To solve the equation x^3 - 1 = 0, you can find the cubic root of 1. The cubic root of 1 is 1, because 1^3 = 1. However, since x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), you can also find the other two solutions of the equation by setting the second factor equal to zero: x^2 + x + 1 = 0 This quadratic equation does not have real solutions, because its discriminant is negative: b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 * 1 * 1 = -3 < 0 Therefore, the only real solution of the equation x^3 - 1 = 0 is x = 1. If you want to find the complex solutions, you can use the quadratic formula: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a = (-1 ± sqrt(-3)) / 2 So, the complex solutions are: x = (-1 + sqrt(-3)) / 2 and x = (-1 - sqrt(-3)) / 2 Or, using trigonometric form: x = cos(2π/3) + i * sin(2π/3) and x = cos(4π/3) + i * sin(4π/3) In summary, the solutions of the equation x^3 - 1 = 0 are: x = 1 (real solution) x = (-1 + sqrt(-3)) / 2 (complex solution) x = (-1 - sqrt(-3)) / 2 (complex solution)
快來看我在李祥老師的頻道上 👉ruclips.net/video/EJK1WIGPyYg/видео.htmlsi=ftk1K9MJe5qXiNWI
Thanks! 看兩位數學教育專業的專家互相交流的感覺很棒!
謝謝你！
李祥老師那個其實真的滿好的 , 還可以延伸到棣美弗公式 (De moivre's theorem) , 曹老師那題也不錯 然而高中畢業5.6年沒有持續鑽研數學. 技術有限的我: x=0 (失敗) x=1 (失敗) x=-1 (失敗) , OK 沒招 放棄 🤣
x=1, x=-1 這兩個代入不成立，可以判斷這個方程式的實根一定是無理的，因此就可以排除用分解的方式。
你應該試試x=³sqrt4+³sqrt2+1的
@@Goldenmemories3651 應該是不可能猜到用這個試 XD , 沒關係 還有一招最快的 暴力破解法 : ruclips.net/video/ULsPhWmqhyc/видео.html (曹老師的影片)
真喜歡兩位的短片
這已經進入複數空間對實數空間投影的領域了. 傅立葉的開端拉.
好特別的合作啊
兩位我最喜歡的數學老師
謝謝！
「好👌」「好👌」
老師：🙂
你們不要那麼尷尬好不好
社交恐懼症都被我看出來了
李老師比較沒有。是曹老師需要微調一下。
好特別
一看到1331就想配成完全立方，但看正負號直接卡住
不過一分鐘後就想到兩邊同減2x^3就好
快去看李祥老師的新影片 👉 ruclips.net/video/mmeViaCjUhE/видео.htmlsi=0b8XLUFHlQkpxfVW
我看了，讓我認識20年超越新加坡是什麼概念
又是無中生有，數感真的要很好，才會感覺的到。給老師一個大姆指，讚!!!
那個(x+1)^3的提示很大欸，馬上就想到了
好有趣的題目
一元三次有標準解法:
1.化為標準式:設x=y+1，原式轉化為y^3 -6y -6=0
2.設y=u+v => y^3 = (u+v)^3 = (u^3+v^3) + 3uv(u+v)= (u^3+v^3)+(3uv)y => y^3 -(3uv)y - (u^3+v^3)=0
3.比較係數: -(3uv)=-6 => uv=2 => u^3*v^3 =8...eq1； - (u^3+v^3)=-6 => (u^3+v^3)=2...eq2
4.解eq1及eq2，可得 u^3及v^3，開3方根可得(u,v)的3組解(u1,v1)；(u2,v2)；(u3,v3)
5.y的3根:y1=u1+v1；y2=u2+v2；y3=u3+v3
6.x=y+1，x的3根:x1=y1+1；x2=y2+1；x3=y3+1
所以，6個步驟可以解所有一元三次方程式。
好看！
這題在2013 AIME 有出過相同作法的題目，解8x^3-3x^2-3x-1=0
有難度
To solve the equation x^3 - 1 = 0, you can find the cubic root of 1.
The cubic root of 1 is 1, because 1^3 = 1.
However, since x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), you can also find the other two solutions of the equation by setting the second factor equal to zero:
x^2 + x + 1 = 0
This quadratic equation does not have real solutions, because its discriminant is negative:
b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 * 1 * 1 = -3 < 0
Therefore, the only real solution of the equation x^3 - 1 = 0 is x = 1.
If you want to find the complex solutions, you can use the quadratic formula:
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a = (-1 ± sqrt(-3)) / 2
So, the complex solutions are:
x = (-1 + sqrt(-3)) / 2 and x = (-1 - sqrt(-3)) / 2
Or, using trigonometric form:
x = cos(2π/3) + i * sin(2π/3) and x = cos(4π/3) + i * sin(4π/3)
In summary, the solutions of the equation x^3 - 1 = 0 are:
x = 1 (real solution)
x = (-1 + sqrt(-3)) / 2 (complex solution)
x = (-1 - sqrt(-3)) / 2 (complex solution)
之後來因式分解的單元來讓學生寫看看
為什麼只有一個解 重根嗎
一元三次方程式應該有3個根才對，這樣子解法只求出1個根，少了2個根。可以用此求出的根去配合長除法或是綜合除法，將其降階成2階方程式後就可以求出另外的2個根了
6:00 這裡有說
其实知道了韦达换元法就很容易去硬算……
硬算和牛頓定理，我傾向牛頓定理而不是韋達定理
本來卡住，後來看到係數1，3，3，1，想到巴斯卡三角形才解出來
從 2人連動、公開私下拍攝的樣子 可以看出來
你們想把枯燥的學術影片嘗試網紅化、變有趣
看的出來你們都是剛開始嘗試這種新做法，所以氣氛怪怪的、乾乾的
我覺得可以學網紅 加音樂、趣味剪輯 會讓影片完全不一樣
.
不會啊，覺得很真實，偶而看看老師被挑戰很療癒😂，因為老師平常太強，教學一級棒👍
真正想要看數學的才不會理其他 加了音樂和剪輯反而影響思考和連貫性
@@kripkechoi8253 同意
但如果要「推廣」，意即讓其他不曾接觸數學的人也能被吸引，我覺得留言者的想法可以參考。
@@kripkechoi8253主要問題是作為影片聲音太小 另一位老師聲音又太大 需要平衡
想太多了 這就是一般的教學影片
學數學需要專心 加那些有的沒的反而是反效果
影片裡一步一步解題已經是很有趣的做法了 也能學到數學老師解題的思路 比一般刷題影片好多了
剛才看到x^3-1=0，腦中突然冒出一個想法：
一個一元三次方程式，其三個根都是在高斯平面上的三個點
而平面上的任意三點可形成一個平面三角形(將邊長0也納入考量)、任意平面三角形又必定有唯一一個外心，其外心到三點的距離相同
這表示任意一個一元三次方程式的三個根必定可以寫成Z+Re^iθ_k，其中Z為圓心、R為半徑、θ_k為三個根對於圓心的主幅角
不知道這個想法對解一元三次方程式有沒有什麼幫助
啊不對，仔細想想，三點共線但任兩點不重疊時好像沒辦法找外心( ´ཫ`)
其實有個方法 將它寫成x³-3x²-3x-1=x³-3x²-3x+1 -2= (x-1)³ - (³rt2)³ = (x-1-3rt2)(不重要)
错了
Is this the only way to solve the equation?
No, but this is certainly the best way!
@@bprptw how could you know that it's the best way ever?
But I think that for this 3-order equation, it must exist three roots, not just one root.