大大講解得非常好，看完挺有共鳴感的。小時候寫數學有時會發生我寫得出來答案，朋友寫不出來的狀況，大家都是很認真學習的，題目頻率有沒有對到真的是很大的問題。長大以後題目開始變難了，身邊的同學也都越變越強，開始換成我是那個寫不出來的人，才開始體會到頻率對於數學來說有多麼重要，一直能夠寫出答案，寫的越好的人，不會是教得最好的人，因為他不懂為甚麼其他人會在這邊卡住，對他來說這就是直覺反應就能解出來的狀況，所以最適合教學的人，反而會是最快遇到數學問題，覺得數學最難，但一個一個用思考去，但我必敘說，頭腦與智商是數學學的好與不好的最大關鍵，沒有之一，但大家也不用氣餒，這種東西就跟骰骰子一樣，長得好不好看、家境好不好、頭腦聰不聰明，你今天也不會因為骰到六就很開心吧?持續找出自己的優勢，找出自己的興趣，但必須確定那樣興趣是真的你喜歡的，喜歡到每天工作都會感到開心，那時候數學學得不好，沒能當工程師賺大錢，你也一樣能活得很開心，活得很快樂。 BY 熱愛行銷、還沒有賺大錢但希望會也覺得自己有機會、喜歡世界的平凡人
我以前教微分喜歡用四個方面解說：
（1)分析上的意義：微小x變量的y變量的極限（配合數式）
(2)幾何上的意義：從割線斜率到切線斜率的逼近（配合繪圖）
（3)物理的意義：位移，瞬時速度與加速度的關係。（配合繪圖）
（4)生活中的案例：氣溫物價的變化（時間變化），山勢或道路的變化（空間變化）。（配合繪圖）
積分也從四種方向來解釋。
＊以上案例說明中，可以只用一個簡單案例，不同角度解釋微分與積分
＊我更舉一例：（吃飯過程）就是微積分，一口一口微分吃（吃有快慢），又累積到肚子去（量有多寡）。然後我鼓勵學生：【你會吃飯就學得會微積分】。
＊林院士整合了只用一個高鐵時速（瞬時速度）的生活案例闡示微積分精神。
好厉害👍
簡而精
@@薩婆 想法很好。但無法確定時間總長（壽命）人人不同，也不會每餐完全同一定量，這種計算頂多是一種估計，而會與事實差距甚大，而終究不具有参考價值。
微積分當然不是萬能哦。建議吃飯時就專心吃，別思考微積分。
＊如果信息是確定的，那就可以明確計量。例如：假設你每天抓10隻螞蟻，十天共抓幾隻？你用乘法很快得到100隻。用積分：
Int_0^10[10] dt
=[10t]_0^10
=10x10-10x0
=100
結果是一樣的。積分有總成（summation)的意涵。
吃饭这个例子不是特别好
如果是指狭义的 饭 那么按粒算也是离散的
即使是菜，也有可能用片 块 颗 只等来离散地数
您自己能理解但想不通的学生可能用这个例子反而更理解不了连续函数做加法的意义，只能更强化离散阶段的累加的理解
@@pangeladelia7725 您的見解非常精密正確，我完全虛心同意。
舉吃飯只是一個模糊的概念的類比（Conceptual Analogy), 而非解析的闡示（Analytical Explanation), 當然無法準確表達真正意涵。但以近似積分來說，每個片段其實也可以不等間距（雖然一般如Simpson's rule 會選等距）。。。您提到還有菜（甚至湯），那問題又涉及不同材質，已超過微積分應用範疇。這也是實例要進行數學分析，常需加許多假設。
*附帶聯想到土壤力學中，古典力學學者有將土壤以連續體彈性力學或塑性力學去分析，而大地工程師常argue 土壤明顯是顆粒狀材料。但真要拿顆粒力學去描述，又面臨顆粒尺度太小且不均勻等問題，最後某些理論仍認同連續體分析得到的（其實是近似）結果。
教授都是把复杂的问题简单化，而很多不学无术的，往往是把简单的复杂化。祝，林老，身体健康，万事如意。
我高中的时候也觉得数学越来越复杂，幸好高三时候遇到一个非常好的数学老师，年纪跟这位前辈差不多，非常有耐心，经常用半个小时一个小时去慢慢讲解一道道经典数学题，里面涉及到的每个知识点都重新不耐其烦的重温给我们，以至于每一道题都穩打稳扎的吃透它!
