✓ Трушин стебёт Савватеева | В интернете опять кто-то неправ
HTML-код
- Опубликовано: 31 окт 2020
- Ссылка на пост в группе ВК:
wall-106451712_15743
Последняя задача из школьного этапа Всероссийской олимпиады 2020 года для 10 класса:
Прямоугольник ABCD таков, что AD = 2AB. Точка M - середина стороны AD. Внутри прямоугольника нашлась точка K такая, что ∠AMK = 83° и луч KD является биссектрисой угла MKC. Сколько градусов составляет угол KDA?
Использованные материалы:
trushinbv.ru/ege10
• ВСЕРОС ПО МАТЕМАТИКЕ 2...
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Проголосовать за следующий ролик: www.donationalerts.com/r/bori...
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Регулярная помощь (RUclips): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
RUclips-канал: / trushinbv
Тем временем на доске : 12+25=27
угу , я тоже смотрю в начале ролика , и думаю наверное это часть "троля" будет дальше по видео )))
Объясните откуда взяли угол (90-a)?
@@Darkspear1 если взять прямой угол и из него провести луч, он поделит этот самый угол на "а" который мы ищем и "b" который равен 90-а. Потому что вместе эти два угла дают 90. Если ты конечно в противоположную сторону не поведешь, когда у тебя сумма углов будет не 90.
Интересно другое, каким образом надо понять, что нужно построить дополнительные треугольники, а не например, окружности или прямоугольники. Когда построил, дальше то все понятно, пошли по углам...
@@user-um2xh8vx1j О, так это всё подходы (которых бывает множество) к решению задачи и связаны, обычно, они с условиями с которыми привык работать решающий задачу. Тот же гвоздь: кузнец - выкует, токарь - выточет, маркетолог - купит, металлург (или кто там) выплавит... Аналогия такая. (простите металлурги, поправил)
В нарезке в начале чисто я, решающая задачи: щас щас щас а чё какой угол какая то сложная задачка а чё не так то
Только БВ решил, а я нет.
лучший коммент, я даже в голос засмеялся
Норм
Борис, надо больше видео, где Вы думаете как решить задачу. Это как наблюдать за созданием произведения искусства. Крайне увлекательно. Смотрел на одном дыхании. Андрюша 38 годиков.
Соглашусь. Было очень интересно чем поможет построение вниз) Не хватает комментариев в такие моменты) Казалось бы, спрашиваешь, а зачем тебе это построение? И тишина в ответ.
Согласен👍 как смотреть на огонь)
И Паша)))) 40 годиков тоже наблюдал с открытым ртом))))))
Андрюшечка, я с тобой!
Анечка)
Так в этом и есть ценность решения - применять то, что применяется и решить любыми путями
4:13 любимый момент)
Там на доске ещё 12+25/80=27/80😂
Жиза просто
Whaa
Я у доски be like:
Это я на уроке алгебры и геометрии
Всегда знал, что всю геометрию можно решить через прямоугольный треугольник)))
В видео собрались все: Трушин и Савватеев, а в рекламе перед видео вылез МО
Руслан Контрацептович
Тоже самое
Контрацептив) Я 10, но попадаю в ЦА. Все как под копирку и из каждого утюга
И у меня
я сначала прочитал "обосрались все"
Трушин убивает самую сложную задачу со всероса за 6 минут... Сила... Мощь... Жесть...
Трушин снимает ASMR и троллит Савватеева 13 минут и 34 секунды подряд.
Когда вы провели МК на сторону BC и после этого написали что угол, который должен быть 83 градуса, внезапно стал 97... Я думал, что всё.
Я поставил на паузу, и стал в уме решать задачу. Из-за этого угла у меня долго не сходился ответ, пока я не заметил, что он острый и не может быть 97°. 😅
Не 83 стал равен 97, а сопряжённый угол равен 97 потому, что с одной стороны 90-7, а с другой, соответственно, 90+7. Это у него мысли в слух выборочно озвучиваются, а логический ход причинно-следственной цепочки он опускает.
4:13 это когда я читаю условия 19 задания
большое спасибо!! Всегда, любая задача с "дорисовыванием вне" даётся"напрягом. Еще раз убедили, что не нудно этого бояться. Огромное спасибо.
