Отличное видео, спасибо! На самом деле в теории вероятностей полно интересных контринтуитивных «парадоксов». Про парадокс Монти - Холла уже написали в комментариях, перечислю ещё два известных, возможно, кто-то найдёт их интересными. 1. Парадокс дней рождения. Вопрос звучит очень просто: сколько человек надо собрать в одной комнате, чтобы с вероятностью не менее 0.5 хотя бы у двух из этих людей совпали число и месяц рождения. Оказывается, всего лишь 23! Этот «парадокс» лёг в основу атаки дней рождения, она использовалась для поиска коллизий хэш-функций методом обычного перебора. 2. Задача о разборчивой невесте (проблема остановки выбора, secretary problem). Принцесса выбирает себе жениха из некоторого множества претендентов и, естественно, хочет выбрать самого лучшего. Претенденты в случайном порядке встречаются с принцессой, она может лишь сравнить очередного кандидата с предыдущими и принять/отвергнуть его предложение. Возвращаться к уже отвергнутым кандидатам нельзя. Вопрос: как построить стратегию с максимальной вероятностью правильного выбора? Интуиция (по крайней мере, моя) говорит, что сильно большой эта вероятность не будет, а будет очень маленькой, особенно, если кандидатов много. Однако, оказывается, существует стратегия дающая вероятность выигрыша примерно 0.37 (1/е) независимо от количества кандидатов! Алгоритм такой: отвергаем первые 37% кандидатов, а затем берём кандидата, лучшего чем все предыдущие. Это так называемый 1/е-закон наилучшего выбора. Задача, очевидно, переносится на множество практических ситуаций (таких как поиск подходящей работы или кандидатов на какую-то должность, например).
Ох, теория вероятностей вообще хорошо прочищает мозги. Много лет пытался разобраться в апостариорной оценки вероятности. Так пытался, и сяк и ничего, в в какой-то момент произошел качественный переход. Изучайте теорию вероятностей, пожалуй, самый изящный из общих разделов высшей математики.
@@TwilightSun32 сильно)) У меня был семестр теорвера и семестр статистики, все вопросы разбирались прямо в курсе. Беда в том, что тогда всё в одно ухо влетало, в другое вылетало, и уже через несколько лет после окончания вуза пришлось вернуться к этим вопросам самостоятельно.
Все у кого был теорвер в универе помнят тот момент, когда приходишь на первую лекцию и думаешь "да что там непонятного, там всё интуитивно понятно, изи ваще". И тут начинается множество всех исходов омега, подмножества, вероятность оказывается функцией на множествах и ты такой "да в смысле что это за фигня такая" =))
Ну работа интуиции всё таки зависит от того, какими данными вы её кормили. Можно (да и стоит) интуицию так натаскать, чтоб можно было интуитивно и более сложные вещи правильно оценивать.
Просто нужно помнить, что каждое сочетание событий порождает новое событие. И в случае трех событий - порождается четыре новых, а сочетание условий исходных событий в порожденных в общем случае зависит от природы самих условий исходных событий, а не вероятности каждого отдельного исходного события. Т.е. не наследуется, а переформулируется.
Мне прям оба примера вкатили. Один подвел к пониманию, второй вбил в голову смысл "зависимого" и "независимого" события. А я в вероятностях полный ноль.👍
Есть ещё интереснее: есть три конверта, в одном деньги. участник выбирает один из них. Далее ведущий убирает один конверт, который точно пустой. И игроку предлагается снова выбор, уже из двух оставшихся. И если игрок поменяет свой первоначальный выбор, то вероятность выигрыша окажется больше в два раза, чем если бы он остался при первоначальном выборе. Парадокс Монти Холла вроде бы
А разве не станет на 17%больше ? Было 33,(3) , а стало 50 Мы же не точно уверены , что тот конверт , который он выбрал был пустышкой . Если мы уверены , что и тот конверт был пустышкой , то кнч. шанс выигрыша станет на 34%больше ~в 2 раза больше .
В начале вероятность того, что деньги в выбранном конверте была 1/3, против 2/3 в двух других соответственно. Потом один заведомо пустой открыли, а значит, с вероятностью 2/3 деньги в другом конверте... На рисунке нагляднее было бы.
@@Denis_K. понял , но этот парадокс можно избежать , если не считать выбор одного из двух конвертов относительно прошлого выбора 1 из 3 , а считать выбор одного из 2 сравнительно с 1/3
7:54 На самом деле, это всё же парадокс. Это называется Правдоподобный парадокс - то есть здравый смысл говорит одно, а строгая логика другое. Другим примером такого типа парадоксов может быть парадокс Монти Холла. Вот видео про типы парадоксов: ruclips.net/video/l90X2_mkMaI/видео.html
я бы не сказал, что парадокс. интуитивно понятно, что событие С не независимо по отношению к совокупности событий А и В -- если случаются А и В ((1=2 и 2=3), С (1=3) не может не случиться. разве нет?
@@konstantintretyakov3951 Для совокупной независимости по определению кроме попарной нужна независимость любого события к любым произведениям остальных. Как Вы заметили, С зависит от АႶВ. Аналогично для А и В.
@@ninavoron12 да. просто выше охарактеризовали это как "парадокс" -- но мне это таковым не кажется (при всем моем дремучем невежестве в отношении теории вероятностей :-) ).
@@konstantintretyakov3951 парадокс - это в большинстве своём субъективное понятие, зависит исключительно от конкретного человека и его понимания даного явления. Поэтому я очень критически настроен к тому, что кто-то пытается "доказать", что что-то является или не является парадоксом.
Хотелось бы теперь увидеть обратное явление: вероятность одновременно трёх событий - произведение вероятностей каждого из них, а вот попарно не так. Очевидно, что такое должно быть, иначе при записи условий хватило бы только p(a,b,c) = p(a)*p(b)*p(c)...
тут пример тривиален: берем любую пару зависимых событий и докидываем к ним невозможное. Вероятность пересечения всех трех очевидно равна произведению вероятностей, т.е. нулю. А одно из попарных условий у нас нарушено по постановке задачи
@@ВадимЛюбимов-ш7ш можно взять три события, которые пересекаются лишь в одной общей точке, тогда вероятность любых пересечений - эта точка, например, элементарные события, случайное число от 1 до 27, A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} B={1,10,11,12,13,14,15,16,17} C={1,18,19,20,21,22,23,24,25}
@@ВадимЛюбимов-ш7ш пусть у нас есть числа от 1 до 8 и среди них выбрано одно случайное число x, событие А = {x = 1, 2, 3 или 4}, событие B = {x = 1, 3, 4 или 5}, событие C = {x = 1, 6, 7 или 8}. Вероятность каждого из этих событий одна вторая, вероятность их совокупного пересечения одна восьмая (это событие x = 1), вероятность пересечения A и B равна 3/8 (x = 1, 3 или 4), вероятность пересечения А и С равна 1/8 (х = 1), а вероятность пересечения B и C равна 1/8 (х = 1).
Борис, попробуйте разобрать следующую задачу: какова вероятность, что треугольник, образованный тремя точками окружности, включает в себя её центр(вроде вероятность 1/4). Или вообще в трехмерном пространстве тетраэдр включает в себя центр сферы.
Про монетки получается, что вероятность выпадения всех одинаковых тем меньше, чем кол-ва монет. Хотя интуитивно такое может случится. И последнее равенство это доказывает
Пример с монеткой понравился. Классический пример N зависимых случайных величин, любые N-1 из которых независимы - это вектор из N независимых стандартных бернуллиевских величин, обусловленный по тому, что сумма его компонент чётна. Пример с монеткой о том же самом, но монетку легче объяснить. Апгрейд: Я часто на собеседовании давал такую задачу: если в трёхмерном случайном векторе любые две компоненты образуют стандартный двумерный гауссовский вектор, верно ли, что этот трёхмерный вектор - гауссовский?
причина парадокса на самом деле в том, что формальное определение "независимости" двух событий отличается от бытового понимания "независимости". Фактически в бытовом понимании все описанные события зависимы, просто они так хитро зависимы что выполняется правило про произведение вероятностей. Это примерно как псевдослучайные числа - на хороших псевдослучайных числах математика работает как на случайных, но бывают нюансы. Это конечно я философию написал. Для математики просто надо помнить что если что-то назвали каким-то словом то надо всегда сверяться с определением, а не со своим пониманием этого слова.
Не по теме видео, но было бы интересно услышать от вас, почему мы в большинстве жизненных ситуаций, высчитываем среднее арифметическое, а не геометрическое или ещё какое... Например, если у одного человека 4 яблока, а у второго 6, то в среднем у них по 5 - среднее арифметическое. В чём вообще различия всех средних с практической точки зрения? Хотелось бы услышать ваши размышления и мысли по этому поводу
Среднее арифметическое - это отличный способ манипуляции статистикой, например, средняя зарплата. Как не посмотришь на среднюю - ну, вполне неплохо живем. Но тут как раз, получается, что у одного зарплата 1 миллион в месяц, а у 100 человек - 10 000. Средняя получается 1М + 1М = 2М / 101 =~19800. Однако, если посмотреть медиану - то там все не так радужно, получится именно 10 000, потому что уйдут сверхзаработки отдельных людей. Есть еще мода, но она подходит, когда число возможных значений сильно ограничено, ну или для зарплаты вместо конкретных значений брать какие-то диапазоны значений, например - от 0 до 10К, от 10К до 20К. Поэтому нужно учить матстатистику, хотя бы для понимания того, как тебя пытаются обмануть :)
Мне кажется неочевидные примеры занимательнее, например, для броска кубика: A={результат не делится на 2}, B={не делится на 3}, C={простое число}, тогда равенство не выполняется лишь для P(AC). Интересно, существует ли пример для произвольного множества подмножеств N событий.
Здравствуйте Борис. Мне кажется пример с монетками некорректен. т.к. из условия очевидно что любое из событий напрямую зависит от двух других, тоесть если выполняются любые два, то третье выполняется автоматом. Или я чего то не уловил? Ну в том смысле что логика тут не пробуксовывает и считать нет необходимости. Дошел до тетраэдра, та же ситуация. выполнение двух условий сразу, автоматом за собой тянет третье, т.к. это возможно только при выпадении стороны с тремя цветами. И тут хоть сто граней возьми, если выполнятся два любых, то все остальные автоматом будут выполнены. Что я нет так понимаю или примеры некорректны? Подскажите пожалуйста.
Так именно об этом и речь, и весь ролик. На первый взгляд все три события независимы друг от друга. А на деле это не так - если выпало А и В, то и С выпадает автоматом. То есть события зависимы. И примеры корректны
Это просто примеры того, что если если рассматриваемые события попарно независимые, то из этого вовсе не следует, что они все вместе являются независимыми.