👍
我上数学课的时候很不喜欢老师不断的重复经常在写自己的作业，偶尔被老师提问也总是老师嫌弃我的思维太快如果我和你一起上数学课那我不是跳起来了吗？
真的是遇到了一個很好的老師,大部分學生只能硬去記得,難以理解數學就很難一直往下學習..
每个人都有自己不同的聪明才智又为什么都要那么多的数学呐？如果喜欢尽可乐在其中大可不必忘我奋斗终身。
我高中的时候遇到一位数学老师，把我的数学教毁了，我喜欢自学，因为听不懂那老师教的方法，就用自己的方法解题，然而那个老师只让我们跟着他的方法去做，只需要背他给的公式，不需要理解，因为我不跟他的公式去运算，会让阿他改题很辛苦，就强迫我跟他的方法，结果就是我本来会做的题，被他那么一教都不懂了，本来喜欢数学的我开始不喜欢了，每教我一次我就不懂更多，后来文凭考试要我补课，我都躲起来再也不想见到他，不然连及格的机会都没有😢
林院士說的道理實在受用無窮，只要將一個例子學得通透，精髓了解了，就能理解其他問題，不只微積分，在其他科目也是一樣。感謝林院士的分享，終生為教育付出，給予眾多學子學習的捷徑，仁義的精神值得我們學習效仿。
所謂 ： 「 一理通 ，百理明 」，就是這個道理 ⋯
不過 ，這樣的了通法師 ，可遇不可求 ；就要靠你哋的緣份啦
大道至簡、老先生講的非常好，很多留言也說不知道學微積分做什麼，這就是重點，教育不能只是考試，他舉的例子非常有代表性，是叫學生思考，為什麼要微積分，如果沒有微積分就無法解決像瞬間速度的問題，因為在瞬間理論上是沒有時間與距離，那速度不是就變成0/0，零除以零了嗎？從這個案子讓學生了解微積分的意義，也讓學生去思考這個問題，有了思考與認識才會感興趣，學習才有意義，否則都只是在混學分，我相信絕大多數人混完學分，連微積分做什麼都不知道，就算你考了100分，對人生也沒有幫助！這就是他要說的重點！
👍
生活在大陸，我對您的話有很強的認同。考試的占比很大，而且有的省份人少教育很發達但是他們的高等學府當然優先照顧當地的學生，有的省份人很多教育很落後為了良好的教育只能做無意義的競爭。不少人讀大學只是為了再這個社會階層固化，學歷貶值的時代混一口飯吃。
很棒的觀念，就是在闡明「一通百通」的道理；
讀萬卷數不如行萬里路，而這萬里路指的是走出現有的框架和環境，到其它較無干擾的地方去思考，去創造；
有時不一定會有效果，但至少能靜心沈澱。
我曾過看一個短片；裡面的老師說到：世界有很多面，所謂的世面也只不過是大家看到的那一面，每一面都有自己的角度和見解；
不需要只看了幾面就自己認為很有世面，而是多去廣角思考和接納每一個人所遇到的每一面。
老师的意思是万里路都不需要走😂
我覺得林院士講得很好，現在的學生都被訓練成考試機器。可是，考試也同時訓練學生解決固定問題的能力，社會需要兩種人才，第一種是像員工一樣可以擅長解決固定的問題。第二種是像老闆或者是發明家，他們需要有創意、擅長思考，而不只是解決制式化的問題。然而社會肯定需要員工的數量遠大於老闆或發明家，再者選擇當老闆創業或者是發明家，都有一定的風險，可能要失敗很多次。相對的當一個員工，生活比較有保障，但也不易突破。所以林院士並沒有否定”學習解決問題的基本功”。學生還是要懂得讀書考試，但是不能不思考。
2x=2^x是不能常规方法解的，也无法用一般的函数来表达。据说当年的于敏先生以此绝活成功的。@Yanlong Hao 先生真是高人啊，网络藏龙卧虎，今日遇见是缘分。本人确实曾多次拿此题与教授开过玩笑，当有人拿起笔解题又很快卡住时马上说明化解尴尬。此题用低级计算器也能出答案，不知用的是什么算法。满上电子E酒，干杯!
