台美數學老師交流因式分解的樣子
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- Опубликовано: 5 сен 2024
- 我出了兩題因式分解一元四次多項式來讓擁有多年教台灣高中數學資歷的李祥老師 @gary0617 挑戰, 但他第一題的做法就讓我刮目相看! 各位國中高中同學如果想學好數學, 那因式分解,因式定理, 平方差公式, 立方和公式, 跟立方差公式 都是必備的數學技巧. 同時還得訂閱李祥老師 👉 www.youtube.co...
他的頻道上有無數多高中數學的影片, 包含排列組合,高中考試學測, 高中微積分, 趕快訂閱才不會錯過喔
Round 2在這 👉 • 台美數學老師交流因式分解的樣子
謝謝來自香港的數學老師@mathfreedom跟我們一起在網路上交流 👉 • 台、美、港數學老師三種解題Style 大不同...
PS. 李祥老師沒有事先知道題目
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祝你幸福
#數學 #高中數學 #因式分解
第二題的兩種方式
自己遇到臺灣都蠻多老師或同學都會用
野生胖清?
帥清😆
第一题因式定理，很容易找到零点1，所以两次找出因式x-1，也不用长除法，长除法很笨的啦！太美老师说用配的，也对啦！我看到过程还不够丝滑！严格意义讲，只是考察多项式乘法的熟练度！从前往后一次成型，非常精确！就像做填空！第一次
（x-1）（x^3+x^2+x-3）思维过程就是因为是x^4，所以第一项是x^3，因为减x^3，所以+x^2刚好消掉x^3，因为➖x^2，所以+x，因为-4x，所以-3，同时实现常数项3的条件！因为一定被整除，所以丝毫不用担心，肯定哪哪都对,严丝合缝！
最简单直接快速高效的思路方法，没有之一
第二题，这类的因式分解知道秘密即理解了核心原理，就是一个，原来的1+5=6，后来的5+3=8，必能分解成两个数和为6，很显然2+4=6，所以小学二年级就可以的功底直接写答案！知道了第一性原理就可以随意出题了，比如+3改成+4，这样5+4=9，显然3+3=6，分解后结果就是（x^2-2x+3）^2，还可以改成-12，这样5-12=-7=-1✖️7就-1+7=6，所以省略
核心秘密是对多项式乘法的理解！很多时候不需要任何公式，直接写出答案！
发现，牛筋的人们也会思考停留在较浅层，明明有能力，但并没有把脑力发挥到极致！可能是缺少这种意识吧！我看到国内清华北大的讲解视频，也有类似情形！到处是1.0，2.0的思维水平但是更高版本的3.0，4.0，甚至5.0就很少见！
第一小題顯示了因式定理的重要性，雖然因式定理很顯然，但實際上會運用的話就差很多，對於雙變數甚至多變數的十字交乘也很有幫助
是的，感觉台湾的教学在基础部分都教得很“全套”，不像大陆这边会有很多空档的知识，比如关于多项式，大陆这边是不教商式，余式，除式的，虽然很容易能推导出来，但应用起来就是如果知识全面的话，就不会有遗漏的地方。就像这个第一题，后面变正负号，在不用草稿纸一步步拆解的情况下，能想到这样真的不错了。
@@georiashang1120聽說你們中國的環境比較像是記題目解法而不是理解（好像是這樣
@@yt_6056 对一个迎接高考的学生来说，刷题海就是唯一行之有效的教学方法了。中国的教育就是为了考试机器而配置的。
@@yt_6056 不过这种题海战术如果题库归纳得很好的话，也不失为一种好的学习方式。就像下棋的人要背谱一样，谱记得多的人下起来是真的要厉害些。这我深有同感。
更難的Round 2會在李祥老師的頻道 👉 www.youtube.com/@gary0617 趕快訂閱才不會錯過喔
哭阿，我也想和老師們交流交流數學
感謝曹老師的tag! 第二集也是很精彩，期望將來能看到更多不同的互動!
