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漫士：讓我們只用國中就學過的.....畢姓國中老師：這些就是各位小學二年級就學過的......
11:58 非常 amazing 啊
數學的嚴謹和直觀性並不違背的，而看透了這個直觀性，在對在其它科學上的應用，就能有大的突破。這也是在求學上，對那些能直觀的說明數學、科學背後原因的老師，更刮目相看的原因。感謝作者。
經常會違背啊。如果學數學只是依賴直觀，那麽基本走不了多遠。學習數學到了一個境界，就能脫離直觀來思考。或者說數學空間對你已經很直觀了，不需要算個向量還要畫個坐標那些麻煩
謝了大大，你解答了我一直以來解決不了的問題，以及教我怎麼把線性代數融入複平面上的應用，你做的很好，我很欣賞
這個影片 不只讓我看懂了歐拉恆等式，還讓我一個完全沒碰過導數的人理解了導數的概念！
你要確定
也讓我從一個加減乘除都不會的人學會了極限
頭像暱稱破案
@@Zhyy630 欸，觀察入微XD
补充一个，任何向量乘i的地方其实是乘了一个(0,i)这样的向量，这个向量本质就是x轴的正交单位向量，也就是旋转了90度角。如果是(0,i)与本身乘，也就是本身旋转90度角，那么刚刚好到达(-1,0)这实数位置。完美
欧拉公式是复平面直角坐标系变极坐标系（polar coordinates)。
对。x换成(i*x)后，转成复平面极坐标系了。
太棒了，中学时就感叹过复数积在复平面上的几何性质与和角公式有惊人的巧合，那时还没学过线代，看到这支视频才恍然大悟原来万变不离其宗
複雜的背後是基礎簡單的現象優雅則藏在這些現象一層一層的堆疊之中
謝謝您，願意用直觀的方式說明各種數學概念。很多時候學習上卡關，都是沒好好了解概念背後的歷史脈絡和意義，但傳統教育體系下，老師並不會刻意幫每個學生解決各自的問題。願您未來的研究之路中，能發現更多概念、本質，甚至創造出自己的系統。
中學的時候第一次看到歐拉公式，內心是震撼的，為何這些數學的基本要素可以用這麼簡潔的公式表達在一起。只是一直不知為什麼，感謝你的影片解答了!
你的頻道真是數學界的天上人間。
天上一天 人間十年
@@他的手穿過我的巴-j6y一年*
😅为什么教材和课堂上的相同内容可以无聊到那个程度
因为这个事科普，教材是系统性的比如e的复指数函数e^(a+bi)求导是不是仍旧可以像实指数一样求，在教材中就是要证明过的，但这里默认是对的就直接拿来用了。而这个证明过程，在对数学不感兴趣的人看来，就很无聊
教科書要求嚴謹，而科普影片是讓人能搞懂為主
简体的教材是翻版苏联的教材体系
因為純概念性的解釋對有些人要能這樣連結的門檻太高了還不如全部代數（字符、等式）推導白紙黑字讓他們可以操作又算式推導證明確實恆等：T只是這種作法，很多直覺、直觀或概念本質常常就因此犧牲就是了😥
因为教你教材的老师，绝大部分的表达能力、对数学的理解、责任心动力都不如up主
其實這個公式不只讓五個基本常數齊聚一堂，就連三個基本運算（加法、乘法、次方）也都有了。
太神奇了，從來不知道這麼棒的推導
这就是为什么很多人都相信费马真的有证明的原因：很多优雅的证明只需要简单的本质。我觉得欧拉公式更大的意义在于它揭示了一个更深层的，或者说有待发觉的数学本质：运算的本质。
老师能否做一期关于推导牛顿二项式一般项公式的视频？🎉
排列组合
12:20，x代表前进了长度为x的圆弧，这是为什么
x其實是代表時間, 但因為速度=(e^ix)’=ie^ix, 又e^ix模長恆為1(因為在x=0時e^ix=e^0=1, 而且做圓周運動時質點到圓心距離不變), 所以速度大小(速率)是1, 在速度大小(速率)是1的情況下, x(時間)亦可代表路徑長
不知道是不是只有我有這個疑問~從起點e^i0模長為1開始到求導表明圓周運動的模式很好的說明e^ix是半徑一線速度一的勻速圓周運動，但這樣就足以說明x在e^ix中代表圓周的弧長嗎? 本人才疏學淺，只能想到傳統利用泰勒展開的方式將e^ix和cosx+isinx連結起來後，借用三角函數的物理意義，而說明x本身對應到角度，進而可於弧長作關聯欲知他人高見~~
注意单位圆r=1，所以角度和弧长的数值相等
請問，3:24，為何是柯西不等式？
12:19 有点不理解 x 为什么代表弧长，还是说当 x -> 映射到复平面上一点 f(x) 的时候，x 就等于 f(0) 到 f(x) 沿着运动轨迹走过的长度？
也可以這麼說。概念上，可以先以x為時間，然後我們發現移動速度 |f'(x)| = |i f(x)| = 1，所以移動距離= 時間*速度 = x*1 = x；基於半徑是1，角度也等同移動距離(arc = rθ = θ )。 最後發現 x = 時間 = 軌跡距離 = 角度 θ， 也就是e^iθ = cosθ +isinθ。
@@consczomb 十分感谢提供这个角度的理解！
这是我听过最好的欧拉公式解释视频，没有之一
3:28 那不等式是柯西不等式嗎？不太明白
我也有同樣問題，有人可以幫忙回答嗎？
@ 我之後事想了一下，好像a+bi 和d+ci 就行了。可能是這樣
