Кстати, слышал, что у англоязычных есть такая вещь как King's property, она заключается в том, что если у нас есть интеграл с а до b некоторой функции f(x), то этот интеграл будет равен интегралу с а до b функции f(a+b-x), в данном примере это применимо
Можно формально, без рассуждений о симметрии. Такой примерно интеграл уже был у Михал Абрамыча. Там после подстановки выходило подинтегральное выражение с тангенсом Разобьём начальный интеграл на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и от π/4 до π/2. Во втором интеграле от π/4 до π/2 произведём замену переменной: y=π/2 - x, т.е. x=π/2 - y. При этом в подинтегральном выражении tg(x) заменится на ctg(y), dx на (-dy), пределы интегрирования на от π/4 до 0 для новой переменной y. Далее поменяем пределы интегрирования на от 0 до π/4, при этом заменим для компенсации знака (-dy) на dy. И наконец, формально заменим во втором интеграле y на x, т.к. результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования. Тогда второй интеграл примет вид ${от 0 до π/4}[dx/(1+ctgⁿx)]. Здесь показатель степени n=√2. Т.к. пределы интегрирования у первого интеграла такие же, объединим оба интеграла в один ${от 0 до π/4}[1/(1+tgⁿx) + +1/(1+ctgⁿx)]•dx. Осталось просуммировать члены подинтегрального выражения, приведя их к общему знаменателю: 1/(1+tgⁿx) + 1/(1+ctgⁿx)= =[1+ctgⁿx+1+tgⁿx]/[(1+tgⁿx)(1+ctgⁿx)]= =[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[1+tgⁿx+ctgⁿx+tgⁿx•ctgⁿx]= =[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[2+tgⁿx+ctgⁿx]=1. Таким образом, исходный интеграл равен ${от 0 до π/4}[1•dx]=π/4.
🤭Не хочу вас огорчать, но в утверждении написано: Если не сможешь посчитать, следовательно не знаешь матан. А если сможешь, то не факт, что знаешь. Тем более не сами посчитали.
@@АлександрДороденко А если без шуток, то всё в моём комментарии логично. Действительно, автор написал, что тот, кто не решит, тот не знает матан. Я решил и написал, что "я решил, а значит я знаю матан". Значит ли это, что я написал: "я решил => я знаю матан". Нет конечно. Я фактически написал, что "(A(1) и A(2) и ... и A(n) и "я решил задачу") => ("я знаю матан")", где A(i) - какое-то утверждение. Так как вы не знаете ни одного A(i), вы не можете судить о правильности моего утверждения, ведь если например A(1)="я знаю матан", то я прав)
@@mp443 нет, не правильно. Вы знаете матан только потому, что вы его знаете. Но вы сделали вывод из утверждения автора, из которого не следует знание матана.
@@АлександрДороденко пересчитал интеграл и вы, к сожалению, ввели меня в заблуждение, а я вам и поверил. Опять в интернете кто-то не прав и, к счастью, для меня, это вы
Можно просто сделать замену переменной в интеграле на u=pi/2-x и формально поменять dx на -du со сменой пределов интергрирования, а затем поменять местами пределы, добавив перед интеграл ом знак минус 😅
А ведь эта функция под знаком интеграла не имеет первообразную. Странно, раньше я думал, что если функция не имеет первообразную, значит, нужно использовать приближенное (численное) вычисление интеграла. Однако случайно получилось вычислить интеграл аналитически. А если усложнить ту задачу: функция та же, однако пределы интегрирования другие?
Вы хотели сказать, не имеет первообразной, выражающейся в элементарных функциях? Сама по себе первообразная для интегрируемой функции существует всегда.
вроде св-во опред интеграла тут сразу можно применить - сумма нижнего и верхнего предела интегрирования минус аргумент = этому же интегралу... так котангенс и получается
Упс, Вы знаете, автор канала нигде в своём решении не использовал конкретное значение показателя степени √2. Все выкладки справедливы для любого действительного показателя степени. Это и есть доказательство справедливости результата π/4 для любого действительного показателя степени.