Когда то давно в школе я лихо решал всякие математ. задачки. А сейчас раз в 3 дня попадается в ютуб что то типа этого ролика, и я решаю-решаю, а оно не поддается, и чаще всего не выдерживаю и смотрю, какое решение предлагает автор. И тут задумался, почему раньше в школе было легко, а счас туго. Но ведь сейчас я явно умнее в 10000 раз и в памяти сегодня я удерживаю разнообразную информацию в 1000 раз большую за единицу времени, чем когда то в школе. И тут мне стало понятно, в чем дело! Дело во всевозможных вспомогательных леммах, которые на автомате применяются при решениях. Например, что треугольники равны если равны одна сторона и прилегающие углы. Или что внутренние три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. И т.д. Чем больше таких лемм знаешь, тем быстрее находишь решение. По сути посмотрев на сегодня около 50 таких роликов (ну интересно мне)) я везде вижу одно и тоже: автор ролика показывает решение и при этом всегда у него упоминается какая нибудь лемма, а то и несколько. Собственно это не удивительно. В геометрии надо помнить кучу всяких свойств для фигур и всякие свойства для синусов-косинусов. В алгебре кучу формул для производных и интегралов разных функций. И в целом помнить всевозможные алгоритмы достижения целей. И тогда любая задачка будет раз плюнуть для тех, кто умеет логически рассуждать. А без лемм, формул и стандартных алгоритмов - любая задача это пытка и изобретение велосипеда от печки....
Добавлю. По сути в любой области, будь то металлургия, строительство, медицина или программирование, мы начинаем вот с таких "лемм". То есть изучаем массу всего всего всего, что кажется избыточным, но рано или поздно пригождается и никогда не угадаешь, что понадобится. Можно вот так брать например область программирования и делать ютуб канал, где предлагать запрограммировать какую то задачу и за 10 минут показывать как это сделать. Применяя различные паттерны, коих довольно много стандартных, окромя тех своих лично, которые каждый еще копит по мере программирования. При всем при том в разных языках и разных парадигмах одну и ту же задачу запрограммируют по разному и в разных стилях. Конечно такой ютуб канал по программированию не будет уже таким занимательным как математика. Ибо в математике, особенно школьной, мы все мастаки так или иначе)))))
Спасибо, что вернули мне мой интерес к математике! ТО ощущение, когда поставил видео на паузу, сгрыз ногти к черту, но решил сам и получил правильный ответ)
Мне 35, учился я давно да и геометрию никогда не любил. Но случайно попав на это видео, удивился эстетичности и понятности решения даже через столько лет. Наверно вызвать интерес и правильно преподать материал - это самое важное. Спасибо, было интересно!
Потому что обычно "учат" бабищи
@@mymail6122 мда, у меня на моем школьном поприще самые компетентные и неравнодушные были как раз женщины. Все мудэ так называемые учителя (от физиков до историков) пинали *** на уроках. И конечно, я имею право свой опыт экстраполировать на всех и заявить, что мужчины тупые и им не место в преподавании.
@@hannapioulard2662 человек имел ввиду не женский пол вообще! Он имел ввиду развитость конкретных представительниц. Очевидно, что пол тут не при чём. Просто учителя мужчины более редки... Вот о "бабищах" и было сказано )
@@mymail6122 бабища учила до 10го. Было хорошо. Потом достался заслуженный учитель. Мужик. Все пошло в тартарары.
За что вы так с мужчинами... Тот же Борис Трушин же хорошо преподаёт
Перед началом решения посидел сам, придумал уравнение, но нужно было второе.
Увидев в начале решения идею опустить перпендикуляр - поставил на паузу и дорешал задачу сам)
Спасибо, приятно
Молодец! Разбор задачи на одном дыхании!
Очень интересное решение! Было приятно посмотреть на ход размышления. Спасибо
Видео класс. Что вспомнил со школьного курса: 1) Точность построения важна. 2) Кривые построения мешают думать) 3) Если построение близкое к реальному - решение как-то само приходит.
Ахренеть! 🤔
Борис - ты крут! За 7 минут решил задачу...
Круто,как раз посмотрел разбор задач от Савватеева,а тут вы со своим видео
Это школьный этап Всоша в Москве) Решил методом научного тыка😂 Хорошо, что только ответ нужен был)
Очень интересно наблюдать за ходом мысли в таких задачах! Спасибо за видео)
сижу на 5 курсе технического универа
смотрю задачи =)
ээ-э, братан, на пятом курсе уже квантовую хромодинамику спросоня надо объяснять, а урмматы должны чем-то тривиальным казаться
@@luchens923 Такие, видно, универы нынче пошли. Некоторые созданы методом переименования, небось. 😢
Трушин - красавец. Просто, стильно, информативно.