@@АртемДаниленко-й1о Пересмотрел ролик еще раз. Когда в нем говорится абстрактно про некие события и если ты совсем далек от тервера то да, кажется именно так как говорит Борис. В любых вариантах один на один события не зависимы, почему же нужно проверять общую зависимость. И вот тут как раз упускается или опускается умышленно момент что когда событий больше двух их можно сравнивать не только как 1 к 1, но и как 2 к 1(или даже больше если событий еще больше). И вот это 2 к 1 в приведенных примерах сходу очевидно и не требует дальнейших расчетов что бы сказать что да события не обладают полной независимостью. Отсюда и возникли вопросы. Во первых даже имея базовые представления о тервере тебе не нужно объяснять зачем общее сравнение. Как раз называй как хочешь, интуиция\логика подсказывает что комбинаций больше чем 1 на 1. Во вторых раз уж приведенные примеры на столько очевидны, есть ли примеры которые не столь очевидны и их как раз нужно посчитать и согласится, что да при таких условиях логика\интуиция пробуксовывает и не сразу понятно что при данных исходных нужно что то считать и проверять. Простыми словами я не понял в каком месте интуиция\логика должны буксовать и почему? Касаясь данной темы и примеров.
@@SergeyPuzankov воооот в этом и вопрос, в какой момент человеку интуиция говорит что не нужно проверять более сложные комбинации если простые сошлись )))
Когда было сказано про три события, я догадался, что они могут быть зависимы все три вместе. Но это действительно совсем не интуитивно, если бы не было намёка, почти наверняка я бы благополучно не заметил, что независимость трёх пар не означает независимости всей тройки. Хотя, если подумать, это чем-то похоже на комбинаторику, можно проассоциировать, чтобы вспоминать в нужный момент.
Там переформулировать надо условие: не искать, что 2 сядут рядом, а "дать первой сесть куда захочет", что не влияет на вероятность, и считать, сколько благоприятных исходов у второй сесть рядом с ней (спойлер: всегда 2 таких исхода), дальше только остаётся поделить на количество всего оставшихся свободных мест (общее количество минус 1, т.к. одно заняла первая подруга и туда сесть вторая никак не может)
Интересно а можно ли составить пример с обратным парадоксом? Когда по условию второе событие фактически зависит от первого, но сама зависимость такая, что произведение будет выполнятся и следовательно формально эти события будут считаться независимыми
В данном случае разобран пример с ложнонезавимыми событиями. Поэтому для составления обратного примера нужно найти ложнозависимые события. Пожалуйста: по статистике каждый, кто пил воду, обязательно умрет. Какова вероятность того, что ты умрешь, выпив стакан воды?
Мне не нравится такая формулировка двух независимых событий, особенно на начальном этапе. Как Вы считаете, годится ли словесная : "если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого" или есть какая-то тонкость?
Можно былл без всяких подссетов понять, что три события в совокупности не независимы. Если происходят первые два, то уже точно происходит третье. (В примере про монетки).
Начинаю сомневаться в определении независимых событий. По определению если вероятность наступления а и б равна произведению их вероятности то это незивисимые события, и в случае с тэтраидром так и получилось. НО из условия задачи они определенно не являются независимыми!!!! Ведь выпадение грани одного цвета например красного означает невыпадения другого, а выпадение тоже красного но не обязательно только красного означает что другой цвет в части исходов так же выпадет, эти события зависимы хоть они и удовлетворяют определению
Борис, не услышал слово "исход", а его применение позволило бы не сбиться с пути. Просто в этом случае имеется 8 исходов опыта. А события "назначены" таким образом, что два исхода попадают в разные события. События перекрываются. Аккуратнее надо группировать исходы по событиям.
А в чём проблема и где «сбой с пути»? Здесь нет ни того, ни другого. Формировать события из элементарных можно произвольно, события никак не обязаны не пересекаться.
Так и не понял, в чем тут "парадокс"? Из описания условий обоих сюжетов сразу интуитивно понятно, что события не являются независимыми: в обоих случаях одновременное выполнение условий любой пары событий означает и выполнение условия третьего события,а значит они не независимы. И даже на уровне простого определения независимости событий это кажется интуитивно понятной штукой: множество событий независимы, если для каждого события, условия его выполнения никак не следует из объединения условий любого подмнодества остальных событий, поэтому только попарной независимости событий очевидно недостаточно
В примере с пирамидкой события не являются независимыми, хотя формула "умножения вероятностей" якобы работает. Для независимых событий манипулирование вероятностью одного из событий не влияет на вероятность второго и не влияет на принцип расчета вероятности одновременности событий. Например есть два мешочка с 5 белыми и 5 черными шариками в каждом. Вероятность того что достав по одному шарику из каждого оба будут белыми 0.5*0.5=0.25. Если мы из первого уберем все черные, то вероятность вытащить по одному белому будет 1*0.5=0.5, то есть изменив вероятность события "белый шарик из первого" мы не повлияли на итоговую взаимосвязь между значениями вероятностей события по отдельности и того что произойдут оба события. Теперь к пирамидке. Рассмотрим только два события: нижняя грань имеет красный цвет и нижняя грань имеет синий цвет. При той раскраске из ролика вероятность события К - 0.5, события С - 0.5 и вероятность события К+С = 0.25. Казалось бы формула работает, но изменим вероятность события К - закрасим зеленую грань красным. Тогда вероятность события К станет 0.75 (цвет есть на трех гранях), вероятность события С - останется без изменений - 0.5, а вероятность одновременности событий К и С так же останется 0.25, что уже не вписывается в формулу, а значит формула в этом случае была с самого начала не применима, а то что Р(К и С) было равно Р(К)*Р(С) не более чем совпадение. Также мы не можем разнести события по времени, то есть мы не можем узнать результат события К и не узнать при этом результат С. Собственно формулу можно отнести к "необходимому" но не к "достаточному" условию. Касаемо монет там сложнее, проще, понятнее, непонятнее и не все так "радужно" одновременно: рассмотрим пару событий: А(1=2) и В(2=3). Если изменить вероятность А, не меняя вероятность В, например вместо первой монеты взять "трехстороннюю", то вероятности Р(А)=1/3, Р(В)=1/2 и вероятность Р(А и В) станет 1/6, то есть формула продолжит "работать", и события как бы не связаны, но появление информации о наступлении или не наступлении события С(1=3) - А и В сразу становятся связанными. Короче все запутано, но да, попарно они все еще остаются несвязанными. А еще отдает "парадоксом о старшем сыне"
Ну просто в теории вероятностей независимыми считаются не только то события, которые "интуитивно независимы" (например когда они разнесены во времени, говорят про разные предметы), но и те, для которых выполняется формула P(A & B) = P(A) * P(B), даже если эта формула верна только при определенных значениях вероятностей. На дальнейшие вычисления это никак не влияет, так что ничего страшного в этом нет. У теории вероятностей нет цели точно описать то, что мы интуитивно называем независимым, а дать инструмент, который будет применим во всех интуитивных ситуациях, но возможно и в некоторых других.
Это важно учитывать для следующей записи. P(A "и" B "и" С) в данном случае нам будут удовлетворять варианты (ООО, РРР) из 8 возможных. Из этого эта вероятность будет 1/4
как мне кажется, утверждение "два события являются независимыми если их совокупная вероятность равна произведению их вероятностей" является некорректным - это необходимое условие, но отнюдь не достаточное - т.е. такое равенство является признаком независимости событий, но не является критерием независимости - это вы перепутали причину и следствие - рассмотрим последнюю задачу, но с кубом, у которого 5 граней имеют свой цвет, а шестая имеет все 5 - в этом случае вероятность выпадения какого-либо цвета 1/3, а вероятность выпадения любых двух цветов одновременно 1/6 - что не равно 1/3*1/3=1/9 - т.е. в случае с тетраэдром данное равенство является просто числовым совпадением - и с монетами все то же самое - т.е. попарная вероятность событий хотя численно и равна произведению вероятностей событий, но на самом деле эти события не являются независимыми изначально - так что с правильной интуицией все будет работать - попарные события не являются независимыми изначально, следовательно и совокупность всех событий не является независимой корректное утверждение: для независимых событий произведение их вероятностей равно вероятности совокупности этих событий - т.е. мы утверждаем формулу для заведомо независимых событий - для зависимых эта формула может выполняться, а может и нет
Кажущийся парадокс с тремя монетами потому, что вероятность наступления первого события равно 1. То есть нам по барабану, что выпадает на первой монете.
Это не требует разбора. Вы делаете выбор, который правильный с вер. 1/3, другие два верны с общей вер. 2/3, один из них выпадает, значит оставшийся из тех двух правильный с вер. 2/3.
@@Mikhail_Zaitsev До этого дойти надо) Тут просто в чем проблема и почему это парадокс - он не столько парадоксальный сам по себе, сколько ломающий логику
Путаница в том, что есть вероятность нахождения приза после первого выбора (1/3 и 2/3) и вероятность окончательного выбора игроком (1/2 и 1/2). В результате полная вероятность выигрыша будет равна 1/3 * 1/2 + 2/3 * 1/2 = 1/2. Вот на этой путанице и манипулируют сознанием.
Помню, мне в начале курса по ТерВеру мозг взорвала следующая задача: если в центре окружности закрепить стрелку (длиной в радиус) и крутануть ее, то какова будет вероятность попадания в определенную точку?)
Так я не понял? Вероятность выпадения 3 раза одинакового профиля у монеты всё равно ведь 1/4. С точки зрения пересечения трёх множеств - да 1/8 каждого исхода. Но исходов нас удовлетворяет то 2? Значит всё равно 1/4. Или что вообще Трушин хотел сказать?
Здравствуйте. Что хотелось бы сказать про видео. С чего хотелось бы начать? Не знаю, как это правильно сказать, но разве брать именно такие (*1*) Р(А), Р(В), Р(С), когда соответственно 1=2, 2=3, 3=1, не странно. Потому что если отстраниться от этих вероятностей и взять просто вероятность выпадения Орла (а так же и Решки) на монете (т. е. 1/2). То вероятность выпадения 3-ех Орлов равна 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8, но и для Решки тоже это значение равно 1/8, получается, что выпадение 3-ех одинаковых монет равно 1/8 + 1/8 = 1/4. А в случае (*1*) интуитивно кажется неправильным накладка 1 на 1, 2 на 2, 3 на 3. Т. е. если взять систему 1=2, 2=3, 3=1 и сложить то получится 1(×2)=2(×2)=3(×2) и как раз таки здесь вылазит та двойка в событии Р(АВС) т. е. 1/8 в 2 раза меньше, чем 1/4. Ну вроде все, а вообще контент у вас отличный, люблю смотреть ваши ролики по вечерам после школы, удачи вам!
Теория вероятностей очень расходится с так называемым интуитивным восприятием. Именно псевдопарадоксы из области теории вероятностей наглядно демонстрируют это расхождение. Из классических и простых (относительно) это псевдопарадокс Монти Холла, а также ложный вывод Монте Карло (Ошибка игрока). Последний в свою очередь как раз подчеркивает непонимание (возможно даже какое-то непринятие) обывателем разницы между зависимыми и независимыми событиями. На самом деле этот момент достаточно интересен (по крайней мере мне всегда был). Я полагаю, что само устройство нашего мышления (как минимум его базовые уровни) сродни некоторому вероятностном автомату. По этой причине и происходят некоторые коллизии на более высоких уровнях мышления. Однако это всего лишь предположение. Даже для тех, кто работает в области теории вероятностей (а не обывателей) иной раз простые (относительно) вещи не укладываются сразу в голове, они кажутся совсем не очевидными.