第一題因為對平方比較熟悉不如就加平方上去再減掉
x^4-4x+3=x^4-x^2+x^2-4x+3=x^2(x-1)(x+1)+(x-3)(x-1)=(x-1)(x^3+x^2+x-3)=(x-1)(x-1)(x^2+2x+3)
不會比較快只是習慣
第二題我想到的是：
（x²-2x+3+2)(x²-2x+3-2)+3
=(x²-2x+3)²-1²
=(x²-2x+4)(x²-2x+2)#
李祥老師的做法，真的是台灣教育下的反射動作
很有效率，讚
通常會看兩個括號內的二次項跟ㄧ次項會相同，或者較機車的是二次項與常數項相同（這時還要常數項跟一次項對調才好做），然後兩項看成ㄧ坨去乘開變二次ㄧ次式
是這樣嗎？台灣不是兩種都有教嗎？😂😂
@@frankchen-gd4nx有點聽不太懂你在說什麼？@@
兩個括號？哪裡兩個括號？
二次項跟一次項相同？是什麼在相同？
二次項與常數項相同？是什麼在相同？
兩項看成一坨？是哪兩項？
二次一次式？到底是幾次式？
喔喔知道了，是第二題
但二次一次式還是看不太懂@@
中學時期看到這種首項跟末項係數都是質數的狀況都是直接雙十字交成硬解兩個二次因式的中間項，如果要出需要特殊解題技巧的題目建議把首項跟末項係數都設定成和數，這樣要用雙十字交乘法的成本就比使用解題技巧還要高出太多。
夢幻連動:D 話說第一題的想法也太強:P
這高中有教
可以查「牛頓多項式勘根法」
牛頓一次因式，這個考過科學班一眼就看出來了
原po應該是在說李祥老師把(x^3+x^2+x-3)求出來的時候
真的很強
那一個算式我會分解成
（x^3-1)+(x^2+x-2)
=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x+2)
=(x-1)(x^2+2x+3)
感覺也是不錯的解法
試試李祥老師這題
設 60^a=3 and 60^b=5, 求 12^((1-a-b)/(2(1-b))
答案在這 👉ruclips.net/video/WLM49Gw_nyU/видео.html
李老師的題目如果不動用log也能處理，但過程很不優雅。
起手式是簡化所求的分數，得到(1/2)*(1+(a/(b-1))，接下來的問題就是如何湊到「在指數的(b-1)或其倒數」了。答案是：把題幹的條件化為60^(b-1)=5*60^(-1)=1/12。
巧吧，這一步下來，連所求的底12也出現了。剩下的就是指數律的基本運算而已。（但我要再說一次過程真的蠻醜的）
這是台灣在介紹指數律時但還沒介紹對數律階段時一個經典難例題的操作，由該題可以學到「湊出分數型指數」的靈感。看起來像是在亂湊，但學過一題之後就有跡可循了。
不過高中畢業五、六年回頭來看，這樣的操作就只是小範圍考試取向，畢竟升學考試和實際數學解題時不可能有好工具卻限制各位不用，因此學弟妹們看看就好，不必在意。
也感謝李老師、曹老師的分享！
因式分解有時候根本在通靈( ･᷄ὢ･᷅)
第二題兩位老師的作法都差不多吧，只是一個有寫出取代另一個沒有。
我考試的時候會用第二種，降低心算負荷以及出錯的機會。
第一題對台灣考生來說也蠻好聯想的，看到高次方係數=1且有一次項
就會想靠常數項調整湊立方差或平方差來用，像我就是(X^4-1)-(4x-4)再往下做。
李祥老師只是簡略了
正常我們以前在寫
也會先假設
X^2+2X=Y
算到最後再把Y還原
一樣意思
算久了就不會代換了
哇這個合作好棒喔
第二題我第一眼的想法是把x^2-2x+3 設成u 然後就會變（u+2)(u-2) 變成u^2-4+3 再套一次difference of two squares
直接牛頓法開始大爆除
第一題只可能出現(x+1) (x-1) (x+3) (x-3)
第二題 1 2 4 8
可以分離係數法少寫一點x節省手力
哪裡有x+1?