把员工看成机器人，那样就会陷入对社会教育的道德困境，学校把孩子变成机器，还不如让他在乡野中做个快乐无拘束的野人
林院士是大智慧！学习的本质就是为了解决问题和在解决问题中学习。贪多则不精。精专更能满足社会需要和获得社会的回报。
数学，物理，化学，电子，通讯，计算机等理工科，哪科不是知识浩繁，哪个都需要大量的学习，阅读。
理工科不是手艺技工，不是管工，电工，木工，几本书就行的，🤔🤐
林院士從火車在每一個時間點的速度 為例子， 解釋牛頓當年發明微積分的過程，又從學校教學典型狀況中，指出“假傳萬卷書，真傳一案例”這個思路， 非常贊同！ ！
其實的確有無數的寫書老師 學者，自己可能一知半解，但是喜歡出書，可是每每寫東西， 沒有從問題的根本道理出發， 只講推理、只講條條框框，故弄玄虛，故作高深莫測，洋灑灑地將讀者弄得昏頭轉向為目的 。 。
今天林院士能夠直言寫書作者 普遍存在的弊端，應該是對學術界人士的一個警鐘，不要再寫東西時 搞得故弄玄虛，故作高深莫測 而讓讀者、辛辛學子受罪 。 。 。
辛辛學子 😂
可惜牛頓那時還沒有火車，否則會有更驚人的發現
因為字多，稿費就跟著多啊，瞧，多麼實際的『社會化』案例。
@@alanwu1924 马车一样有瞬时速度的
他講的只是冰山一角 卻最能讓你們理解 微積分其實更深奧!
我唯一一次，聽完有關學術的影片，會感動到流淚，多謝林院士教我怎樣做人，怎樣教育下一代。
偶尔见到林先生这个视频，就被迷住了。记得40年前在厦大见到年青的他和陈景润，有幸听了林先生的讲座，他观点鲜明，言语幽默，个性独特，很受大学生欢迎。他鼓励教授多做科普，为下一代做贡献，我记忆犹新。他的教学风格一点没变，真是个中国难得的开明科学家和老师！
你好，有兴趣玩一道貌似简单的题吗？2x=2^x，求x。谁立即动笔就算是入天坑了，可以让专家教授上当难堪的。楼上有人用Ig对数法闹笑话了。谢谢。
@@zhishuihu6650 1
@小 眼睛 是的，还有解吗？用啥的方法？谢
@@zhishuihu6650 直觉试出来就1和2，脑海里想象下这两个函数图像最多就两个交点
@@pczhou5331 谢谢回复，看来你对数字较敏锐，也想到了图解法。但是若特设的常数由2改为任意数答案又会分布在什么值域区间呢？这题还需解方程式。所以说，中学生能猜到却能难倒教授。
我就喜欢这样的老师、这样的讲课方式。听了，而且听懂了，而且记牢了。真希望今后碰到的老师都能采用这个方法
我上班20多年了，深感最有用的两门学科是哲学和数学，是思维的基础，其他学科都是工具。如果你没有哲学和数学的基础，用不好那些工具。但偏偏这两门课都是很抽象的，很多人都觉得哲学晦涩难懂，数学又费脑，实际上这两门课都是很讲方法的，方法对了就能在学习的不同阶段逐步开悟，一旦开悟了你瞬时就会解决一个平台上的很多问题，就会不断踏上更高的平台。
对啊
就好比约炮，
一旦会脱裤子，解内衣结，连对方的心结都解了！ 后续就有发展了！❤🎉🎉
@@mktam3355incel哈哈哈哈哈哈
大师用一个最简单生活中的例子为出发，解释了我们为什么需要微积分，包括推倒的思路，而且还鼓励别人，还谦虚。比假传万卷书自己都搞不明白，或者自认为明白的人高出不知道多少倍。这才是真正的数学思维，学校要有这样的老师，我们数学都不会差。
