👍❤️🤝 *_А мораль сей басни какова? Ещё раз подтверждается, что без законов высшей математики, физики, химии ... человек может прожить запросто! А вот без простейших законов человечесуого бытия (общежития) всякий человек прожить не сможет. Вот к примеру: один другому, просто, на ногу наступил... И если у них не сработает закон прощения, то человечество вымрет._*
Я десятиклассник, и, блин, я только с числом k запутался, но каким-то неведомым образом доказательство понял) Борис, спасибо Вам, что сидите у меня в компьютере и рассказываете всякие интересные теоремы))
@@dima_math ну, вообще, греки рассматривали простыми только те числа, которые точками можно записать единственным образом в один ряд. Единицу же не относили к простым числам из-за того, что она считалась минимальной частицей, из которых состоят все остальные числа.
так там надо доказать, что нельзя получить число с другими множителями. то есть что не может быть такого, что икс равено и а*б и ц*д при том, что а, б, ц и д - простые
@@penfelyn нет, не "справедливо". А Вы замените 3 на 4. Чтобы что-то поделить на 4, надо умножить непременно на 4? А вот и нет! можно умножить пару раз не на 4, а на 2
Я не понимал, просмотрел видео много раз, много конспектировал, ходил, размышлял, помолился Христу и всё понял! Слава Богу и спасибо за объяснение Борису!
А что такое "очевидное"? Вот очевидно ли, что на любом множестве можно задать некоторое отношение частичного порядка (между прочим, Борис Викторович этим занимается, не остановившись).
@@MarkBoldyrev поэтому "очевидное" автор коммента и поместил в "", за неимением более подходящего слова. Борис же с этого и начал - возможность разложения обычно воспринимается как данность, вот и все
То чувство, когда ты самостоятельно учишь вышмат, слышишь про основну теорему арифметики и думаешь что это что-то из высшей алгебры, а Борис говорит школьникам доказать её
Пхехехе, я тоже начал самостоятельно учить математику, будучи на втором курсе, знатно удивился, когда услышал, что пусть школьники сами попробуют доказать эту теорему, я сам про этом долго вникал, как работает доказательство
Очень классно, спасибо за лекцию! Реально так - есть вещи, которые в математическом образовании пропускают "за очевидностью". И все (кто думает) понимают, конечно, да - очевидно. Но осадочек остаётся. )) Потому как что-то всё-таки, получается, принял на веру. Что ж это за строгая наука такая, где всё равно (как в физике, химии и т.д.) что-то надо принимать на веру?.. Спасибо, что заполняете эти "дыры" в образовании. Тем более, что основная теорема арифметики имет фундаментальное значение.
@@trushinbv мы понимаем, что число можно поделить))) потому что оно соответствует системе исчисления и является количественным выражением, то есть ,можно вычитать единицы, пары, тройки и будет остаток. Любое число можно умножать до бесконечности и делить до нуля, можно разлагать на бесконечного множество дробей (других систем счисления). В привычной системе, в единичной число делится на единицу и показывает количество, на которое может делиться 1 к 1 делится (уже 2 множителя - на себя и единицу). В знаменатели мы единицу не пишем для удобства, но подразумеваем ее, когда говорим о целых числах. А что тут не очевидного-то? На бесконечное множество мелких долей можно разложить все. Это исходит из свойства бесконечности, глобальности нашего мира
@@allbirths математика не исходит из свойств глобальности мира. там обычно из аксиом выводят. ну стараются по крайней мере. и дальше уже теоремы и т.д. извините
@@trushinbv Пожалyиста ответьте на 10.26 мин непонятно почемy p1 в квадрате? ведь второи множитель может быть не равен емy или быть больше, не совсем понел и почемy именно больше или равно? а не равно? n же состоит из этих простых множителеи? и смотря доконца так и не понел где доказательство единственности ( я тyп
Образование - это разная степень приближения к знаниям. Абсолютного знания нет ни у кого, даже если Вы перейдёте к 16-мерной точке, о существовании которой вы и не подозреваете.
Учусь в восьмом классе и всегда задаю вопрос, куда дальше идти? Что делать, чтобы стать лучшим? И ваши видео на самом деле помогают, развивать мат мышление.
@@pnlabs Обратите внимание, что это надо всегда оговаривать! Потому что из этого "интуитивно очевидного" утверждения (о возможности установить подобные отношения где угодно) следует нечто совсем уж интуитивно контрочевидное... например, теорема Хаусдорфа-Банаха-Тарского.
9-10 класснику? Я если своему 11"а" начну такое рассказывать, разжёвывать в течение 2-3 уроков, мне скажут: "спасибо. спасибо, что время потянул, нифига не понятно, но хоть отдохнули"
А вы их замотивируйте, и спрашивайте, а всё ли они поняли на каком-то определенном этапе доказательства, и так постепенно даже до самого лопуха дойдет, если конечно вы сделаете так, чтобы этот лопух захотел слушать. Такое ощущение, что люди которые заинтересованы в математике, считают себя лучше тех, кто плевать на нее хотел, это я к тому, что лайкают коммент, который говорит, какая печальная ситуация на самом деле: все сидят в школе просто так.
@@АлександрХмелевский-т7ж , на данный момент я уже на втором курсе, к счастью, здесь таких проблем нет) (Электроника и автоматика физических установок, только бюджетные места, около 250 проходной балл при поступлении)
Все зависит от уровня мат подготовки. Если дети заточены на решение однотипных задач егэ, то большего ожидать не следует. Тем не менее в некоторых школах в 11-м классе доказывают гораздо более сложные вещи, например асимптотический закон распределения простых чисел.Тут же используются какие-то простые индуктивные соображения, которые вполне доступны и восьмикласснику.
Гораздо более интересная штука -- обобщение в произвольном (евклидовом) кольце. Ну а для школьников это неплохо:) Приятно, что пару лет назад учился у вас на курсе и это многое мне дало, спасибо.
А как оно обобщается? Доказательство все упирается в понятие наименьшего положительного числа. Для чисел вида хотя бы а+b*sqrt2 наименьшее положительное число не определено и док-во уже не работает, разве нет?
@@віталійкуценко-л6ц в евклидовом кольце у каждого элемента определяется норма, равная натуральному числу, и мы вместо наименьшего числа ищем элемент, наименьший по норме (например, многочлен наименьшей степени)
На 4:10 поставил на паузу и попробовал доказать: Допустим, что число N нельзя представить в виде произведения простых чисел. Тогда в представлении этого числа в виде произведения будет не менее одного составного числа. Применим те же рассуждения для него. Очевидно, что по мере большего количества разложения составного числа на ещё составные, на ещё составные и так далее, то их множители будут уменьшаться. Фактически разложение мы не сможем применить лишь тогда, когда составное число окажется простым, к чему мы и будем всё это время стремиться. Следовательно, наше изначальное предположение было неверно (самое маленькое составное число оказалось простым, а значит и все остальные составные можно было представить в виде произведения простых чисел), что доказывает теорему.
ТОЖЕ не пропустите :на основе рассматриваемой теоремы арифметики после решения ВТФ при степени простое число мне удалось доказать ее и для степеней В виде любых составных нечетных и четных чисел ! Не верите ?Прошу отозваться...
@@ВячеславПопов-ф8и Любая составная степень целого числа является простой степенью другого целого числа, и для доказательства этого факта не нужно привлекать МТФ. Правда, это не доказывает ВТФ для степеней двойки, но доказательство ВТФ для биквадрата было проведено уже самим Ферма.
Спасибо за видео, но проблема такая же, как в моем детстве - на 7:23 Вы уже меня потеряли. Если есть доска и мел, то почему бы не написать 3-5 совсем простых примеров для самых тупеньких? :(
Вообще, перед доказательством этой теоремы, надо сначала доказать свойство ассоциативности произведения a*b*c = a*(b*c) = (a*b)*c и свойство коммутативности произведения a*b = b*a потому-что эти свойства произведения используются в доказательстве, как само-собой разумеющееся, интуитивно понятное или аксиомы(в случае аксиом, перед доказательством заявить об этом). Также, следует доказать, что множитель меньше(или равен) произведения (возможно это аксиома арифметики, тогда предварительно заявить об этом).