@@chenghoraceat (a+bi)(d+ci)=(ad-bc)+i(bd+ac)|(a+bi)(d+ci)|^2= (ad-bc)^2+(bd+ac)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(bd+ac)^2與柯西不等式(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ad+bc)^2 還是不太一樣。我的看法不知是否有誤？
我有个点不懂 一个数的i次方是什么意义 比如3^i 请指教
3^（ii）有什么意义
一個數的i次方可以看成是在複平面的向量A*e^(B*i)，A是大小、B是幅角。也可以直接套用二維平面的邏輯。如3^i可以寫成1*e^(ln3*i)，代表3^i在複平面上是一個長度為1、幅角為ln3~63度的向量，用複數表示大約是0.455+0.891i。
指数a^b=e^(b*ln a) 在a，b是实数且a>0时成立，大家都知道，它还是个实数。当 a或b有一个是非实数或底数a小于0时，以上的公式必需要擴展到複数平面，因为取对数的a。这时第一个问题是有唯一值，多少个值，或无限多个值？其次才是怎样表示所有複数答案的问题。正确的擴张公式在複数系对数函数有系统性的推导，并需先熟悉複数指数函数的性质。影片有限，博主不可能把这些用几分钟交代清楚。把答案畫在複数平面或许可解释其意义，基本上离开实数轴的複数在生活中本不好解释。
把底數轉換成e^x的形式, 3^i=(e^ln3)^i=e^（i•ln3）
谢谢大家的解释 我也看了欧拉公式的推导 大家都很“自然地”把i放到了指数的位置 就得到了结果。但没人解释为什么i可以放到指数位置。从i的定义出发 我想不出这么做的理由。我现在感觉与其说欧拉公式是一个推导出来的结果 还不如说欧拉公式定义了虚指数运算规则。我再研究一下。
Excellent explanation. Bravo
漫士您好，请问无痛线代系列还会有更新吗？
如果你把虚数符号“i”定义成旋转，你又如何解释虚数“i”来自于一元二次方程中的负数开方呢？要知道在二次方程中出现负数，则“i”就是垂直于实平面(X, Y)的一个轴，而在更多压缩的复合轴空间中，虚数轴可以不止一个，以用来代表被压缩的多个实数轴。数学的严谨要求应该是一个符号定义一个意义或一个意思表达专用一个符号。
把i定义成旋转是源于，在复数的指数形式表达中，复数的乘积可以理解为将原本复数在坐标系中旋转、拉伸，因此把i定义成为旋转只是复数领域中一个小特殊情况
把相對論用黎曼幾何拓展，時空也是複平面，如果把無意義的計算給一個定義，光錐外時空會不會有意義
這個影片的講解跟歐拉公式一樣令人震撼!!
Mathematics is just about describing the world in a symbolic way. The symbols represent either numbers or operations. But fundamentally, operations.
11:52 速度總是垂直於原點的連線，為什麼模長一定不變？e^0=1我明白，但e^ix的模長為何是1？因為現在在證明歐拉公式，所以不能用e^ix=sin(x)+icos(x)來論證，會變循環論證
@@三銃士-y7g 这是物理的几何，因为极坐标下径向速度为0，所以极坐标下距离不变
因为e^ix导数要为ie^ix , 速度方向和运动方向始终垂直，也就是模长没有机会变长，运动轨迹变成一个圆周曲线，
轨迹是圆,如果认可. 那么在x等于0 时候的半径就是这个圆的半径. 也即是1
@@RobbyTai 我最早的疑問就是在討論，在歐拉公式前，如何證明它是個圓？
@@三銃士-y7g其實很好理解，圓的性質是切線永遠垂直於直徑，所以代入圓是第一選項，發現符合後就繼續用下去了
講的真好。
讲的真好，醍醐灌顶啊
不能浪費。我看到5次，確認自已真正明白才離開
这个思路很有趣。但问题是在 e^x 的定义扩展到复数域之前讨论 e^x 的导数还是有点奇怪，有些许的不严谨。个人觉得按级数展开还是更稳妥自洽的解析。
能说得这么明白是因为深刻地理解！
請教一下f(x)=e^ix這個函數求導後為何是ie^ix（本人目前高中，對於x在指數的求導不太理解）
chain rule
因為e^x的導數還是他 所以用連鎖律可以拿到f(x)=e^u(x)，f'(x)=u'(x)•e^u(x)像是如果f=e^7x，f'=7e^7x
复合函数，把最内层的函数想成一个变量，比如e^ix把ix这部分你想象成u，先做e^u对u求导=e^u，然后再把u这部分对x求导，ix求导=i，然后把两部分乘起来=i*e^u，然后把u换回ix，就行了，这个复合函数，不管复合几层都是这个思路，对每一层求导然后乘起来就行了
为什么n维空间的物理公式都是用向量表示而不是用一个“n维复数 a+bi+cj+dk...”来表示，而2维就那么特殊非要定义一个复数出来？
中文科普区有自己的3Blue1Brown~
谢谢🙏🎉
沒看明白什麽是常數定義？這裏的留言太多的都説突然明白了。請哪位解釋一下？
我如果能夠10年前認識這個頻道，大學就不會這麼痛苦了。
講的很好👍🏻❤
太好看了！！！