人家不過是說讓學生不要迷失於數學的繁文縟節，要有清晰的主線，要在學習中要善於發現問題，而不是被動的去解題。別人讓你做什麼你就做出什麼，那你衹是個“匠人”；而你自己經常萌生創意並且做出它，那你就是個“藝術家”。科學家既要有匠人的嚴謹，更要有藝術家的創意與巧思，而不是像頭驢子似的一生被困在學科的磨盤之上原地踏步。
😂
但是大部分的人連匠人都做不好。對一般人也就是追隨者來說，先到這一步就行了。而藝術家佔人類的比例是小的。
说得太好了！一针见血，现在虽然网络上有很多信息，但是有用的太少了，我们每个人的时间都有限，一不小心就浪费掉大部份的生命。
如果每個老師都能夠像他一樣慢慢解釋多講幾次原理與符號的關係我相信很多人不會討厭數學了，只會如他所說對數學感到害怕的敬畏之心!
无论大学，中学，还是小学，都有教学进度要求，按教学大纲进度，适合多数人的学习，如果跟不上进度，那学生就是 出局，(淘汰)，教师不可能为一个学生反复讲一两个概念，而且，快速学习，也是学习能力的一部分，数学本来就难学，难以讲的趣味性，
到了高中，大学，数学除了传授知识，技能外，还有选拔人才的作用，学不会的学生，就改行做 其他需要数学不多的行业，如 管工，木工，司机，电工等等
@@tkrdg7885 讲不出来趣味性的，都是二流老师。很不幸，好的数学老师太少太少了。芬兰教数学法，就是很慢。彻底理解。非常重要。慢就是快。少即是多。
@@tkrdg7885 誰說不可能為了一個學生，現在的網路上的教學可以讓學生重覆看不懂的地方。而且學習要分級，至少分成5級，讓每個人都根據他的智力可以吸收的進度去學習，也就是替個人量身訂做的意。
@@himalayazhengyi6276 但時間不等人,隨著科學進步,要學的知識越來越濟,唯1方法就是加長學習時間,取消暑寒假,每周多上課,每天至少上1堂數學課
那是 私人授课，而多数公立学校，都是大班/群体教学，跟不上进度， 留级，分流去学习学术性低的技工学校，水管，电工，汽车修理，木工，
@@小綠的朋友
林院士的这些讲话其中一个最重要也是他最想告诉别人的是 要专攻一个领域，少而精，不要为了考试而考试，要去创新与专注。
数学，物理，化学，电子，通讯，计算机等理工科，哪科不是知识浩繁，哪个都需要大量的学习，阅读。
理工科不是手艺技工，不是管工，电工，木工，几本书就行的，
不要每个人都去谈创新！
要学会思考，能提出问题。
我认为你的想法没有错。但是我觉得，林院士说的“少”与我们说的“少”不一定是一个意思。我的理解是：课本上的文字几十行，弯弯绕绕地要用很久才能看懂。而如果有更合适的资料或教导，可能只需要五行就能看懂。假设一个人想要达到某门学科的一个门槛，至少需要几千本书×200页，可能那些书本还有重复的内容；而如果他看的书本，每一本都很全面，并且覆盖大量内容，也有更简洁的文字，内容总是一针见血地揭露本质，说不准只需要500×100页甚至更少。很明显，后者的效率会更高。只是我觉得，一般人不会很容易地通过低代价找到这样的一些资源。也不可能所有这样的书本都会被找到并翻译。这些是我对林院士后面那些话的理解。
我非常同意林院士之看法，填鴨式的教育祇培養出一羣考試機器，祇有如何思考才能培養出牛頓、愛因斯坦，這類大科學家！
林群院士是真正的大師, 看透數學的本質及如何學習, 聽了他的一席話比看200, 300頁的教科書更為受益。
我读大学的时候一直学不懂微积分，直到出来工作以后，用到PID控制电机速度，看了代码才理解了什么是微分，积分，就跟林院士所说的原理一样。