Изящное и простое решение. Спасибо. Случайно нашел ваше видео, очень понравилось.
изящное было бы через окружности! а это простое и алгебраическое
Логика предельно проста и понятна, пока решает другой человек, а у самого оперативки не хватает, понравился момент когда он зашёл посмотреть на конструкцию с другой стороны🙃
Чистый кайф.
Прям хоть работу бросать и за учебники)
Понравилось - не то слово. Восхищён.
Лично мне понравилось, что у данной задачи столько вариантов решения, после я 2 часа разбирал варианты решений
топ 10 неожиданных аниме битв
Помню эту задачу. Прямо яркий росчерком в памяти. Как в классе никто не смог решить это в ДЗ или было на Олимпиаде и потом на уроке я озвучил, а учительница 5-7 минут поколдовав у доски тоже получила эти заветные числа в 7 и 36 градусов. Причем вспомнил случайно из-за ошибки с градусами угла на стороне BC(не 97, а 83!!!) =) Захотелось поправить и вспомнил как также поправил учительницу=)
В 7 и 38, или 9 и 36?
Там в сумме 45 должно быть, если я правильно понял.
@@izhilin 7 и 38 конечно же=) Просто на эмоциях ткнул на клавиатуре не ту цифру=)
молодец, мальчик, купи себе медальку! ты самый умный))
@@natteft6593 ох уж эти надменные комментаторы... А сами чего расскажете?
Круто, когда сходу такое берётся!!!!
Всё гениальное просто👍
Так интересно видеть,как БВ реально думает над решением задачи)
просто высматривал более простое решение. Савватеев тож не промох, ток с другой стороны заходил)
«Все делается при помощи зеркал» 😢
4:13 это я после прочтения любой задачи
Как ни странно прозвучит но- Я ОБОЖАЮ УМНЫХ МУЖИКОВ)))))))))))))))) в научном смысле!!!
По признаку Берлова (ударение на Е), четырехугольник MKCD--вписанный.=> угол KCD = 83 и угол KDA=KDM=KCM=KCD-MCD=83-45=36. (Угол MCD = DMC = (180-90)/2 = 45)
Как я люблю такие решения! Они учат красоте и свободе в рамках поставленной задачи))))
Школу окончил 20 лет назад, но видео всё равно зашло, особенно формат рождения решения!
P. S. По геометрии было 5+.
Красссссссссссссавчики, и Вы, и Савва!!!
Отлично, как всегда.
о ктулху, нахрена я это смотрю, школу закончил много лет назад
Хех, внезапно для себя получил непередаваемые ощущения, когда решил эту задачу в уме за 5 минут через теорему синусов(когда очень плох в треугольниках, биссектрисах и тд., но хорошо помнишь формулы и считаешь чиселки), и тут вдруг ответ сошелся.
Название видео, которое мы заслужили))
Это просто замечательно
А, уже вижу у тебя там в каментах - моё решение, но завершённое! Супер!!!
Коменты*
@@user-vg1in1de2g комменты*, чел
@@user-vg1in1de2g это новояз, правил не сформировано.
@@hitomi1 осуждать Саватеху, фига вы)
CUMенты
Великолепно! Особенно мне понравилось, что я сам догадался раньше - как только Боря провёл перпендикуляры - блин, это был инсайт :) Как всё может измениться, если всего-то провести пару линий! Спасибо!
Математический склад ума в том, чтобы в принципе догадаться провести перпендикуляры. У меня есть пару знакомых, которые думают оооочень медленно, но так уверенно, что ппц. Скорость мышления в математике не главное.
@@vstinuaishere вообще перпендикуляры с биссектрисами часто вместе идут, тут скорее вопрос в том, много ли таких задач человек прорешал:))
@@vstinuaishere Плюсую. У меня такое наблюдение: в школе столкнулся с несколькими одноклассниками, гораздо быстрее всех прочих, включая и меня, решающих школьные задачи, в том числе и со звёздочкой, понятно, все они впоследствии закончили ВУЗы. Чёрт возьми, насколько я мог понять, ни один из них толком не вник даже в элементарные основы математики, ни один. И ещё я встретил нескольких человек, понимающих математику, кажется, гораздо лучше меня, во всяком случае, они легко демонстрировали мне решения или доказательства, до которых я не мог додуматься или считал очень трудными. Так вот, не все, но большинство из этих явно не последних математиков оказались теми ещё тугодумами. И уж точно быстрый подсчёт в уме каких-нибудь денег или миллиметров был совсем не для них. Похоже, скорость мышления в математике не только не главное, а просто вредна.
