✓ Магия степеней | Ботай со мной
HTML-код
- Опубликовано: 5 фев 2025
- #БотайСоМной #100. Магия степеней
Сегодня поговорим про одно удивительное свойство последовательности из степеней натуральных чисел.
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trus...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Регулярная помощь (RUclips): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_tru...
Facebook: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
RUclips: / trushinbv
Опять магия вне Фоксфорда
Наверное Оксворда?
Наверное Хогвартса?
@@martiska-b фоксфорд это онлайн школа, где Трушин преподает матан.
Ребят, помогите пожалуйста, кто сейчас занимается в фоксфорде, еще не поздно сейчас записаться на курс?
@@donkimasslowmo3002 Так он там математику преподаёт или только матан?
Спасибо большое, это был мой вопрос, не ожидал увидеть ответ в виде целого ролика. Этот вопрос меня беспокоил с 9-го класса, но я ушёл учиться в гуманитарные науки, поэтому знаний не хватало разрулить все это. Ещё раз, спасибо Борис!
То же самое! Сейчас на 3 курсе, но никак с 8 класса руки не доходили этим заняться. Борис, спасибо!)))
А я в прошлом году нашёл это ,но не знал что такое факториал, потом выяснил и никак не понимал откуда он берётся. Даже немного грустно ,что его можно доказывать. Большое спасибо за объяснение. И также я хотел узнать про гамма функцию, если возможно можете снять видео про него?
@@ibrahimvalehli5519 есть хорошее видео про Гамма и Бетта функции ruclips.net/video/IRYLfmmwyCw/видео.html
@@Real1337Patsan спасибо, видео очень интересное.
Отличное видео: такой простой сюжет кажется, но если покопаться, то даже тут найдется много интересного. Лайк!
Дед вывел это еще в садике
@@eip10 в царской России это был тест, чтобы младенца из роддома выписали
Сотый выпуск,круто,уже первокурсник но очень интересно смотреть вас!😃😃
О, сотый выпуск #БотайСоМной ) Уху!
О, юбилейный 100 выпуск. Поздравляю. Спасибо за хороший контент
Весело, спасибо, что раскрываете нам эту красоту
Красота математики из уст Трушина, что может быть лучше
С юбилейным выпуском!
Проходим в школе производную. На уроке сразу заметил, что если бы мы продолжали брать производную от функции x^n, пока не дошли бы до константы, то это число было бы факториалом n. Было интересно найти нечто подобное в таких последовательностях. Спасибо за познавательное видео!
Прикольно, сделали свою производную на коленке
Здравствуйте, Борис. Я периодически смотрю ваши видео, и они всегда оказываются на высшем уровне.
После этого видео я решил повторить эту операцию для простых чисел. Я брал последовательность от x1=2, x2=3... до n, где n конечное простое число. Составлял новую последовательность также как в видео, только брал результат под модулем |x2-x1|, |x3-x2|... Потом я повторял эту операцию для новой последовательности,не забывая про модуль, и т.д., пока я не получал единственное число. В итоге у меня всегда получалась 1 по модулю(если операцию выполнять без модуля, то есть брать разность не по модулю, то такой эффект не наблюдается). Я даже написал программу и проверил множество последовательностей с конечными простыми числами от 5 до 5000 и все они давали в результате ноль. Также проверил последовательности с 10 конечными простыми числами близкими к 100000 и результат тот же. Там довольно долго проверяется, поэтому я пока не закончил проверку для простых до 100000.Если представить эти последовательности в виде эдакого перевернутого треугольника "Паскаля", то левая сторона будет состоять из единиц(за исключением начальной двойки). Я не математик и поэтому меня удивляет этот факт, так как простые числа никак не просчитать и расстояния между ближними могут такими большими, что они бы должны были давать и другие нечетные числа в конце. Можете ли вы объяснить этот факт? Я также начинал такую проверку для первых семи чисел Фиббоначи, и пока что там такой же результат.
Будучи в 8-ом или 9-ом классе пытался что-то похожее делать, но не докрутил. Сейчас смотрю, чувство, что за меня доделали мою работу.
Жизненно, только я в 10-м был
Ага, только доделал, но думал, что это никому не интересно😅
надеюсь ты изобретешь телепорт
@@papich689 а что в нём сложного, правда человечество к нему не готово, как в техническом, так и в моральном плане
@@fujoridev я устал ездить в школу, вставая в 6 утра на заполненный автобус, который жду на морозе минут 20. Обратно так же... Хочу телепорт, но даже когда его изобретут, будет не по карману
Потрясающе объяснили👏🏽👏🏽
забавные нарезочки перед началом роликов - мелочь, а прикольно. а про огромную пользу собственно видеоуроков я и не говорю.
