 0; 8/3 ] Таким образом, "с" точно не больше, чем 8/3. Подставим с = 8/3 в систему; если получим систему, которую можно решить, то с=8/3 будет ответом. Подставляем: а + b + 8/3 = 4 a² + b² + 64/9 = 8 a + b = 4/3 a² + b² = 8/9 (a + b)² = 16/9 a² + b² = 8/9 2ab = 8/9 ab = 4/9 Получаем систему: а + b = 4/3 ab = 4/9, которую легко решить, и решением будет а = b = ⅔. Подставим тройку (⅔, ⅔, 8/3) в исходную систему для проверки. Действительно, это корни. Т.к. с ∈ [ 0; 8/3 ], то ответ: max{c} = 8/3
в примере №6, (где в последней строке получается произведение трех неполных квадратов разности равно произведению (xyz)^2) я рассуждал: чему приравнять каждую скобку в отдельности? Поскольку речь в задаче идет о положительных x,y,z, то ни одна из переменных априори не может быть равна 0, т.е. не может идти речь о плоских фигурах, лежащих в плоскостях x0y, z0y, z0x. Следовательно, чтобы получить объемную фигуру: x^2+y^2-xy=z^2 y^2+z^2-yz=x^2 z^2+x^2-zx=y^2 Решая систему, сложив слева и справа, получим: x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx. Видим слева квадрат модуля некого вектора (x,y,z), а слева - скалярное произведение векторов а=(x,y,z), b=(y,z,x), причем, косинус угла =1, т.е. a,b - коллинеарны, откуда x=y=z=t. А теперь просто подставляем t везде в оба исходных уравнения и убеждаемся, что в обоих t^3=1/27, откуда t=x=y=z=1/3. У Михаила Абрамыча в разы быстрее )))
В примере 6 с числами a,b,c после замены c=1-a-b я решал классически: ф-я 2-х переменных U(a,b). Нашел производные по a и b, приравнял нулю и получил соотношения: b=1-2a, причем 0
Первая задача интересная: получилось два решения. Слабо Абрамовичу решить остальные задачи Шиза короче?)) Кроме того, Абрамович забыл в предпоследней задаче рассмотреть варианты x1=x3 и x2=x4 (правда они отпадают), все из-за желания быть лаконичным)).
Задачка в продолжение темы. Доказать, что (x+y+z)/3+3/(1/x+1/y+1/z)>=5*(xyz/16)^(1/3) для поллжительных x,y и z. Иначе говоря, сумма среднего арифметического и среднего гармонического не меньше среднего геометрического, умноженного на 5/16^(1/3).
В последней задаче можно применить неравенство: среднее арифметическое больше или равно среднего геометрического. Причём равенство достигается только при равенстве всех слагаемых в исходном минимизируемом выражении: a²/(1-a)=b²/(1-b)=c²/(1-c)= =d²/(1-d). Попарно расписывая это длинное равенство и сравнивая затем пары между собой, придём к выводу, что a=b=c=d=¼ при минимуме исходного выражения.
а я решил по неравенству караматы: сначала несложно доказать, что f(a)=aa/1-a - возрастающая, а далее подобрал набор a=b=c=d=1/4, который мажорируется набором abcd => a=b=c=d Но ваше решение проще: оно использует неравенство о средних
В задаче где а+в+с=1 и надо найти мин. в произведении заменяем 1 на а+в+с и далее заменяем в+с=х а+с=у а+в=z получаем уравнение ((у+z)/x)((z+х)/у)((х+у)/z) которое очевидно по средне ариф. и геом. сумм в скобках больше или равно 8 (равенство а=в=с=1/3). Может где и ошибся.
![Почему число 37 встречается повсюду? [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/26meYYVE2Yg/mqdefault.jpg)
Михаил Абрамович, хочу выразить вам свою благодарность за поддержку новичков в сфере математического контента и, что не менее важно, за разбор задач!