Как первокурсник не математической специальности, решил попробовать доказать сам это, а потом посмотрел видео. Ну, доказательство далеко от описанного в видео, хотя я уверен что это не единственное. Доказательство строилось на рекурсии Первая часть: если число простое, то оно уже разложено на простые множители, если число составное, то оно имеет в своём представлении минимум 2 числа, отличные от 1 и самого числа, а так как, эти 2 числа меньше изначального, то они оба имеют простые представления => изначальное число тоже раскладывается на простые Как наглядный пример возьму число 108. 108=4*27=2*2*3*3*3, чтд со второй частью у меня доказательство было похоже, которое ссылалось не к кратности чисел, а к тому, что если взять n/Pn и n/Kn, где Kn!=Pn, то эти оба числа имеют единое представление на простые (из изначального утверждения), дальше можно воспользоваться фактом, что при перемножении на k(или p) мы получаем n=np/k, из чего следует, что n, np кратны k, а так как p!=k, n-np/k кратно p, k,p/k и pk, и естественно меньше n, а так как n-np/k
Это, конечно, дело вкуса. Мне кажется, что лучше доказывать (используя минимальность), что если произведение делится на простое, то один из множителей делится на это простое. Отсюда и будет следовать единственность.
Не сказать, что легко. Оно эквивалентно, но более привычнее (для меня). Пусть p минимальное " плохое" простое число. То есть найдутся такие натуральные числа a и b, что p делит a*b, но не делит ни одно из них. 1) сделаем a
Я тут еще подумал и понял, что расширенный алгоритм Евклида это делает в две строчки. Пусть p простое число, делящее произведение N*M. Докажем, что оно делит хотя бы одно из них. Если p не делит N и M, то они взаимопростые и A1*N+B1*p=1 A2*M+B2*p=1 Перемножим их A1*A2*NM+p*(...)=1 правая часть делится на p, а левая нет. Противоречие. ВСЁ.
я в седьмом классе. Вызов на доказательство теоремы принят(честно не смотрел доку в видео и раньше не слышал об этой теореме): (по определению) простые числа кратны только себе и единице. Также в разложений на простые числа учавствуют только простые числа. => Если попытаться как-то изменить разложение некоторые простые в нем числа придется как-то поделить(невозможно, если рассматривать только натуральные числа), домножить(получится составное число) => числа в разложений никак нельзя нормально поменять без изменения результата => представить разложение на простые числа можно только одним способом.
Молодец конечно, что попытался, но то что ты написал доказательством разумеется назвать нельзя.Во-первых, основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых, при чем это представление единственно с точностью до перестановки множителей. Ты не доказал существование. Дальше идут какие-то необоснованные утверждения о том, что набор можно изменить только делением или умножением. Почему, если ты как-то разложил число на простые множители, ты не можешь взять другой набор простых чисел (он не обязан как-то получаться из первого) и получить в произведении то же самое число? Это и нужно доказать. У основной теоремы арифметики есть куча доказательств, и наверное самые простые используют индукцию или алгоритм Евклида. В этом видео показан первый способ.
Сначала несколько юмористическое замечание (а юмористическое ли...): - с 1969-го года в школьной программе изучение "Арифметики" было заменено на изучение "Математики", интересно где автор, поднабрался того, что не изучал? Или: - не трудно видеть, что всякий изучавший курс "Анатомии" в школе может работать проктологом или окулистом, следовательно: к любому проктологу можно идти с проблемами зрения. Вспомнилось и школьное, когда учительница не могла довести решение до конца, она предлагала дорешать дома (такие закидоны резко снижали мою посещаемость урока математики или ... я так оправдывался). Собственно, из чего очевидно, что d - простое? А-А, " я художник, я так вижу...", иногда автор говорит "доказали", хотя на самом деле "предположили". Ps. Поражает параллелизм, в четверг, возвращаясь с музыки, с внуком первоклассником в автобусе, как раз и проверяли числа на делимость (в задаче надо было закрасить участки рисунка, если цифры на этом участке рисунка делились на 6-ть, когда ехали на музыку проверяли делимость на 8-мь). Лично к данному автору отношусь с превеликим уважением, но здесь он показался мне "невкусным".
Пока только начал видео. Знаю я из других видео, что можно придумать какие-то "другие числа". Которые можно умножать и складывать, но "основная теорема" уже не работает.
7:05 то есть для не интуитивного, а доказательного подхода мы используем наше интуитивное понимание, что множители, на которые раскладывается данное натуральное число меньше этого числа. Наверное совсем красиво было бы предварить рассуждение тем, что этот факт мы примем без доказательства:))
Так легко же доказывается. Пусть a делится на b. Это значит (по определению понятия «делимость»), что a=bc для какого-то целого (в данном случае натурального) c. Дальше получается, что либо a=b*1, либо что a=b*c, где c хотя бы 2. В первом случае делитель тривиальный, а в видео их не пришлось рассматривать. Во втором случае можно переписать как: a=b*((c-1)+1). То бишь a=b*(c-1)+b. Так как в этом случае c хотя бы 2, то (c-1) хотя бы 1. Значит, a=b*(c-1)+b ≥ b*1+b > b. Вот и всё.
Борис Трушин, хотел спросить по поводу доказательства единственности разложения числа на простые множители. Можно ли было рассуждать так: Пусть есть число q, такое, что его можно разложить на простые множители двумя разными способами. Тогда с одной стороны имеем q = a1*a2*...*a(n-ное), а с другой q = b1*b2*...b(n-ное). Необходимо, чтобы в одном наборе разложения нашлось хотя бы одно число, которого нет в другом наборе. Тогда число q должно нацело делиться на все числа одного из наборов + как минимум на одно из чисел другого набора. То есть q = a1*a2*...*a(n-ное)*z, где z число из второго набора (в данном примере), которого нет в первом. Получили противоречие, значит, разложить число на простые множители можно единственным образом.
@@trushinbv , я так же, как и вы, иду от противного. Пусть у нас есть два варианта разложения числа q на простые множители: 1 вариант: q = a1*a2*...*a(n-ное) 2 вариант: q = b1*b2*...*b(n-ное) Вы в ролике говорите, что если в двух вариантах разложения числа q встречается одно и то же число, то получается противоречие. Я предлагаю об этом вообще не думать, сказать лишь, что эти два набора не совпадают. Таким образом, есть как минимум одно число (назовем его z), которое встречается лишь в одном наборе (скажем, только в первом). Из второго варианта разложения следует, что число q должно нацело делиться на каждое из чисел b1,b2...b(n-ное). С другой стороны число z, которое встречается только в первом наборе, также должно быть делителем числа q. Тогда получаем: q = b1*b2*...*b(n-ное)*z, чего не может быть, так как изначально q = b1*b2*...*b(n-ное) или q = a1*a2*...*a(n-ное). Таким образом, разложение числа на простые множители может только одно.
Мне кажется, что лучше доказывать по индукции так как у вас в доказательстве скрытая индукция в словах возьмем первое наименьшее которое можно разложить двумя способами. Индукция лучше тем что соответствует способу построения множества натуральных чисел.
Именно так! Автор лукавит, обещая обойтись без метода математической индукции. Еще неплохо бы повнимательнее посмотреть на p1 и q1 - первые из простых множителей разложений и изучить случаи, когда они равны или разные.
Неожиданно способ доказательства отличается от доказательства Савватеева. Он использовал факт про то что произведение двух чисел не делится на простое, если каждое из этих двух чисел не делится на это простое. А вы основывались на том что "маленькие" натуральные числа ну уж точно раскладываются единственным образом, и точно раскладываются единственным способом, если они меньше самого маленького из тех, которые "раскладываются" двумя способами.