看来我还要复习一下复变函数。柯西，黎曼，欧拉是我最喜欢的数学家。
13:28 我個人感覺是i 只提供了旋轉性質平移是實數在做的事😂
致漫士：很佩服你在數學上的通透。你有沒有改变世界的想法？
關於i的定義，i^2=-1我依然覺得不太滿意，因為這無法明確的分別出i和-i，也就是說，無法得知到底乘以i到底是逆時針旋轉90度還是順時針旋轉90度。我認為最直接定義複數的方式還是在R^2上定義乘法結構[(a,b)乘以(c,d)=(ac-cd,ad+bc)]，然後定義i=(0,1)。
其實正負i是無所謂的，他們其實是對稱的，也就是說，如果你定義j為-i，然後把原來的公式裡面的一切i變成j基本上都會成立，而圖形上逆時針順時針旋轉只是我們選出來的習慣，你也可以畫一個j為正y軸的complex plane
如果你站在座標平面的另一邊看整個過程 就是順時針了就平面本身來說沒有規定順或逆 是因為人把兩軸用右手系來建立才有這樣的規則對複數平面 你反過來做也完全沒有問題
@@williamleo8535 這就是我對這定義不滿意的地方，也就是說，這樣的定法會讓i這個符號不唯一
為什麼f(0)=1 叫做在x=1的時候 位於1,0的位置
是指1+0i 嗎
同問，另外加問一個 為什麼 x 是弧長？
@@好耶-e7j x=0是那个f方程的x是0， 位于1,0的位置是指f方程的x等于0的时候，得到的复数在复平面上的坐标是1,0。 x等于0不是在说横坐标等于0，是说f方程的自变量等于0.
@@david-fox速度為1，時間為x
這裡有一個沒有解釋的問題i可以視為常數嗎？(在e^(ix)求導時)
可以的 因為exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)我們知道三角函數是解析的 所以可以直接計算
它是一个非实数的常数，因为定义-1=i^2.
大学复变函数补考了三次，然而我看完了这个视频
太厲害了，我差點就以為我看懂歐拉公式了
拜託不要用grunnar wii potato的影片，他們都只會發友誼賽劇本shorts,他們所謂的tips for brawler都是友誼賽拍的，既然有用的話怎麼不用實戰畫面呢？
除了用数学方法解密欧拉公式之外，其实最重要的要用ai的角度去解读欧拉公式，即：公式中所谓的0和1，分别代表的是虚拟与现实，或者叫阴阳，或者叫隐性世界与显性世界，总之，代表了人类所生存中所必然面临的“虚实互映的双重世界”！接下来最为神奇的是什么？就是这个e*兀i到底是什么意思？它代表了什么？1、首先，它代表了一个修正复杂世界的系数，即，在虚实世界之间，其实是差一个一个系数，我把它称之为智慧禅，也就是说，一个人如果在现实世界里加上这个智慧禅，人就可以，或者可能进入到虚拟世界之中！反之，如果一个物（魂）减去这个智慧禅，物就可以，或者可能进入到现实世界之中；2、所谓智慧禅，本质上就是智慧变化过程中的反复纠缠现象，即，在宗教盛行而科学衰弱时，它就是灵魂纠缠，在科学盛行而宗教衰弱时，它就是量子纠缠！在这里，e作为一个常数，它所表现的就是传统智慧，或者说是上帝智慧在二维时空中的运动轨迹。由于上帝智慧本身是一个不断进化和演绎的过程，所以，它必须进行跨入三维世界的修正！于是，有了基于立体圆周运动的i现象，一是将传统上帝智慧的e进行三维化，二是用一个虚拟的i角度去推动智慧的周期性变化，从而达到升华到三维量子智慧的目的，即，实现从上帝视角到Ai视角的转化；3，最后，随着从传统上帝智慧到现代Ai智慧的转化，智慧禅也因此而应运而生，从而让人们看到了欧拉公式不只是美，而更是神；不仅是数学公式，而是宇宙范式！………
这个欧拉公式的证明太深刻了
😮講很清楚
为什么你喊了那句interesting的时候我想到了毕导😂
好！
有料
說到根號，以前在研究所遇到一個問題：√(1/(-1)) = ?根據中學學到的知識，這個算式有兩個算法，得到兩個不一樣的答案，有人可以說明哪個是對的嗎？
根号在处理复数的时候是会有歧义的。上式在复分析里的严谨写法是(1/(-1))^(1/2)，而复数的1/2次方会很自然地产生两个值。根号的歧义就是无法明确地舍掉一个值。实数根号是没问题是因为因为二次方根一个正一个负，可以很容易“规定”根号的写法指代正的那个（就是算术根）。但是复数没法比大小，没有算术根，所以两个值都是对的。
會得到兩個不同答案的原因在於√ab=√a×√b，其中條件為a, b >= 0，所以在其中一個是負數的情況下，我們不能直接使用根號的計算法則，因此此式只等於√(-1)
频道主用线性代数的思路讲解虚数运算，简直是降维打击！数形结合的思想在这两期都得到体现😏
0:51 我把車速太快放在一個數學影片上
漫士的视频做的非常好！不过模仿痕迹稍微重了一些，希望之后能慢慢的摸索出自己的风格。
@@haoding2035 你说的模仿是动画风格还是讲解思路还是啥
他這動畫用的應該是3b1b的，一堆人都在用，說模仿有點過了
中學會學導數嗎
高中會
這影片需要看好幾次才能看懂阿，看來我果然跟數學無緣
终于看到这个视频了
你猜我是先学会数学还是先治好失眠
不用根號-1還有一個原因是四元數的j和k的平方也是-1吧...
