說錯了，比值(ratio)單字的詞源是來自理性(rational)。Although nowadays rational numbers are defined in terms of ratios, the term rational is not a derivation of ratio. On the contrary, it is ratio that is derived from rational: the first use of ratio with its modern meaning was attested in English about 1660,[8] while the use of rational for qualifying numbers appeared almost a century earlier, in 1570.[9] - en.wikipedia.org/wiki/Rational_number
這影片讓我有更進一步的反思，開根號比起一個數字，他更像是一個等比例組合的概念，跟我讀書的時候的想法不一樣，挺有意思的，以前都把它當成一個表示法，沒太去思考他的由來。
8:37 这个和弦和旁白的配合好评
宝藏频道啊！最近入睡难终于有救了
說錯了，比值(ratio)單字的詞源是來自理性(rational)。Although nowadays rational numbers are defined in terms of ratios, the term rational is not a derivation of ratio. On the contrary, it is ratio that is derived from rational: the first use of ratio with its modern meaning was attested in English about 1660,[8] while the use of rational for qualifying numbers appeared almost a century earlier, in 1570.[9] - en.wikipedia.org/wiki/Rational_number
笑死 維基百科😂
「品味」這個詞真的很讚耶，我喜歡這樣閱讀數學的方式，感謝漫士
“每一个层层嵌套不断缩小直到宽度趋于0的一系列区间套都唯一对应着一个实数” 这句话有问题。事实上是所有这样的区间套序列构成一个集合，然后要在这个集合上定义等价关系（极限相同），所有区间套序列构成的集合，mod 这个等价关系以后，才是所有实数。你的定义里少了一步。各人感觉还是用 Dedekind Cut 去定义更直观，更容易向没受过系统数学训练的人定义实数。
这个问题一直困扰我，如果0.99循环=1, 那么无穷小就等于0？ 那么微积分就有问题，极限那套理论特意规避无穷小还有啥意义？
我认为发展出极限的理论就说明无穷小不等于零，它小于任意一个正数，但就不等于零。类似的，0.99比小于1的数都大，但就不等于1。
戴的金分割逻辑上总觉得哪里不对，实数是稠密的，这两个数之间切不出别的数，那么就一定相等吗？ 也许0.99循环就这么nb，它就连续紧挨着1，你怎么也切不出它和1之间的数，这就是无限的魅力。
@@spacefreedom 定义了整数环Z后，在所有整数数对 (a,b) 的集合 Q+ 里定义等价关系: (a,b) ~ (c,d) a*d = b*c，然后Q+ 对这个等价关系的商定义为有理数集合 Q。然后在 Q 上定义加法和乘法后，Q就成为了域(这也是Z生成的最小的域）。然后定义正有理数，再然后给Q定义序 (order) >，这样就可以开始定义 Dedekind Cut。这里要注意 Dedekind Cut 是对有理数的分割，不是对实数的分割。每一个 Dedekind Cut 就是一个实数。所有的 Dedekind Cut 构成一个集合 R。 然后再把序，加法和乘法定义到 R 上，就有了有序的实数域 R。然后你可以定义单射把 Z 嵌到 Q 里，再定义一个单射把 Q 嵌到 R 里。