15:00 Если К | Р (делиться на), то почему мы можем представить К как K=p*c ? Ведь выше мы предположили, что Р нет в разложении. Если по опр. делимости, то не следует ли из этого, что Р по определению есть в разложении К=z1z2...Zn ? Выручайте ))
Я учился давно, и наверное потому не понял самой теоремы. Если второй множитель не может быть единицей, то откуда берется изначальное утверждение, что - Все натуральные числа представить в виде произведения простых? Покажите наглядно, как это работает. - Вот вам число 5 (или 7) представьте его в виде произведения двух простых чисел (кроме единицы). Просто если бы в начале ЭТО было продемонстрировано, то было бы проще понять дальнейшие объяснения.
@@Gendalf-345.68 сначала небольшой тест ;) Чтобы определить как лучше будет объяснить разложение 5. Чему равно произведение чисел [2,5,3]? Чему равно произведение чисел [11,7]? Чему равно произведение чисел [13,2,2]? Чему равно произведение чисел [7]? Чему равно произведение чисел [5,2]? Чему равно произведение чисел [3,3]?
@@fullfungo Мой ответ дважды удалили. Видимо кому-то он не нравится.((( Отвечу по-другому - Я бы просто перемножил числа в скобках. Таким образом, в первом случае мой ответ - 30 Ну и так далее.
@@Gendalf-345.68 Так как у вас не возникло вопросов, то предположу, что вы бы ответили: 30, 77, 52, 7, 10, 9. Заметьте, что произведение [2,5,3] равно 30. А это значит, что верно и обратное. Таким образом, 30 можно представить как произведение следующих чисел: 2,5,3. А теперь заметьте, что произведение [7] равно 7. А это значит, что верно и обратное. Таким образом, 7 можно представить как произведение следующих чисел: 7.
@Борис, можно проще - когда доказали, что n делится на p1q1, разделим представление n=p1..pi и q1..qj на p1q1. Получили меньшие чем n числа, p2...pi/q1 - натуральное, p2..pi меньше n, значит его разложение на простые единственное, значит, один из простых множителей p2..pn равен простому q1-противоречие. Верное доказательство?
@trushinbv Школьникам и не надо в основной массе что-то за пределами "интуитивной" математики, потому что это только порождает новые "почему": - давайте докажем существование самого маленького натурального, единственным образом раскладываемого числа и приведём его пример (2)? - почему вы в вашем док-ве аксиоматически предполагаете, что 2 раскладывается единственным образом? - почему 2 наименьшее простое число? - что такое простые числа? Так и дойдём до того, что в обычной крестьянской школе надо выкладывать теорию множеств и уже в её рамках приводить ту самую основную теорему арифметики. Поэтому просто маленьким людям, 99,99999% из которых глубины математики совсем не нужны и не нужны будут в дальнейшей жизни, не забивают мозги лишней инфой, а просто дают практичное определение простых и составных чисел. Людям жить надо, а не проходить заново жизненный путь Эйлеров, Гауссов, Лобачевских ПС: И про строгость мат-ки так загоняться не стоит хотя бы потому, что любая аксиоматическая система не может быть полной, непротиворечивой и разрешимой
Подумал, что я тупой, когда отжал паузу.. Типо, если простое число делится исключительно на само себя и на единицу, а натуральное можно поделить на другое, отличное от него самого и единицы, то делителем натурального может быть только такое же натуральное или же простое число, а этот делитель, если он натуральный в свою очередь так же делится на натуральное или простое, это может быть так до того момента пока он не поделится на простое, а все полученные делимые этой цепочки натуральных чисел так же являются натуральными или простыми ну и тд по алгоритму в итоге то все равно все делители и делимые окажутся простыми
Лично мне понятно всё.. В школе данная теорема звучит обыденно - Разложение числа на множители. Из этого есть следствие - Если число делится само на себя и единицу, и только, то это ПРОСТОЕ число. Все прочие составные (делящиеся, сложные...). Если однозначно, то не простые. ))) Вот смысл всего того, что было показано и обосновано в клипе.
Оцените как я попытался доказать: ОТА - основная теорема арифметики. Нужно доказать, что N, являясь составным, не будет противоречить ОТА. Есть ряд чисел до N, которые были бы либо простыми либо составными. предварительный пункт - пункт 0) все числа от 2 до N-1 правильно соотносятся с формулировкой ОТА, т.е. любое из них является произведением простых чисел или простым числом. Пункт 1) Если это число N является простым, то оно не делится ни на что кроме себя и 1, но! если оно составное, то оно делится на нечто в диапазоне от N-1 до 2. Пункт 2) Оно составное. Значит делится на одно из чисел своего диапазона делимости, где каждое число (как мы знаем) является произведением простых чисел / простым числом. И если оно делится на одно из таких чисел (которые не противоречат ОТА, соотносятся с ним), то оно является произведением результата деления числа N на одно из его делителей. Но так как всякие произведения между простыми числами являются непротиворечивыми по отношению к ОТА, то всякое число N также будет таким, что его можно разложить на простые множители. То есть если N = E*F, где E и F являются произведениями простых чисел, так как входят в диапазон всех чисел до N, то N - результат умножения произведений простых чисел. Редуцируя, это звучит как: то есть N - результат умножения простых чисел. Пример: число 10 является составным, и допустим мы не знаем, является ли оно раскладываемым на произведение простых чисел, но точно знаем, что оно составное. Тогда, исходя из того что оно составное, мы можем поделить его на некоторое число Х (и получить Z), но так как всякое Х (и получаемое Z), как мы знаем из пункта 0, является произведением простых чисел или простым числом, и это N можно представить как N / X = Z, то Z и Х являются составными числами представляемыми произведениями простых, ибо входят в тот коридор чисел, который, как знаем из пункта 0, является произведением простых чисел / простым числом. Тогда деля N на X и получая Z, мы уже знаем, что получили произведение простых чисел / простое число, то же самое с Z, если поделить N на Z, то получим X, которое, как мы знаем, является произведением простых / простым.
@@trushinbv да, действительно. Но тут я уже слаб, я вообще в математике не силен, просто под утро выпил энергетика, и меня поперло доказывать теоремы))
Я, как человек который с ранних школьных лет не может пользоваться чем-то в математике с чистой совестью, не зная как это работает, ненавидел всем сердцем теорию чисел 5-8 класс. Всегда стремился понять математику, а не выучить и невероятно злился, когда не мог почувствовать ту же основную теорему арифметики (сейчас уже конечно понимаю что это неудивительно, когда первый раз с ней встречаешься факт совершенно нетривиальный). В общем так и остался у меня небольшой должок еще с тех времен, ни разу не доказывал и не смотрел доказательство. Сейчас уже 11 класс, вычеты, теорема Эйлера, первообразные и порядки, в тч не новичок! и тут вижу видос про основную теорему арифметики. И задумался, ну всего скорее это как-то легко доказывается 🤔 основная все таки! Почти что аксиома! А нет! Доказательство неплохо так мозг пошевелило, минут 20 индукцию составлял, но все-таки доказал! Теперь точно спокоен. Кстати всем советую самим попробовать доказать, хороший такой тренажер для доказательных навыков
Мое доказательство основывается на факте что если a и b взаимно просты с простым числом p то и ab не делится на p. Это доказывается довольно просто, пусть остатки при делении a и b на p это r и t. Тогда нужно доказать что (pk+r)*(pn+t) не делится на p. Если скобки раскрыть то это равносильно что rt не делится на p. Ну а оно и не делится, r и t лежат в пределах от 0 до p а значит их произведение делится на p если rt = p, но p - простое чтд. Дальше уже мучу индукцию на этом факте. Ну если очень коротко и грубо 5*7*11*13*... не кратно 3 потому что 5*7 не кратно 3 по вышедоказанному факту. Ну тогда (5*7)*11 тоже не кратно 3 ссылаясь на выше доказанный факт и тд.