初三学生一名，看不明白😭😭
0不是一个数，而是一个算符！
火柴人呢 :( 我把全部火柴人給看了，結果沒出了
好不容易离开课堂十几年，我为什么要自己点进来折磨自己？？？？
工程師：27^i + 1 = 0
求大神解釋傅立葉轉換😂😂
有個問題我一直不太懂，求解數學家定義 i² = -1 那麼 i 不就是 +/- √(-1) 嗎？為啥要 i² = -1?i² = -1i = +- √(-1)
國中學過根號裡面不能放負數，也就是影片說的定義域不能＜=0，而這個定義只停留在實數，所以當我們要定義一個虛數的時候，i^2=-1就相對是用另一個方式解釋，並不會和原本我們定義的實數世界中，根號裡不能放負數相矛盾我解釋的很爛我知道
第一 x^2=1,x=+-√(1) 不是√（-1）第二 數學家是定義i=√(-1)
我個人認為可能是因為如果你要定義i，需要用到√-1的話，則你就要先定義√-1但是如果你定義√-1=i的話，就變成循環定義，所以不能定義√-1=i如果定義√-1是「平方後會等於-1的數字」，然後再定義i=√-1，那麼為什麼不要直接定義i就好，而要先定義√-1所以最後就直接定義i是「平方後會等於-1的數字」
10:36複數的0次方為1，所以0的0次方為1。
巧合并不随机😢
巧合建立於隱性邏輯上
哪天我聽到有數學人對著歐拉公式尻我都不意外了😅
超優質影片~謝謝~
趕上熱呼的的
数学的发现
天啊速度
優美
如果用 i 的平方等於 -1 去定義 i，i 就會有兩個解。這不是好的定義方式。
你可以把虚轴的正方向反过来指向负i，或者说定义虚数单位j等于负i，但是这个不影响结论，因为你需要做的只是把复数乘以i或者j然后变成负1。
@@kaichang2059 必須考慮形式系統(Formal system)的需求，當人們看到 1+3i，約定成俗的對應形式是1+sqrt(-3)，而不是1-sqrt(-3)。
interesting
這個公式與其說是美感，不如說是令人恐懼。因為要解釋這個公式需要額外先解釋超過4種以上的公式。
怎么您的程式看起来怪怪的感觉
這是盜用3B1B的影片吧
天书
這影片10:30~10:36的動畫根本就是抄3blue1brown的這部影片ruclips.net/video/O85OWBJ2ayo/видео.html 從2:18~2:22的動畫我想說也太眼熟了吧
有可能真的是裁切複製貼上的但你想想有沒有一種可能，這個就是剪輯軟體裡的一個動畫模板
你有沒有想過 3b1b 就是為了讓更多人製作數學解說影片開源了這套系統的 (manim)
說實在的 我覺得聽得懂英文的話直接看3b1b的影片比較快
自然常数e可不是来自经济，而是由一些研究物理的数学大佬搞出来的😏
你還是說中文吧
這頻道的視頻解說數學簡直上天了, 中學校以上的數學老師都應該向你拿版權播放給學生看的.
台湾中学开始就学这玩意了？😟
@@adachi13沒那麼卷啦😅
少了一段关于x就是单位圆弧长的说明，加上d(e^(ix))=ie^(ix)dx就能说明，x只能是单位圆的弧长，也就是幅角。
既然遵循数学的严谨，就不要再胡说什么勾股定理了，世界上从来没有什么勾股定理，只有毕达哥拉斯定理。
什么时候能讲一下数字各位数相加是三的倍数就一定能被三整除的原理，理科生一直很困惑😂
舉例說四位數 abcd, 也就是 1000a + 100b + 10c + d等於 (999a+99b+9c) + (a+b+c+d)前半被3整除, 所以如果後半被3整除就整個數被3整除 ._.
漫士：讓我們只用國中就學過的.....