@@Micro-Moo тоже замечал такое. Мне всегда представлялось, что они просто в голове высчитывают проблемы мирового масштаба, а под эти ваши глупые задачки 5% мозга остается :))
@@falseusername Не думаю, это просто неумение и нежелание соображать слишком уж быстро. Просто не очень нужное умение, и даже вредное для занятий реально продвинутой наукой. Всё-таки школьные задачи не такие, они составлены людьми определённого склада, у которых рука на это дело набита. Для человека, набившего себе руку в быстром решении таких задач, ход мыслей сочинителей задач вообще не проблема. Посмотрите на «продвинутые» задачки, обсуждаемые в видео на RUclips - большинство из них, выходя за рамки обычных школьных задач, совершенно однотипные.
Однозначно самое крутое видео Трушина😄😄
Элегантно... Вообще математика, это красиво...
Альтернативное решение: по теореме синусов в треугольнике KMD MD:sin(beta)=KD:sin(97°), а в треугольнике KCD CD:sin(beta)=KD:sin(
Так же решил. Вижу две одинаковых стороны с одинаковыми противолежащими углами и одну общую, синусы противолежащих углов которой равны и т. д.
Тоже так решила.
+1. Так же решила - оказалось гораздо быстрее, чем что-то строить дополнительное. И потом уже поняла, что МКС=90. Значит, можно было все же построением, но чуть красивее, чем автор видео.
С синусами есть подводный камень: sin(a)=sin(180-a), поэтому если получается sin(x)=sin(y), то необязательно x=y.
У меня получилось alpha=45 сначала, долго ошибку искал.
Угол KCD равен 97 град. Автокад не вред все в масштабе посттроил.
Саватеев тот еще популяризатор у него талант рассказывать так чтобы никто ничего не понял, часто переусложняет
Мне тоже нередко кажется, что он переусложняет, но мне не кажется, что он говорит непонятно. Мне кажется, что и он говорит даже понятнее, чем многие комментаторы на этой странице пишут. Хотя я хорошо знаю, что все люди разные, с разными системами восприятия. С другой стороны, я сам часто не понимаю того, что другим слушателем кажется очевидным, в частности, плоховато понимаю речь с акцентом, особенно не очень знакомым, а другим это хоть бы что.
Ого, ютуб предложил что то по настоящему интересное))))
Борис, Вы как всегда на высоте. Очень красивое решение. Я честно потратил на раздумия над этой задачей в фоне несколько дней.
В итоге сделав построения получил тригонометрическое уравнение:
alpha=83 (по условию)
phi - искомый угол
теоремы синусов
MD/sin(alpha-phi) = KM/sin(phi)
CD/sin(alpha-phi) = KC/cos(phi)
теперь расстояния от точки K до сторон AD и BC:
p1 = CD/sin(alpha-phi)*cos(phi)sin(alpha-2phI)
p2 = KMsin(alpha)=MD/sin(alpha-phi)*sin(alpha)*sin(phi)
p1+p2 = CD
...
и тут уже можно возпользоваться тем что MD=CD
и перейти к уравнению
sin(alpha-phi)=sin(alpha-3phi)+cos(alpha-phi)-cos(alpha+phi)
после "разворачивания" всех синусов и косинусов и преобразований упростил до
2(cos^3(phi)-cos(phi))-(sin(phi)-2sin^3(phi))+sin(phi) =0
-2cos(phi)*sin^2(phi)-cot(alpha)sin(phi)(1-2sin^2(phi))+sin(phi)=0
...
sin(2phi)+ctg(alpha)cos(2phi)=1
дальше метод Юниса все дела и:
phi = 1/2[arcsin(1/sqrt(1+cot(alpha)^2))-arccos(1/sqrt(1+cot(alpha)^2))] = 1/2(alpha-(pi/2-alpha)) = alpha - pi/4 = 38
Построения на самом деле тривиальные - я написал метрические соотношения на то что расстояния от точки K до сторон BC и AD в сумме должно быть равно MD.