注意在整个过程中，根本就不存在什么循环小数这么一说。所谓循环小数是一个极限过程的不准确的普及性描述，这个极限过程可以被证明极限存在并且是个有理数。仅此而已。
为什么0.9循环和1的关系不是0-和0的关系呢
一開始人們不理解0，因為無法數也不會記。(從1開始數)
後來不理解負數，因為現實中不存在負數個東西。(於是不用基數理解，改用序數)
不理解無理數，因為認為有理數已經填滿了所有空間。(有理數的稠密性)
不理解虛數，認為虛數沒有意義。(於是歐拉給了意義：旋轉)
不理解拓廣實數，因為學校老師說除以0沒有意義(wheel theory)
不理解超限數，因為無窮數不完，學校老師也沒有教。
(康托之後公理化集合論，才有了基數aleph-0、aleph-1、aleph-2，序數ω)
不理解超實數，因為學校老師說0.9循環只能是1(魯濱遜證明了，超實數系統和實數系統是相容的)
... 人們到底什麼時候才能醒悟，認知還停留在只有複數才是一種「數」🤣
結論
0.9循环 = 1 (在標準分析，默認0.9循環是實數的元素)
0.9循环 ≠ 1 (非標準分析)
0-不是一个数字，它和0有什么关系说不清。0.9循环和1可以证明这两个数在数轴上的位置是重叠的。1，先证明实数是完备的，2，再证明实数是稠密的。这两个结论可以推导，只要两个数不相等，他们中间就一定存在无穷个实数。3，最后证明0.9循环和1之间没有任何实数。
如果是两个“相邻”的实数中间，没有任何实数也没问题？@@zyu2820 如果区间套是左闭右开，那么0.999……对应的区间套不包括1，这是两个相邻的区间套
@@柚子-i9i 恩，我印象中0.9循环 ≠ 1 的數學系統裡∞也 ≠ ∞ + 1，∞只是比所有的實數大的數，但是它還可以再更大，也可以作2*∞。
@@eprjct 你說的∞可能是 ω ≠ ω+1 但 1 + ω = ω，要注意這個「+號、=號」的概念與「1+1=2」的符號概念有些許不同，最小的超限序數稱作 ω，最小的超限基數(自然數的基數)稱作א_0(阿列夫)，Ω叫絕對無窮。
所以要看你說的∞是指哪種無窮...
沒講清楚就會發生1+2+3+... = -1/12
哥，你是eric xing吗？还是他的学生啊
这里面的问题是，对于实数的定义，就是可以无限细分的。那数就是可以有无限的小数点，有规律的循环就是有理数，无规律的就是无理数。我说的这个只是比拟。
有時候很多人栽在數學上面, 是因為從過往的日常體驗過渡到抽象層面
比如這議題就是一例了
作為現役數學系學生，我表示聽的很舒服
我认为0.9循环=1是人类记数法的局限，人的大脑天生更偏好离散的整数，在这个基础上建立起来的表达数字的方法对于描述稠密的、连续的数字会很吃力，所以才会出现0.9循环这个冗余的表达方式。
哥们 您的区间套写的是 [A,B), 那么0.9的区间套是[0.9,1). 这中间不包含1. 我这个问题想了很久. 所有的证明0.9的循环 = 1的方法都有瑕疵, 因为0.9的循环是一个没有被定义的数字. 数字我们只定义了 可以被整数相除的数字, 可以用被开N次方的数字, 可以被i 表达的数字, 以及e和派. 这里面竟然没有包括0.9的循环.
0.9循環表現的是無限趨近的過程，剛好這個過程的終點有一個實數可以表示，你需要接受的不是0.9循環=1，而是數線上無理數和有理數的數量上的差距相當於無限和0
在数学别将道理, 就像你跟我讲象棋里为什么马走天, 象走日. 没什么为什么, 这个是规则. 数学定义是循环小数是有理数, 有理数可以写成两个整数相除. 然后0.9循环就完了.@@marquis2003
8:42 希帕索斯就因為這樣被畢達哥拉斯處死了
問題的癥結點應該是生物本能上不能理解無窮的涵義吧。
一個數居然可以定義成無窮的過程/區間，聽起來像是要求我無條件相信 0.999... 等於 1。
在有限的區間內，0.999... 不必然等於 1；
在無窮的區間內，0.999... 必然等於 1，問題又回到原點了，作為生物該怎麼理解無窮的概念呢?