畢姓國中老師：這些就是各位小學二年級就學過的......
11:58 非常 amazing 啊
數學的嚴謹和直觀性並不違背的，而看透了這個直觀性，在對在其它科學上的應用，就能有大的突破。這也是在求學上，對那些能直觀的說明數學、科學背後原因的老師，更刮目相看的原因。感謝作者。
經常會違背啊。如果學數學只是依賴直觀，那麽基本走不了多遠。學習數學到了一個境界，就能脫離直觀來思考。或者說數學空間對你已經很直觀了，不需要算個向量還要畫個坐標那些麻煩
謝了大大，你解答了我一直以來解決不了的問題，以及教我怎麼把線性代數融入複平面上的應用，你做的很好，我很欣賞
這個影片 不只讓我看懂了歐拉恆等式，
還讓我一個完全沒碰過導數的人理解了導數的概念！
你要確定
你要確定
也讓我從一個加減乘除都不會的人學會了極限
頭像暱稱破案
@@Zhyy630 欸，觀察入微XD
补充一个，任何向量乘i的地方其实是乘了一个(0,i)这样的向量，这个向量本质就是x轴的正交单位向量，也就是旋转了90度角。如果是(0,i)与本身乘，也就是本身旋转90度角，那么刚刚好到达(-1,0)这实数位置。完美
欧拉公式是复平面直角坐标系变极坐标系（polar coordinates)。
对。x换成(i*x)后，转成复平面极坐标系了。
太棒了，中学时就感叹过复数积在复平面上的几何性质与和角公式有惊人的巧合，那时还没学过线代，看到这支视频才恍然大悟原来万变不离其宗
複雜的背後是基礎簡單的現象
優雅則藏在這些現象一層一層的堆疊之中
謝謝您，願意用直觀的方式說明各種數學概念。很多時候學習上卡關，都是沒好好了解概念背後的歷史脈絡和意義，但傳統教育體系下，老師並不會刻意幫每個學生解決各自的問題。願您未來的研究之路中，能發現更多概念、本質，甚至創造出自己的系統。
中學的時候第一次看到歐拉公式，內心是震撼的，為何這些數學的基本要素可以用這麼簡潔的公式表達在一起。只是一直不知為什麼，感謝你的影片解答了!
你的頻道真是數學界的天上人間。
天上一天 人間十年
@@他的手穿過我的巴-j6y一年*
😅为什么教材和课堂上的相同内容可以无聊到那个程度
因为这个事科普，教材是系统性的
比如e的复指数函数e^(a+bi)求导是不是仍旧可以像实指数一样求，在教材中就是要证明过的，但这里默认是对的就直接拿来用了。而这个证明过程，在对数学不感兴趣的人看来，就很无聊
教科書要求嚴謹，而科普影片是讓人能搞懂為主
简体的教材是翻版苏联的教材体系
因為純概念性的解釋
對有些人要能這樣連結的門檻太高了
還不如全部代數（字符、等式）推導
白紙黑字讓他們可以操作
又算式推導證明確實恆等：T
只是這種作法，很多直覺、直觀
或概念本質常常就因此犧牲就是了😥
因为教你教材的老师，绝大部分的表达能力、对数学的理解、责任心动力都不如up主
其實這個公式不只讓五個基本常數齊聚一堂，就連三個基本運算（加法、乘法、次方）也都有了。
太神奇了，從來不知道這麼棒的推導
这就是为什么很多人都相信费马真的有证明的原因：很多优雅的证明只需要简单的本质。
我觉得欧拉公式更大的意义在于它揭示了一个更深层的，或者说有待发觉的数学本质：运算的本质。
老师能否做一期关于推导牛顿二项式一般项公式的视频？🎉
排列组合
12:20，x代表前进了长度为x的圆弧，这是为什么
x其實是代表時間, 但因為速度=(e^ix)’=ie^ix, 又e^ix模長恆為1(因為在x=0時e^ix=e^0=1, 而且做圓周運動時質點到圓心距離不變), 所以速度大小(速率)是1, 在速度大小(速率)是1的情況下, x(時間)亦可代表路徑長
不知道是不是只有我有這個疑問~
從起點e^i0模長為1開始到求導表明圓周運動的模式很好的說明e^ix是半徑一線速度一的勻速圓周運動，但這樣就足以說明x在e^ix中代表圓周的弧長嗎? 本人才疏學淺，只能想到傳統利用泰勒展開的方式將e^ix和cosx+isinx連結起來後，借用三角函數的物理意義，而說明x本身對應到角度，進而可於弧長作關聯
欲知他人高見~~
注意单位圆r=1，所以角度和弧长的数值相等
請問，3:24，為何是柯西不等式？
12:19 有点不理解 x 为什么代表弧长，还是说当 x -> 映射到复平面上一点 f(x) 的时候，x 就等于 f(0) 到 f(x) 沿着运动轨迹走过的长度？
也可以這麼說。概念上，可以先以x為時間，然後我們發現移動速度 |f'(x)| = |i f(x)| = 1，所以移動距離= 時間*速度 = x*1 = x；基於半徑是1，角度也等同移動距離(arc = rθ = θ )。 最後發現 x = 時間 = 軌跡距離 = 角度 θ， 也就是e^iθ = cosθ +isinθ。