Вернее, он в начале начал писать показатель степени √2, но ясно, что он мог вместо √2 написать букву, и ничего бы не изменилось. Все последующие выкладки никак не поменялись бы.
Прлучается, что любые степени ставь, любые фугкции и будет всегда один ответ. Посмотрел бы я на то, если бы не было предела интегрирования. Как бы выкручивался уважаемый автор ролика
@@Людына_Павук Там же написано, что сумма двух интегралов равна интегралу от единицы. Сумма интегралов - это сумма площадей под графиками. А интеграл единицы - это и есть площадь прямоугольника.
То "пи", то "пай", то "икс", то "экс". Вам бы определиться, вы для русскоязычной или для англоязычной аудитории объясняете. Раздражает такая манера объяснения. В остальном претензий нет.
Так он уже почти все умеет решать. Новая модель недавно появилась, основанная на математике, и она решает с точностью до 80-90% любые задачи, используется исследователями на данный момент как я знаю
@@kokoctv3600 Можно и втупую. Для этого исходный интеграл нужно разбить на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и от π/4 до π/2. Затем в интеграле от π/4 до π/2 произвести замену: y=π/2 - x, т.е. x=π/2 - y. И затем найти сумму двух интегралов с пределами интегрирования от 0 до π/4. Сумма двух подинтегральных выражений даст 1. А интеграл от 1 с пределами интегрирования от 0 до π/4 равен π/4.
@@Sergey12121979 Нет. Никаких догадок, никаких соображений симметрии. Единственно, разбить исходный интеграл пополам, чтобы при замене переменной получить котангенс, который уничтожит при суммировании тангенс. 😀
Примечательно, что результат никак не зависит от степени тангенса.
Да, именно так!
Кстати, слышал, что у англоязычных есть такая вещь как King's property, она заключается в том, что если у нас есть интеграл с а до b некоторой функции f(x), то этот интеграл будет равен интегралу с а до b функции f(a+b-x), в данном примере это применимо
Интересная задача и необычный подход
Можно формально, без рассуждений о симметрии. Такой примерно интеграл уже был у Михал Абрамыча. Там после подстановки выходило подинтегральное выражение с тангенсом
Разобьём начальный интеграл на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и
от π/4 до π/2.
Во втором интеграле от π/4 до π/2 произведём замену переменной: y=π/2 - x,
т.е. x=π/2 - y.
При этом в подинтегральном
выражении tg(x) заменится на ctg(y),
dx на (-dy),
пределы интегрирования на
от π/4 до 0 для новой переменной y.
Далее поменяем пределы интегрирования на от 0 до π/4, при этом заменим для компенсации знака
(-dy) на dy. И наконец, формально заменим во втором интеграле y на x, т.к. результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Тогда второй интеграл примет вид
${от 0 до π/4}[dx/(1+ctgⁿx)].
Здесь показатель степени n=√2.
Т.к. пределы интегрирования у первого интеграла такие же, объединим оба интеграла в один
${от 0 до π/4}[1/(1+tgⁿx) +
+1/(1+ctgⁿx)]•dx.
Осталось просуммировать члены подинтегрального выражения, приведя их к общему знаменателю:
1/(1+tgⁿx) + 1/(1+ctgⁿx)=
=[1+ctgⁿx+1+tgⁿx]/[(1+tgⁿx)(1+ctgⁿx)]=
=[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[1+tgⁿx+ctgⁿx+tgⁿx•ctgⁿx]=
=[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[2+tgⁿx+ctgⁿx]=1.
Таким образом, исходный интеграл равен
${от 0 до π/4}[1•dx]=π/4.
Зашёл в комментарии и нашёл ответ. И всё это меньше, чем за минуту, а значит я знаю матан.