@@negin1812 Если r, t лежат в пределах от 0 до p-1, то их произведение может быть очень большим, вплоть до p * (p - 2) + 1, поэтому не верно что если rt делится на p то rt = p
@@namespace17 смешно что я сейчас перечитываю свое доказательство и ничего не понимаю. И вообще забыл полностью как доказывал. Кажется нужно еще раз доказать
@@howuhh8960 В доказательстве есть тонкость. Если ПРЕДПОЛОЖИТЬ, что простых чисел конечное число, перемножить их все и прибавить 1, то, конечно , полученное число не будет делиться ни на одно из этих простых, Следовательно, оно простое (противоречие). Но так как предположение о конечности множества простых чисел неверно, то и все следствия из этого предположения не обязаны быть верными. Если перемножить несколько простых и прибавить 1, то можно и не получить простое. Например, 2х3х5х7х11х13х17+1 = 510511 составное, равное 19х97х277.
Alextropik ты всегда при перемножении простых чисел +1 получишь не простое число. Ведь при перемножении простых чисел не может получится четное число (четное число не простое), следовательно у тебя получится не четное число вида 2k+1, но, прибавив к нему единицу получишь 2k+1+1=2k+2=2(k+1). То есть явно четное а следовательно не простое число
Подскажите пожалуйста, что если какое-нибудь простое число поделить на другое (не обязательно простое) число, то полученный остаток будет простое число или 1. Объясняется что число остаток должен быть взаимно простым с тем числом на которое делим. Вроде бы и понятный факт, но откуда он берётся и как его доказать не пойму?
Нет. Так как утверждение верно, то возьму пример из множества целых. Число 0 можно представить в виде произведения; например, 0 = 2•5•7•0 0 явно не простое, так как можно его разложить на множители отличные от 1 и -1. Но заметьте, что его нельзя разложить в произведение простых. Так что не очень-то и очевидно.
Когда прозвучал этот вопрос, утверждение о том, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых ЕДИНСТВЕННЫМ СПОСОБОМ ешё не было доказано, поэтому пришлось объяснить по другому
Школьная арифметика вообще фактически вся даётся без доказательства. А ведь даже такой простой и очевидный факт как коммутативность сложения натуральных чисел - это теорема и её надо доказывать.
Нужно доказать факт, что если ab делится на p, то либо a, либо b делятся на p (могут и оба, но точно невозможно, чтобы ни одно из них не делилось на p). Можно ли это доказать без доказывания собственно основной теоремы арифметики - я не знаю. Но из этого факта основная теорема арифметики следует практически очевидным образом.
Это неправда. Если ab делится на p, это не значит, что a или b делится на p. Это значит, что ab=dp. Всё про целые. Тут можно явно или неявно использовать основную теорему арифметики и она показывает, что это не так. Чтоб ab делилось на p, надо, чтоб ab содержало полный набор простых множителей p, но одна часть этих множителей может содержаться в a, а другая в b. Например, 18 и 36 делится на 9, но 6,3 и 6,6 не делятся на 9. 18=3*3*2, 36=3*3*2*2, 9=3*3. И противоположный вариант, 81=9*9 и делится на 9.
![[#2024MAMA] BIGBANG (빅뱅) - 뱅뱅뱅 (BANG BANG BANG) + FANTASTIC BABY | Mnet 241123 방송](http://i.ytimg.com/vi/EQsYfiPR9uM/mqdefault.jpg)
То чувство, когда Борис говорит школьникам это доказать, а я учусь в МФТИ и пришел готовиться к экзамену по этому видео xD
Как там мфти?
Держись
@@mathml8 да мфти всегда будет хорошо, а вот студентам... это другой вопрос
Не понял, о каком чувстве ты говоришь?! Ты действительно студент МФТИ??? Ну, и тупой!!!
👍❤️🤝 *_А мораль сей басни какова? Ещё раз подтверждается, что без законов высшей математики, физики, химии ... человек может прожить запросто! А вот без простейших законов человечесуого бытия (общежития) всякий человек прожить не сможет. Вот к примеру: один другому, просто, на ногу наступил... И если у них не сработает закон прощения, то человечество вымрет._*
С наслаждением пересматриваю ролики Бориса, в том числе и этот. Убеждаюсь, что *чем очевидней факт, тем сложнее он доказывается.*
Действительно, очень легко потерять момент где мы можешь сказать, что это очевидно, а где нужно что-то доказывать
Я десятиклассник, и, блин, я только с числом k запутался, но каким-то неведомым образом доказательство понял)
Борис, спасибо Вам, что сидите у меня в компьютере и рассказываете всякие интересные теоремы))
в армию пиздуй! ты нужен стране!
Есть еще четвертая кучка людей (куча на самом деле) - те, кто даже не в курсе, что такое простое число.
@@wonderfulworld1046 Не совсем)
@@wonderfulworld1046 Правильно так: ровно 2 различных делителя. А под Ваше определение 1 подходит)
@@wonderfulworld1046 Совершенно верно. У простых чисел 2 делителя, у составных 3 или больше, у единицы 1.
@@dima_math ну, вообще, греки рассматривали простыми только те числа, которые точками можно записать единственным образом в один ряд. Единицу же не относили к простым числам из-за того, что она считалась минимальной частицей, из которых состоят все остальные числа.
брух
Смотря видео спустя 3-4 года
И уже раз 5
Окончательно всë уложилось
Спасибо вам большое, БВ
в моей голове было по аналогии с Простоквашино: чтобы поделить что-то на 3, надо сначало умножить на 3, а у нас тройки нет)
)))))
ну а чё, справедливо
так там надо доказать, что нельзя получить число с другими множителями. то есть что не может быть такого, что икс равено и а*б и ц*д при том, что а, б, ц и д - простые
@@penfelyn нет, не "справедливо". А Вы замените 3 на 4. Чтобы что-то поделить на 4, надо умножить непременно на 4? А вот и нет! можно умножить пару раз не на 4, а на 2
@@MarkBoldyrev но умножение, как вы сказали, пару раз на 2, как-раз таки дадут четверку...
Очень мощно,просто логически все сказано..Спасибо
Каждый раз при просмотрет включаю палец вверх.
Шикарно объясняет!
Чтобы не понять его обьяснение, надо очень и очень постараться!? 😀😀👍👍👍
Я не понимал, просмотрел видео много раз, много конспектировал, ходил, размышлял, помолился Христу и всё понял! Слава Богу и спасибо за объяснение Борису!
Вот и слава Богу)
Спасибо!! Замечательное доказательство "очевидного". К вопросу о том, что нужно учиться задавать вопросы!
А что такое "очевидное"? Вот очевидно ли, что на любом множестве можно задать некоторое отношение частичного порядка (между прочим, Борис Викторович этим занимается, не остановившись).
@@MarkBoldyrev поэтому "очевидное" автор коммента и поместил в "", за неимением более подходящего слова. Борис же с этого и начал - возможность разложения обычно воспринимается как данность, вот и все
Замечательные рассуждения! Спасибо, Борис!!!
Очень красивое размышление-доказательство такого, казалось бы совсем простого факта!)
Топовое видео
Теперь можно и Фоксфорд продолжить смотреть)
жизненно
Спасибо большое за видеоролик! 14:05 этот момент не понимал, по этому пришлось перематывать назад несколько раз, но сейчас все дошло😅.
То чувство, когда ты самостоятельно учишь вышмат, слышишь про основну теорему арифметики и думаешь что это что-то из высшей алгебры, а Борис говорит школьникам доказать её
Пхехехе, я тоже начал самостоятельно учить математику, будучи на втором курсе, знатно удивился, когда услышал, что пусть школьники сами попробуют доказать эту теорему, я сам про этом долго вникал, как работает доказательство
Очень классно, спасибо за лекцию! Реально так - есть вещи, которые в математическом образовании пропускают "за очевидностью". И все (кто думает) понимают, конечно, да - очевидно. Но осадочек остаётся. )) Потому как что-то всё-таки, получается, принял на веру. Что ж это за строгая наука такая, где всё равно (как в физике, химии и т.д.) что-то надо принимать на веру?..
Спасибо, что заполняете эти "дыры" в образовании. Тем более, что основная теорема арифметики имет фундаментальное значение.