спасибо, Борис Викторович.
Максимчик. 42 года.
спасибо коллега. За интересные вещи обязательно лайк. Про факториалы тоже сразу же догадался. в школе когда то изучал
Ботай со мной - одна из самых полезнейших рубрик на этом канале, да и на математическом ютубе в целом
И мелок в конце кинул, так его!) Видео топец
Про это хорошо написано у классика: Д.Кнут "Конкретная математика", глава 2 (конкретно раздел 2.6 Исчисление конечного и бесконечного). Тут и про факториальные степени, и про конечные разности.
Очень круто!!!🖤
Пока не кликнул, подумал что очередное видео про степень с действительным показателем)
Я их не чаще чем раз в полтора года выпускаю ))
С юбилейным выпуском)!
Здорово! Спасибо за ролик!
На 24 начал улыбаться, на 120 бился в истерике хД
Насчёт факториалов. Неплохо было бы сделать видео "Факториал дробного числа. В интернете опять кто-то не прав!"
Про гамма-функцию? )
@@trushinbv, да!
@@trushinbv
Тогда ещё Бином для дробных степеней, плз..)
@@trushinbv Да!!
@@trushinbv просим)
Интересно, лайк.
Спасибо за интересное свойство и полезное знание для любителей математики. Я сам привожу подобные задачи в качестве примеров для студентов в курсе "Численных методов". Выводим суммы первых n квадратов, кубов и др. степеней натуральных чисел, используя интерполяционную формулу Ньютона с постоянным шагом интерполяции. Как раз на таких темах и раскрываются понятия конечной разности и численного дифференцирования.
Спасибо за интересное видео!
Очень рассмеялся на моменте "Расскажи друзьям , пусть удивятся": большинство моих друзей не знают понятия "лине1ная функция", да да , тяжеловато мне приходится
Трушный Трушин ❤
Мел кінаў эфектна🤗
На закате социализма в школе попалась на глаза теорема Ферма. Естественно, начал решать ) Квадраты, кубики, четырёхмерики и т.д. Снимая слой за слоем с большего c^n до меньшего a^n, затем собирая из "кожуры" средний b^n ) Тогда и наткнулся на минимум в n! разностях этих степеней. Пришёл к выводу, что теорема Ферма верна, только когда равны размерность пространства (n) и его факториал n! ) 1 = 1!, 2 = 2!, а далее уже всё ) 3 < 3! и т.д. "Капустные листики" n-мериков имеют минимум "кочерыжки" в n! Спасибо автору ролика, вспомнил школьные годы )
Ого ! Какой вы умный ! Скорее всего такой ум стоил вам огромных трудов
С сотым юбилейным!
Я крутила только вторую степень, очень интересные наблюдения сделала - нашла формулу сокращенного умножения второй степени и теорему Пифагора.
Борька, привет. обнял
Очень занимательно, что в ряде Тейлора для разложения функции имеют место эти же факториалы ( очень хорошо видно на примере e^x)
Сам находил такое в 8-мм классе и не понимал что с этим дальше делать.
Иногда это называют дискретной производной, если ввести понятие дискретной первообразной можно вывести суммы n степеней, можно было об этом рассказать и дать ссылку на ваше видео о сумме подряд идущих квадратов и кубов
БВ непрерывщик, я б не ожидал особо на канале тем про дискретку :) Даже понятие дискретной производной вводится через суммы...
На студенческой олимпиаде доказывал что сума кубов натуральных чисел от 1 до n равна квадрату сумы чисел от 1 до n, и исходя из этого задание решалось легко, преподаватель сказал "молодец, но это известный факт и не обязательно было его доказывать".
@@Rediska512 я считаю, лучше доказать, хоть и известный факт.
То самое чувство, когда зашел на ютуб после просмотра Гарри Поттера и понял, что есть что-то даже получше.
Борис, можете выпустить видео по новой 9ой задаче егэ, буду благодарен
Только начал смотреть видос и вижу, что это легко следует из гиперсумм прогрессий n-ого порядка. В книге Куранта по матанализу вроде даже задачка была доказать этот факт
Досмотрел и в очередной раз словил кайф от того, насколько все взаимосвязано, переплетено в математике. В доказательстве гиперсумм прогрессий n-го порядка тоже возникает бином Ньютона, и здесь он есть. Чертовски красиво.
Спасибо снова, бутут ещё видео про множества, вероятности для старшеклассников?