🤭Не хочу вас огорчать, но в утверждении написано: Если не сможешь посчитать, следовательно не знаешь матан. А если сможешь, то не факт, что знаешь. Тем более не сами посчитали.
@@АлександрДороденко Я знаю, что не факт, что знаю, но знаю. Я к тому же посчитал его сам, ведь, прочитав решение, я сам его посчитал.
@@АлександрДороденко А если без шуток, то всё в моём комментарии логично. Действительно, автор написал, что тот, кто не решит, тот не знает матан. Я решил и написал, что "я решил, а значит я знаю матан". Значит ли это, что я написал: "я решил => я знаю матан". Нет конечно. Я фактически написал, что "(A(1) и A(2) и ... и A(n) и "я решил задачу") => ("я знаю матан")", где A(i) - какое-то утверждение. Так как вы не знаете ни одного A(i), вы не можете судить о правильности моего утверждения, ведь если например A(1)="я знаю матан", то я прав)
@@mp443 нет, не правильно. Вы знаете матан только потому, что вы его знаете. Но вы сделали вывод из утверждения автора, из которого не следует знание матана.
@@АлександрДороденко Читать разучились? Если нет - перечитайте ещё раз. Если да - с вами общаться не имеет смысла.
У меня 59 секунд ушло 🤯
Чуть из универа не вылетел😨
Дагестанского?
Супер ! Привет из Нюрнберга! Уважение к заданию и к ведущему !! Отлично !
Известный факт, что интеграл от 0 до pi/2 от функции 1/(1+tan^a x), где а принадлежит действительным числам, всегда равен pi/4
При a=0, pi/2 получается
@@RMNJO вы сказали, что действительны числа
@@АлександрДороденко Чё за бред. При a=0 подинтегральная функция константа и равна ½.
½•(π/2 - 0)=π/4.
Те же π/4.
@@АлександрДороденко пересчитал интеграл и вы, к сожалению, ввели меня в заблуждение, а я вам и поверил. Опять в интернете кто-то не прав и, к счастью, для меня, это вы
@@АлександрДороденко пересчитал интеграл, вы что-то напутали, все верно в моем комментарии
Интересное решение определенного интеграла, поздравляю
0:30 а кого-то даже и *отчислить*
Посчитал за секунду в уме 😎
неужели за секунду? почему не за полсекунды... надо тренироваться
@@alexnikola7520 =(
И как же ты понял, что получилось верно?
Посчитал за миллисекунду. Я победил 😅
@@alexandermorozov2248посчитал за планковскую секунду
Можно просто сделать замену переменной в интеграле на u=pi/2-x и формально поменять dx на -du со сменой пределов интергрирования, а затем поменять местами пределы, добавив перед интеграл ом знак минус 😅
Ну и как такое замечать*
А ведь эта функция под знаком интеграла не имеет первообразную.
Странно, раньше я думал, что если функция не имеет первообразную, значит, нужно использовать приближенное (численное) вычисление интеграла. Однако случайно получилось вычислить интеграл аналитически.
А если усложнить ту задачу: функция та же, однако пределы интегрирования другие?
Вы хотели сказать, не имеет первообразной, выражающейся в элементарных функциях?
Сама по себе первообразная для интегрируемой функции существует всегда.
очень красиво, сразу целый пласт олимпиадных задач вскрывается
Как площадь под графиком 2х функций мы получаем из площади прямоугольника? Я совсем тупой наверно
Это только не благодаря матану.
Восемьсот лет назад это решал но думаю упростить сперва
вроде св-во опред интеграла тут сразу можно применить - сумма нижнего и верхнего предела интегрирования минус аргумент = этому же интегралу... так котангенс и получается
а можно ли строго доказать независимость от степени тангенса?
Как раз "тупое" решение доказывает. Найдите моё решение пониже среди комментариев.
