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有次在積分橢圓的弧長，本來以為用sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx可以積出來結果也是卡住，才發現有所謂的橢圓積分，也是需要用到nonelementary functions
謝謝
@@gary0617uuuuuiyuyyyy
1) x^x=22) x^x^2^2=2^2^2=163) x^2^x^2=16=2.745^2.7454) x^2=2.7455) x=root(2.745)
2到3不對吧
@@kai-sk8pj 他有加√
@@1c15leungpuicheung9 2怎麼直接導到3的?如果能不靠推導直接得出 [n^n=16時，n為2.745]那一開始問的 [x^x=2時，x為多少?]，為什麼不能直接導出來? 2和16有什麼不一樣嗎
答案不一樣用desmos去看x^x=2的話x是1.55961(所以老師沒記錯)用你的算法算出x=1.65680你的解題過程2到3出錯了x^x^2^2和x^2^x^2是不同的東西(前者是x^x^4)多層次方的次方項不能互換
然後樓上@kai-ot9ye也說得很對，既然你都能把16拆成2.745^2.745了，那你幹嘛不直接拆2就好?脫褲子放屁?
Take exponential on both side, then we get e^x* e^(e^x)=e^2. Then apply W on both side, we get e^x=W(e^2), which results in x=ln(W(e^2)).
Thanks
我認為 這個函數的性質或是歷史背景要足夠好 才會去接受這個解答 比方說三角函數的性質很好且我們又很常碰到它 生活中有很多例子都是這樣 橢圓積分 我們很常碰到它 但又解不出來 或是 log函數 等等 這些都是有足夠好的性質 又有很多數學背景在裡面我個人認為 在解決這個問題之前 可能還是要前情提要一下 這個W函數它的背景會好一些 也不會覺得好像是在不會就在逃避問題的感覺
@@s4455667788 謝謝
覺得這個思路怪怪的， 既然最終都要查表或數值解才能得到w(ln(2))那乾脆引入 g(x) = x^x 的反函數， G(x) = g'(x), 答案就得到等於 x=G(2)
但他可以把整個class of equations 的解都寫成W跟elementary function的代數式
用exponential把x+exp(x)换成exp(x)*exp[exp(x)] = exp(2),再用Lambert W function就好了
建議教一些應用。像是CNN DNN. 計算如何精簡。運算原理。推理訓練等等。
好👌
然後我就發現曹老師的過去的影片被演算法推薦出來了，哈哈片名↓Lambert W Function Intro & x^x=2
x+e^x=2e^x e^e^x = e^2e^x = W(e^2)x = ln W(e^2)之前講productlog老有人理解成生產日誌
謝謝😊
我還是沒弄懂e^W(ln 2)怎麼算出來為什麼下一步直接跳出答案
@@林岑洋-steven 原來是了計算機...那一開始就直接用計算機就好了啊為什麼要人工做得更複雜再丟給計算機?
@@林岑洋-steven 我的問題點是為啥要手算又沒有比較快而且手算還算不出來
果然惹誰都不能惹數學老師
哈哈哈哈
for x+e^x=2e^x=2-xlet t=2-x, then x=2-tthe equation becomes t=e^(2-t)=e^2/e^tt*e^t=e^2W(t*e^t)=W(e^2)t=W(e^2)x=2-t=2-W(e^2)
既然能用計算機的話....用工程用計算機，十分逼近法 1.55961
沒錯👍
討厭數學的一點就是這樣，題目明明問的是 等於2，結果最後官方答案給 約等於2... 這時候就回覺得，都給你們說就好了
@@林明信-j5f 把x=e^W(ln 2)帶入x^x確實等於2，用近似值1.55961帶入才會約等於2
=>e^(x+e^x)=e^2=>e^x * e^(e^x)=e^2 又e^x=2-x=>(2-x)*e^(2-x)=e^2 同取W func=>2-x=W(e^2)=>x=2-W(e^2)耶下課
这种新定义函数，然后以类似查表的方法得出一些数值的函数值。这种其实算是数值解吧？如果可以用这种方法解方程，那么我有一个高一学生都会的解法：二分法。所以我觉得这个结果看起来做了不少，其实什么都没有做。
log5 也要查表才知道數值 可見依你的高見 log function 是沒有屁用的東西
@@HowDareYouEatMyLunch 他打了不少字 但其實甚麼都沒講
取 e^囗 ， 完。 我腦袋比較笨，看了老半天，才知道當 ❆ 和 ▲ 相乘，如果一個數是 e 的另一個數次方，那就能湊 W 。 要從 x +e^x 變出 x e^x 無非就平方，但冒出另外兩項有 x 的東西，很明顯不是習題類會出的。 但又要如何把加變成，還要保留住 ❆▲ = 常數的特性？
請教一下，在xlnx=ln2時 為何不能兩邊同時微分 變成ln x+1=0 錯誤在哪
因為這兩個方程式只會在一點相同
因為這樣只是在算斜率=0的點
請問老師 最簡分數可以是帶分數嗎?