12:50 В ровно таком виде я видел это утверждение в "Calculus of Finite Differences and Difference Equations" от Schaum's Outlines, там как раз и разбираются такие дискретные аналоги для дифференциалов и производных последовательностей и функций. Чтиво крайне занимательное и хорошо обобщает множество интересных результатов касающихся сумм, рядов, формул общих членов последовательностей и численных методов. На русском, к сожалению, я тоже не находил особо литературы по данной тематике, может, искал плохо.
А вообще выглядит как интересный материал для новой рубрики на канал, всё равно в русскоязычном ЮТубе этого нет, насколько мне известно.
На одном математическом сайте я читал одну статью В.И. Войтицкого, там рассказывается немного частностей из того, что Вы перечислили на русском.
@@d4vlL не знаком с работами автора, но да, периодически что-то из этой области встречается частями в русскоязычной математико-физической литературе, однако я не находил комплексных учебников или работ по тематике на русском. Если есть возможность, не могли бы поделиться статьёй? Очень уж мне интересна область в последнее время и хочется увидеть побольше материалов.
Фокусы, фокусами, но данный подход позволит легко объяснить ребенку почему (x^n)'=n*x^(n-1). Хороший методический прием.
Если ребёнок понимает, что такое производная, то он и сам сможет вывести производную x^n
@@trushinbv В классе ребенки разные бывают ))) А здесь все становится понятным даже ежику.
Я догадалась! Это так забавно. (1+2)×2=6
(2+6)×3=24
(6+24)×4=120 ждала это расстояние между степенями)
Рискну предположить, что далее
(24+120)×5=720...нажала видео на паузу, а теперь продолжу просмотр. Как прекрасна математика и ваши видео!
Точно! Факториал. Но я не догадалась сразу.
Я всегда говорил, что БВ - волшебник
он сам признался, слышали?
Часто слышали от профессоров с кафедры матфизики, что то чем мы занимаемся при численных моделированиях это вообще некорректно, потому что подменяются настоящие функции дискретными аналогами, и что там получается при замене настоящих производных конечными разностями надо аккуратно исследовать, но всем пофиг =)
А «в обратку» прилетает, что за реально поступающими дискретными числами можно увидеть непрерывную функцию только с определённой степенью вероятности. 😁
Ничего магического для х^4 производная(или разность соседних) = 4х^3, теперь берем производную от нашего результата = 4*3х^2, а теперь еще раз производную = 4*3*2х, и еще одну производную 4*3*2*1 = 24😁
Только разность соседей не равна x^3 )
График зависимости красивый выйдет, где по одной оси степень, а по другой "предельная разность"
Борис сделай пожалуйста видео про геометрию Лобочевского
Борис Викторович вы читаете мысли? 44 минуты назад я задумался о степенях ,а сейчас нашёл ответы .Вы гений
Учитывая то, что снял я это две недели назад, я читаю будущие мысли ))
огонь
Подскажите пожалуйста, есть ли какие-то работы на эту тему или доп материалы? Случайно на 2м курсе сам наткнулся на это свойство когда просто игрался с цифрами на скучной паре по дискретной математике)
Я сам про это задумался, только после вопроса подписчика )
Красиво.
Тема: математикомагия. Никто с ума не сходит 😉
Можно клип снять - Дэвид Блейн показывает эти ряды, и при появлении однородного ряда пырится на зрителя) Бочарика на озвучку.
Расскажите про обратную операцию - интегрирование. По опыту общения со средой программистов, многие считают сумму последовательности i^n просто циклом, хотя для этих случаев есть формула, аля n*(n+1)/2 для арифметического ряда 1,2,3,..n, (2*n^3+3*n^2+n)/6 для 1,4,9,16,25..n^2, n^2*(n+1)^2/4 для 1,8,27,81,125,..n^3 и т.д.
Есть формула Фаульхабера для вычисления суммы степеней
Добрый вечер, Борис. Немного с производными не понял. Нас просто учили, что показатель становится множителем, а сам показатель становится на 1 меньше. Но у Вас появилась доп. Единица. Если не сложно, то можете рассказать)
3:34 - в итоге - на К-тый шаг.
Вычисление степени через последовательность сумм. Интересно, в мат.пакетах так делают для упрощения вычислений?
Не знаю )
Нет, это не имеет практического смысла. Для получения одного тысячезначного квадрата потребуется больше сложений, чем если перемножить их по методу Карацубы (или напрямую)
Видео про элипс ждем..
для степеней 1/2 1/3 .... 1/n - тоже красиво. 42.
Да, хорошо.
Практическое применение ?
красивый факт
Замечал это свойство, но не знал о производных и откуда она берётся
А я вот не замечал )
Или замечал, но забыл (
Юбилей
Прикол я так делал когда мне было скучно
Пытался понять закономерность квадратов
Как правильно называется эта "производная" для последовательностей?