Наш канал работает на коммунистических принципах, товарищ! Поэтому всем новичкам всегда поможем и дадим площадку !
@@Postupashki ждём раскулачивание и коллективизацию всем селом
@@christt9013 Михал Абрамыча нельзя раскулачивать, потому что он приверженец идей коммунизьма. А тебя можно. 😀
Советские дотеры дали бы прикурить любому бустеру на поле брани габеновского творения
Ура коллаб с шизом
Я после первого семинара по ангему в МГУ шизанулся 👍🙃, теперь меня в дурку увозят
Такая симпатичная девочка, аж сложно концентрироваться 🤭
Спасибо за отличную подборку уничтожения целого пласта задач!
В первом задании равенство a=b при достижении максимума c ("цэ")
можно обосновать аналитически.
Выразим из первого соотношения a и подставим во второе:
a=4-b-c;
(4-b-c)²+b²+c²=8.
Из последнего выражения можно выразить c через b и с помощью производной найти экстремумы функции c(b) в экстремальных точках b.
Ясно, что из-за симметрии заданных условий при выражении из первого условия b:
b=4-c-a
и подстановки его во второе условие:
a²+(4-c-a)²+c²=8
выражение с через a будет иметь точно такой же вид, что и через b.
Поэтому экстремумы функции c(a) будут в экстремальных точках a, совпадающих по величине с экстремальными точками b при нахождении экстремума функции c(b),
т.е. в точках экстремума с ("цэ") a=b.
Решил первую задачу так:
Выразил из обоих уравнений "а" и "а²":
а = 4 - b - c
а² = 8 - b² - c²
Возведя в квадрат первое уравнение получаем равенство:
(4 - b - c)² = 8 - b² - c²
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем квадратное уравнение относительно " b":
b² + (c - 4)b + (c² - 4c + 4) = 0
Находим дискриминант:
D = -3c² + 8c
Требуем, чтобы было решение, т.е.
D ≥ 0,
Откуда получаем
с ∈ [ 0; 8/3 ]
Таким образом, "с" точно не больше, чем 8/3. Подставим с = 8/3 в систему; если получим систему, которую можно решить, то с=8/3 будет ответом. Подставляем:
а + b + 8/3 = 4
a² + b² + 64/9 = 8
a + b = 4/3
a² + b² = 8/9
(a + b)² = 16/9
a² + b² = 8/9
2ab = 8/9
ab = 4/9
Получаем систему:
а + b = 4/3
ab = 4/9,
которую легко решить, и решением будет
а = b = ⅔.
Подставим тройку (⅔, ⅔, 8/3) в исходную систему для проверки. Действительно, это корни. Т.к. с ∈ [ 0; 8/3 ], то ответ: max{c} = 8/3
Да, только мы не возводим в квадрат первое уравнение, а подставляем значение a во второе
@@kerimtagirov не важно одно и то же
Аналогично решил))
На мехмате таким задрочем не занимались, когда я учился, а решали как Михаил Абрамович. Видимо, что-то изменилось за последние 30 лет )
@@dmitrykovalev9670 я первокурсник, не знаю
Легенды нашли друг друга
Я уже там. (Пишу с дурки).
Я тоже там, брат. (Пишу с мехмата).
Топ! Спасибо за заряд советским методом уничтожения задач
В первой задаче ещё получилась окружность вписанная в равносторонний треугольник.)
Такой же любитель "маленьких математиков", по всей видимости, как и его дружок Алексей Поднебесный.
Все зеркала поразбивала?
Люблю такую математику❤
2 задачку уже где то видел, но ничего удивительного
эххх , один номер из моего ДВИ 2024 3 волны(((
в примере №6, (где в последней строке получается произведение трех неполных квадратов разности равно произведению (xyz)^2) я рассуждал: чему приравнять каждую скобку в отдельности? Поскольку речь в задаче идет о положительных x,y,z, то ни одна из переменных априори не может быть равна 0, т.е. не может идти речь о плоских фигурах, лежащих в плоскостях x0y, z0y, z0x. Следовательно, чтобы получить объемную фигуру:
x^2+y^2-xy=z^2
y^2+z^2-yz=x^2
z^2+x^2-zx=y^2
Решая систему, сложив слева и справа, получим:
x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx.