Для того чтобы выразить расстояния эти я использовал выражения для KC и KM (теорема синусов пару раз и просто определения синусов и косинусов).
Мне повезло, быстро увидел - быстро решил... За 1 мин. Иногда на таких задачах можно подвиснуть на недельку ;)
Как вариант (мне показалось проще, хотя это вкусовщина): Нужно отложить треугольник KDM1 равный KDM симметрично относительно KD. Точка M1 окажется на отрезке KC, т.к. MD1 = MD < KC и угол MKD = углу DKC.
Ну а дальше арифметика:
1) Угол KMD = 180 - 83 = 97
3) Угол KM1D = углу KMD = 97 (т.к. треугольники KMD и KM1D одинаковые)
4) Угол CM1D = 180 - 97 = 83
5) Угол DCM1 = углу CM1D = 83 (т.к. треугольник DM1C равнобедренный)
6) Угол M1DC = 180 - 2x83 = 14
7) Угол M1DK + углу MDK = 90 - 14 = 76
8) Угол M1DK = углу MDK (т.к. треугольники KMD и KM1D одинаковые)
9) Угол KDM = 76/2 = 38
поставил видео на паузу решил точно также. Я не математик, просто в школе хорошо учился...видимо горе от ума
Мне не понятна фраза: "Точка M1 окажется на отрезке KC, т.к. MD1 = MD < KC и угол MKD = углу DKC".
Можно расписать по-другому. В треугольниках KDM и KDC углы при вершине K равны, поэтому
угол KMD + угол MDK = угол CDK + угол DCK (= 180 - угол K), откуда
угол CDK - угол MDK = угол KMD - угол DCK > 0, т.к. угол KMD тупой, а угол DCK острый.
Отсюда угол MDK < угла CDK, а значит, и равный ему угол M1DK < угла CDK.
Следовательно, точка M1 окажется на отрезке KC, а не где-либо в другом месте прямой KC.
Очень прикольно, спасибо!
Красиво! Спасибо!
Классные вы ребята. Можно было бы у вас взять частные уроки. Желательно с класса третьего.)))
Трушин страх потерял ...
Министерство образования тоже, раз решили с поступлением так мутить
Угу
И сл видел: Филин не прав )
@@TheRainGameTM
Он редко про математику рассказывает )
@@trushinbv Трушин, вероятно, не видел, что Савватеев сделал с Аппатитами. Страшно подумать, что он сделает с Трушиным.
Хотелось бы иметь такую же математическую чуйку.)) Это не всегда можно натренировать.
Не утверждая, что вы неправы, замечу: откуда вы знаете, что нельзя натренировать? Не думаю, что это суждение чем-то обоснованно; если вы чего-то пока не добились, это ещё не значит, что умение вам недоступно. Если мне не хватает интуиции или каких-то умений, обыкновенное дело, я знаю, что винить нужно только себя, а не какие-либо природные катаклизмы типа якобы врождённых качеств.
9:00 тут можно по другому продолжить
Отметим точки к которым проведены высоты на продолжении КМ и КС. Пусть это будут М1 и С2.
Рассмотрим четырехугольник КМ1ДС1 у него 2 угла прямые. Угол Д тоже прямой, так как 90+7 и 90-7. Отсюда угол К тоже прямой. КД это диагональ. Углы у угла К равные, значит они равны по 45°. Это четырехугольник квадрат)
Угол МДК равен 45-7
Пока смотрел видос отдался ностальгии тех времен, когда сам к егэ готовился и соответственно, учился в школе. По воспоминаниям это было даже лампово, когда мы с другом обсуждали задачки вместе, собираясь в дискорде. Да и в целом вся эта атмосфера конца 11 класса очень даже не плоха ;)
Сейчас я почти программист, который 24/7 сидит в общаге и ни с кем не общается, разве что кроме своего друга, с которым мы ходим в зал. Грустно даже как-то ;(
Но за все нужно чем-то платить, вот и я расплачиваюсь.
Таков путь! (C)
Держись чел
так иди и пообщайся, я уже 10 лет программист и порой сложно побыть одному, нежели найти с кем пообщаться
не знаю как я попал сюда и геометрия и математика были самые нелюбимые предметы но посмотрел с удовольствием
Быстро решил. Я решал тем же путем но прямоугольники отзеркалил. Ну и дольше естественно. Круто!