есть похожая задача, где нужно подкидывать орел и решку и записывать получившуюся последовательность. А на другом листке можно написать что-угодно от балды, хоть одни орлы или одни решки. А противник должен взять один из листков и угадать - это реально сгенерированная последовательность или она написана просто так. И утверждается, что якобы вероятности одинаковы, даже если там будут одни только орлы или одни только решки. Ну типо потому, что любая последовательность могла выпасть с одинаковой вероятностью, события то независимы. Тоже ведь глупость! Если мы знаем, что соперник должен был бросать реальную монету, то вероятность что он получил бы РРРРРРРРРР или ООООООООО гораздо меньше, чем какая-нибудь последовательность вида РООРРРОРОО или т.п. Ибо нужно учитывать ещё и наличие второго листика, где последовательность точно написана от балды. И вероятности тут будут сложные.
@@mrgoodpeople Если я правильно понял о чём ты, то там ведётся речь о том, что последовательность, грубо говоря, "не чувствует" красоты, которую ты туда выносишь. На самом деле это тоже такая интересная тема со всякими приколами в мышлении людей. По типу: люди считают что последовательность 111111 "менее случайна", чем 100110. Как бы чувствуется, будто бы 111111 слишком "красива", чтобы быть случайной. На самом деле это не так. Это как раз всё к ложному выводу Монте-Карло. Возьмём для простоты 16 вариантов выпадения последовательностей из 0 и 1. Под 0 и 1 может быть всё что угодно: чёрное и белое, орёл и решка - неважно. 0000 0001 0010 ... 1110 1111 Легко понять, что всего таких возможных последовательностей будет 16, а значит в неких абстрактных идеальных условиях (без всяких мухляжей) выпадение каждой из этих последовательностей равновероятно, т.е. с точки зрения вероятностей нет разницы выпадет тебе "красивая" последовательность 1111 али 0000 вместо "уродской" 1011 али 0111. Это в твоём восприятий они такие. А вероятность выпадения любой из этого набора будет 1/16. Тот самый момент, когда понимаешь, что выпадение 10 раз подряд, например, орла при подбрасывании монетки не является чем-то удивительным и произойдёт даже в идеально кристальных честных условиях аж 1 раз из всего-то 1024 случаев. Это кажется малый шанс (снова же в отрыве от ситуации, как-то интуитивно), ОДНАКО представь, что ты кидаешь же монетку не один, а дохера людей играют в эту игру по всему миру. А значит из 102400 игр мы ожидаем аж целых 100 таких "невиданных" случаев. Добавь к этому ещё с пяток разрядов, ведь такие игры проводятся не только раз в жизни, да и людей много больше одной сотни и всё как-то по чуть-чуть начинает вставать на свои места. Уже немного начинает попутно сходить некий эгоцентризм. Сумбурно немного, но как-то так.
@@grigoriikuchumov2277 да ещё вспомнить, что монетки не бывают идеальными и шанс одной стороны на пару процентов выше, что ещё увеличивает вероятность одинаковых результатов.
@@grigoriikuchumov2277 речь немного не о том. Речь была не о вероятности выпадения какой-то конкретной последовательности (они конечно равны), а именно о вероятности того, что данная последовательность была получена случайно, а не написана наугад. И если у нас по условия есть два листа с такими последовательностями (одна случайная, вторая нет) и нам попадается "1111", то это с большой долей вероятности получилось не случайно. Дело в том, что в такой постановке задачи мы должны учитывать СЛОЖНЫЕ вероятности. У нас составное событие: (1) наша последовательность случайна + (2) другая последовательность неслучайна. Ну или наоборот. И вот тут шансы уже совершенно не одинаковые. Например если нам попалась 1111, то вряд ли в другом конверте такая же красивая последовательность 1111 или 0000. Их общая вероятность 2/16. Только в этом случае шансы что наша 1111 случайная - 50%. Но с вероятностью 14/16 в другом конверте будет что-то "некрасивое", вроде 1010. И вообще наиболее вероятно, что кол-во нулей и единиц будет более менее равное. Просто таких комбинаций больше. А раз так, значит наша 1111 скорее всего неслучайна.
@@mrgoodpeople Хм... Так если условия идеальные, то есть нет каких-то подтасовок с красивыми номерами и прочее, то именно нет. Они действительно могут выпасть и таким образом. "Красота" в нашей голове. Нам, как людям, нравится некая симметричность и пр., некоторые люди отдают предпочтение каким-то ещё там номерам (субъективно "красивые"). Тут проблема встаёт уже другая. Что являет собой конкретная случайность? Например, если мы будем генерировать эти последовательности на компе, то это будет псевдослучайная последовательность, она не будет именно случайной. Потому что генераторы "случайных" (на самом деле псевдослучайных) чисел в компе работают по конкретному алгоритму. Есть много вариантов, однако самый простой и классический с инициализацией генератора псевдослучайных чисел временем. С людьми всё ещё проще, однако одновременно сложнее. Полагается, что человеку сгенерировать именно случайное число вообще невозможно, оно в любом случае случайным не будет (тут открывается поле для всяких ментальных трюков, например, с выбором нужной карты для менталиста-иллюзиониста и пр.). В общем, если мы рассматриваем идеальные абстрактные примеры без сложных математических моделях, то тут всё однозначно. Если же мы хотим копнуть поглубже, то модели очень сильно усложняются.
@@chech705 я по памяти немного некорректно сформулировал. ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%91%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0_(%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)
а есть примеры когда произведение трех вероятностей событий равно вероятности одновременного получения событий, а попарно - нет? эти примеры из видоса как раз интуитивно понятны
Да, конечно. Простой пример. Бросаем обычный игральный кубик, один раз, исследуем три события: A, B и C. События A и B определим одинаково - выпало 1, 2 или 3. Событие C - выпало 3, 4, 5 или 6. Тогда вероятности рассматриваемых отдельно событий A, B и C равны соответственно 1/2, 1/2 и 2/3. Произведение этих вероятностей равно 1/6. Вероятность того, что произойдут все три события, очевидно, есть вероятность того, что выпадет тройка, потому что никакое другое возможное число не соответствует всем трём событиям. То есть произведение вероятностей этих трёх событий действительно равно вероятности этого тройного совместного события. Тем не менее ни для какой пары событий вероятность их совместного происхождения не равна произведению их вероятностей. Скажем, вероятность происхождения и события A, и события B равна, очевидно, 1/2, а не произведению их вероятностей (1/4). Вероятность того, что произойдут события A и C, равна 1/6, а произведение их вероятностей равно 1/3.
Я не увидел парадокса. Суть в том, что в случае с монетками мы ищем шанс того, что выпадет 3 орла подряд, а цель поставлена: "Найти шанс того, что выпадет 3 орла или 3 решки подряд." Короче, если мы ищем, шанс для того, чтобы найти 3 орла подряд, то имеем: Шанс в 1-ом броске=1/2, во 2-ом броске=1/2, в 3-ем броске 1/2, перемножаем, и получаем, что шанс, что выпадет 3 орла подряд=1/8. Этот шанс аналогичен и для 3 решек. Следовательно, шанс того, что выпадет 3 орла или 3 решки=1/8+1/8=1/4. Вот и всё. Можно пойти другим путём, нам нужен шанс выпадения 3 решек или 3 орлов подряд. В 1-ом броске шанс выпадения подряд 1 решки или 1 орла=100% или 1. Во 2-ом броске шанс, того что будет уже 2 подряд орла или решки 1/2(если не понятно почему, напишите, отвечу). И так, если в 2 прошлых бросках мы получили 2 подряд решки или орла, то шанс того, что в 3 броске мы получим 3 подряд орла или решки=1/2, аналогично со 2-ым броском. Для того чтобы найти общую вероятность перемножаем 1*(1/2)*(1/2)=1/4. Также получаем 1/4. Повторюсь нет парадокса, я думаю, что парадокс между интуицией и теорией вероятностей возникает из-за того, что мозг считает шанс того, что выпадет три орла подряд(или решки, но ПО ОТДЕЛЬНОСТИ, либо ТОЛЬКО 3 решки, либо ТОЛЬКО 3 орла).
Интуиция - это всего лишь отображение наших знаний. Для двух человек интуитивно понятными могут быть буквально противоположные выводы. Буквально на следующий день после выхода этого видео был выложен перевод из Veritasium, где говорится, что в каждом из нас живёт 2 человечка. Один отвечает за решение задач, он не спешит думать и не полагается на интуицию. А другой собирает ту информацию, которую достаточно часто решает первый, и готов выдать быстрое решение, если снова увидит такую же или похожую задачу. Когда мы полагаемся на интуицию, мы как бы подаём запрос второму человечку, который может выдать правильный ответ, если мы это уже не раз решали, или просто решали что-то близкое, и ответ совпал (или просто похожий). Но если мы решали что-то близкое, но ответы совсем разные этот человечек даёт нам неправильное решение. Наконец встречается третий случай, когда ничего похожего мы не делали и второй человечек не готов выдать ответ, то у нас остаётся два варианта - дать решить задачу первому человечку (но это уже не интуитивное решение) или угадывать ответ. Неправильно думать, что угадывание - это интуиция, так как зачастую на тот же вопрос в разные дни мы можем дать разные ответы без любых предпосылок, так как попросту не знаем как отвечать. Что касается этих задач, то для меня уже немного контринтуитивной выглядит попарная независимость событий, так как легко видно, что если разложить эти события на элементарные составляющие, то они пересекаются. То есть одно и то же элементарное событие (например, выпадение трехцветной грани во втором случае) приводит сразу даже не к двум, а ко всем троим событиям, которые мы рассматриваем.
Так вроде в последнем примере надо считать наоборот - какова вероятность что выпадает грань со всеми цветами. А какова вероятность что выпадает один цвет. А например если выпадает грань со всеми цветами- казино забирает вашу ставку :).
На самом деле даже интуитивно можно догадаться , что необходимо условие P(AnBnC)=P(A)P(B)P(C), Вот допустим, мы проверили, что событие C не зависит от А и B . То есть не важно случилось ли событие А или B, но что если случились оба события. Быть может так, что по отдельности А и Б не влияют на С, но если они случились одновременно, то уже влияют. И тогда нужно по сути проверить условие P(KnC)= P(K)P(C) , где K - AnC, и тогда получим P(AnBnC) = P(KnC)= P(K)P(C) = P(A)P(B)P(C) .