Радуюсь, что всё понимаю после окончания бакалавриата по Прикладной математике 😂
Нам эту теорему несколькими способами доказывали на занятиях углублённой алгебры Фоксфорда за 9 класс.
Довольно занятная тема.
А я, вот, только в первый раз это сделал )
@@trushinbv мы понимаем, что число можно поделить))) потому что оно соответствует системе исчисления и является количественным выражением, то есть ,можно вычитать единицы, пары, тройки и будет остаток. Любое число можно умножать до бесконечности и делить до нуля, можно разлагать на бесконечного множество дробей (других систем счисления). В привычной системе, в единичной число делится на единицу и показывает количество, на которое может делиться 1 к 1 делится (уже 2 множителя - на себя и единицу). В знаменатели мы единицу не пишем для удобства, но подразумеваем ее, когда говорим о целых числах. А что тут не очевидного-то? На бесконечное множество мелких долей можно разложить все. Это исходит из свойства бесконечности, глобальности нашего мира
@@allbirths математика не исходит из свойств глобальности мира. там обычно из аксиом выводят. ну стараются по крайней мере. и дальше уже теоремы и т.д.
извините
@@trushinbv Пожалyиста ответьте на 10.26 мин непонятно почемy p1 в квадрате? ведь второи множитель может быть не равен емy или быть больше, не совсем понел и почемy именно больше или равно? а не равно? n же состоит из этих простых множителеи? и смотря доконца так и не понел где доказательство единственности ( я тyп
@@allbirths слезай с наркоты, преисполнившийся сознанием олень.
индукцией пользуются, когда очевидно, но доказывать надо :)
Боря, хорош!
Огромно вам благодарен!
Тема ВУЗа с математическим факультетом в теории чисел!)))
раньше: "Рыбников. Как нас дурят в школьном образовании"
теперь: "Трушин. Как нас дурят в школьном образовании"
🤣
кто дурит то? не дурят, а не договаривают
Образование - это разная степень приближения к знаниям. Абсолютного знания нет ни у кого, даже если Вы перейдёте к 16-мерной точке, о существовании которой вы и не подозреваете.
Вот ни разу я не математик... А и то понял) логика))) спасибо Борис. Очень интересно
Интересно. Как же много мне не рассказывали
Абсолютно замечательное видео, как и многие на вашем канале. Впервые услышал, когда доказывали, что 1 - не простое(естественно не в школе)
Учусь в восьмом классе и всегда задаю вопрос, куда дальше идти? Что делать, чтобы стать лучшим? И ваши видео на самом деле помогают, развивать мат мышление.
А Вы откуда уверены, что в любых числах можно установить порядок "больше-меньше"?
@@MarkBoldyrev Именно поэтому ОТА неверна в некоторых кольцах :)
@@pnlabs Обратите внимание, что это надо всегда оговаривать! Потому что из этого "интуитивно очевидного" утверждения (о возможности установить подобные отношения где угодно) следует нечто совсем уж интуитивно контрочевидное... например, теорема Хаусдорфа-Банаха-Тарского.
Долго тупил но понял спасибо большое)
9-10 класснику? Я если своему 11"а" начну такое рассказывать, разжёвывать в течение 2-3 уроков, мне скажут: "спасибо. спасибо, что время потянул, нифига не понятно, но хоть отдохнули"
возможно тебя сожгут на костре...
А вы их замотивируйте, и спрашивайте, а всё ли они поняли на каком-то определенном этапе доказательства, и так постепенно даже до самого лопуха дойдет, если конечно вы сделаете так, чтобы этот лопух захотел слушать. Такое ощущение, что люди которые заинтересованы в математике, считают себя лучше тех, кто плевать на нее хотел, это я к тому, что лайкают коммент, который говорит, какая печальная ситуация на самом деле: все сидят в школе просто так.
@@АлександрХмелевский-т7ж , на данный момент я уже на втором курсе, к счастью, здесь таких проблем нет)
(Электроника и автоматика физических установок, только бюджетные места, около 250 проходной балл при поступлении)
Все зависит от уровня мат подготовки. Если дети заточены на решение однотипных задач егэ, то большего ожидать не следует. Тем не менее в некоторых школах в 11-м классе доказывают гораздо более сложные вещи, например асимптотический закон распределения простых чисел.Тут же используются какие-то простые индуктивные соображения, которые вполне доступны и восьмикласснику.
Нескольких уроков? Трушин справился за 15 минут! У вас уроки по 5 минут?
Гораздо более интересная штука -- обобщение в произвольном (евклидовом) кольце. Ну а для школьников это неплохо:) Приятно, что пару лет назад учился у вас на курсе и это многое мне дало, спасибо.
Спасибо )
Amsord
Тогда уж в кольце главных идеалов сразу)
А как оно обобщается? Доказательство все упирается в понятие наименьшего положительного числа. Для чисел вида хотя бы а+b*sqrt2 наименьшее положительное число не определено и док-во уже не работает, разве нет?
@@віталійкуценко-л6ц в евклидовом кольце у каждого элемента определяется норма, равная натуральному числу, и мы вместо наименьшего числа ищем элемент, наименьший по норме (например, многочлен наименьшей степени)
Клааас, аж мозги заскрипели, но вроде поняла. Но все-таки пересмотрю
Борис, спасибо! Мне кажется, было бы интересно разобрать, где это доказательство ломается в случае нефакториального кольца.
Прекрасное объяснение, спасибо!
Блин, даже забыл что такое есть
Спасибо!
ничего не понятно,но очень круто
На 4:10 поставил на паузу и попробовал доказать:
Допустим, что число N нельзя представить в виде произведения простых чисел. Тогда в представлении этого числа в виде произведения будет не менее одного составного числа. Применим те же рассуждения для него. Очевидно, что по мере большего количества разложения составного числа на ещё составные, на ещё составные и так далее, то их множители будут уменьшаться. Фактически разложение мы не сможем применить лишь тогда, когда составное число окажется простым, к чему мы и будем всё это время стремиться. Следовательно, наше изначальное предположение было неверно (самое маленькое составное число оказалось простым, а значит и все остальные составные можно было представить в виде произведения простых чисел), что доказывает теорему.
Существование доказано, но нужно доказать ещё единственность
какой кайф
красиво доказано!
Мне геометрии на геометрии хватает)))
Спасибо, познавательно))) Всё встало на свои места
Борис Викторович, а сделайте видео пожалуйста про Малую Теорему Ферма. Всем будет очень интересно.
Есть уже: ruclips.net/video/mHHtGOmy3ys/видео.html
Уважаемый Борис Викторович , поскольку Вы ответили на просьбу о видео по малой теореме Ферма ЭТО:
ТОЖЕ не пропустите :на основе рассматриваемой
теоремы арифметики после решения ВТФ при степени
простое число мне удалось доказать ее и для степеней
В виде любых составных нечетных и четных чисел !
Не верите ?Прошу отозваться...
@@ВячеславПопов-ф8и Любая составная степень целого числа является простой степенью другого целого числа, и для доказательства этого факта не нужно привлекать МТФ. Правда, это не доказывает ВТФ для степеней двойки, но доказательство ВТФ для биквадрата было проведено уже самим Ферма.
😮😮😮 Прикольно 😮😮😮
Спасиб я шестиклассник нам в лицее расказали но не доказывали мне стало интересно посмотрел все понял еще раз спасибо извинясь за тофтологию
У меня мозг в конце ролика нагрелся!
Спасибо за видео, но проблема такая же, как в моем детстве - на 7:23 Вы уже меня потеряли.
Если есть доска и мел, то почему бы не написать 3-5 совсем простых примеров для самых тупеньких? :(
Вообще, перед доказательством этой теоремы, надо сначала доказать
свойство ассоциативности произведения a*b*c = a*(b*c) = (a*b)*c
и свойство коммутативности произведения a*b = b*a
потому-что эти свойства произведения используются в доказательстве, как само-собой разумеющееся, интуитивно понятное или аксиомы(в случае аксиом, перед доказательством заявить об этом). Также, следует доказать, что множитель меньше(или равен) произведения (возможно это аксиома арифметики, тогда предварительно заявить об этом).