@@consczomb 十分感谢提供这个角度的理解！
这是我听过最好的欧拉公式解释视频，没有之一
3:28 那不等式是柯西不等式嗎？不太明白
我也有同樣問題，有人可以幫忙回答嗎？
@ 我之後事想了一下，好像a+bi 和d+ci 就行了。可能是這樣
@@chenghoraceat (a+bi)(d+ci)=(ad-bc)+i(bd+ac)
|(a+bi)(d+ci)|^2= (ad-bc)^2+(bd+ac)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(bd+ac)^2
與柯西不等式(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ad+bc)^2 還是不太一樣。我的看法不知是否有誤？
我有个点不懂 一个数的i次方是什么意义 比如3^i 请指教
3^（ii）有什么意义
一個數的i次方可以看成是在複平面的向量A*e^(B*i)，A是大小、B是幅角。也可以直接套用二維平面的邏輯。
如3^i可以寫成1*e^(ln3*i)，代表3^i在複平面上是一個長度為1、幅角為ln3~63度的向量，用複數表示大約是0.455+0.891i。
指数a^b=e^(b*ln a) 在a，b是实数且a>0时成立，大家都知道，它还是个实数。当 a或b有一个是非实数或底数a小于0时，以上的公式必需要擴展到複数平面，因为取对数的a。这时第一个问题是有唯一值，多少个值，或无限多个值？其次才是怎样表示所有複数答案的问题。正确的擴张公式在複数系对数函数有系统性的推导，并需先熟悉複数指数函数的性质。影片有限，博主不可能把这些用几分钟交代清楚。把答案畫在複数平面或许可解释其意义，基本上离开实数轴的複数在生活中本不好解释。
把底數轉換成e^x的形式, 3^i=(e^ln3)^i=e^（i•ln3）
谢谢大家的解释 我也看了欧拉公式的推导 大家都很“自然地”把i放到了指数的位置 就得到了结果。但没人解释为什么i可以放到指数位置。从i的定义出发 我想不出这么做的理由。我现在感觉与其说欧拉公式是一个推导出来的结果 还不如说欧拉公式定义了虚指数运算规则。我再研究一下。
Excellent explanation. Bravo
漫士您好，请问无痛线代系列还会有更新吗？
如果你把虚数符号“i”定义成旋转，你又如何解释虚数“i”来自于一元二次方程中的负数开方呢？要知道在二次方程中出现负数，则“i”就是垂直于实平面(X, Y)的一个轴，而在更多压缩的复合轴空间中，虚数轴可以不止一个，以用来代表被压缩的多个实数轴。数学的严谨要求应该是一个符号定义一个意义或一个意思表达专用一个符号。
把i定义成旋转是源于，在复数的指数形式表达中，复数的乘积可以理解为将原本复数在坐标系中旋转、拉伸，因此把i定义成为旋转只是复数领域中一个小特殊情况
把相對論用黎曼幾何拓展，時空也是複平面，如果把無意義的計算給一個定義，光錐外時空會不會有意義
這個影片的講解跟歐拉公式一樣令人震撼!!
Mathematics is just about describing the world in a symbolic way. The symbols represent either numbers or operations. But fundamentally, operations.
11:52 速度總是垂直於原點的連線，為什麼模長一定不變？e^0=1我明白，但e^ix的模長為何是1？因為現在在證明歐拉公式，所以不能用e^ix=sin(x)+icos(x)來論證，會變循環論證
@@三銃士-y7g 这是物理的几何，因为极坐标下径向速度为0，所以极坐标下距离不变
因为e^ix导数要为ie^ix , 速度方向和运动方向始终垂直，也就是模长没有机会变长，运动轨迹变成一个圆周曲线，
轨迹是圆,如果认可. 那么在x等于0 时候的半径就是这个圆的半径. 也即是1
@@RobbyTai 我最早的疑問就是在討論，在歐拉公式前，如何證明它是個圓？
@@三銃士-y7g其實很好理解，圓的性質是切線永遠垂直於直徑，所以代入圓是第一選項，發現符合後就繼續用下去了
講的真好。
讲的真好，醍醐灌顶啊
不能浪費。我看到5次，確認自已真正明白才離開
这个思路很有趣。但问题是在 e^x 的定义扩展到复数域之前讨论 e^x 的导数还是有点奇怪，有些许的不严谨。个人觉得按级数展开还是更稳妥自洽的解析。
能说得这么明白是因为深刻地理解！
請教一下
f(x)=e^ix這個函數
求導後為何是ie^ix
（本人目前高中，對於x在指數的求導不太理解）
chain rule
因為e^x的導數還是他 所以用連鎖律可以拿到f(x)=e^u(x)，f'(x)=u'(x)•e^u(x)