針對無窮的異樣感，橫跨了好幾個概念﹔無限循環小數、圖靈機、遞迴等，即使數學家把定義納入無窮也無法消除這種怪異感。(或者說真相其實很簡單? 無窮根本不存在於人類能感知的物理世界?🤔)
坦白說我認為現在數學應該要重新檢視這個問題了，當初為了救微積分用柯西收斂準則解釋，那是因為微積分真的很好用，加上當時的科學技術沒有在這個範疇外的事情，但現在有物理學的重整化跟卡西米爾效應的＂現實＂存在，數學就應該重新修正無限的定義，因為數學的本質是用來解釋世界的現實，而不是為了邏輯合理存在的，如果沒有世界現實現象那我尊重邏輯推演結論，但現實已經出來以後就應該重新定義無限，微積分視無窮發散級數的處理違背規則，是微積分的無限概念錯了還是現實錯了，我認為是無限的定義錯了。
問一下
如果在數軸上1的位置上在畫上一條垂直線 然後取同等距離的高度1
再從0畫一條接到這個點 用圓規將這條線畫圓與原數軸交接
那畫出的這個點是否能叫根號2
可以
根號二是可尺規作圖的
但假設這個點畫的完全精準
並且忽視點的大小
他不會對在數軸上的任何一個刻度
the size of a pyramid is finite if it's base is finited.if something can said is limited, it's obviously math isn't Almighty
若0.9循環不等於1，0.9循環就只能比1大或比1小（三一律），不可能比1大，所以0.9循環比1小。
所以1-0.9循環=a>0（因為實數大減小為正數），可得a=1-0.9循環，結果對於任意給定的正數a都產生矛盾的結果，因此0.9循環必須等於1
聽說和定義域有關
在實數域，無窮小量=0
所以0.9循環=1
超實數域反之
兜了一圈没解决无穷小的问题
@@spacefreedom 你可以搜尋「第二次數學危機」
读英文时发音感觉很别扭😂
無窮遞降法還沒出啊...
還是只有B站才有
做起来头比较大，所以一直搁置了
@@manshi_math原来你也会头大😂
求背景音樂
那麼比根號2再大一點的無理數是多少呢
實數是不可數(uncountable)的, 你可以拿另一個數和根號2比大小, 而兩者之間肯定能找到中間數
高三數學、大一微積分的既視感來了
😅梦回泛函。。。
可區間的意思不就是不會碰到上線與下限嗎？也就是不＝1也不等於0.9
以邏輯算下去必定不等於1
0.1...=1×0.1...=1×1/9=1/9
0.2..=2×0.1...=2×1/9=2/9
...
0.9..=9×0.1..=9×1/9=1
1.1=11×0.1..=11×1/9
11111.1..=111111×0.1..=111111×1/9=13013
11111.1..-11112=1901
11112
😮💨
111111×1/9=12345.6循環
11111.1..-11112=-8/9
先確保自己沒算錯數再說吧
@jackksc207 這是以他們邏輯的公式
不是我的公式
他們從來就不敢簡化自己公式
因為簡化能明確的看見錯誤
就像0.9無限循環等於1
我就是看到這個錯誤才槓的好吧？
他們以1代替0的後果就是無法與0為基礎完全存在等號
@jackksc207 這就是他們的邏輯
強行把分數定義為實數
他們不用1／3表示1/3
他們用0.3無限循環表示1/3
然後減法中擁有無限循環的誤差就丟著不管
懂了嗎
你觀察每個分數邏輯就會發現
1/81與1/9循環區別
一個是10-9
一個是100-81
190-162
280-243
370-328
...
這個過程1/81依然在不斷嘗試化整
如果你理解分數中無限循環存在本質區別，自然要明白數字存在無限放大與縮小概念。
而正因為他們重新定義非0為基礎單位
他們注定認為0到一是不合理的
他們用0基礎創造1基礎公式
注定面對與自身無法與基礎數學相等難題
他們在扣除差值堅持等號絕對
與規則定義間
選擇了自己定義沒有說謊
而是基礎說了謊
當面對現實時，認為現實錯誤本身就是一種違反邏輯的事
如果你相信基礎是相通的
那到底是誰的規則說了謊
@@精槓 思而不學則殆😮💨
誰人的邏輯告訴你"111111×1/9=13013
11111.1..-11112=1901"的?