Ништяк, Борюсик!!!
получилось довольно просто, оказывается)
Также использовал факт бисектриссы, только зашёл с другой стороны. Через сумму углов треугольника MKD
Два часа решал, но решил, по-другому, но тоже оказалось очень просто
Моя любимая рубрика☻
Решил за две минуты, способ другой, ответ тот же. Просто на КС нужно поставить точку L, чтобы треугольники MDK и LDK были равны, дальше все сразу получается.
Правильный ответ 45град, как только Борис опустил нормали, посчитал правильный ответ, при угле 38 получается за пределами четырехугольника.
Тоже так думал, но там в условиях задачи обозначен угол АМК в 83°, а не смежный KMD. Точка К лежит в прямоугольнике. Интересно, что при угле АМК больше 90° получается семейство точек К и все они дают угол MDК в 45°
Еще можно продлить МК до ВС, в точку Q на BC, тогда мы знаем размер угла КQС и можно получить систему из двух уравнений зависимости альфа от бэта, ну и получаем тоже самое.
Прикольная задача, главное, что с наскоку выглядит угрожающе :-)
Не всегда, те данные которые даны надо обязательно использовать. На это даже есть спец.задачи, в которых спецом на дано больше чем нужно для запутки решапутки.
Спасибо, Боря, дорогой !!! А неужели через окружность не получиццца???? Было бы красиво. Какое вообще ГМТ точек, из которых данные два отрезка аля "раскрытая книга" видны под одним углом? Я задумалсо :-)). Савватан
ГМТ точек
Точек точек точек точек точек....
Савватан, Савватан, помоги мне сдать матан
Допустим, мы знаем значение этого угла x под которым видны эти отрезки (MKD и DKC у Бориса). Тогда ГМТ под которым виден каждый из отрезков MD и DC - это окружности (технически две дуги, но это мелочи) одинакового радиуса (потому что отрезки одинаковы и картинка симметрична). Эти две окружности пересекаются в общем случае в двух точках, одна из которых D, а вторая, значит K. И вроде бы получается, что ваше ГМТ это биссектриса угла MDC. Однако, если K лежит на биссектрисе MDC, то она при угле 83° лежит снаружи. Следовательно, в наших рассуждениях только одна ошибка: две окружности могут пересекаться в больше, чем 2 точки, если они совпадают. => MDKC лежат на одной окружности. И дальше банальная арифметика дуг
Для полноты картины, искомое ГМТ это объединение прямой, двух лучей и полуокружности. i.imgur.com/7m4yTvf.png
Алексей, извините, а можно ваш вариант задачи, а то эта с неправильными вводными, а вообще ведь решение сводится к простому уравнению, через угол обозначается третий и получается, 180= угол + значение + (180 - угол - значение) получилось простое уравнение
БВ можете пожалуйста рассказать про факты из теории многочленов,(деление и ТД), которые проходят в 11 классе.
Круто :) ! Спасибо!
Привет, мне 50, и мне понравились интересные выводы из решений этой задачки.
Из решения Саватеева: при угле AMK меньше 90 градусов, где KD биссектриса угла MKC, точка К принадлежит дуге MN окружности описаной вокруг квадрата MDCN, где N середина BC( или вокруг треугольника MDC), а если угол AMK больше 90 градусов, то точка К принадлежит диагонали квадрата MDCN.
А из Вашего решения : если угол AMK меньше 90 градусов, то фигура образованная перпендикулярами опущенными из точки D на лучи КМ и КС и этими лучами всегда квадрат. Спасибо))
Обозначил углы MKD и DKC за Х, KCD за Y, рассмотрел четырёхугольник KMDC, где (KMD+KCD)=(MKC+MDC) => (97+y)=(2x+90), также в сумме четыре этих угла дают 360 (y+2x+97+90=360). Получилась система, которую успешно решил, y=83, x=45. Искомый угол KDA = (180-97-45) = 38
дурак
ну все, буду математиком, решил за половину времени Трушина
каким методом?
Это классная задачка) у меня получилось, что угол DKC равен 45 градусам, вообще независимо от тех 83 градусов.