Видим слева квадрат модуля некого вектора (x,y,z), а слева - скалярное произведение векторов а=(x,y,z), b=(y,z,x), причем, косинус угла =1, т.е. a,b - коллинеарны, откуда x=y=z=t.
А теперь просто подставляем t везде в оба исходных уравнения и убеждаемся, что в обоих t^3=1/27, откуда t=x=y=z=1/3.
У Михаила Абрамыча в разы быстрее )))
В примере 6 с числами a,b,c после замены c=1-a-b я решал классически: ф-я 2-х переменных U(a,b). Нашел производные по a и b, приравнял нулю и получил соотношения:
b=1-2a, причем 0
Любой кто знаком с неравенством Коши-Буняковского-Шварца решает последнюю задачу в одну строчку
Покажи, как в одну строку.
a²/(1-a) + b²/(1-b) + c²/(1-c) + d²/1-d) ≥ (a+b+c+d)²/(4-(a+b+c+d))=1/3
@@димакрот-т6в А что это такое в неравенстве справа?
@@димакрот-т6в Я ожидал учетверённое среднее геометрическое.
@@Alexander_Goosev Лемма Титу (Прямое следствие из неравенством Коши-Буняковского-Шварца)
Первая задача интересная: получилось два решения. Слабо Абрамовичу решить остальные задачи Шиза короче?)) Кроме того, Абрамович забыл в предпоследней задаче рассмотреть варианты x1=x3 и x2=x4 (правда они отпадают), все из-за желания быть лаконичным)).
Задачка в продолжение темы. Доказать, что
(x+y+z)/3+3/(1/x+1/y+1/z)>=5*(xyz/16)^(1/3) для поллжительных x,y и z. Иначе говоря, сумма среднего арифметического и среднего гармонического не меньше среднего геометрического, умноженного на 5/16^(1/3).
Ну мои...
32:35
Положим F(x) = x*f(x) - a*b*c;
F(a) = F(b) = F(c) = 0;
F(x) = (x-a)*(x-b)*(x-c);
f(x) = x*x - (a+b+c)*x + a*b + b*c +c*a;
f(a+b+c) = a*b + b*c +c*a = f(a)+f(b)+f(c);
В последней задаче можно применить неравенство:
среднее арифметическое больше или равно среднего геометрического. Причём равенство достигается только при равенстве всех слагаемых в исходном минимизируемом выражении:
a²/(1-a)=b²/(1-b)=c²/(1-c)=
=d²/(1-d).
Попарно расписывая это длинное равенство и сравнивая затем пары между собой, придём к выводу, что a=b=c=d=¼ при минимуме исходного выражения.
а я решил по неравенству караматы: сначала несложно доказать, что f(a)=aa/1-a - возрастающая, а далее подобрал набор a=b=c=d=1/4, который мажорируется набором abcd => a=b=c=d
Но ваше решение проще: оно использует неравенство о средних
😮
В задаче где а+в+с=1 и надо найти мин. в произведении заменяем 1 на а+в+с и далее заменяем в+с=х а+с=у а+в=z получаем уравнение ((у+z)/x)((z+х)/у)((х+у)/z) которое очевидно по средне ариф. и геом. сумм в скобках больше или равно 8 (равенство а=в=с=1/3). Может где и ошибся.
Во второй задаче не понял как мы из
а ≥ A
b ≥ B
c ≥ C
(следовательно:
аbc ≥ ABC)
сделали вывод, что
(аbc = ABC) => (a = A, b = B, c = C)
?
В 1 примере можете пожалуйста объяснить, почему a и b будут равны?
Жиза , если понял дай знать
я в desmose построил там все рил так, так что надо думать