Спасибо
Как первокурсник не математической специальности, решил попробовать доказать сам это, а потом посмотрел видео. Ну, доказательство далеко от описанного в видео, хотя я уверен что это не единственное. Доказательство строилось на рекурсии
Первая часть: если число простое, то оно уже разложено на простые множители, если число составное, то оно имеет в своём представлении минимум 2 числа, отличные от 1 и самого числа, а так как, эти 2 числа меньше изначального, то они оба имеют простые представления => изначальное число тоже раскладывается на простые
Как наглядный пример возьму число 108. 108=4*27=2*2*3*3*3, чтд
со второй частью у меня доказательство было похоже, которое ссылалось не к кратности чисел, а к тому, что если взять n/Pn и n/Kn, где Kn!=Pn, то эти оба числа имеют единое представление на простые (из изначального утверждения), дальше можно воспользоваться фактом, что при перемножении на k(или p) мы получаем n=np/k, из чего следует, что n, np кратны k, а так как p!=k,
n-np/k кратно p, k,p/k и pk, и естественно меньше n, а так как n-np/k
Я об этом ещё в школе задумался, и сам это доказал для себя в классе 7-8м
Готовлюсь к экзаменам МГУ по ТРУшину!
Fire!!!
начало 6:18
Это, конечно, дело вкуса. Мне кажется, что лучше доказывать (используя минимальность), что если произведение делится на простое, то один из множителей делится на это простое. Отсюда и будет следовать единственность.
А как легко доказать, что "если произведение делится на простое, то один из множителей делится на это простое"?
Не сказать, что легко. Оно эквивалентно, но более привычнее (для меня).
Пусть p минимальное " плохое" простое число. То есть найдутся такие натуральные числа a и b, что p делит a*b, но не делит ни одно из них.
1) сделаем a
Я тут еще подумал и понял, что расширенный алгоритм Евклида это делает в две строчки.
Пусть p простое число, делящее произведение N*M. Докажем, что оно делит хотя бы одно из них.
Если p не делит N и M, то они взаимопростые и
A1*N+B1*p=1
A2*M+B2*p=1
Перемножим их
A1*A2*NM+p*(...)=1
правая часть делится на p, а левая нет. Противоречие. ВСЁ.
дайте пример
ви зламали мені мозок спасибі
я в седьмом классе. Вызов на доказательство теоремы принят(честно не смотрел доку в видео и раньше не слышал об этой теореме): (по определению) простые числа кратны только себе и единице. Также в разложений на простые числа учавствуют только простые числа. => Если попытаться как-то изменить разложение некоторые простые в нем числа придется как-то поделить(невозможно, если рассматривать только натуральные числа), домножить(получится составное число) => числа в разложений никак нельзя нормально поменять без изменения результата => представить разложение на простые числа можно только одним способом.
Молодец конечно, что попытался, но то что ты написал доказательством разумеется назвать нельзя.Во-первых, основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых, при чем это представление единственно с точностью до перестановки множителей. Ты не доказал существование. Дальше идут какие-то необоснованные утверждения о том, что набор можно изменить только делением или умножением. Почему, если ты как-то разложил число на простые множители, ты не можешь взять другой набор простых чисел (он не обязан как-то получаться из первого) и получить в произведении то же самое число? Это и нужно доказать. У основной теоремы арифметики есть куча доказательств, и наверное самые простые используют индукцию или алгоритм Евклида. В этом видео показан первый способ.
Я почти никогда не слышал об этой теореме и доказал ее за пару минут. Третья группа обнаружена
Вы таким же образом доказали или каким-то своим?)
спасибо
Молодец
Я помню нам первый факт объяснили, а вот для второго доказательства мы тупые оказались.
Спасибо!
Да ладно, на ФУПМе ни разу не доказывали? Ничоси!
Самое простое и наглядное док-во этой теоремы, которое встречал. Супер!
А по лемме Вильсона нету случайно видео?
По тому, что это связано с логиками, множеством и топологией! Всё это в самых широких смыслах. А это ПОЧТИ всё филькина грамота...
Ну в целом и единица раскладывается единственным образом в произведение нуля множителей
Сначала несколько юмористическое замечание (а юмористическое ли...): - с 1969-го года в школьной программе изучение "Арифметики" было заменено на изучение "Математики", интересно где автор, поднабрался того, что не изучал? Или: - не трудно видеть, что всякий изучавший курс "Анатомии" в школе может работать проктологом или окулистом, следовательно: к любому проктологу можно идти с проблемами зрения. Вспомнилось и школьное, когда учительница не могла довести решение до конца, она предлагала дорешать дома (такие закидоны резко снижали мою посещаемость урока математики или ... я так оправдывался). Собственно, из чего очевидно, что d - простое? А-А, " я художник, я так вижу...", иногда автор говорит "доказали", хотя на самом деле "предположили". Ps. Поражает параллелизм, в четверг, возвращаясь с музыки, с внуком первоклассником в автобусе, как раз и проверяли числа на делимость (в задаче надо было закрасить участки рисунка, если цифры на этом участке рисунка делились на 6-ть, когда ехали на музыку проверяли делимость на 8-мь). Лично к данному автору отношусь с превеликим уважением, но здесь он показался мне "невкусным".
Ещё не смотрел. Теорию чисел ненавижу. Надеюсь вы сможете пролить мне свет на это недоразумение))
Пока только начал видео. Знаю я из других видео, что можно придумать какие-то "другие числа". Которые можно умножать и складывать, но "основная теорема" уже не работает.
7:05 то есть для не интуитивного, а доказательного подхода мы используем наше интуитивное понимание, что множители, на которые раскладывается данное натуральное число меньше этого числа.
Наверное совсем красиво было бы предварить рассуждение тем, что этот факт мы примем без доказательства:))
Забавно забавно
то же относится к ассоциативному и коммутативному свойствам произведения.
Так легко же доказывается.
Пусть a делится на b. Это значит (по определению понятия «делимость»), что a=bc для какого-то целого (в данном случае натурального) c.
Дальше получается, что либо a=b*1, либо что a=b*c, где c хотя бы 2.
В первом случае делитель тривиальный, а в видео их не пришлось рассматривать.
Во втором случае можно переписать как: a=b*((c-1)+1). То бишь a=b*(c-1)+b.
Так как в этом случае c хотя бы 2, то (c-1) хотя бы 1.
Значит, a=b*(c-1)+b ≥ b*1+b > b.
Вот и всё.
Я учусь в пятом классе, смотрю это видео для зачёта (не спрашивайте, что я делал на уроках)
чел, в пятом классе это не проходят лол ору
@@user-dy10pq8mt2p ха, это неправда.
А я и не знал (забыл), что есть такая теорема. Как-то прошло мимо меня и особо нигде в явном виде на практике не использовалась.
"мой прогноз такой, да, большинство.." не нажмет на паузу! я выиграл)
Борис Трушин, хотел спросить по поводу доказательства единственности разложения числа на простые множители. Можно ли было рассуждать так:
Пусть есть число q, такое, что его можно разложить на простые множители двумя разными способами. Тогда с одной стороны имеем q = a1*a2*...*a(n-ное), а с другой q = b1*b2*...b(n-ное). Необходимо, чтобы в одном наборе разложения нашлось хотя бы одно число, которого нет в другом наборе. Тогда число q должно нацело делиться на все числа одного из наборов + как минимум на одно из чисел другого набора. То есть q = a1*a2*...*a(n-ное)*z, где z число из второго набора (в данном примере), которого нет в первом. Получили противоречие, значит, разложить число на простые множители можно единственным образом.
Начиная с «то есть» ничего непонятно )
Почему не может быть так, что 7*19 = 11*17?