你連自己算錯都不敢認?
還是說算錯的公式都不是你的公式, 你的公式沒錯
那你的公式在哪呢?
@jackksc207 你更本就沒搞懂為何這是他們的公式，你真的有看過前因後果嗎？
這是他們邏輯
0.1循環＝1／9＝1×0.1循環
0.2循環＝(沒有分數)=2×0.1循環
0.3循環＝1/3=3x0.1循環
0.4循環＝(沒有分數)=4x0.1循環
0.9循環＝1/9=9x0.1循環
顯然就是他們不遵守等號原則寫下的公式不合理套用
然後理解是雙向的
你不理解
存在我與你錯誤的可能而不是只有別人
正因我看到錯誤才會說
溝通必然出現曲解所以我不會因為不合而停止溝通與理解
但你能表達不合理之處
我也只想看見實質性的公式
而不是只是指責
有夠讚
0.9循環不等於1
我知道你能嚴格的證明兩者相等，
但我就是不服😂😂😂
1-0.999999...=0.000000..., 结果中永远也不会出现1
很棒很牛逼
请教博主，这个问题一直困扰我，如果0.99循环=1, 那么无穷小就等于0？ 那么微积分就有问题，极限那套理论特意规避无穷小还有啥意义？
我认为发展出极限的理论就说明无穷小不等于零，它小于任意一个正数，但就不等于零。类似的，0.99比小于1的数都大，但就不等于1。
戴的金分割逻辑上总觉得哪里不对，实数是稠密的，这两个数之间切不出别的数，那么就一定相等吗？ 也许0.99循环就这么nb，它就连续紧挨着1，你怎么也切不出它和1之间的数，这就是无限的魅力。
沒錯, 實數系統中不存在無窮小, 所以無窮小就是等於0, 極限規避無窮小就是為了規避微積分出現"除零"的情況
戴德金分割邏輯上沒有不對, 實數是不可數(uncountable)的, 根本不存在連續緊挨著的實數, 兩個數之間切不出別的數就證明兩個數是相等的
在極限的嚴謹定義之下
如果一個數大於等於0
但找不到任何大於0的實數是小於這個數的
那麼這個數必然嚴格等於0
在這個概念之下就已經把無窮小量從現在的數學體系之中排除了
下面關於戴德金分割的部分
對
實數的定義就是只要兩個不同的實數
其中必然能找到無窮多個實數
不論兩個實數的差值多麼的小
这个没意思，我们想知道0.(9)8和1的大小
(9)代表无限循环
@@maplestory8875無限循環怎麼會是有限位數
9都無限循環了你還能在最後加上一個8？先想想自己在說什麼吧😂
无限循环怎么可能有最后一位？
@@maplestory8875簡單來說，你9是無窮的過程，這個8就像是你跳過過程直接寫個結果，才進行無窮的過程
偷换概念，证明的是0.99999的极限和1相等，这也是通常人们理解出偏差的地方，普通人想的是0.9999循环下去，而数学定义0.9999循环却说的是它的极限。
举个例子，某函数y，在x不等于3时，y=2x ，在x等于3时，y=1。 那么在x=3时函数y的极限是6，但函数本身却等于1。
那你要先定義一下普通人想的0.9999循環下去是什麼, 再說明你這個定義和數學定義有何分別
至於你的例子, x=3時函數y的極限不是你以為的6, 而是1
真要說循環小數的定義本身就是一個極限
你把這個數字用任何想得到精確的方式表示都是一個極限
太墨迹了，两倍速都不觉得快
謝々
麻煩一下拿出古希臘存在逆天科技的文獻,否則古希臘只是近代兩個不知什麼人,嘴砲創出的不存在的逆天文明!!
如果古希臘不存在, 那西方文明就更逆天了
為什麼閣下要如此吹噓西方?
你是在质疑几何原本不存在还是什么？ 现存最古老的几何原本存于牛津 大约是公元888年左右的。你说的近代两个人嘴炮指代的是什么？