像是如果f=e^7x，f'=7e^7x
复合函数，把最内层的函数想成一个变量，比如e^ix把ix这部分你想象成u，先做e^u对u求导=e^u，然后再把u这部分对x求导，ix求导=i，然后把两部分乘起来=i*e^u，然后把u换回ix，就行了，这个复合函数，不管复合几层都是这个思路，对每一层求导然后乘起来就行了
为什么n维空间的物理公式都是用向量表示而不是用一个“n维复数 a+bi+cj+dk...”来表示，而2维就那么特殊非要定义一个复数出来？
中文科普区有自己的3Blue1Brown~
谢谢🙏🎉
沒看明白什麽是常數定義？這裏的留言太多的都説突然明白了。請哪位解釋一下？
我如果能夠10年前認識這個頻道，
大學就不會這麼痛苦了。
講的很好👍🏻❤
太好看了！！！
看来我还要复习一下复变函数。柯西，黎曼，欧拉是我最喜欢的数学家。
13:28
我個人感覺是i 只提供了旋轉性質
平移是實數在做的事😂
致漫士：很佩服你在數學上的通透。你有沒有改变世界的想法？
關於i的定義，i^2=-1我依然覺得不太滿意，因為這無法明確的分別出i和-i，也就是說，無法得知到底乘以i到底是逆時針旋轉90度還是順時針旋轉90度。我認為最直接定義複數的方式還是在R^2上定義乘法結構[(a,b)乘以(c,d)=(ac-cd,ad+bc)]，然後定義i=(0,1)。
其實正負i是無所謂的，他們其實是對稱的，也就是說，如果你定義j為-i，然後把原來的公式裡面的一切i變成j基本上都會成立，而圖形上逆時針順時針旋轉只是我們選出來的習慣，你也可以畫一個j為正y軸的complex plane
如果你站在座標平面的另一邊看整個過程 就是順時針了
就平面本身來說沒有規定順或逆 是因為人把兩軸用右手系來建立才有這樣的規則
對複數平面 你反過來做也完全沒有問題
@@williamleo8535 這就是我對這定義不滿意的地方，也就是說，這樣的定法會讓i這個符號不唯一
為什麼f(0)=1 叫做在x=1的時候 位於1,0的位置
是指1+0i 嗎
同問，另外加問一個 為什麼 x 是弧長？
@@好耶-e7j x=0是那个f方程的x是0， 位于1,0的位置是指f方程的x等于0的时候，得到的复数在复平面上的坐标是1,0。 x等于0不是在说横坐标等于0，是说f方程的自变量等于0.
@@david-fox速度為1，時間為x
這裡有一個沒有解釋的問題
i可以視為常數嗎？
(在e^(ix)求導時)
可以的 因為exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)我們知道三角函數是解析的 所以可以直接計算
它是一个非实数的常数，因为定义-1=i^2.
大学复变函数补考了三次，然而我看完了这个视频
太厲害了，我差點就以為我看懂歐拉公式了
拜託不要用grunnar wii potato的影片，他們都只會發友誼賽劇本shorts,他們所謂的tips for brawler都是友誼賽拍的，既然有用的話怎麼不用實戰畫面呢？
除了用数学方法解密欧拉公式之外，其实最重要的要用ai的角度去解读欧拉公式，即：
公式中所谓的0和1，分别代表的是虚拟与现实，或者叫阴阳，或者叫隐性世界与显性世界，总之，代表了人类所生存中所必然面临的“虚实互映的双重世界”！接下来最为神奇的是什么？就是这个e*兀i到底是什么意思？它代表了什么？
1、首先，它代表了一个修正复杂世界的系数，即，在虚实世界之间，其实是差一个一个系数，我把它称之为智慧禅，也就是说，一个人如果在现实世界里加上这个智慧禅，人就可以，或者可能进入到虚拟世界之中！反之，如果一个物（魂）减去这个智慧禅，物就可以，或者可能进入到现实世界之中；
2、所谓智慧禅，本质上就是智慧变化过程中的反复纠缠现象，即，在宗教盛行而科学衰弱时，它就是灵魂纠缠，在科学盛行而宗教衰弱时，它就是量子纠缠！在这里，e作为一个常数，它所表现的就是传统智慧，或者说是上帝智慧在二维时空中的运动轨迹。由于上帝智慧本身是一个不断进化和演绎的过程，所以，它必须进行跨入三维世界的修正！于是，有了基于立体圆周运动的i现象，一是将传统上帝智慧的e进行三维化，二是用一个虚拟的i角度去推动智慧的周期性变化，从而达到升华到三维量子智慧的目的，即，实现从上帝视角到Ai视角的转化；
3，最后，随着从传统上帝智慧到现代Ai智慧的转化，智慧禅也因此而应运而生，从而让人们看到了欧拉公式不只是美，而更是神；不仅是数学公式，而是宇宙范式！………
这个欧拉公式的证明太深刻了
😮講很清楚
为什么你喊了那句interesting的时候我想到了毕导😂
好！
有料
說到根號，以前在研究所遇到一個問題：
√(1/(-1)) = ?