@@trushinbv , я так же, как и вы, иду от противного. Пусть у нас есть два варианта разложения числа q на простые множители:
1 вариант: q = a1*a2*...*a(n-ное)
2 вариант: q = b1*b2*...*b(n-ное)
Вы в ролике говорите, что если в двух вариантах разложения числа q встречается одно и то же число, то получается противоречие. Я предлагаю об этом вообще не думать, сказать лишь, что эти два набора не совпадают. Таким образом, есть как минимум одно число (назовем его z), которое встречается лишь в одном наборе (скажем, только в первом).
Из второго варианта разложения следует, что число q должно нацело делиться на каждое из чисел b1,b2...b(n-ное). С другой стороны число z, которое встречается только в первом наборе, также должно быть делителем числа q. Тогда получаем:
q = b1*b2*...*b(n-ное)*z, чего не может быть, так как изначально q = b1*b2*...*b(n-ное) или q = a1*a2*...*a(n-ное).
Таким образом, разложение числа на простые множители может только одно.
Как из делимости на b1, b2, ..., b(n-ное) и z следует делимость на их произведение?
@@trushinbv , думаю, без доказательства второго пункта теоремы никак. Я доказываю вторую часть теоремы с использованием этой же второй части теоремы
Чтобы доказать основную теорему арифметики, надо было придумать алгебру.
Даже не знал, что делимость числа на число - не аксиома, а теорема)
Мне кажется, что лучше доказывать по индукции так как у вас в доказательстве скрытая индукция в словах возьмем первое наименьшее которое можно разложить двумя способами. Индукция лучше тем что соответствует способу построения множества натуральных чисел.
Именно так! Автор лукавит, обещая обойтись без метода математической индукции. Еще неплохо бы повнимательнее посмотреть на p1 и q1 - первые из простых множителей разложений и изучить случаи, когда они равны или разные.
@@asmgrandadgrandad9000 рубрика Борис опять что то не договорил в интернете
👍👍👍
У нас в школе доказывали классе в десятом. Существование так же, как вы, а вот единственность - уже не помню как.
Неожиданно способ доказательства отличается от доказательства Савватеева. Он использовал факт про то что произведение двух чисел не делится на простое, если каждое из этих двух чисел не делится на это простое. А вы основывались на том что "маленькие" натуральные числа ну уж точно раскладываются единственным образом, и точно раскладываются единственным способом, если они меньше самого маленького из тех, которые "раскладываются" двумя способами.
Сколько существует всяких способов доказать ОТА?
препод смотрит на доску и говорит "хм, как бы это доказать, или это очевидно...." )
а математика прикольная 😅
15:00
Если К | Р (делиться на), то почему мы можем представить К как K=p*c ? Ведь выше мы предположили, что Р нет в разложении. Если по опр. делимости, то не следует ли из этого, что Р по определению есть в разложении К=z1z2...Zn ? Выручайте ))
Пока мы не доказали, что разложение единственно, какое-то простое может входить в одно разложение, но не входить в другое
@@trushinbv ааа, теперь я все понял, благодарю)
Нууу Борис Викторович, вы убили еще одного гуманитария ))
Я учился давно, и наверное потому не понял самой теоремы.
Если второй множитель не может быть единицей, то откуда берется изначальное утверждение, что - Все натуральные числа представить в виде произведения простых?
Покажите наглядно, как это работает. - Вот вам число 5 (или 7) представьте его в виде произведения двух простых чисел (кроме единицы).
Просто если бы в начале ЭТО было продемонстрировано, то было бы проще понять дальнейшие объяснения.
5 нельзя представить в виде произведения двух простых. Вы требуете невозможного.
Но 5 можно представить в виде произведения простых, это да.
@@fullfungo Хорошо, а как можно 5 представить в виде произведения простых?
@@Gendalf-345.68 сначала небольшой тест ;)
Чтобы определить как лучше будет объяснить разложение 5.
Чему равно произведение чисел [2,5,3]?
Чему равно произведение чисел [11,7]?
Чему равно произведение чисел [13,2,2]?
Чему равно произведение чисел [7]?
Чему равно произведение чисел [5,2]?
Чему равно произведение чисел [3,3]?
@@fullfungo Мой ответ дважды удалили. Видимо кому-то он не нравится.(((
Отвечу по-другому - Я бы просто перемножил числа в скобках. Таким образом, в первом случае мой ответ - 30 Ну и так далее.
@@Gendalf-345.68 Так как у вас не возникло вопросов, то предположу, что вы бы ответили: 30, 77, 52, 7, 10, 9.
Заметьте, что произведение [2,5,3] равно 30. А это значит, что верно и обратное.
Таким образом, 30 можно представить как произведение следующих чисел: 2,5,3.
А теперь заметьте, что произведение [7] равно 7. А это значит, что верно и обратное.
Таким образом, 7 можно представить как произведение следующих чисел: 7.
@Борис, можно проще - когда доказали, что n делится на p1q1, разделим представление n=p1..pi и q1..qj на p1q1. Получили меньшие чем n числа, p2...pi/q1 - натуральное, p2..pi меньше n, значит его разложение на простые единственное, значит, один из простых множителей p2..pn равен простому q1-противоречие. Верное доказательство?
Я в 6 классе узнал как это доказывать на мат кружке, до 7 помнил как, а потом забыл, и сейчас смотрю как доказывать чтобы вспомнить
потому что ты тупо запомнил доказательство, а не вник в его суть
@trushinbv Школьникам и не надо в основной массе что-то за пределами "интуитивной" математики, потому что это только порождает новые "почему":
- давайте докажем существование самого маленького натурального, единственным образом раскладываемого числа и приведём его пример (2)?
- почему вы в вашем док-ве аксиоматически предполагаете, что 2 раскладывается единственным образом?
- почему 2 наименьшее простое число?
- что такое простые числа?
Так и дойдём до того, что в обычной крестьянской школе надо выкладывать теорию множеств и уже в её рамках приводить ту самую основную теорему арифметики.
Поэтому просто маленьким людям, 99,99999% из которых глубины математики совсем не нужны и не нужны будут в дальнейшей жизни, не забивают мозги лишней инфой, а просто дают практичное определение простых и составных чисел.
Людям жить надо, а не проходить заново жизненный путь Эйлеров, Гауссов, Лобачевских
ПС: И про строгость мат-ки так загоняться не стоит хотя бы потому, что любая аксиоматическая система не может быть полной, непротиворечивой и разрешимой
Подумал, что я тупой, когда отжал паузу.. Типо, если простое число делится исключительно на само себя и на единицу, а натуральное можно поделить на другое, отличное от него самого и единицы, то делителем натурального может быть только такое же натуральное или же простое число, а этот делитель, если он натуральный в свою очередь так же делится на натуральное или простое, это может быть так до того момента пока он не поделится на простое, а все полученные делимые этой цепочки натуральных чисел так же являются натуральными или простыми ну и тд по алгоритму в итоге то все равно все делители и делимые окажутся простыми
Лично мне понятно всё.. В школе данная теорема звучит обыденно - Разложение числа на множители. Из этого есть следствие - Если число делится само на себя и единицу, и только, то это ПРОСТОЕ число. Все прочие составные (делящиеся, сложные...). Если однозначно, то не простые. ))) Вот смысл всего того, что было показано и обосновано в клипе.
Оцените как я попытался доказать:
ОТА - основная теорема арифметики.
Нужно доказать, что N, являясь составным, не будет противоречить ОТА.
Есть ряд чисел до N, которые были бы либо простыми либо составными.
предварительный пункт - пункт 0) все числа от 2 до N-1 правильно соотносятся с формулировкой ОТА, т.е. любое из них является произведением простых чисел или простым числом.
Пункт 1) Если это число N является простым, то оно не делится ни на что кроме себя и 1, но! если оно составное, то оно делится на нечто в диапазоне от N-1 до 2.