Здесь есть другое решение. Оно в том, что с одинаковым углом и общей стороной можно получить только два треугольника. Поэтому если циркулем из точки D провести DC, то на KC получится точка M', где треугольники KMD и KM'D равны. И тогда получается, что прямой угол MDC (90) равен сумме, в которых фигурирует искомый угол и угол MKD, причём искомый угол в уравнении красиво сокращается и получается, что MKD равен 45. Ну а в сумме с искомым он равен внешнему 83. Откуда 38. Отличная задача, спасибо некоему Владимиру. В два ночи прям настроение даже поднялось) вот это я понимаю задачки) всем добра и здоровья!
90 =MDK+M'DK(=MDK)+2(90-(M'DK+DKM'))=2MDK+2(90-MDK-MKD). 2MKD=90. MKD=45. MDK=83-45=38.
Постебать Саватеева - это святое! Лайк и подписка :-)
мне сразу пришло в голову теорема синусов MD/sin(бета)=KD/sin(97) и DC/sin(бета)=KD/sin(KCD). бета=83-альфа, угол КCD=2*альфа+7. Отсюда sin(2*альфа+7)=sin(97), используя разность синусов получаем 2sin(45-альфа)*cos(альфа+52)=0. подходит только угол 38, так как угла в 45 градусов, делает тупым угол KCD.
Надеюсь не будет воспринято как стёб глубокоуважаемого Бориса, но вообще то это пример по арифметике:)). В рассматриваемых треугольниках КМD и КСD 2 стороны и противолежащий угол равны, значит эти треугольники либо равны, либо углы М и С в сумме 180(очевидное для 7классников свойство таких треугольников ).
Равны они быть не могут тк угол М в KMD = 97 градусов, а угол С в КСD - острый. Значит имеет место второй случай, т.е. угол С в КСD равен 83. Значит искомый угол MDK на 14 (97-83)градусов меньше своего дополнения до 90 (т.е. угла KDC ), то есть (90-14):2=38. Сорри)))
Напомните, что за свойство, по которому углы C + M = 180. Спасибо
@@wowyomad посмотрите у МО решение этой же задачи с опорой на "4й признак равенства треугольников", он показывает эту теоремку там.ruclips.net/video/F0305T1IY5E/видео.html
красава!
О, как раз хотел написать, что можно проще и быстрее, но увидел ваше решение.
@@wowyomad Может это и какое-то свойство, но это и по теореме синусов вытекает. В треугольниках углы равны (биссектриса по условию) и противолежащие стороны равны (тоже условие) значит отношение синус/сторона одинаковое для всех углов в этих двух треугольниках. Имеется общая сторона, значит синусы противоположных углов равны, а значит углы равны друг другу, или один 90+a , 90-a (у таких углов синусы одинаковые) а значит в сумме углы равны 180.
Не зря смотрю Ваш канал)) сам решил задачу достаточно быстро)
Правда я построил окружность радиусом МD с центром в D, и прямую КМ. Осталось найти точки пересечения
Решаем систему
x^2+y^2=MD^2
y=tan(83)(x+MD)
получим два корня х, но тот который равен -МD нам не интересен
второй x=-MD(k^2-1)/(k^2+1), k=tan(83).
Далее находим y.
Теперь отношение y/x равно тангенсу угла, который у Вас 7 градусов получился. Далее просто находим альфу
Аналитическое решение геомы наше всё)
Я всегда восхищался такими людьми как Алексей Владимирович Савватеев и Борис Трушин, но иногда очень умные люди все слишком усложняют).
У меня получилось решить данную задачу (чисто случайно) в одно действие. 45-7=38. И вот как. Я увидел, что если откинуть данные про 83 градуса, а все остальные условия учесть, то получается угол 45 градусов, а точка К является вершиной квадрата МКСD. Исходя из условий про 83 градуса я выдвинул гипотезу, что угол МКС является прямым,то есть исходный квадрат МКСD повернут на 7 градусов. Но, зная, что диагональ квадрата все равно будет проходить через точку D можно сделать вывод, о том, что диагональ сместилась на 7 градусов. Таким образом, получается, что из исходного угла МDК нужно вычесть угол поворота и получим новый угол MDK.
Классно, получилось, когда провели два катеда. Но после, кажется, можно было бы еще проще, сразу после того, как вы обозначили KCD = 83 гр. У вас получается что MKC = 360 - KMD(97) - MDC(90) - KCD(83) = 90 гр. KD - биссектриса => MKD = 90/2=45 => MKD = 180 - 97 - 45 =38
А с чего решили что КСД - 83°?
Решал по теореме синусов.