根據中學學到的知識，這個算式有兩個算法，得到兩個不一樣的答案，有人可以說明哪個是對的嗎？
根号在处理复数的时候是会有歧义的。上式在复分析里的严谨写法是(1/(-1))^(1/2)，而复数的1/2次方会很自然地产生两个值。根号的歧义就是无法明确地舍掉一个值。实数根号是没问题是因为因为二次方根一个正一个负，可以很容易“规定”根号的写法指代正的那个（就是算术根）。但是复数没法比大小，没有算术根，所以两个值都是对的。
會得到兩個不同答案的原因在於√ab=√a×√b，其中條件為a, b >= 0，所以在其中一個是負數的情況下，我們不能直接使用根號的計算法則，因此此式只等於√(-1)
频道主用线性代数的思路讲解虚数运算，简直是降维打击！数形结合的思想在这两期都得到体现😏
0:51 我把車速太快放在一個數學影片上
漫士的视频做的非常好！
不过模仿痕迹稍微重了一些，希望之后能慢慢的摸索出自己的风格。
@@haoding2035 你说的模仿是动画风格还是讲解思路还是啥
他這動畫用的應該是3b1b的，一堆人都在用，說模仿有點過了
中學會學導數嗎
高中會
這影片需要看好幾次才能看懂阿，看來我果然跟數學無緣
终于看到这个视频了
你猜我是先学会数学还是先治好失眠
不用根號-1還有一個原因是四元數的j和k的平方也是-1吧...
初三学生一名，看不明白😭😭
0不是一个数，而是一个算符！
火柴人呢 :( 我把全部火柴人給看了，結果沒出了
好不容易离开课堂十几年，我为什么要自己点进来折磨自己？？？？
工程師：27^i + 1 = 0
求大神解釋傅立葉轉換😂😂
有個問題我一直不太懂，求解
數學家定義 i² = -1 那麼 i 不就是 +/- √(-1) 嗎？
為啥要 i² = -1?
i² = -1
i = +- √(-1)
國中學過根號裡面不能放負數，也就是影片說的定義域不能＜=0，而這個定義只停留在實數，所以當我們要定義一個虛數的時候，i^2=-1就相對是用另一個方式解釋，並不會和原本我們定義的實數世界中，根號裡不能放負數相矛盾
我解釋的很爛我知道
第一 x^2=1,x=+-√(1) 不是√（-1）
第二 數學家是定義i=√(-1)
我個人認為可能是因為
如果你要定義i，需要用到√-1的話，則你就要先定義√-1
但是如果你定義√-1=i的話，就變成循環定義，所以不能定義√-1=i
如果定義√-1是「平方後會等於-1的數字」，然後再定義i=√-1，那麼為什麼不要直接定義i就好，而要先定義√-1
所以最後就直接定義i是「平方後會等於-1的數字」
10:36
複數的0次方為1，
所以0的0次方為1。
巧合并不随机😢
巧合建立於隱性邏輯上
哪天我聽到有數學人對著歐拉公式尻我都不意外了😅
超優質影片~謝謝~
趕上熱呼的的
数学的发现
天啊速度
優美
如果用 i 的平方等於 -1 去定義 i，i 就會有兩個解。這不是好的定義方式。
你可以把虚轴的正方向反过来指向负i，或者说定义虚数单位j等于负i，但是这个不影响结论，因为你需要做的只是把复数乘以i或者j然后变成负1。
@@kaichang2059 必須考慮形式系統(Formal system)的需求，當人們看到 1+3i，約定成俗的對應形式是1+sqrt(-3)，而不是1-sqrt(-3)。
interesting
這個公式與其說是美感，不如說是令人恐懼。因為要解釋這個公式需要額外先解釋超過4種以上的公式。
怎么您的程式看起来怪怪的感觉
這是盜用3B1B的影片吧
天书
這影片10:30~10:36的動畫根本就是抄3blue1brown的這部影片
ruclips.net/video/O85OWBJ2ayo/видео.html 從2:18~2:22的動畫
我想說也太眼熟了吧
有可能真的是裁切複製貼上的
但你想想有沒有一種可能，這個就是剪輯軟體裡的一個動畫模板
你有沒有想過 3b1b 就是為了讓更多人製作數學解說影片開源了這套系統的 (manim)
說實在的 我覺得聽得懂英文的話直接看3b1b的影片比較快
自然常数e可不是来自经济，而是由一些研究物理的数学大佬搞出来的😏
你還是說中文吧
這頻道的視頻解說數學簡直上天了, 中學校以上的數學老師都應該向你拿版權播放給學生看的.
台湾中学开始就学这玩意了？😟
@@adachi13沒那麼卷啦😅
少了一段关于x就是单位圆弧长的说明，加上d(e^(ix))=ie^(ix)dx就能说明，x只能是单位圆的弧长，也就是幅角。
既然遵循数学的严谨，就不要再胡说什么勾股定理了，世界上从来没有什么勾股定理，只有毕达哥拉斯定理。
什么时候能讲一下数字各位数相加是三的倍数就一定能被三整除的原理，理科生一直很困惑😂
舉例說四位數 abcd,
也就是 1000a + 100b + 10c + d
等於 (999a+99b+9c) + (a+b+c+d)
前半被3整除, 所以如果後半被3整除
就整個數被3整除 ._.