要化成假分數再判斷
@@gary0617 高中考題 1.5循環5化成分數 寫1又九分之五倍高中老師打錯 正確是九分之十四 ??
不是這個意思，他要先化成假分數，判斷為最簡分數，再化成帶分數
但如果他是要化成最簡分數，還是必須要是假分數的形式
老師請問 網路上哪裡找得到amc10中文版歷屆試題
目前沒有授權，可以去蝦皮找，九章出版社以前有出過
Let exp(x) = e^xx + exp(x) = 2exp(x) = 2-x1 = (2-x)exp(-x)exp(2) = (2-x)exp(2-x)W(exp(2)) = 2-xx = 2-W(exp(2))
def f(x): return x + math.exp(x) - 2def df(x): return 1 + math.exp(x)import math# 初始近似值x0 = 1.0# 最大迭代次数max_iter = 100# 精度tolerance = 1e-6for i in range(max_iter): fx0 = f(x0) dfx0 = df(x0) x1 = x0 - fx0 / dfx0 if abs(x1 - x0) < tolerance: break x0 = x1print("解 x 的近似值为:", x0)
直接定義 f(x)=x*lnx 的反函數不是更快xD
也可以
f(x)=x*lnx 本身有點問題，例如x=0沒定義，x
@@2688jojof(x)=x*lnx 在(1/e, ∞)有定義而且是1-1函數，ln2也在f的值域裡，所以小心定義反函數的話沒問題。其實g(x)=x*e^x在實數上也不是1-1函數，所以影片裡的w函數的domain也有限制。ruclips.net/video/Qb7JITsbyKs/видео.html&ab_channel=blackpenredpen
前面幹嘛打叉，不是接下去嗎
用Newton iteration method 就可以解到了
是的
有道理
Newton’s method不是求解，而是估計解的值
基本上，求分數下，馬上做另一題😅😅
Professor, I am from Algeria and I have understood some of your mathematics concepts. Do you have an Instagram page with exercises to help us more? Thank you.
You can search blackpenredpen
用程式跑啊...先設定x有幾位數小數讓他跑x^x
暴力解www
@@bdc9561 才不會更簡單精確這樣的程式不用一分鐘就寫完了小數點後十位數跟一萬位數相差不用1秒分數能精準到幾位數
十分逼進法不香嗎？
不錯
按计算机solve😂
哈哈哈🤣
let u=e^x, x=ln(u) ln (u) + u = 2e^(ln (u) + u) = e^2ue^u = e^2u = W(e^2)x = ln (W(e^2))😝
thanks
why w(x)e^(w(x)) = x
兩邊同時再做一次W(W(x)e^W(x))=W(x)會成立
-因為他是-
f^-1(x)=w(x) => f(f^-1(x))=f(w(x)) => x= f(w(x))=w(x)e^(w(x))
f(X) = x e^xSub in x = w(x)f(w(x)) = w(x) e^(w(x))w(x) = f^-1(x)Hence w(x) e^(w(x)) = f(w(x)) = f(f^-1(x)) = x
學術研究區域😂
很難
😂😂😂
@@KyyTyy 👍👍👍
外國老師感覺真的比國內老師還強，國外名校就是不一樣
曹老師好厲害
曹老師在哪裡教書
@@gregglee1243美國 但不知道是高中還大學 感覺是大學因為很多很難的微積分影片
曹老师的一只手两支笔用得好😂 不愧是黑笔红笔👍
崇洋媚外，兩個人都在教中學數學，沒什麼好不好，互相交流而已，很多沒出國念過書的數學老師，也能教出跟曹差不多的內容。
這題又不難
謝謝🙏
![Blox Fruits Dragon Rework Update [Full Stream]](http://i.ytimg.com/vi/EqDAp8udhm0/mqdefault.jpg)
有次在積分橢圓的弧長，本來以為用sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx可以積出來
結果也是卡住，才發現有所謂的橢圓積分，也是需要用到nonelementary functions
謝謝
@@gary0617uuuuuiyuyyyy
1) x^x=2
2) x^x^2^2=2^2^2=16
3) x^2^x^2=16=2.745^2.745
4) x^2=2.745
5) x=root(2.745)
2到3不對吧
@@kai-sk8pj 他有加√
@@1c15leungpuicheung9
2怎麼直接導到3的?