30年修的微積分，也教過同事小孩微積分。但林群院士把微積分基本概念解釋太好了。
借光，首先向84岁智睿院士致敬。从回复的前几十条中看出，许多人没有听出的他的话外音，被他的带偏了。其实他的要求是比做题更高一维的创造性能力，起码达到发明人的水平，通过演讲来发现将来能解决一个难题的数学新星。对一般学生来说还是要读万卷书做万道题的，高考是优选的最佳途径。我不太粉丘成桐。放上我的一道简单题挖个坑。2x=2^x求x。谢谢。
@@zhishuihu6650 取 以2为底的 对数lg2, 使 x 落地.........
@@tkrdg7885 谢谢你回复，此题是个大坑，看似简单却能难倒专家教授。如你在高数以上，请再试一下。当然中学生可以猜到答案，重点是看出超幂函数的特性。
@@zhishuihu6650 -2 -1 0 1 2猜一下，發現1跟2可以，再稍微用直角座標想像一下當驗證，然後開始做下一題，時間夠再回來慢慢想XD
@@markhuang1993 马克先生，大家新年好，此题用图解法并不难，你己找到了这二个根，还反向验证很仔细。但是坑在用解函数上，还没人有任何思路，逼近法不算，如常数是任意值又会怎样？长假能抽时间想一下吗？谢谢。
其实林院士的意思就是要培养有爱好有理想的思维清晰的人才， 摒弃题海战术。
作为过来人，我觉得相当有道理。我的微积分在大学数学课上学得懵懵懂懂，但上了大学物理就通了，因为物理老师讲的是实际应用
我只上了数学没学物理，所以考完试就全还给老师了。
說出真話的真科學者！感謝院士！^^
感謝 林群院士的指導！感謝！感謝！再感謝！！！
本文的重點是，假傳萬卷書，真傳一案例！可是沒有萬卷書的磨練與浪費生命，就不會得到，最後一案例真傳的通悟。
荀子曰：明於天人之分者，則可謂至人矣！,用矩形粘合，去估算曲線圍成的 面積，當矩形越切越細，則，二者的面積，會越來越接近，這種特性，就是天。然後能夠安排矩形累積代數式的
summation，這就是人，天人合一，就能夠得到數學積分的代數式與算法！
乗著這條小船，靠了岸，就能發現，數學的新大陸！！！
我們中國有一句俗話，徒求師十年，師求徒二十年。師徒相得，文化乃得真傳！
啊！這一次，我真的高通微積了！其他部分，當然還是要再讀，也會忘記，但已經都不是問題了！
😂
大約半年前，看到大陸林群數學院士，對微積分，所謂 “ 假傳萬卷書，真傳一案例 ”的解說，想信，有志於追求微積分，在生命運作真情的同學們，都會感到，非常的驚訝、好奇與深刻的興趣。本人也不例外，但基本上，相反地，我認為，沒有假傳萬卷書的虛擲與磨練，是不可能有一案例的通悟。
有努力就會有回報，只是速有時，而已，切勿灰心!😅
这个老师说的是要开创新世界的人的思路，而这样的人都是天才，根本不需要指导，他们就会活成那样的，问题是最后能开创新世界的幸运人很少，大概率一世一事无成，这个老师一辈子都在别人的世界里兜转，所以认为自己无用，这是忠于自己人的宿命，不遗憾的。这样的讲座，来听的都是希望将来能找到好工作活的滋润的父母和孩子，所以说的这些没有用，他们不懂的。
😂
确实，听的懂的，自己其实已经懂了。听不懂的，他们也不会想到去懂。
学了几年没学进去的东西，林院士一个案例就讲明白了，科学家就是科学家。瞬时速度0除以0就是对的，在数学上除数不能为0，是因为当今数学还没解决无中生有的问题。
學習過程中的：鬆與緊