1)ООО 2)ООР 3)ОРО 4)ОРР 5)РОО 6)РОР 7)РРО 8)РРР Из условия : А : 1 = 2; В : 2 = 3 ; С : 3 = 1 При А и В нам подходят варианты где все монеты на одинаковой стороне, а это 1) и 8) При А и В и С - аналогично, просто добавляется и так выполнявшееся условие 3 = 1 значит вероятности равны
В нашей вселенной нет никаких событий, они есть только в абстрактном мире математики, да и то находятся внутри вольера под названием "теория вероятностей по Колмогорову" и за пределы не вылезают)
...Если взять 2 монетки, то вероятность выпадения орла на первой монетке Р(А)=1/2 и вероятность выпадения орла на второй Р(В)=1/2, значит вероятность что будут орлы на обеих 1/4, потому что они перемножаются, а если мы хотим именно одинаковые результаты на двух монетках, то придется применить формулу где есть еще вероятность решки но так как она тоже =1/2, то будет выглядеть так : Р(А)Р(В)+Р(А)Р(В)... разве нет, тоо есть для трех монеток там будет нуу например все три монетки должны быть одинаковы тогда формула то будет опять же с ИЛИ то есть вероятность орла на трех монетах Р(А)Р(В)Р(С) будет складываться с вероятностью решки(ТАКОЙ ЖЕ) Р(А)Р(В)Р(С) и будет 2/8, то есть 1/4...надуманная проблема какая-то
Ну допустим даже что событие А как в видео (1/2) это когда 1 и 2 монетка имеет одинаковый рисунок и В и С там 23 и 13...ну здесь вероятности орла и решки то не показаны , то есть перемножая эти вероятности все три Р(А)Р(В)Р(С) мы находим вероятность выпадения только орла ну или только решки на трех монетах, а чтобы получить именно одинаковые результаты нужно прибавить вероятность выпадения другой стороны на всех трех, разве нет?
Ну допустим, представить как два события начинают вдруг совместно влиять на третье я могу. А наоборот? То есть был факт P(A&B&C)=P(A)*P(B)*P(C). Как может получиться, что P(A&B) не равно P(A)*P(B) ? Я про необходимую четыхерэтажную запись если что.
возьми в примере с пирамидкой и закрась зеленое красным. тогда вероятность что нижняя грань красная 3/4, то что она синяя - 1/2 (без изменений), а то что там и красный и синий - тоже не изменится и останется 1/4, и при этом (3/4)*(1/2) не равно 1/4, хотя без дополнительно красной грани "формула" работала. я к тому что выполнение P(A&B&C)=P(A)*P(B)*P(C) может быть просто совпадением, а не закономерностью
Вероятность выкинуть первой монетой орёл = 1/2. Вероятность выкинуть второй монетой орёл = 1/2. Также и для третьей монеты. Все события независимы в совокупности, поэтому вероятность выкинуть три орла подряд = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8
Группа независимых событий - такие n событий, что результат одновременного выполнения этих событий невозможно получить одновременным выполнением меньшего количества событий
Насчет первого сюжета: Вероятность 1/4 это если нам неважно какой стороной выпадает первая монетка, после чего вторая и третья должны совпасть с ней, т.е. какой стороной должны выпасть вторая и третья монетки зависят от первой. Вероятность 1/8 если мы фиксируем какой стороной должны выпасть все монетки т.е. уже нет зависимости от первой монетки и поэтому мы получаем 1/8. По-моему это так.
Однако событие "сторона ТАКАЯ ЖЕ, как у другой" никак нельзя назвать независимым. Правильность стороны второй монеты из пары начинает сразу зависеть от первой. Вообще выходит, что события взаимосвязанного множества нельзя считать независимыми. Осталось определить «взаимосвязанность».
В случае с монетами событие C это ровно то же событие, что и B. Они взаимозаменяемы. И они оба зависят от A, так как их определение ("такая же" или "не такая же" сторона) зависит от результата A.
Поддерживаю темы про вероятность! Хотелось бы про формулу Байеса и её использование в мат.статистике - то, что из-за полученных наблюдений функция распределения вероятности модифицируется или "уточняется" относительно изначальной модельной при помощи формулы Байеса. И что этот подход делит математиков на два лагеря - одни считают, что это объективно и это верно, другие (т.н. "частотники") считают, что это математическая ересь. P.s. надеюсь, я достаточно аккуратно выразился про то, что имел в виду, буду рад, если кто-то из комментаторов уточнит мою мысль.
это никакой не парадокс конечно. В обоих примерах если А и В случились, С не независимо, а тоже случилось без вариантов. Т.е. Р(С | A & B) = 1, а не Р(С) = 1/2.
Немного подумал и оказалось, что общая картина для всех возможных зависимостей у N событий выглядит совсем очевидно, например при N=3. 1) Вероятности ABC, AB, A не убывают, ведь события A,B,C можно нарисовать кругами Эйлера и картина становится очевидной. Значит вероятности для 8 групп событий (1,A,B,C,AB,BC,CA,ABC) представляют собой частично упорядоченное множество по принципу вложения. 2) События A и B будут независимыми, если среди всех возможных значений от 0 до min(P(A),P(B)) выбрать P(AB)=P(A)P(B). Диаграмму Эйлера можно заполнить любыми подходящими числами и картинка сразу станет явной моделью вероятностного пространства. 3) Пример, построим частично упорядоченное множество для заполнения диаграммы Эйлера. Пусть равенство выполняется для групп AB, BC и не выполняется для CA, ABC. Положим P(A)=P(B)=P(C)=1/3, P(AB)=P(BC)=1/9, P(CA)=1/6, P(ABC)=1/18, т.е. если надо, один из множителей произведения заменяем на 1/2, частичная упорядоченность всегда обусловлена неравенствами 1/3 > 1/6 > 1/9 > 1/18 > 1/27 или 3 < 6 < 9 < 18 3 диаграмму Эйлера проще рисовать в (N-1)-мерном пространстве, частичную упорядоченность можно гарантировать неравенствами N < N(N-1) < NN < NN(N-1) < NNN < ...
Поддерживаю. Дело даже не в том, что он не так понятен, а в том, что его везде объясняют неаккуратно, а потому становится неясно, с чего вдруг сказанное на видео верно.
Следующий ролик "В интернете опять кто-то не прав!" С разбором своего примера про монетки)
Отличное видео, спасибо!
На самом деле в теории вероятностей полно интересных контринтуитивных «парадоксов». Про парадокс Монти - Холла уже написали в комментариях, перечислю ещё два известных, возможно, кто-то найдёт их интересными.
1. Парадокс дней рождения. Вопрос звучит очень просто: сколько человек надо собрать в одной комнате, чтобы с вероятностью не менее 0.5 хотя бы у двух из этих людей совпали число и месяц рождения. Оказывается, всего лишь 23! Этот «парадокс» лёг в основу атаки дней рождения, она использовалась для поиска коллизий хэш-функций методом обычного перебора.
2. Задача о разборчивой невесте (проблема остановки выбора, secretary problem). Принцесса выбирает себе жениха из некоторого множества претендентов и, естественно, хочет выбрать самого лучшего. Претенденты в случайном порядке встречаются с принцессой, она может лишь сравнить очередного кандидата с предыдущими и принять/отвергнуть его предложение. Возвращаться к уже отвергнутым кандидатам нельзя. Вопрос: как построить стратегию с максимальной вероятностью правильного выбора? Интуиция (по крайней мере, моя) говорит, что сильно большой эта вероятность не будет, а будет очень маленькой, особенно, если кандидатов много. Однако, оказывается, существует стратегия дающая вероятность выигрыша примерно 0.37 (1/е) независимо от количества кандидатов! Алгоритм такой: отвергаем первые 37% кандидатов, а затем берём кандидата, лучшего чем все предыдущие. Это так называемый 1/е-закон наилучшего выбора. Задача, очевидно, переносится на множество практических ситуаций (таких как поиск подходящей работы или кандидатов на какую-то должность, например).
А вроде отвергать надо не первые 37% а первые N/е?
@@SK-kt1jq да, конечно, Вы правы. 1/е - это примерно 36.8%, решил округлить:)
Спасибо за комментарий)
Ох, теория вероятностей вообще хорошо прочищает мозги. Много лет пытался разобраться в апостариорной оценки вероятности. Так пытался, и сяк и ничего, в в какой-то момент произошел качественный переход.
Изучайте теорию вероятностей, пожалуй, самый изящный из общих разделов высшей математики.
как,получилось разобраться?
@@OnePunchman-jl9fe да, я преподаю теорвер.
да, полезная штука. в универе занимался этими вопросами немного. у нас даже отдельный курс был "парадоксы тервер и матстат"
@@TwilightSun32 сильно)) У меня был семестр теорвера и семестр статистики, все вопросы разбирались прямо в курсе. Беда в том, что тогда всё в одно ухо влетало, в другое вылетало, и уже через несколько лет после окончания вуза пришлось вернуться к этим вопросам самостоятельно.
Астрологи объявили неделю Теории вероятностей. Количество роликов по теории вероятностей выросло вдвое.
вероятно это лишь совпадение =)
@@mrgoodpeople
Каждая случайность не случайная.
@@LEA_82 современная физика кстати думает иначе =). она говорит, что в основе природы чистая случайность, первородная так сказать =).
Вероятно это влияние алгоритмов ютуба на вашу ленту;))
Спасибо!
Все у кого был теорвер в универе помнят тот момент, когда приходишь на первую лекцию и думаешь "да что там непонятного, там всё интуитивно понятно, изи ваще".
И тут начинается множество всех исходов омега, подмножества, вероятность оказывается функцией на множествах и ты такой "да в смысле что это за фигня такая" =))
В связи с тенденцией к увеличению количества роликов по теории вероятностей ждем коллаба Трушина и Райгородского
Это будет катарсис
боюсь, как бы не кокнуло
кАтарсис или катАрсис????????
Реально крутой контент, очень интересно и полезно. Спасибо
Ну работа интуиции всё таки зависит от того, какими данными вы её кормили. Можно (да и стоит) интуицию так натаскать, чтоб можно было интуитивно и более сложные вещи правильно оценивать.
Интуиция это высшая способность, от которой зависят остальные
Спасибо, я сейчас как раз этому учу, покажу своим студентам.
Просто нужно помнить, что каждое сочетание событий порождает новое событие. И в случае трех событий - порождается четыре новых, а сочетание условий исходных событий в порожденных в общем случае зависит от природы самих условий исходных событий, а не вероятности каждого отдельного исходного события. Т.е. не наследуется, а переформулируется.
Мне прям оба примера вкатили. Один подвел к пониманию, второй вбил в голову смысл "зависимого" и "независимого" события. А я в вероятностях полный ноль.👍
В обоих примерах может случиться или одно событие или три сразу. Но не два. Именно поэтому они не являются независимыми.
Есть ещё интереснее: есть три конверта, в одном деньги. участник выбирает один из них. Далее ведущий убирает один конверт, который точно пустой. И игроку предлагается снова выбор, уже из двух оставшихся. И если игрок поменяет свой первоначальный выбор, то вероятность выигрыша окажется больше в два раза, чем если бы он остался при первоначальном выборе. Парадокс Монти Холла вроде бы
А разве не станет на 17%больше ?
Было 33,(3) , а стало 50
Мы же не точно уверены , что тот конверт , который он выбрал был пустышкой .
Если мы уверены , что и тот конверт был пустышкой , то кнч. шанс выигрыша станет на 34%больше ~в 2 раза больше .
В начале вероятность того, что деньги в выбранном конверте была 1/3, против 2/3 в двух других соответственно. Потом один заведомо пустой открыли, а значит, с вероятностью 2/3 деньги в другом конверте... На рисунке нагляднее было бы.