@@47david4看到1，3，直覺反應就是只有四種組合，接著一定會看到x-1，但牛頓法真的就是無腦在解沒有比較快
@@47david4不一定有但可能有
只看頭尾係數，那他就可能出現這幾個，當然看得出來有哪個就直接先用
這兩題根本簡單 隔壁同學怎麼算的我就是怎麼算的
Round 1: test x=1 to know (x-1) is a factor. Test x=1 again to know the second factor (x-1). Round 2: let y=x^2-2x+3. So the original polynomial can be rewritten as (y+2)(y-2)+3. Or y^2-4+3=y^2-1=(y+1)(y-1). Bingo!
第一題，
因為知道一定可以分解，所以就先猜
（x^2+□x+1)(x^2+〇x+3)
然後因為沒有三次項，表□〇應該是相反數，
所以湊一下數字，就可以湊出□=-2，〇=2
得(x^2-2x+1)(x^2+2x+3)
前項再因式分解一下就得到答案了。
聰明
第二題連想都不用想完全跟李老師一樣
第二題在實際積分上也很常見的用法，一般會設u位其中一個，另一個則是把剩餘的差加上去，因爲du的話 那個差不太重要；詳情還是根據積分而言
然而在解複數函數積分時，也常用類似手法去做residue theorem，（有讀多體物理的同學應該也很常見搬這個搬那個什麼的）
設定這個u也很常是在湊數字的感覺 一般都要假設題目就是要往這方向考才能這麼快決定要這樣代
應該說也因為剛好第二題兩個相乘式的前兩項一樣，所以用代換法很快
國高中數學三大陰影：
因式分解、排列組合、數列與級數
我看到第一題的反應是有借有還
補上-2x^2+2x^2 再因式分解就可以得到答案
第二題跟李祥老師一樣
第二题，我的方法与后面老师相似，我最初也想到是令x²-2x+1=U，但看到前面两式相差为4时，我想到了把U=x²-2x+3,这样就变成了(U+2)(U-2)+3=U²-1=(U+1)(U-1)=(x²-2x+4)(x²-2x+2)
我的數學能力從學測考完的那個剎那直接歸零……
現在升大三但這兩年都沒碰任何數學
明年還想選修微積分
因式分解先掛😵💫
要來找影片補救 這個剛好幫我找回一點記憶🥹🫶🏼
你可否透露下你學測數學考幾級分? 總級分亦為多少?小弟我想參考一下
我這兩題的做法，第一題是直覺用曹老師的方法，第二題和李祥老師的做法一樣，不過第一題的因式，找的方法跟李祥老師一致，看來我果然很台灣
把原式設定成(u+2)(u-2)+3=u^2-1=(u+1)(u-1)，雖然誤打誤撞但感覺真的很舒服。
從小在台灣接受一般數學教育到研究所，但直覺做法都跟黑筆紅筆一樣?!
我也是，感謝補習班老師的教法😂
第一題第一眼直覺就是x(x^3-1)-3(x-1)如果不會太神的挖東補西就直接把-4x 變成-3x -x
第二題的話第一眼大致就看出平方差的公式了 常數項算出來是8=9-1 就是（x^2-2x+3)^2-1 後續做法大家自行操作
很有趣的一部分享 👍
第一题，虽然我发现试根法+除式法很好很妙，但看到一个-4，一个3的常数，忍不住的会不去想3=4-1，然后1可以和x⁴结合产生奇妙的“自动化公式”反应，剩下那个-4x+4又包含一个(x-1)公因式。。
台美數學的火花🎉
第一題要有配平方差且需要會無中生有
內心預設會發生什麼事，後面就很快樂了
被台灣數學訓練過，很多積分一看就開始配，用配的真的比較快，很多時後老師還在換代數解，我已經算完了，在考場上哪有這麼多時間讓你慢慢代數解
相同令u 很快，但是考試更快有時間限制，所以腦袋都是能配先配，而且選擇還看答案來參考。
計算什麼帶1，0，-1；也都常規操作。
綜合除法，簡單粗暴，我喜歡!