Упс, Вы знаете, автор канала нигде в своём решении не использовал конкретное значение показателя степени √2. Все выкладки справедливы для любого действительного показателя степени. Это и есть доказательство справедливости результата π/4 для любого действительного показателя степени.
Вернее, он в начале начал писать показатель степени √2, но ясно, что он мог вместо √2 написать букву, и ничего бы не изменилось. Все последующие выкладки никак не поменялись бы.
Прлучается, что любые степени ставь, любые фугкции и будет всегда один ответ. Посмотрел бы я на то, если бы не было предела интегрирования. Как бы выкручивался уважаемый автор ролика
Любые степени (действительные)- да.
Но, конечно, не любые функции.
ну правило Кинга выручает, но интеграл, если честно, не особо очевидный был)
я не понимаю как мы вычислили тангенс пи пополам. Он же не определен , а вы говорите , что он равен нулю ,
У меня в школе интегралы в сентябре в 8 классе начали преподавать.
глянул это видео, и понял, что математику я вообще не знаю.
Такая же фигня. Как в конце площадь под графиками получили из площади прямоугольника? Шозанах
@@Людына_Павук Там же написано, что сумма двух интегралов равна интегралу от единицы. Сумма интегралов - это сумма площадей под графиками. А интеграл единицы - это и есть площадь прямоугольника.
@@dfbdtrhgwtwd7149 спасибо, подумаю
Ура, видео
Отлично
почему такие легкие задачи? это высшая математика?!
Кншн.
Изи решил в уме с 78 попытки 😎
Изя решил? 😀
Изя всё с первой попытки решает, иначе это не Изя. 😀
@@Alexander_Goosevизи (easy)
@@nick3000cool_chanell Ну, и пиши на английском, иначе Изя выплывает. 😀
Вау
топово
уважаемый ведущий, а вы стесняетесь слово "товарищ"? Не надо.
Что-то против товарищей имеешь? Ты нам точно - не товарищ
@@МихаилДукор а ты сначала разберись, а потом тыкай незнакомым людям. "Нам" - это кому? За себя говори.
!
То "пи", то "пай", то "икс", то "экс". Вам бы определиться, вы для русскоязычной или для англоязычной аудитории объясняете. Раздражает такая манера объяснения. В остальном претензий нет.
На НАТО работает, судя по "камрадам"!
Такое даже ChatGPT умеет решать...
Так он уже почти все умеет решать. Новая модель недавно появилась, основанная на математике, и она решает с точностью до 80-90% любые задачи, используется исследователями на данный момент как я знаю
@@bloodycuite7138 ну типа того
С точностью 80-90 - это гарантированный вылет из МФТИ или с Мехмата МГУ.
я как балбес начал в тупую решать
@@kokoctv3600 Можно и втупую.
Для этого исходный интеграл нужно разбить на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и от π/4 до π/2. Затем в интеграле от π/4 до π/2 произвести замену:
y=π/2 - x,
т.е. x=π/2 - y.
И затем найти сумму двух интегралов с пределами интегрирования от 0 до π/4.
Сумма двух подинтегральных выражений даст 1.
А интеграл от 1 с пределами интегрирования от 0 до π/4 равен
π/4.
такая же фигня )))
@@Sergey12121979 Нет. Никаких догадок, никаких соображений симметрии.
Единственно, разбить исходный интеграл пополам, чтобы при замене переменной получить котангенс, который уничтожит при суммировании тангенс. 😀
@@Sergey12121979 Sorry, Вы правы та же фигня. Я сразу начал решать по-своему, не досмотрел ролик до конца. 😀
позор!
Какой же ты нудный.
Очень грубые объяснения! Нет доказательств
Всё математически строго. У Вас нет базового математического образования. Тут ничего уже не поделать. Поздно.
как же слух режет это твоё колхозное "эээээКс" - дизлайк
Американское, а не колхозное. 😀
Не возводи напраслину на американцев. 😀