@@Denis_K. понял , но этот парадокс можно избежать , если не считать выбор одного из двух конвертов относительно прошлого выбора 1 из 3 , а считать выбор одного из 2 сравнительно с 1/3
Ну тогда и 1/3 уже не надо брать тогда)
Монти холл, ммм...
Сними видео про теорему Баеса там с вероятностью тоже не все очевидно
есть видос у веритасиума хороший же
@@aboldone3991 я знаю видел его просто хотелось бы узнать ещё что-то про эту теорему
да Баез это самая пипочка... обожаю ТеорВер.
@@ОлегШлюндт-п5я Википедия
7:54 На самом деле, это всё же парадокс. Это называется Правдоподобный парадокс - то есть здравый смысл говорит одно, а строгая логика другое. Другим примером такого типа парадоксов может быть парадокс Монти Холла. Вот видео про типы парадоксов: ruclips.net/video/l90X2_mkMaI/видео.html
я бы не сказал, что парадокс. интуитивно понятно, что событие С не независимо по отношению к совокупности событий А и В -- если случаются А и В ((1=2 и 2=3), С (1=3) не может не случиться. разве нет?
@@konstantintretyakov3951 да, именно так. P(C | A&B) = 1
@@konstantintretyakov3951 Для совокупной независимости по определению кроме попарной нужна независимость любого события к любым произведениям остальных. Как Вы заметили, С зависит от АႶВ. Аналогично для А и В.
@@ninavoron12 да. просто выше охарактеризовали это как "парадокс" -- но мне это таковым не кажется (при всем моем дремучем невежестве в отношении теории вероятностей :-) ).
@@konstantintretyakov3951 парадокс - это в большинстве своём субъективное понятие, зависит исключительно от конкретного человека и его понимания даного явления. Поэтому я очень критически настроен к тому, что кто-то пытается "доказать", что что-то является или не является парадоксом.
Хотелось бы теперь увидеть обратное явление: вероятность одновременно трёх событий - произведение вероятностей каждого из них, а вот попарно не так.
Очевидно, что такое должно быть, иначе при записи условий хватило бы только p(a,b,c) = p(a)*p(b)*p(c)...
тут пример тривиален: берем любую пару зависимых событий и докидываем к ним невозможное. Вероятность пересечения всех трех очевидно равна произведению вероятностей, т.е. нулю. А одно из попарных условий у нас нарушено по постановке задачи
@@askopin а есть ли такие, где общая вероятность отлична от нуля?
@@ВадимЛюбимов-ш7ш можно взять три события, которые пересекаются лишь в одной общей точке, тогда вероятность любых пересечений - эта точка, например,
элементарные события, случайное число от 1 до 27, A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} B={1,10,11,12,13,14,15,16,17} C={1,18,19,20,21,22,23,24,25}
@@ВадимЛюбимов-ш7ш
p(a) = 1/3
p(b) = 1/3
p(c) = 1/3
p(a) + p(b) + p(c) = 1
P(abc) = p(a)p(b)p(c) = 1/27
p(ab) = 2/9
p(ac) = 2/9
p(bc) = 2/9
@@ВадимЛюбимов-ш7ш пусть у нас есть числа от 1 до 8 и среди них выбрано одно случайное число x, событие А = {x = 1, 2, 3 или 4}, событие B = {x = 1, 3, 4 или 5}, событие C = {x = 1, 6, 7 или 8}. Вероятность каждого из этих событий одна вторая, вероятность их совокупного пересечения одна восьмая (это событие x = 1), вероятность пересечения A и B равна 3/8 (x = 1, 3 или 4), вероятность пересечения А и С равна 1/8 (х = 1), а вероятность пересечения B и C равна 1/8 (х = 1).
Зачёт. Тест на три неявно зависимые события. Спасибо!
Очень круто.
Мне всегда нравилось, когда можно объяснять сложные и концептуально важные вещи "на пальцах".
Всем это нравится вроде, нет?
Хочу ещё больше роликов про теорию вероятностей!
Борис, попробуйте разобрать следующую задачу: какова вероятность, что треугольник, образованный тремя точками окружности, включает в себя её центр(вроде вероятность 1/4). Или вообще в трехмерном пространстве тетраэдр включает в себя центр сферы.
такой разбор уже есть на русском языке
Чтобы снять ещё один вариант задачи по монетку?
Получаеться пока не выполняться два события в сюжете про монеты , оставшееся независимое. Наверно по этому не нужно перемножать вероятности всех трех.
достоточно узнать результат только одного события, и два остальных сразу станут связанными
Круто, теорвер - это круто! Хотелось бы увидеть применение вероятности для решения сложных комбинаторных задач
Про монетки получается, что вероятность выпадения всех одинаковых тем меньше, чем кол-ва монет. Хотя интуитивно такое может случится. И последнее равенство это доказывает
Пример с монеткой понравился. Классический пример N зависимых случайных величин, любые N-1 из которых независимы - это вектор из N независимых стандартных бернуллиевских величин, обусловленный по тому, что сумма его компонент чётна. Пример с монеткой о том же самом, но монетку легче объяснить.
Апгрейд: Я часто на собеседовании давал такую задачу: если в трёхмерном случайном векторе любые две компоненты образуют стандартный двумерный гауссовский вектор, верно ли, что этот трёхмерный вектор - гауссовский?
причина парадокса на самом деле в том, что формальное определение "независимости" двух событий отличается от бытового понимания "независимости". Фактически в бытовом понимании все описанные события зависимы, просто они так хитро зависимы что выполняется правило про произведение вероятностей. Это примерно как псевдослучайные числа - на хороших псевдослучайных числах математика работает как на случайных, но бывают нюансы.
Это конечно я философию написал. Для математики просто надо помнить что если что-то назвали каким-то словом то надо всегда сверяться с определением, а не со своим пониманием этого слова.
Да, всё дело в определениях. Более того, в быту у нас один вид независимости, а тут два: попарная и в совокупности.
Не по теме видео, но было бы интересно услышать от вас, почему мы в большинстве жизненных ситуаций, высчитываем среднее арифметическое, а не геометрическое или ещё какое... Например, если у одного человека 4 яблока, а у второго 6, то в среднем у них по 5 - среднее арифметическое. В чём вообще различия всех средних с практической точки зрения? Хотелось бы услышать ваши размышления и мысли по этому поводу
Среднее арифметическое - это отличный способ манипуляции статистикой, например, средняя зарплата. Как не посмотришь на среднюю - ну, вполне неплохо живем. Но тут как раз, получается, что у одного зарплата 1 миллион в месяц, а у 100 человек - 10 000. Средняя получается 1М + 1М = 2М / 101 =~19800. Однако, если посмотреть медиану - то там все не так радужно, получится именно 10 000, потому что уйдут сверхзаработки отдельных людей. Есть еще мода, но она подходит, когда число возможных значений сильно ограничено, ну или для зарплаты вместо конкретных значений брать какие-то диапазоны значений, например - от 0 до 10К, от 10К до 20К. Поэтому нужно учить матстатистику, хотя бы для понимания того, как тебя пытаются обмануть :)
Люблю интуитивные парадоксы)
Красивое обяснение.Привет из Баку.
Мне кажется неочевидные примеры занимательнее, например, для броска кубика:
A={результат не делится на 2}, B={не делится на 3}, C={простое число}, тогда равенство не выполняется лишь для P(AC).
Интересно, существует ли пример для произвольного множества подмножеств N событий.
Здравствуйте Борис. Мне кажется пример с монетками некорректен. т.к. из условия очевидно что любое из событий напрямую зависит от двух других, тоесть если выполняются любые два, то третье выполняется автоматом. Или я чего то не уловил?
Ну в том смысле что логика тут не пробуксовывает и считать нет необходимости.
Дошел до тетраэдра, та же ситуация. выполнение двух условий сразу, автоматом за собой тянет третье, т.к. это возможно только при выпадении стороны с тремя цветами. И тут хоть сто граней возьми, если выполнятся два любых, то все остальные автоматом будут выполнены.
Что я нет так понимаю или примеры некорректны? Подскажите пожалуйста.
Так именно об этом и речь, и весь ролик. На первый взгляд все три события независимы друг от друга. А на деле это не так - если выпало А и В, то и С выпадает автоматом. То есть события зависимы. И примеры корректны
Это просто примеры того, что если если рассматриваемые события попарно независимые, то из этого вовсе не следует, что они все вместе являются независимыми.
@@АртемДаниленко-й1о Пересмотрел ролик еще раз. Когда в нем говорится абстрактно про некие события и если ты совсем далек от тервера то да, кажется именно так как говорит Борис. В любых вариантах один на один события не зависимы, почему же нужно проверять общую зависимость. И вот тут как раз упускается или опускается умышленно момент что когда событий больше двух их можно сравнивать не только как 1 к 1, но и как 2 к 1(или даже больше если событий еще больше). И вот это 2 к 1 в приведенных примерах сходу очевидно и не требует дальнейших расчетов что бы сказать что да события не обладают полной независимостью.
Отсюда и возникли вопросы.
Во первых даже имея базовые представления о тервере тебе не нужно объяснять зачем общее сравнение. Как раз называй как хочешь, интуиция\логика подсказывает что комбинаций больше чем 1 на 1.
Во вторых раз уж приведенные примеры на столько очевидны, есть ли примеры которые не столь очевидны и их как раз нужно посчитать и согласится, что да при таких условиях логика\интуиция пробуксовывает и не сразу понятно что при данных исходных нужно что то считать и проверять.
Простыми словами я не понял в каком месте интуиция\логика должны буксовать и почему? Касаясь данной темы и примеров.
@@SergeyPuzankov воооот в этом и вопрос, в какой момент человеку интуиция говорит что не нужно проверять более сложные комбинации если простые сошлись )))
@@aleksandrlukichev2056 видимо в момент когда все комбинации проверены. Ну или с опытом решения различных задач приходит более четкое понимание
Действительно, не укладывается в голове.
_У меня от Трушина_
_Логика разрушена._
Когда было сказано про три события, я догадался, что они могут быть зависимы все три вместе. Но это действительно совсем не интуитивно, если бы не было намёка, почти наверняка я бы благополучно не заметил, что независимость трёх пар не означает независимости всей тройки. Хотя, если подумать, это чем-то похоже на комбинаторику, можно проассоциировать, чтобы вспоминать в нужный момент.
Борис, отличное видео) спасибо что разъяснили)
Еще интересно разобрать парадокс Монти-Холла, раз уж речь зашла об интуиции
Снимите пожалуйста видео про теорему Бернулли ведь она есть в кодификаторе
Борис, добрый день! Рассмотрите, пожалуйста, задачи про "круглый стол", ожерелья. Там, ведь, тоже есть своя фишка.
?????
А что за задачи, например? Когда 2 подруги вместе садятся?