Там получается два варианта: 38 и 45 градусов. 45 градусов будет, если бы точка K не была внутри прямоугольника.
45 будет в любом случае, потому что биссектриса даёт нам два равных угла, одну общую сторону и две равные противоположные стороны. Треугольники равные, значит и углы равные, а сумма их равна 90.
83 - вообще лишнее условие.
Спасибо!
Видео крутое! Показано, что даже в сложных на первый взгляд задачах, можно найти простое решение. Спасибо!
Можно проще: сделать отражение точки М на КС (представляем что листочек загнули по КД, так как углы равны, то м1 попадёт на КС) , получим равнобедренный треугольник М1ДС с 2 углами по 83 градуса и углом М1ДС=14. Знаем, что угол КДМ1 =альфа. Получаем 90=2*альфа+14
Черт возьми, ты прав!
Тоже так решал. Сначала показалось, что MDK и CDK равные треугольники. Но первый тупоугольный, в второй нет. Поэтому появилась идея построить треугольник равный MDK, как вы и описали.
Мне кажется Савватеев - один из представителей вида математиков, которые привыкли все усложнять,
Просто он подходит более научно
ох блин... министерство образования должно поддерживать этот канал...
Трушин - гений геометрии, нет слов !
И арифметики
Милая прожарка Савватеева :з
Последнюю задачу можно доказать каким-то подобным образом:
Опишем окружность около треугольника KMC и предположим, что прямая KD пересекает эту описанную окружность в точке P, отличной от D
Т.к по условию дано, что углы MKD и DKC равны, значит по свойству о том, что равные углы стягиваются равными хордами имеем: MP = PC
Рассмотрим треугольники MPD и CPD (они равны, т.к MP=PC (см. выше), MD=DC (т.к по условию задачи MDCN - квадрат, (N - последняя вершина квадрата, которую АС не отметил))
и DP - общая сторона)
Однако в таком случае мы имеем равенство углов MDP и PDC, но в сумме они дают 90 градусов, опять же, потому что MDCN - квадрат
=> каждый из этих углов равен 45 градусов, а значит прямая, образованная отрезком KD, содержит в себе диагональ квадрата MDCN (т.е KD и DN лежат на одной прямой)
Из условия задачи это невозможно, а значит исходное предположение было неверным и точки P и D - совпадают.
А значит, что окружности, описанные около треугольника KMC и квадрата MDCN совпадают.
Отсюда следует равенство углов KMC и MNC (опираются на одну дугу) = 90 градусов. Т.е 2a =90 => a=45
Угол KMD = 90+9 =99 градусов. Откуда получаем, что угол MDK = 180 - 99 -45 =36 градусов.
Тут получается с углом в 81 градус, как было у АС
Это как раз Савватеевское решение доведенное до конца
Савватеев в своей голове разобраться не может, тем более объяснить что-то, у него самые бесполезные лекции. Чел вообще оторвался от реальности. Бояршинов и Трушин - это другое дело
@@allbirths почему вы так считаете?
@@Accusan я послушал много его лекций, учел мнение о боге и путине
Я остановил видео на 07:30 и решил самостоятельно, как оказалось, немного по-другому, без дополнительных построений. Обозначив через gamma угол KCD имеем систему уравнений: alpha + beta + 97 = 180, alpha + beta + gamma = 180, 90 - gamma + 97 + 180 - 2*beta = 180, отсюда получается, что beta = 45, а alpha=38, т.е. ответ 38 градусов. Просмотрел видео дальше и убедился, что ответ верный. Спасибо за замечательные видео -- я своим ученикам даю на них ссылки! :)
Браво!
Добрый день, прошу прощения за неграмотность, я грамматики русского языка не знаю. Я хочу предложить свое решение: отметим на отрезке KC точку F так, что
ну как по мне проще только один, отрезок в достройке
Не понял, как появились 14 градусов из условия равнобедренности треугольника? Можете пояснить?
@@vladbulgakov2104 у нас есть равнобедренный треугольник FDC, углы при основании равны, и равны 83, сумма углов треугольника 180, поэтому тот угол 180-83 * 2 что и есть 14
Можно было заметить, что KMDC на окружности, так как D на серпере и биссектрисе, а значит KMC=45, и всё.
DMC=45, как тогда KMC может быть 45?
Решение с вписанными углами, по-моему, простое -- и уж точно красивое.
Восторг.