鬆而不散漫，緊而不亢奮
能持穩適當之身心狀態
是學習的長逺之道
隨時維適，是每個學習者的衡利之處
我覺得還是緊一點比較好......... 哪個學霸不是如此咧... 嘻嘻嘻
當然，當然
一般來説，沒緊過頭者，不知：何謂（緊
曾經緊過頭的人，
才真知：鬆與鬆的須要
不過：已經過緊者，
不適用
真學霸，只須：鬆
这种思维能力不是上学能学来的，也不是思考来的，所谓不可思议。这是静而定，定而慧，悟出来的智慧。父母迫切地去“培养”，孩子很慌，很迷茫，也压力很大。
对啊！ 就好比去嫖妓。。
上课是教了，哲学也背了，
就是不会破处，等于不会开悟开智慧更不会开腿🎉🎉
也不是那么玄，其实就像老师这样提出当时发明微积分的背景就可以了，讲出当时要解决的问题，calculus在拉丁语中的意思是pebble（小石子），是当时教授加法的教具，甚至到现在，calculus在医学中还是肾结石的意思。有时候我们从词源，甚至都能理解一个概念的核心意义，就是很多小石头加起来，但要把小石头想象得特别小😂
看这些大家的演讲，真是醍醐灌顶，举重若轻。听君一席话，胜读十年书。
‘’總時間是固定‘’並非是 × 小變化後也是小變化的原因，而是“總時間”是有限長（不是無限大）。
也不需要舉例說總時間是一小時，因為一小時是長是短，沒法衡量。
我的线代教授也说过类似的话. 抽象代数再怎么高深, 离开了人类的理解, 都只是一坨符号而已. 唯有理解了知识才是最有意义的. 大家学习不要急功近利, 只需要脚踏实地地学, 等能力到了那个阶段自然就可以做事了.
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非常认同
数学本身是用来解决生活或者说物理的问题而总结出来的规则，以方便表达，进而引进符号。数学本身离开了生活不能解决任何问题。
@@worldvistor 並不是，很多研究當初都只是研究者有興趣，過了很久才有奇人找到應用方式
當然一般人只要享受成果即可，不強迫投入研究
@@worldvistor 你把数学看得太简单了，你说的是叫 应用数学的学科， 还有纯粹的理论数学，理论物理，以抽象的理论研究为主，
从生到死有多远？呼吸之间；从迷到悟有多远，一念之间；从爱到恨有多远，无常之间；从古到今有多远，笑谈之间；从你到我有多远，善解之间；从你的心到别人的心有多远，天地之间；从佛到我有多远，觉醒之间。
*不针对任何人和事 ，仅分享善言，感恩宽容！
说的很好！感谢！
林先生的演讲总结一下就是凡事要有自己的想法，要知道自己真正想要干什么，不要在社会的大潮中被动的随波逐流，不要贪多，要精准。
小学的算数是离散量的加法，大学的积分是连续量的加法。
最后这句话精辟，高手啊
@@hotphoenix20121 时有风吹幡动。一僧曰风动，一僧曰幡动。议论不已。惠能进曰：非风动，非幡动，仁者心动。
“精辟”是您所感悟的自身到达的境界。
称赞别人，本质上是在称赞自己。
多个案例才合理， 这也是行万里路的收获， 在不同的场景中体会真理。
绝大部分教科书都需要到过来看， 从最后一页开始一页跳一页地往前看。
先从最后一页找到这本书要告诉你的结论，然后思考如果是你，你怎样可以得到这个结论。思考完了再去对照书本看看自己的思路是不是对。不停地重复这一过程就可以把这门科充分掌握的同时，学会如何独立思考。
你绝对是学习高手！