Там переформулировать надо условие: не искать, что 2 сядут рядом, а "дать первой сесть куда захочет", что не влияет на вероятность, и считать, сколько благоприятных исходов у второй сесть рядом с ней (спойлер: всегда 2 таких исхода), дальше только остаётся поделить на количество всего оставшихся свободных мест (общее количество минус 1, т.к. одно заняла первая подруга и туда сесть вторая никак не может)
Также решается и все, где речь идёт о двух чего-то (2 монеты в карманах, 2 друга в автобусах или кабинетах и т.д.)
Расскажи про парадокс монти-холла, я думаю будет интересный контент)
там все тривиально. главное мозг отключить )
Что там сложного-то?
Так я и не говорил, что это сложно, просто топ контент
миллион роликов уже про Монти-Холла. неинтересно
Интересно а можно ли составить пример с обратным парадоксом? Когда по условию второе событие фактически зависит от первого, но сама зависимость такая, что произведение будет выполнятся и следовательно формально эти события будут считаться независимыми
Это ж определение. Если выполняется произведение - ТО события де факто независимы. Точка.
В данном случае разобран пример с ложнонезавимыми событиями. Поэтому для составления обратного примера нужно найти ложнозависимые события.
Пожалуйста: по статистике каждый, кто пил воду, обязательно умрет. Какова вероятность того, что ты умрешь, выпив стакан воды?
@@Prince_of_Dispersia вы путаете события «выпал только красный» и «выпал красный».
ну то есть перемножаются вероятности орла и складываются с перемноженными вероятностями решки
@@Z1gurD Звучит как софистика
Мне не нравится такая формулировка двух независимых событий, особенно на начальном этапе. Как Вы считаете, годится ли словесная : "если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого" или есть какая-то тонкость?
Нет тонкости. Это определение. Именно такая формулировка независимости двух случайных событий и даётся (она же в Википедии, если что).
@@elja6750 Чаще встречается, как Борис сказал, если вероятость = произведению вероятностей.
Можно былл без всяких подссетов понять, что три события в совокупности не независимы. Если происходят первые два, то уже точно происходит третье. (В примере про монетки).
То чувство, когда сегодня прошли этот материал)
Очень интересно практическое применение в повседневной жизни теории вероятности.
Начинаю сомневаться в определении независимых событий. По определению если вероятность наступления а и б равна произведению их вероятности то это незивисимые события, и в случае с тэтраидром так и получилось. НО из условия задачи они определенно не являются независимыми!!!! Ведь выпадение грани одного цвета например красного означает невыпадения другого, а выпадение тоже красного но не обязательно только красного означает что другой цвет в части исходов так же выпадет, эти события зависимы хоть они и удовлетворяют определению
иногда Р(АиВ) равное Р(А)*Р(В) не более чем совпадение
Борис, не услышал слово "исход", а его применение позволило бы не сбиться с пути. Просто в этом случае имеется 8 исходов опыта. А события "назначены" таким образом, что два исхода попадают в разные события. События перекрываются. Аккуратнее надо группировать исходы по событиям.
А в чём проблема и где «сбой с пути»? Здесь нет ни того, ни другого. Формировать события из элементарных можно произвольно, события никак не обязаны не пересекаться.
Уже давно снято видео о парадоксе Монти Холла, где постоянно сравнивают интуицию и теорию вероятностей. Будто этот парадокс был создан для этого)
Так и не понял, в чем тут "парадокс"? Из описания условий обоих сюжетов сразу интуитивно понятно, что события не являются независимыми: в обоих случаях одновременное выполнение условий любой пары событий означает и выполнение условия третьего события,а значит они не независимы.
И даже на уровне простого определения независимости событий это кажется интуитивно понятной штукой: множество событий независимы, если для каждого события, условия его выполнения никак не следует из объединения условий любого подмнодества остальных событий, поэтому только попарной независимости событий очевидно недостаточно
Скорее тут парадокс именно в том, что из попарной независимости трёх событий не следует их полной независимости.
Комент для продвижения продвижения для клиента спасибо за твой труд!
В примере с пирамидкой события не являются независимыми, хотя формула "умножения вероятностей" якобы работает. Для независимых событий манипулирование вероятностью одного из событий не влияет на вероятность второго и не влияет на принцип расчета вероятности одновременности событий. Например есть два мешочка с 5 белыми и 5 черными шариками в каждом. Вероятность того что достав по одному шарику из каждого оба будут белыми 0.5*0.5=0.25. Если мы из первого уберем все черные, то вероятность вытащить по одному белому будет 1*0.5=0.5, то есть изменив вероятность события "белый шарик из первого" мы не повлияли на итоговую взаимосвязь между значениями вероятностей события по отдельности и того что произойдут оба события. Теперь к пирамидке. Рассмотрим только два события: нижняя грань имеет красный цвет и нижняя грань имеет синий цвет. При той раскраске из ролика вероятность события К - 0.5, события С - 0.5 и вероятность события К+С = 0.25. Казалось бы формула работает, но изменим вероятность события К - закрасим зеленую грань красным. Тогда вероятность события К станет 0.75 (цвет есть на трех гранях), вероятность события С - останется без изменений - 0.5, а вероятность одновременности событий К и С так же останется 0.25, что уже не вписывается в формулу, а значит формула в этом случае была с самого начала не применима, а то что Р(К и С) было равно Р(К)*Р(С) не более чем совпадение.
Также мы не можем разнести события по времени, то есть мы не можем узнать результат события К и не узнать при этом результат С.
Собственно формулу можно отнести к "необходимому" но не к "достаточному" условию.
Касаемо монет там сложнее, проще, понятнее, непонятнее и не все так "радужно" одновременно: рассмотрим пару событий: А(1=2) и В(2=3). Если изменить вероятность А, не меняя вероятность В, например вместо первой монеты взять "трехстороннюю", то вероятности Р(А)=1/3, Р(В)=1/2 и вероятность Р(А и В) станет 1/6, то есть формула продолжит "работать", и события как бы не связаны, но появление информации о наступлении или не наступлении события С(1=3) - А и В сразу становятся связанными. Короче все запутано, но да, попарно они все еще остаются несвязанными. А еще отдает "парадоксом о старшем сыне"
Ну просто в теории вероятностей независимыми считаются не только то события, которые "интуитивно независимы" (например когда они разнесены во времени, говорят про разные предметы), но и те, для которых выполняется формула P(A & B) = P(A) * P(B), даже если эта формула верна только при определенных значениях вероятностей. На дальнейшие вычисления это никак не влияет, так что ничего страшного в этом нет. У теории вероятностей нет цели точно описать то, что мы интуитивно называем независимым, а дать инструмент, который будет применим во всех интуитивных ситуациях, но возможно и в некоторых других.
Легче будет жить, если использовать теорию множеств.
вероятностей ❤️
P(A "и" B) в данном случае равна 1/2, так как нас удовлетворяют 2 варианта из 4 возможных (ОО, РР), а не только один
Это важно учитывать для следующей записи. P(A "и" B "и" С) в данном случае нам будут удовлетворять варианты (ООО, РРР) из 8 возможных. Из этого эта вероятность будет 1/4
Да, она не будет равна простому умножение 1/2*1/2*1/2, так как P1, P2, P3 указывают на выпадение орла/решки
Если рассматривать P1*P2*P3=1/8, то мы ищем другой результат. Мы ищем не (ООО или РРР), а лишь один из них, например что выпадет 3 орла
Насколько я понимаю, парадокс с монетками не является парадоксом, поэтому пример с тетраидером более удачный.
Борис Трушин, Вы прекрасно объясняете материал. СПАСИБО ВАМ!
как мне кажется, утверждение "два события являются независимыми если их совокупная вероятность равна произведению их вероятностей" является некорректным - это необходимое условие, но отнюдь не достаточное - т.е. такое равенство является признаком независимости событий, но не является критерием независимости - это вы перепутали причину и следствие - рассмотрим последнюю задачу, но с кубом, у которого 5 граней имеют свой цвет, а шестая имеет все 5 - в этом случае вероятность выпадения какого-либо цвета 1/3, а вероятность выпадения любых двух цветов одновременно 1/6 - что не равно 1/3*1/3=1/9 - т.е. в случае с тетраэдром данное равенство является просто числовым совпадением - и с монетами все то же самое - т.е. попарная вероятность событий хотя численно и равна произведению вероятностей событий, но на самом деле эти события не являются независимыми изначально - так что с правильной интуицией все будет работать - попарные события не являются независимыми изначально, следовательно и совокупность всех событий не является независимой
корректное утверждение: для независимых событий произведение их вероятностей равно вероятности совокупности этих событий - т.е. мы утверждаем формулу для заведомо независимых событий - для зависимых эта формула может выполняться, а может и нет
Кажущийся парадокс с тремя монетами потому, что вероятность наступления первого события равно 1. То есть нам по барабану, что выпадает на первой монете.
Разберите парадокс Монти Холла. Я в 9 классе - я только спустя час разборов сумел понять его - это очень хитрая вещь. Классика теорвера
Это не требует разбора.
Вы делаете выбор, который правильный с вер. 1/3, другие два верны с общей вер. 2/3, один из них выпадает, значит оставшийся из тех двух правильный с вер. 2/3.
@@Mikhail_Zaitsev До этого дойти надо) Тут просто в чем проблема и почему это парадокс - он не столько парадоксальный сам по себе, сколько ломающий логику
@@danpaul4264
Он контринтуитивен, а логика в порядке. Иначе следует принять, что вероятность правильности первого выбора вырастает до 1/2.
Путаница в том, что есть вероятность нахождения приза после первого выбора (1/3 и 2/3) и вероятность окончательного выбора игроком (1/2 и 1/2). В результате полная вероятность выигрыша будет равна 1/3 * 1/2 + 2/3 * 1/2 = 1/2. Вот на этой путанице и манипулируют сознанием.
@@РоманБондарь-м3е именно это. Я как то не сразу дошел до этой идеи, тут просто подковырестая такая вещь
Помню, мне в начале курса по ТерВеру мозг взорвала следующая задача: если в центре окружности закрепить стрелку (длиной в радиус) и крутануть ее, то какова будет вероятность попадания в определенную точку?)
O?
Какой был ответ? 0?
Про это было в нулевой серии «в интернете опять кто-то не прав» )
@@ЭдуардМинковский-й9э а что если она с вероятность 50% останавливается в определенной точке, а с 50% равномерно на оставшемся отрезке?
@@aleksaleks684 а что если она с вероятность 50% останавливается в определенной точке, а с 50% равномерно на оставшемся отрезке?
получается , что по сути определение верно , но есть исключение ?
Так я не понял? Вероятность выпадения 3 раза одинакового профиля у монеты всё равно ведь 1/4. С точки зрения пересечения трёх множеств - да 1/8 каждого исхода. Но исходов нас удовлетворяет то 2? Значит всё равно 1/4. Или что вообще Трушин хотел сказать?