第二個做法跟寫程式一樣，不影響原本功能情況下，重構成好閱讀的方式
第一題我竟然聞到牛頓勘根法的味道
My method on 2nd one:
=(x^2-2x+3+2)(x^2-2x+3-2)+3
=(x^2-2x+3)^2 - 1
=(x^2-2x+3-1)(x^2-2x+3+1)
=(x^2-2x+2)(x^2-2x+4)
居然是李祥老師！！！
真的是夢幻聯動呀～
只是老師穿這衣服，
配上現在翹瀏海的造型，
真的突然會覺得
好像看到老高呀！😂
Round 2 here: ruclips.net/video/1bfkvcw14PY/видео.htmlsi=G9xZsOfnw8ZhhojA
Recursion
2 心算3秒😂😂
Let k=(x-1)＾2
題目
=(k+4)×k+3
=k^2+4k+3
=(k+1)(k+3)
=(x^2-2x+2)(x^2-2x+4)
回想畢業後只有在回歸線看到四次方的東西，然後那些交點眼睛看得到
第二題第二題好像可以把(x^2-2x+5)(x^2-2x+1)+3
=(x^2-2x+3)^2-2^+3
=(x^2-2x+3)^2-1^2
=(x^2-2x+4)(x^2-2x+2)
這樣連國中生都可以輕鬆解 只要會平方差公式
其實我高中都學過，也聽得懂
就是寫考卷的時候寫不出來😢
第二题的第一反应是(x²-2x+5)(x²-2x+1)+3 = (x²-2x+3 + 2)(x²-2x+3 - 2)+3 = (x²-2x+3)² - 2² + 3 = (x²-2x+3)² - 1 = (x²-2x+2)(x²-2x+4)，看了老师们的做法感觉自己好怪
这挺正常的呀...取中间平方差
你的是平方差公式，老師的是一元二次方程式+十字交乘法
都可以當正解
本質一樣
謝謝演算法讓我又學了一次高中數學
還好我數學之有國小程度，不用那麼認真去嘗試解題。
😂😂😂
我大部分想著 “我忘記什麼因式算法？”
其實，plug in就好。
第二題沒那麼難。令X^2-2X+3= Y 原式=(Y+2)*(Y-2)+3 = Y^2-4+3 =Y^2-1=(Y+1)*(Y-1) , 後面就檢查一下2次項有沒有得再分解很容易。
那是老高衣服嗎XD
第2題其實就是變數變換技巧(微積分應該會很常使用到)，不過兩位老師的方法都很棒....因為如果我在直覺之下我會直接暴力法XDD
有沒有人是看到五歲抬頭才點開的
我是點開才看到五歲抬頭的
這集好好看，回到高中了😂
我4X歲，第二題還有印下小時候是用代數(第二種)的解法
夢幻聯動！
這在高中都算很基本可以容易拿分的題目....但離開高中太久，要稍為想一下才有頭緒。
第二個就是換元法
第一個是試根法VS綜合除法
第二題其實兩種方法都差不多，只是如果第二法要用代數變換，我會直接把x^2-2x=u，這樣一來就會跟第一法的過程一樣了，算是兩法的合併吧
哈哈哈，我都用長除法long division
設x平方-2x=k會比較快又好理解
看著看著就睡著了❤😮
....... 用綜合除法不香嗎
第一題
超過三次的先猜根1或-1
剛好猜到兩個1 也是用慢慢配的
第二題 我也是直接射u=x^2-2x
之後再配出來就是答案了
考工數這種因式分解要秒殺😥積分當加減乘除用 拖超過一分鐘就先輸別人1分了
輸別人一分 會被憲兵隊抓去嗎 ?