如果能不靠推導直接得出 [n^n=16時，n為2.745]
那一開始問的 [x^x=2時，x為多少?]，為什麼不能直接導出來?
2和16有什麼不一樣嗎
答案不一樣
用desmos去看x^x=2的話x是1.55961(所以老師沒記錯)
用你的算法算出x=1.65680
你的解題過程2到3出錯了
x^x^2^2和x^2^x^2是不同的東西(前者是x^x^4)
多層次方的次方項不能互換
然後樓上@kai-ot9ye也說得很對，既然你都能把16拆成2.745^2.745了，那你幹嘛不直接拆2就好?脫褲子放屁?
Take exponential on both side, then we get e^x* e^(e^x)=e^2.
Then apply W on both side, we get e^x=W(e^2), which results in x=ln(W(e^2)).
Thanks
我認為 這個函數的性質或是歷史背景要足夠好 才會去接受這個解答 比方說三角函數的性質很好且我們又很常碰到它
生活中有很多例子都是這樣 橢圓積分 我們很常碰到它 但又解不出來 或是 log函數 等等 這些都是有足夠好的性質 又有很多數學背景在裡面
我個人認為 在解決這個問題之前 可能還是要前情提要一下 這個W函數它的背景會好一些 也不會覺得好像是在不會就在逃避問題的感覺
@@s4455667788 謝謝
覺得這個思路怪怪的， 既然最終都要查表或數值解才能得到w(ln(2))
那乾脆引入 g(x) = x^x 的反函數， G(x) = g'(x),
答案就得到等於 x=G(2)
但他可以把整個class of equations 的解都寫成W跟elementary function的代數式
用exponential把x+exp(x)换成exp(x)*exp[exp(x)] = exp(2),再用Lambert W function就好了
建議教一些應用。像是CNN DNN. 計算如何精簡。運算原理。推理訓練等等。
好👌
然後我就發現曹老師的過去的影片被演算法推薦出來了，哈哈
片名↓
Lambert W Function Intro & x^x=2
謝謝
x+e^x=2
e^x e^e^x = e^2
e^x = W(e^2)
x = ln W(e^2)
之前講productlog老有人理解成生產日誌
謝謝😊
我還是沒弄懂e^W(ln 2)怎麼算出來
為什麼下一步直接跳出答案
@@林岑洋-steven 原來是了計算機...
那一開始就直接用計算機就好了啊
為什麼要人工做得更複雜
再丟給計算機?
@@林岑洋-steven 我的問題點是為啥要手算
又沒有比較快
而且手算還算不出來
果然惹誰都不能惹數學老師
哈哈哈哈
for x+e^x=2
e^x=2-x
let t=2-x, then x=2-t
the equation becomes t=e^(2-t)=e^2/e^t
t*e^t=e^2
W(t*e^t)=W(e^2)
t=W(e^2)
x=2-t=2-W(e^2)
既然能用計算機的話....用工程用計算機，十分逼近法 1.55961
沒錯👍
討厭數學的一點就是這樣，題目明明問的是 等於2，結果最後官方答案給 約等於2... 這時候就回覺得，都給你們說就好了
@@林明信-j5f 把x=e^W(ln 2)帶入x^x確實等於2，用近似值1.55961帶入才會約等於2
=>e^(x+e^x)=e^2
=>e^x * e^(e^x)=e^2 又e^x=2-x
=>(2-x)*e^(2-x)=e^2 同取W func
=>2-x=W(e^2)
=>x=2-W(e^2)
耶下課
这种新定义函数，然后以类似查表的方法得出一些数值的函数值。这种其实算是数值解吧？
如果可以用这种方法解方程，那么我有一个高一学生都会的解法：二分法。
所以我觉得这个结果看起来做了不少，其实什么都没有做。
謝謝
log5 也要查表才知道數值 可見依你的高見 log function 是沒有屁用的東西
@@HowDareYouEatMyLunch 他打了不少字 但其實甚麼都沒講
取 e^囗 ， 完。
我腦袋比較笨，看了老半天，才知道當 ❆ 和 ▲ 相乘，如果一個數是 e 的另一個數次方，那就能湊 W 。 要從 x +e^x 變出 x e^x 無非就平方，但冒出另外兩項有 x 的東西，很明顯不是習題類會出的。 但又要如何把加變成，還要保留住 ❆▲ = 常數的特性？
謝謝
請教一下，在xlnx=ln2時 為何不能兩邊同時微分 變成ln x+1=0 錯誤在哪
因為這兩個方程式只會在一點相同
因為這樣只是在算斜率=0的點
請問老師 最簡分數可以是帶分數嗎?