Здравствуйте. Что хотелось бы сказать про видео. С чего хотелось бы начать? Не знаю, как это правильно сказать, но разве брать именно такие (*1*) Р(А), Р(В), Р(С), когда соответственно 1=2, 2=3, 3=1, не странно. Потому что если отстраниться от этих вероятностей и взять просто вероятность выпадения Орла (а так же и Решки) на монете (т. е. 1/2). То вероятность выпадения 3-ех Орлов равна 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8, но и для Решки тоже это значение равно 1/8, получается, что выпадение 3-ех одинаковых монет равно 1/8 + 1/8 = 1/4. А в случае (*1*) интуитивно кажется неправильным накладка 1 на 1, 2 на 2, 3 на 3. Т. е. если взять систему 1=2, 2=3, 3=1 и сложить то получится 1(×2)=2(×2)=3(×2) и как раз таки здесь вылазит та двойка в событии Р(АВС) т. е. 1/8 в 2 раза меньше, чем 1/4. Ну вроде все, а вообще контент у вас отличный, люблю смотреть ваши ролики по вечерам после школы, удачи вам!
Эх, если бы видеокурс с примерами, но на основе книги Колмогова "Аксиоматическая теория вероятности" , название не точное. Был бы мега хит.
Хотел бы ролик про плотность вероятности
Теория вероятностей очень расходится с так называемым интуитивным восприятием. Именно псевдопарадоксы из области теории вероятностей наглядно демонстрируют это расхождение. Из классических и простых (относительно) это псевдопарадокс Монти Холла, а также ложный вывод Монте Карло (Ошибка игрока). Последний в свою очередь как раз подчеркивает непонимание (возможно даже какое-то непринятие) обывателем разницы между зависимыми и независимыми событиями.
На самом деле этот момент достаточно интересен (по крайней мере мне всегда был). Я полагаю, что само устройство нашего мышления (как минимум его базовые уровни) сродни некоторому вероятностном автомату. По этой причине и происходят некоторые коллизии на более высоких уровнях мышления. Однако это всего лишь предположение. Даже для тех, кто работает в области теории вероятностей (а не обывателей) иной раз простые (относительно) вещи не укладываются сразу в голове, они кажутся совсем не очевидными.
есть похожая задача, где нужно подкидывать орел и решку и записывать получившуюся последовательность. А на другом листке можно написать что-угодно от балды, хоть одни орлы или одни решки. А противник должен взять один из листков и угадать - это реально сгенерированная последовательность или она написана просто так. И утверждается, что якобы вероятности одинаковы, даже если там будут одни только орлы или одни только решки. Ну типо потому, что любая последовательность могла выпасть с одинаковой вероятностью, события то независимы. Тоже ведь глупость! Если мы знаем, что соперник должен был бросать реальную монету, то вероятность что он получил бы РРРРРРРРРР или ООООООООО гораздо меньше, чем какая-нибудь последовательность вида РООРРРОРОО или т.п. Ибо нужно учитывать ещё и наличие второго листика, где последовательность точно написана от балды. И вероятности тут будут сложные.
@@mrgoodpeople Если я правильно понял о чём ты, то там ведётся речь о том, что последовательность, грубо говоря, "не чувствует" красоты, которую ты туда выносишь. На самом деле это тоже такая интересная тема со всякими приколами в мышлении людей. По типу: люди считают что последовательность 111111 "менее случайна", чем 100110. Как бы чувствуется, будто бы 111111 слишком "красива", чтобы быть случайной. На самом деле это не так. Это как раз всё к ложному выводу Монте-Карло.
Возьмём для простоты 16 вариантов выпадения последовательностей из 0 и 1. Под 0 и 1 может быть всё что угодно: чёрное и белое, орёл и решка - неважно.
0000
0001
0010
...
1110
1111
Легко понять, что всего таких возможных последовательностей будет 16, а значит в неких абстрактных идеальных условиях (без всяких мухляжей) выпадение каждой из этих последовательностей равновероятно, т.е. с точки зрения вероятностей нет разницы выпадет тебе "красивая" последовательность 1111 али 0000 вместо "уродской" 1011 али 0111. Это в твоём восприятий они такие. А вероятность выпадения любой из этого набора будет 1/16. Тот самый момент, когда понимаешь, что выпадение 10 раз подряд, например, орла при подбрасывании монетки не является чем-то удивительным и произойдёт даже в идеально кристальных честных условиях аж 1 раз из всего-то 1024 случаев. Это кажется малый шанс (снова же в отрыве от ситуации, как-то интуитивно), ОДНАКО представь, что ты кидаешь же монетку не один, а дохера людей играют в эту игру по всему миру. А значит из 102400 игр мы ожидаем аж целых 100 таких "невиданных" случаев. Добавь к этому ещё с пяток разрядов, ведь такие игры проводятся не только раз в жизни, да и людей много больше одной сотни и всё как-то по чуть-чуть начинает вставать на свои места. Уже немного начинает попутно сходить некий эгоцентризм. Сумбурно немного, но как-то так.
@@grigoriikuchumov2277 да ещё вспомнить, что монетки не бывают идеальными и шанс одной стороны на пару процентов выше, что ещё увеличивает вероятность одинаковых результатов.
@@grigoriikuchumov2277 речь немного не о том. Речь была не о вероятности выпадения какой-то конкретной последовательности (они конечно равны), а именно о вероятности того, что данная последовательность была получена случайно, а не написана наугад. И если у нас по условия есть два листа с такими последовательностями (одна случайная, вторая нет) и нам попадается "1111", то это с большой долей вероятности получилось не случайно. Дело в том, что в такой постановке задачи мы должны учитывать СЛОЖНЫЕ вероятности. У нас составное событие: (1) наша последовательность случайна + (2) другая последовательность неслучайна. Ну или наоборот. И вот тут шансы уже совершенно не одинаковые.
Например если нам попалась 1111, то вряд ли в другом конверте такая же красивая последовательность 1111 или 0000. Их общая вероятность 2/16. Только в этом случае шансы что наша 1111 случайная - 50%. Но с вероятностью 14/16 в другом конверте будет что-то "некрасивое", вроде 1010. И вообще наиболее вероятно, что кол-во нулей и единиц будет более менее равное. Просто таких комбинаций больше. А раз так, значит наша 1111 скорее всего неслучайна.
@@mrgoodpeople Хм... Так если условия идеальные, то есть нет каких-то подтасовок с красивыми номерами и прочее, то именно нет. Они действительно могут выпасть и таким образом. "Красота" в нашей голове. Нам, как людям, нравится некая симметричность и пр., некоторые люди отдают предпочтение каким-то ещё там номерам (субъективно "красивые").
Тут проблема встаёт уже другая. Что являет собой конкретная случайность? Например, если мы будем генерировать эти последовательности на компе, то это будет псевдослучайная последовательность, она не будет именно случайной. Потому что генераторы "случайных" (на самом деле псевдослучайных) чисел в компе работают по конкретному алгоритму. Есть много вариантов, однако самый простой и классический с инициализацией генератора псевдослучайных чисел временем. С людьми всё ещё проще, однако одновременно сложнее. Полагается, что человеку сгенерировать именно случайное число вообще невозможно, оно в любом случае случайным не будет (тут открывается поле для всяких ментальных трюков, например, с выбором нужной карты для менталиста-иллюзиониста и пр.).
В общем, если мы рассматриваем идеальные абстрактные примеры без сложных математических моделях, то тут всё однозначно. Если же мы хотим копнуть поглубже, то модели очень сильно усложняются.
лайк за скромность.
Расскажите ещё про вероятность того, что случайная хорда в круге будет равна диаметру. Есть то ли 3 то ли 5 разных ответов.
0
@@chech705 я по памяти немного некорректно сформулировал. ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%91%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0_(%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)
а есть примеры когда произведение трех вероятностей событий равно вероятности одновременного получения событий, а попарно - нет?
эти примеры из видоса как раз интуитивно понятны
Да, конечно. Простой пример.
Бросаем обычный игральный кубик, один раз, исследуем три события: A, B и C.
События A и B определим одинаково - выпало 1, 2 или 3.
Событие C - выпало 3, 4, 5 или 6.
Тогда вероятности рассматриваемых отдельно событий A, B и C равны соответственно 1/2, 1/2 и 2/3.
Произведение этих вероятностей равно 1/6.
Вероятность того, что произойдут все три события, очевидно, есть вероятность того, что выпадет тройка, потому что никакое другое возможное число не соответствует всем трём событиям. То есть произведение вероятностей этих трёх событий действительно равно вероятности этого тройного совместного события.
Тем не менее ни для какой пары событий вероятность их совместного происхождения не равна произведению их вероятностей. Скажем, вероятность происхождения и события A, и события B равна, очевидно, 1/2, а не произведению их вероятностей (1/4). Вероятность того, что произойдут события A и C, равна 1/6, а произведение их вероятностей равно 1/3.
Я не увидел парадокса. Суть в том, что в случае с монетками мы ищем шанс того, что выпадет 3 орла подряд, а цель поставлена: "Найти шанс того, что выпадет 3 орла или 3 решки подряд." Короче, если мы ищем, шанс для того, чтобы найти 3 орла подряд, то имеем: Шанс в 1-ом броске=1/2, во 2-ом броске=1/2, в 3-ем броске 1/2, перемножаем, и получаем, что шанс, что выпадет 3 орла подряд=1/8. Этот шанс аналогичен и для 3 решек. Следовательно, шанс того, что выпадет 3 орла или 3 решки=1/8+1/8=1/4. Вот и всё. Можно пойти другим путём, нам нужен шанс выпадения 3 решек или 3 орлов подряд. В 1-ом броске шанс выпадения подряд 1 решки или 1 орла=100% или 1. Во 2-ом броске шанс, того что будет уже 2 подряд орла или решки 1/2(если не понятно почему, напишите, отвечу). И так, если в 2 прошлых бросках мы получили 2 подряд решки или орла, то шанс того, что в 3 броске мы получим 3 подряд орла или решки=1/2, аналогично со 2-ым броском. Для того чтобы найти общую вероятность перемножаем 1*(1/2)*(1/2)=1/4. Также получаем 1/4. Повторюсь нет парадокса, я думаю, что парадокс между интуицией и теорией вероятностей возникает из-за того, что мозг считает шанс того, что выпадет три орла подряд(или решки, но ПО ОТДЕЛЬНОСТИ, либо ТОЛЬКО 3 решки, либо ТОЛЬКО 3 орла).
Я к тому, что Борис написал шанс к 1-ому броску неправильно, там 1, а не 1/2.
Интуиция - это всего лишь отображение наших знаний. Для двух человек интуитивно понятными могут быть буквально противоположные выводы. Буквально на следующий день после выхода этого видео был выложен перевод из Veritasium, где говорится, что в каждом из нас живёт 2 человечка. Один отвечает за решение задач, он не спешит думать и не полагается на интуицию. А другой собирает ту информацию, которую достаточно часто решает первый, и готов выдать быстрое решение, если снова увидит такую же или похожую задачу. Когда мы полагаемся на интуицию, мы как бы подаём запрос второму человечку, который может выдать правильный ответ, если мы это уже не раз решали, или просто решали что-то близкое, и ответ совпал (или просто похожий). Но если мы решали что-то близкое, но ответы совсем разные этот человечек даёт нам неправильное решение. Наконец встречается третий случай, когда ничего похожего мы не делали и второй человечек не готов выдать ответ, то у нас остаётся два варианта - дать решить задачу первому человечку (но это уже не интуитивное решение) или угадывать ответ. Неправильно думать, что угадывание - это интуиция, так как зачастую на тот же вопрос в разные дни мы можем дать разные ответы без любых предпосылок, так как попросту не знаем как отвечать.