@@user-jf6gs4bm8z 考場外站的不是家長 是憲兵隊 停車場都是吉普車你不知道嗎
都可以啦 都看的懂
比較習慣紅筆的解法
第一題直接補一個 -x^2+x^2 就滿好算的
你的方法我試了可以
但請問你是怎麼知道補多少的XD求解
@@owo-nn6zu 好像憑感覺居多，硬要說的話是在因式分解中很常用到乘法公式或是十字交乘兩種方法，所以會下意識地去湊二次項出來，前面又是四次項，所以補-x^2+x^2之後剛好兩種可能一次滿足
@@owo-nn6zu 問就是數感
我也是
我好緊張，老師都直接給我當場來，沒辦法，只能當場想
第二題紅字的部分我們基本都會教吧😂
就我學數學的過程來說 高中老師的教法比較偏藍色那種 然後大學老師或是補教老師會用紅色那種的教法 我記得我是到大學學微積分的時候才用紅色那種 我覺得紅色那種反而好算很多 比較沒那麼多字 乾淨好算 藍色那種字比較多有時候算到後面就忘了自己再算啥XD 順便問一個紅色那種寫法是不是叫變數變換? 很久沒翻微積分都忘了專有名詞了
應該是 ，不過我是都說叫代換法，就是用一個假設的變數代換掉一堆更複雜的式子，反正知道那是甚麼就好。😂
現在國中生也都有教綜合除法了，跟我們以前好像不太一樣了
最後綜合除法有小錯誤，他少補一個0
現在還穿著五歲抬頭真的太狠啦
第一題我也分享不同方法，(x^4-1)-4(x-1)=(x-1)(x^3+x^2+x+1)-4(x-1)=(x-1)(x^3+x^2+x-3)=(x-1)(x^3-1+x^2-1+x-1)=(x-1)(x-1)((x^2+x+1)+(x+1)+1)=(x-1)^2(x^2+2x+3)
沒想到兩位合拍影片了
兩位老師都蠻厲害的
過獎了 謝謝
解題新思路！石榴煎鳩…🤣
雙仙👍
奇怪的演算法😂
為什麼推薦數學給我😢
好久沒看到李祥老師 差點認不出來...
(X^4+4x^2+4)-(4X^2+4X+1)再乘法公式
雙廚狂喜
想請問一下 後面的綜合除法應該要寫 1 0 0 -4 3吧
沒錯，老師少寫一個0
對 我少寫了個0
好耶合作！
李翔老師有看老高嗎
我是看到縮圖想說這人怎麼變這麼胖點進來看
結果看到另1個更大的重點是
李祥怎麼還要穿老高賣的衣服，難道他不知道老高發生什麼事嗎
.
最近有變胖啦！我會減肥😢
老高的事，第一時間我就把兩部影片看過了，除了數據一模一樣以外，我實在看不到什麼問題！
我們做科學的，強調證據，別人說的，我都只是聽聽而已，除非我自己看到！
那你支持藍泉媽媽不?
因為老高很多影片都有那個問題，不只1部
.
@@user-xg4sl2jb7b 沒有所謂支持不支持
生活不是偶像劇，沒有非黑即白
每個人都有好的地方，也有不好的地方
我不愛吃山豬肉
酷欸
第一題應該就是用牛頓一次因式吧（？
完全看不懂，我卻看完了
高中有這個？
我怎麼不知道
阿！原來我是混畢業的😢
完全不知道是怎麼才能想成這樣
第二題不就是代元法😂
謝謝曹老師的夥伴以行動挺老高
4:36 可是本質是一樣的，都是把先把比較複雜的的共通點abstract掉變成簡單的東西
第二題利用代數法設X^2-2X+3比較好
謝謝提供意見
解的出來就好
第一題 (另解):
x^4 - x^2 + x^2 - 4x + 3 = x^2(x^2 - 1) + (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3) = (x - 1)(x^3 - 1 + x^2 + x - 2) = (x - 1)^2(x^2 + 2x + 3) #
我也比較會用綜合除法做
幹超爽的，邏輯撕殺
代數字 x
一次因式檢驗法 o
五歲抬頭衣!!!!!
請問為什麼 用1代入 =就可以確認 x-1是他的因數
Factor theorem, 類似做一個長除法沒有餘數
因為（x-1）帶入1也會讓式子變0，所以可以合理推論有這項因式
"因式定理" : "餘式定理"的特例, 道理來自最基本的"除法原理"
因為x=1帶入等於0 表示 該式子可以被表達成這樣 (x-1)(隨便項) =0
其實就是牛頓因式檢驗法
老師連續綜合除法
做法都一樣啊