На красивую дату красивое правило !
А что за дата? )
100 выпуск "ботай со мной" !
А меня интересует такой вопрос: нужно ли изучать ВУЗовскую математику школьникам? С одной стороны, это может помочь глубже понять темы школьной, но с другой, это заберет много времени и сдать экзамены можно и без неё. Но тем не менее, мне она нравится и я хотел бы её глубже изучать. Лучше дождаться ВУЗа или начинать сейчас?
Если хочется, то учи сейчас
Борис, вы точно знаете. Как несложную гармоничную функцию отразающую некую энергию, преобразовать в бесконечно малую функцию??
Допустим функция вашего голоса, которая рисует то что вы говорите. Можно ее преобразовать в бесконечно малую функцию, как бы заключенную (в оболочке) бесконечно малой точки (бесконечно малой сферы). Или я что то неправильно излагаю?
Скажите , есть ли смысл в 3 производных или это 3- е измерение?
Интересно, можно ли так получить формулу для ускоренного вычисления степеней?
А были ролики про формулу Баеса? Я чёт посмотрел уже три видео на ютубе - и так и не уловил. Формулу вижу - посчитаю. Задачу вижу - до формулы не допру..
Если посчитать разность у ряда из единичек (5:55) то будет ноль. А факториал нуля это единица. Или мы не можем брать производную у такой последовательности? Ведь у последовательности n^2 надо брать две производные, у последовательности n - одну производную и у последовательности 1 - ноль производных.
Так нулевая производная 1 и будет 1 )
@@trushinbv если так рассуждать, то можно получить факториал нуля равным любому числу.
Досмотрел видео до конца и так и не понял откуда получаются именно факториалы. Просто последовательность чисел, которую можно получить из бинома Ньютона.
@@Rayvenor с повышением степени получается, что разность предыдущей последовательности нужно умножить на текущую степень, тогда получишь разность текущей последовательности. Для квадратов нужно перемножить 2 и 1, для кубов - 1, 2 и 3, для четвертой - 1, 2, 3 и 4 и тд. А это и есть факториал. При этом степень указывает на то, сколько операций надо сделать, чтобы прийти к одной разности между соседними числами последовательности.
Если ты возьмешь ряд чисел и возведешь их в нулевую степень, то сразу же и получишь факториал нуля в виде ряда единиц, без нахождения разности, ровно потому, что разность тебе надо найти 0 раз.
@@KoverVertolet про возведение в нулевую степень я забыл. С остальным не понятно. Откуда вообще факториал берётся.
@@Rayvenor Если ты спрашиваешь "откуда", то я могу ответить "из определения факториала". Если ты сам попробуешь найти разность для шестой степени, то ты можешь проделать шесть раз операцию вычитания и увидеть, что эта разность отличается от разности пятой степени в 6 раз. Разность пятой степени отличается от разности четвертой в 5 раз и тд. В итоге мы приходим к тому, что нам просто надо перемножить между собой показатели степеней.
Если ты спрашиваешь "почему" там именно факториал, а не что-то ещё, то тут я могу только предположить, что это вытекает из бинома Ньютона, который через факториалы и находится в общем виде. Откуда факториалы берутся в нем, можешь посмотреть тут ruclips.net/video/OSb146CwYqA/видео.html
Либо можно связать с производными, у которых энная производная от числа в энной степени будет равна эн факториал (справедливо для целых неотрицательных чисел), но я подозреваю, что это тоже вытекает из бинома
Дробная производная еще никогда так геометрией не блестала. Если такие приращения будут дробными? Этт уже какие-то фракталы будут
Видел что то похожее в интерполяционном многочлене в форме ньютона.
То, о чем вы говорите - называется производящей функцией ( думаю, для вас Америки не открыл). Ну, то есть, f(x)=x^3 есть производящая функция для ряда 1,8,27,64 и т.д... В аналитической теории чисел, производящие функции применяются для анализа числовых последовательностей методами обычного анализа. Что вы блестяще и продемонстрировали :)
Обычно производящей функцией последовательности называют степенной ряд с коэффициентами равными членам этой последовательности. Кажется, это совсем про другое )
@@trushinbv Степенной ряд - это производящий ряд :) Это тоже несколько другое, но, возможно, я просто плаваю в формулировках - в институте я такого не проходил, а самообразование без системности приводит к не всегда правильному восприятию. Возможно, тут будет более правильным определение арифметической функции, где a_n=f(n), где a - число из последовательности A
Борис плиз плиз плиз, мне интересно геометрия Лобочевского,сделай видео,хочу увидеть твою точку зрения к Лобочевскому,неЭвклидов геометрия
Здравствуйте, Борис. У меня есть вопрос, ответ на который я нигде не могу найти, буду очень вам признателен, если поможете. На школьной олимпиаде было такое задание: Произведение косинусов противоположных углов четырехугольника равны друг другу. Доказать, что этот четырехугольник имеет как минимум две параллельные стороны. Дело в том, что я даже не полностью уверен в корректности этого задания. Я могу это доказать для произвольного параллелограмма и произвольной трапеции.