真理是就是这样，当一个人成功的掌握了一个专业，已经够一个人生活必须的条件了，何必去追求那么多，人的时间精力都是有限的，应该做一个专业的专家，而不是懂很多却什么都不精的一无是处
林院士讲的其实就是追求第一性原则，深度研究本质，研究透了后面研习就会容易多了。
非常認同，當初大二學傅里葉轉換，教授上來就是一個公式要你背下來，接著就一堆計算解題，我完全不理解爲何如此積分就能代表頻域。知道後來有位老師用向量最基本的内積代表相關性（a向量對b向量内積相當於a在b的投影）才完全解釋明白
林院士：
太棒了👏👏
太棒了👏👏
中國是真需要如此想
影片提的這些也僅止於微積分的第一步
微積分難的並非本身
而是它與代數、幾何的進階結合應用
比方，三角函數的微積分、自然對數的微積分、雙曲函數的微積分......等
每一個主題背後都是一位偉大數學家數年的研究成果
搬到數學系也是3學分的其中一半
😂
學會的一生中幾乎用不到,沒學會的剛好容易用到.那..不如碰到再學吧!
真的 微積分就微積分
結果還把微積分在去處理 對數 三角函數 一些奇奇怪怪的
自然難爆
看完之後我才知道微積分到底是什麼，還虧我在大一的時候曾經得過微積分會考第一名。感謝林群院士，這麼精彩講說，只要一個真實的案例勝過萬卷書。
教科书是历代教育家，累积出来的最佳的教学材料，编成教材,是最佳教材，
对于多数教材,每个概念的阐述，都是充分必要的，如果每个概念，知识点，都举例子，教材会像吹气球🎈一样，膨胀起来😂🤣😅
賣菜不要找錯錢就可以了，非科研需要日常用不到微積分，學生也就拿來應付考試，大部份的人也學不來。
@siu-hung Hung 你只是被自己視野侷限住，你的工作或許用不到，但是很多工作都會用到，只是你不知道而已...
@siu-hung Hung 都出社會工作都忙不完了，誰還願意浪費時間給妳炫列出微積分方程式? 😳😳😳
@siu-hung Hung 买菜用不到微积分，但微积分决定你在哪里买菜，是高档超市还路边摊😶🙄🙃
记得在杭州参加中国教育数学会与林群院士交谈时，我把自己多年前由导数概念推导出微积分基本定理用推导过程用思维流程图边说边写在一张空白纸上交与林院士，他旋即直接走到正在作报告的张景中院士大会讲座边耳语几句后，张院士很快将林院士递上的这张纸四折后放入衬衫胸前的包内。其基本原理就是一个定义在闭区间【a,b]上的函数F在该区间任意点x处的瞬间改变量dF(x)的总和（就是函数F的导数的在闭区间【a,b]定积分）就是F在该区间的改变量F(b)-F(a).其实微积分可以简单化：特别对非数学专业的教材而言……
😂
我坚定地相信，我早已在《大学数学》雜誌发表的《微積分基本定理的一个证明和理解》论文中悄悄地塞入了（从导数概念岀发，再发现微积分基本定理）的核心思想。這个內容2005年以來，陸續在西南科技大学的公开讲座上作过報告，在大学数学论坛四川论坛（2010年4月）上作过报告(論壇会务组当即要求我在10月间在福州大学召開的全國大学数学论坛会议上作这个报告，后因退休後到夏威夷度假错过了机会），这个報告还受邀在四川理工学院、绵阳师范学院、电子科大中山学院等作过報告… 這個報告中再發現微積分基本定理的数学思维路徑是非巴罗Barrow,非牛頓、非萊布尼兹和非柯西的。這些石破天惊的话，就是暫時说到這里吧。我是杨汉生（杨翰深）。