Что касается этих задач, то для меня уже немного контринтуитивной выглядит попарная независимость событий, так как легко видно, что если разложить эти события на элементарные составляющие, то они пересекаются. То есть одно и то же элементарное событие (например, выпадение трехцветной грани во втором случае) приводит сразу даже не к двум, а ко всем троим событиям, которые мы рассматриваем.
Так вроде в последнем примере надо считать наоборот - какова вероятность что выпадает грань со всеми цветами. А какова вероятность что выпадает один цвет. А например если выпадает грань со всеми цветами- казино забирает вашу ставку :).
Нет, Вы путаете объединение с пересечением.
@@Kokurorokuko Вроде нет, изначально 1/4 что выиграло казино. А дальше рассуждение про счёт не работает.
А, забыл добавить, казино выигрывает всегда :).
На самом деле даже интуитивно можно догадаться , что необходимо условие P(AnBnC)=P(A)P(B)P(C), Вот допустим, мы проверили, что событие C не зависит от А и B . То есть не важно случилось ли событие А или B, но что если случились оба события. Быть может так, что по отдельности А и Б не влияют на С, но если они случились одновременно, то уже влияют. И тогда нужно по сути проверить условие P(KnC)= P(K)P(C) , где K - AnC, и тогда получим P(AnBnC) = P(KnC)= P(K)P(C) = P(A)P(B)P(C) .
Ух! Теорвер - там интуитивные понимания вообще не подходят. Ждём ещё роликов по теме!
Так какие ответы будут правильными?
Интересно то, что уже знал это😅😅
непонятно, почему с монетками, когда мы считаем вероятность события А=В, мы пишем результат события А=Б=С? 6:34
1)ООО
2)ООР
3)ОРО
4)ОРР
5)РОО
6)РОР
7)РРО
8)РРР
Из условия : А : 1 = 2; В : 2 = 3 ; С : 3 = 1
При А и В нам подходят варианты где все монеты на одинаковой стороне, а это 1) и 8)
При А и В и С - аналогично, просто добавляется и так выполнявшееся условие 3 = 1
значит вероятности равны
@@АлексейКомаров-я4г если мы ищем пересечение А и Б, почему мы ищем А=Б и Б=С?
Мне кажется, вы путаете ABC и 123
Все события связаны( даже абстрактные), так как существуют в одной вселенной. Разница лишь в степень зависимости, но это пока за пределами математики.
В нашей вселенной нет никаких событий, они есть только в абстрактном мире математики, да и то находятся внутри вольера под названием "теория вероятностей по Колмогорову" и за пределы не вылезают)
@@namespace17 абстрактный мир математики тоже является частью нашей вселенной
ютуб так и не захотел опубликовать просьбу насчет 9 задачи
это про кусочно-линейные функции, можете рассказать
...Если взять 2 монетки, то вероятность выпадения орла на первой монетке Р(А)=1/2 и вероятность выпадения орла на второй Р(В)=1/2, значит вероятность что будут орлы на обеих 1/4, потому что они перемножаются, а если мы хотим именно одинаковые результаты на двух монетках, то придется применить формулу где есть еще вероятность решки но так как она тоже =1/2, то будет выглядеть так : Р(А)Р(В)+Р(А)Р(В)... разве нет, тоо есть для трех монеток там будет нуу например все три монетки должны быть одинаковы тогда формула то будет опять же с ИЛИ то есть вероятность орла на трех монетах Р(А)Р(В)Р(С) будет складываться с вероятностью решки(ТАКОЙ ЖЕ) Р(А)Р(В)Р(С) и будет 2/8, то есть 1/4...надуманная проблема какая-то
Ну допустим даже что событие А как в видео (1/2) это когда 1 и 2 монетка имеет одинаковый рисунок и В и С там 23 и 13...ну здесь вероятности орла и решки то не показаны , то есть перемножая эти вероятности все три Р(А)Р(В)Р(С) мы находим вероятность выпадения только орла ну или только решки на трех монетах, а чтобы получить именно одинаковые результаты нужно прибавить вероятность выпадения другой стороны на всех трех, разве нет?
Ну допустим, представить как два события начинают вдруг совместно влиять на третье я могу. А наоборот?
То есть был факт P(A&B&C)=P(A)*P(B)*P(C).
Как может получиться, что P(A&B) не равно P(A)*P(B) ? Я про необходимую четыхерэтажную запись если что.
возьми в примере с пирамидкой и закрась зеленое красным. тогда вероятность что нижняя грань красная 3/4, то что она синяя - 1/2 (без изменений), а то что там и красный и синий - тоже не изменится и останется 1/4, и при этом (3/4)*(1/2) не равно 1/4, хотя без дополнительно красной грани "формула" работала.
я к тому что выполнение P(A&B&C)=P(A)*P(B)*P(C) может быть просто совпадением, а не закономерностью
Здравствуйте, а будет ли разбор муниципа, как в прошлом году?
Хотелось бы контрпример, где равенство работает.
Вероятность выкинуть первой монетой орёл = 1/2. Вероятность выкинуть второй монетой орёл = 1/2. Также и для третьей монеты. Все события независимы в совокупности, поэтому вероятность выкинуть три орла подряд = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8
Для моей интуиции/логики больше проблемы вызывает то, что на упомянутом четырёхграннике А и В - независимы, а А и В и С нет.
Хочется больше прикладных вещей
Группа независимых событий - такие n событий, что результат одновременного выполнения этих событий невозможно получить одновременным выполнением меньшего количества событий
То есть любые два события независимы, если одно не является подмножеством другого? )
да, глупость сморозил) определение легче через формулы давать
То есть в первой задаче событие C зависит от пересечения A и B?
Да
Независимо ломаются станки.
А есть те кому это вобще не понравится - придётся учить матчасть. )) спасибо.
Общая вероятность всех исходов должна равняться 1
0.5 + 0.5 + 0.5 = 1.5
значит они зависимы.
Я так думаю :)
Насчет первого сюжета:
Вероятность 1/4 это если нам неважно какой стороной выпадает первая монетка, после чего вторая и третья должны совпасть с ней, т.е. какой стороной должны выпасть вторая и третья монетки зависят от первой.
Вероятность 1/8 если мы фиксируем какой стороной должны выпасть все монетки т.е. уже нет зависимости от первой монетки и поэтому мы получаем 1/8.
По-моему это так.
Нам важно только, чтобы были выполнены все три наших события
Однако событие "сторона ТАКАЯ ЖЕ, как у другой" никак нельзя назвать независимым.
Правильность стороны второй монеты из пары начинает сразу зависеть от первой.
Вообще выходит, что события взаимосвязанного множества нельзя считать независимыми. Осталось определить «взаимосвязанность».
Событие "С" не зависит по отдельности от событий "А" и "В", но зависит от результата "А&В".
В случае с монетами событие C это ровно то же событие, что и B. Они взаимозаменяемы. И они оба зависят от A, так как их определение ("такая же" или "не такая же" сторона) зависит от результата A.
Поддерживаю темы про вероятность!
Хотелось бы про формулу Байеса и её использование в мат.статистике - то, что из-за полученных наблюдений функция распределения вероятности модифицируется или "уточняется" относительно изначальной модельной при помощи формулы Байеса. И что этот подход делит математиков на два лагеря - одни считают, что это объективно и это верно, другие (т.н. "частотники") считают, что это математическая ересь. P.s. надеюсь, я достаточно аккуратно выразился про то, что имел в виду, буду рад, если кто-то из комментаторов уточнит мою мысль.
А за что топят частотники? Ведь теорему Байеса можно проверить экспериментально
Просто коммент!
это никакой не парадокс конечно. В обоих примерах если А и В случились, С не независимо, а тоже случилось без вариантов. Т.е. Р(С | A & B) = 1, а не Р(С) = 1/2.
Это понятно. Речь о том, что обычно учащиеся просто начинают перемножать вероятности, заметив, что каждое следующее событие не зависит от предыдущего
@@trushinbv да я в восторге, конечно! Я и сам уже забыл, что такое возможно. Стыдно.
@@trushinbv хотя в контексте конкретной задачи, я бы, конечно, не ошибся.
Самое главное убедиться, что работаешь в Борелевской сигма-алгебре, тогда проблем с вычислением вероятностей не будет (скорее всего)
главное убедиться что работаешь в сигма алгебре, а потом пополнить ее, а потом все равно ничего не посчитать, и даже не понять существует ли решение
Пора про корреляцию рассказать.
Немного подумал и оказалось, что общая картина для всех возможных зависимостей у N событий выглядит совсем очевидно, например при N=3.
1) Вероятности ABC, AB, A не убывают, ведь события A,B,C можно нарисовать кругами Эйлера и картина становится очевидной.
Значит вероятности для 8 групп событий (1,A,B,C,AB,BC,CA,ABC) представляют собой частично упорядоченное множество по принципу вложения.
2) События A и B будут независимыми, если среди всех возможных значений от 0 до min(P(A),P(B)) выбрать P(AB)=P(A)P(B).
Диаграмму Эйлера можно заполнить любыми подходящими числами и картинка сразу станет явной моделью вероятностного пространства.
3) Пример, построим частично упорядоченное множество для заполнения диаграммы Эйлера. Пусть равенство выполняется для групп AB, BC и не выполняется для CA, ABC. Положим P(A)=P(B)=P(C)=1/3, P(AB)=P(BC)=1/9, P(CA)=1/6, P(ABC)=1/18, т.е. если надо, один из множителей произведения заменяем на 1/2, частичная упорядоченность всегда обусловлена неравенствами 1/3 > 1/6 > 1/9 > 1/18 > 1/27 или 3 < 6 < 9 < 18 3 диаграмму Эйлера проще рисовать в (N-1)-мерном пространстве, частичную упорядоченность можно гарантировать неравенствами N < N(N-1) < NN < NN(N-1) < NNN < ...
Почти как с взаимной простотой чисел. Там тоже есть определение попарно взаимно простых и независимых в совокупности. И из второго не вытекает первое.
Вероятность что все три монеты орел 1/8. Вероятность что все три монеты одинаковы 1/4. Я похоже не понял
Так три решки тоже подходит
Так что 1/8*2
Сиасибо!
Пример с тетраэдром был легче для меня
С Д4 намного понятнее, с монетками как то не получается выкупить почему оно всё взаимозависимо
Найс, но на 6:21 "орёл, орёл,орёл. Вероятность 1/2,1/2,1/2"
И прям уже хочется перемножить после этих слов.
Так тут точно можно перемножить )
Насчет интуиции и теории вероятностей было бы интересно разобрать парадокс Монти Холла
Поддерживаю. Дело даже не в том, что он не так понятен, а в том, что его везде объясняют неаккуратно, а потому становится неясно, с чего вдруг сказанное на видео верно.
О, про это было в книге у Мэтта Паркера.
Где её найти можно? Только на амазоне купить?