Я предположил, что существует такой четырехугольник, который обладает нужным свойством. Потом сказал, что если это не трапеция и не параллелограмм, то в нём нет равных углов и нет дополняющих друг друга до 180, а значит их косинусы не равны. Ну и вроде-бы действительно вряд-ли для такого четырехугольника может выполняться условие, но вот я не знаю как это доказать. Что скажете, Борис, можно ли с таким справится?
Если разложить произведение косинусов в сумму, получится 2 cosα cos β = cos(α+γ) - cos(α-γ) = cos(β+δ) - cos(β-δ). Но так как сумма углов 360°, то cos(α+γ) = cos(β+δ) и остаётся, что косинусы разности углов тоже равны cos(α-γ) = cos(β-δ), откуда следует, что разности либо равны либо противоположны. Из этого простой арифметикой можно получить, что сумма каких-то двух соседних углов равна 180°
@@ivanerofeev1269 Спасибо!
буквално на днях вышло видео на канале mathologer, которое буквально об этой теме рассказывает.
Бывает )
Я не смотрел, а снял это ещё две недели назад
Интересно, есть ли у этой последовательности какие-нибудь особенности?
Последовательность: 22, 36, 44, 63, 66, 88,...
Можно хотя бы формулу ?)
Ибо так точно не скажешь, к тому же это очень малая часть
@@bullinchik На счёт т форулы, она подходит не под все числа, вот формула (x^y)/(x*y).
Вот как я эти числа отбирал : (2*2)/(2+2) это для 22.
@@Kithzer какая-то альтернативная арифметика у вас
@@IAmSavier А что не так? Возьмём число 123, (1*2*3)/(1+2+3) даёт целое число значит принадлежит к моему ряду, даёт дробь не принадлежит. Вся логика.
@@Kithzer так так и надо писать. Выше вы не про целые числа не пишете, формула у вас то с + то с * то с ^ и что за x и y тоже понятно мало
Ну, а что это даёт для математики ?
3:03 в пятой степени 225?🤞
что я смотрю в три часа ночи
Северус Снегг, пададжыте, не успеваю записывать
4:20 не понятно, как эта производная берется, можете кто нибудь объяснить?
Она берётся аксиоматически, если по-русски, то просто так назвали.
То есть мы взяли одну последовательность (любую!!!), потом из разницы соседних её элементов сделали новую последовательность. И чтобы эту получившуюся как-то назвать, назвали её «производной» по отношению к исходной.
Ну а потом оказалось, что если исходную последовательность слегка модифицировать, то производная последовательность на это реагирует предсказуемо. Всё дальнейшее - результат применения производной к себе самой несколько раз подряд.
побожьжите.. а если корни взять? степени 1/2, 1/3...
Пусть а_0, а_1, ... , а_n -- члены арифметической прогрессии. Верно ли что, а_0^k+a_1^k+...+a_n^k -- многочлен степени k+1? Я посмотрел несколько частных случаев, вроде бы это верно, интересно было бы про это послушать
Если имеется ввиду многочлен p(a_0), тогда да
О, про это свойство (и не только) был ролик на англоязычном канале Mathologer))) я, кажется, знаю, откуда ваш человек в комментариях нашёл это свойство))) ролик кстати классный был, советую
Я это заметил когда искал закономерности в распределении простых чисел(не нашёл). А этот факт отмёл как бесполезный.
Это ж как в ряде Тейлора
Какой рост у бв?
Всеми силами надеюсь, что это не навеяно последним роликом Mathologer, который вышел буквально недавно.
Вы не первый, кто про него написал )
Я не видел того ролика (надо, наверно, посмотреть). А снял я его ещё две недели назад )
Толково
Это же производное многочлена n-ой степени)
можно ли из этого доказать a^n+b^n=c^n+k=n!*x+k+y
Спасибо за ролик! Несколько дней назад у Mathologer вышло подобное видео "Why don't they teach Newton's calculus of 'What comes next?'" Там тоже много чего интересного ruclips.net/video/4AuV93LOPcE/видео.html
Случайности не случайны