要化成假分數再判斷
@@gary0617 高中考題 1.5循環5化成分數 寫1又九分之五倍高中老師打錯 正確是九分之十四 ??
不是這個意思，他要先化成假分數，判斷為最簡分數，再化成帶分數
但如果他是要化成最簡分數，還是必須要是假分數的形式
老師請問 網路上哪裡找得到amc10中文版歷屆試題
目前沒有授權，可以去蝦皮找，九章出版社以前有出過
Let exp(x) = e^x
x + exp(x) = 2
exp(x) = 2-x
1 = (2-x)exp(-x)
exp(2) = (2-x)exp(2-x)
W(exp(2)) = 2-x
x = 2-W(exp(2))
def f(x):
return x + math.exp(x) - 2
def df(x):
return 1 + math.exp(x)
import math
# 初始近似值
x0 = 1.0
# 最大迭代次数
max_iter = 100
# 精度
tolerance = 1e-6
for i in range(max_iter):
fx0 = f(x0)
dfx0 = df(x0)
x1 = x0 - fx0 / dfx0
if abs(x1 - x0) < tolerance:
break
x0 = x1
print("解 x 的近似值为:", x0)
謝謝
直接定義 f(x)=x*lnx 的反函數不是更快xD
也可以
f(x)=x*lnx 本身有點問題，例如x=0沒定義，x
@@2688jojo
f(x)=x*lnx 在(1/e, ∞)有定義而且是1-1函數，ln2也在f的值域裡，所以小心定義反函數的話沒問題。
其實g(x)=x*e^x在實數上也不是1-1函數，所以影片裡的w函數的domain也有限制。
ruclips.net/video/Qb7JITsbyKs/видео.html&ab_channel=blackpenredpen
前面幹嘛打叉，不是接下去嗎
用Newton iteration method 就可以解到了
是的
有道理
Newton’s method不是求解，而是估計解的值
基本上，求分數下，馬上做另一題😅😅
謝謝
Professor, I am from Algeria and I have understood some of your mathematics concepts. Do you have an Instagram page with exercises to help us more? Thank you.
You can search blackpenredpen
用程式跑啊...
先設定x有幾位數小數
讓他跑x^x
謝謝
暴力解www
@@bdc9561 才不會更簡單精確
這樣的程式
不用一分鐘就寫完了
小數點後十位數跟一萬位數
相差不用1秒
分數能精準到幾位數
十分逼進法不香嗎？
不錯
按计算机solve😂
哈哈哈🤣
let u=e^x, x=ln(u)
ln (u) + u = 2
e^(ln (u) + u) = e^2
ue^u = e^2
u = W(e^2)
x = ln (W(e^2))
😝
thanks
why w(x)e^(w(x)) = x
兩邊同時再做一次W(W(x)e^W(x))=W(x)會成立
-因為他是-
f^-1(x)=w(x) => f(f^-1(x))=f(w(x)) => x= f(w(x))=w(x)e^(w(x))
f(X) = x e^x
Sub in x = w(x)
f(w(x)) = w(x) e^(w(x))
w(x) = f^-1(x)
Hence w(x) e^(w(x)) = f(w(x)) = f(f^-1(x)) = x
學術研究區域😂
很難
😂😂😂
@@KyyTyy 👍👍👍
外國老師感覺真的比國內老師還強，國外名校就是不一樣
曹老師好厲害
曹老師在哪裡教書
@@gregglee1243美國 但不知道是高中還大學 感覺是大學因為很多很難的微積分影片
曹老师的一只手两支笔用得好😂 不愧是黑笔红笔👍
崇洋媚外，兩個人都在教中學數學，沒什麼好不好，互相交流而已，很多沒出國念過書的數學老師，也能教出跟曹差不多的內容。
這題又不難
謝謝🙏