Пункт 2) Оно составное. Значит делится на одно из чисел своего диапазона делимости, где каждое число (как мы знаем) является произведением простых чисел / простым числом. И если оно делится на одно из таких чисел (которые не противоречат ОТА, соотносятся с ним), то оно является произведением результата деления числа N на одно из его делителей. Но так как всякие произведения между простыми числами являются непротиворечивыми по отношению к ОТА, то всякое число N также будет таким, что его можно разложить на простые множители. То есть если N = E*F, где E и F являются произведениями простых чисел, так как входят в диапазон всех чисел до N, то N - результат умножения произведений простых чисел. Редуцируя, это звучит как: то есть N - результат умножения простых чисел.
Пример: число 10 является составным, и допустим мы не знаем, является ли оно раскладываемым на произведение простых чисел, но точно знаем, что оно составное. Тогда, исходя из того что оно составное, мы можем поделить его на некоторое число Х (и получить Z), но так как всякое Х (и получаемое Z), как мы знаем из пункта 0, является произведением простых чисел или простым числом, и это N можно представить как N / X = Z, то Z и Х являются составными числами представляемыми произведениями простых, ибо входят в тот коридор чисел, который, как знаем из пункта 0, является произведением простых чисел / простым числом. Тогда деля N на X и получая Z, мы уже знаем, что получили произведение простых чисел / простое число, то же самое с Z, если поделить N на Z, то получим X, которое, как мы знаем, является произведением простых / простым.
ООООООООООй, я сейчас смотрю вас (7 минута), и вы говорите то же самое, что и я (вроде)
Самое сложное доказать единственность такого разложения )
@@trushinbv да, действительно. Но тут я уже слаб, я вообще в математике не силен, просто под утро выпил энергетика, и меня поперло доказывать теоремы))
Я, как человек который с ранних школьных лет не может пользоваться чем-то в математике с чистой совестью, не зная как это работает, ненавидел всем сердцем теорию чисел 5-8 класс. Всегда стремился понять математику, а не выучить и невероятно злился, когда не мог почувствовать ту же основную теорему арифметики (сейчас уже конечно понимаю что это неудивительно, когда первый раз с ней встречаешься факт совершенно нетривиальный). В общем так и остался у меня небольшой должок еще с тех времен, ни разу не доказывал и не смотрел доказательство. Сейчас уже 11 класс, вычеты, теорема Эйлера, первообразные и порядки, в тч не новичок! и тут вижу видос про основную теорему арифметики. И задумался, ну всего скорее это как-то легко доказывается 🤔 основная все таки! Почти что аксиома! А нет! Доказательство неплохо так мозг пошевелило, минут 20 индукцию составлял, но все-таки доказал! Теперь точно спокоен. Кстати всем советую самим попробовать доказать, хороший такой тренажер для доказательных навыков
Мое доказательство основывается на факте что если a и b взаимно просты с простым числом p то и ab не делится на p. Это доказывается довольно просто, пусть остатки при делении a и b на p это r и t. Тогда нужно доказать что (pk+r)*(pn+t) не делится на p. Если скобки раскрыть то это равносильно что rt не делится на p. Ну а оно и не делится, r и t лежат в пределах от 0 до p а значит их произведение делится на p если rt = p, но p - простое чтд. Дальше уже мучу индукцию на этом факте. Ну если очень коротко и грубо 5*7*11*13*... не кратно 3 потому что 5*7 не кратно 3 по вышедоказанному факту. Ну тогда (5*7)*11 тоже не кратно 3 ссылаясь на выше доказанный факт и тд.
@@negin1812 Если r, t лежат в пределах от 0 до p-1, то их произведение может быть очень большим, вплоть до p * (p - 2) + 1, поэтому не верно что если rt делится на p то rt = p
@@namespace17 смешно что я сейчас перечитываю свое доказательство и ничего не понимаю. И вообще забыл полностью как доказывал. Кажется нужно еще раз доказать
@@namespace17 если r и t лежат в этих пределах их произведение меньше p^2. Если rt делится на p, то единственный варик это rt = p
@@negin1812 А 2p, 3p, ...?
Смотреть с 1:55
спасибо за скотч. заклеил себе тоже эту дырочку.
Раньше думал, что если перемножить n первых простых чисел и прибавить единицу, то будет простое. А это не так.
а почему? разве не так доказывается бесконечность простых чисел?
@@howuhh8960 В доказательстве есть тонкость. Если ПРЕДПОЛОЖИТЬ, что простых чисел конечное число, перемножить их все и прибавить 1, то, конечно , полученное число не будет делиться ни на одно из этих простых, Следовательно, оно простое (противоречие). Но так как предположение о конечности множества простых чисел неверно, то и все следствия из этого предположения не обязаны быть верными. Если перемножить несколько простых и прибавить 1, то можно и не получить простое. Например, 2х3х5х7х11х13х17+1 = 510511 составное, равное 19х97х277.
@@Alextropik спасибо за разьяснение! видимо в моей голове факт того, что это просто предположение затерся.
Alextropik ты всегда при перемножении простых чисел +1 получишь не простое число. Ведь при перемножении простых чисел не может получится четное число (четное число не простое), следовательно у тебя получится не четное число вида 2k+1, но, прибавив к нему единицу получишь 2k+1+1=2k+2=2(k+1). То есть явно четное а следовательно не простое число
Марк Белов максимально ясно объяснил) даже я понял
Подскажите пожалуйста, что если какое-нибудь простое число поделить на другое (не обязательно простое) число, то полученный остаток будет простое число или 1. Объясняется что число остаток должен быть взаимно простым с тем числом на которое делим. Вроде бы и понятный факт, но откуда он берётся и как его доказать не пойму?
Что-то вы напутали, первая часть неправильная. Если 11 поделить на 7, то остаток будет 4 (а это не «простое число или 1»)
Зачем доказывать, что любое число можно разложить на простые множители? Это ведь исходит сразу из самого определения простого числа?
Нет. Так как утверждение верно, то возьму пример из множества целых.
Число 0 можно представить в виде произведения; например,
0 = 2•5•7•0
0 явно не простое, так как можно его разложить на множители отличные от 1 и -1.
Но заметьте, что его нельзя разложить в произведение простых.
Так что не очень-то и очевидно.
Конечно, следует из произведения. Деление - действие, обратное умножению. Разделить можно только на то, на что умножали.
Когда прозвучал этот вопрос, утверждение о том, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых ЕДИНСТВЕННЫМ СПОСОБОМ ешё не было доказано, поэтому пришлось объяснить по другому
в доказательстве использовался не вполне тривиальный факт о том, что любое подмножество натуральных чисел имеет наименьший элемент...
Школьная арифметика вообще фактически вся даётся без доказательства. А ведь даже такой простой и очевидный факт как коммутативность сложения натуральных чисел - это теорема и её надо доказывать.
Где можно почитать про доказательства?
@@mob4208 Э. Ландау. Основы анализа
Не перевариваю этого типа! Ботало - оно и есть ботало - колокольчик у коровы на шее.
Нужно доказать факт, что если ab делится на p, то либо a, либо b делятся на p (могут и оба, но точно невозможно, чтобы ни одно из них не делилось на p).
Можно ли это доказать без доказывания собственно основной теоремы арифметики - я не знаю. Но из этого факта основная теорема арифметики следует практически очевидным образом.
Это неправда. Если ab делится на p, это не значит, что a или b делится на p. Это значит, что ab=dp. Всё про целые.
Тут можно явно или неявно использовать основную теорему арифметики и она показывает, что это не так. Чтоб ab делилось на p, надо, чтоб ab содержало полный набор простых множителей p, но одна часть этих множителей может содержаться в a, а другая в b. Например, 18 и 36 делится на 9, но 6,3 и 6,6 не делятся на 9. 18=3*3*2, 36=3*3*2*2, 9=3*3. И противоположный вариант, 81=9*9 и делится на 9.
@@АлександрЛукутин-й4п когда мы говорим p, то подразумеваем простое p, конечно же.
@@paulanderson5704 тогда верно.
Это следует из правила делимости, которое следует из определения операции деления.
Почему любое число можно представить как сколько-то раз по m плюс остаток?
Alt
Просто вычитаешь по m до тех пор пока число не станет меньше, чем m