難能可貴的是，林院士在這個年紀，仍保有赤誠之心，而且孜孜不倦地在轉變社會上對於文憑主義的成見，實屬難得！不過，應該有很多的父母，對於小孩的期望，不外乎能夠自動自發的自主學習，培養獨立思考、處理事物能力。
至於在學校教育，相信很多老師在課程講授的觀念及做法上，原則上也是契合林院士所言。只是，在學校中，從教育原裡來看，考試只是一項工具。然而，多數人將考試當作是一種判斷學識能力的唯一做法。所以，當我們聽到某些奇人異士非經所謂正常考試程序而在一些場域時，又覺得這些人是經由特權取得，而懷疑具有獨立思考，又能自主學習這件事。
最後，數學上，limit (x2-x1)->0,並不是代表x2=x1.如果真是這樣，將近300年的微積分就沒有甚麼價值了。
😂
这是掌握真理、传播真理的好老师！
主持人水平有限，最后那个家长很厉害，把握住老爷子讲话的精髓，提了很实用的问题。老爷子您强调思考的重要性，但是在选拔考试的背景下，怎样培养思考能力。她根本就没想问完善制度，主持人都没听懂，她是寻求适用于个人的方法或者行为习惯。不过老爷子还真很聪明，听了明白，也很诚恳说自己没有办法很难。但是，作为院士这个身份，起码质疑并给大家指了正确的方向，那么怎么实现，可能需要这方面专业的教育学，心理学，社会学乃至人类学专家共同努力。感恩，还有这么有责任心的院士，希望能传承。
林教授讲得好. 的确是这样. 少则精, 则透, 则深, 则达. 通过一个案列认识得精深, 通透是最重要的
這位院士先生講得很有道理。台灣有一位學者曾經研究ㄧ個專題：為何德國拿到全世界ㄧ半的諾貝爾獎？
他到德國去研究，他發現了一個現象：德國的憲法規定：每一個年齡的教學絕對不准教超過他的年齡的東西。
所以，德國的小孩很輕鬆，每天都在玩。「玩」就是德國對小孩的教育方法，小孩對有興趣的東西會想去瞭
解，要瞭解就得研究，研究沒有思考不行。德國人就是在這種教育環境下，在自己喜歡的課題，不斷地思考
。所以，德國人是全世界拿到最多諾貝爾獎的民族。讓小孩從小就養成對事理的思考習慣，也會對社會帶來
良性的發展。德國的教育方法值得國人做參考。
教材的问题在于对知识的严谨性存在洁癖。这种洁癖甚至达到病态的程度，以至于它完全不适合人类大脑正常的学习曲线。
这样的教材要能起到它应有的作用，必须依赖高水平的师资力量，尽早培养学生理解数学话语体系的能力。很遗憾，数学的话语体系极度依赖抽象思维，这方面很多老师自己都未必擅长。
好的教材应当为了简化而牺牲严谨性。至少在每一章节之初允许不精确甚至不正确的描述。随着理解的不断深入，采用修补的方式逐步逼近最终的目标。这不仅是适合人类个体学习的过程，也是数学史上很多知识本身演进的过程。会教的人除了能把数学教好，还能捎带手培养出学生对历史的兴趣。
教材必须要严谨，无论 数学，物理，化学，电子科学，来不得半点马虎，没毛病🤔🤐
中国的教育走的是苏联那种路线，不依赖教材，而依赖好老师。
美国的教育方式走的路线完全不一样，非常依赖教材，反而老师可有可无，非常适合自学+思考
你买一本美国数学教科书和国内的对比一下就明白了，但有个问题，就是美国的教科书非常的贵，随便一本都是上百美金。
两边都有筛选的作用，中国是依据学生的智商来筛选，美国是依据学生的钱包来筛选，没钱的根本就上不了大学。
有過工程實務經驗的人 若再回去學校念書 基本上都會很用功上進 因為知道當初所學的不足與專精的重要
有些人甚至會從實務路線轉為學術路線 有些甚至成了教授 因為智慧大開 知其所為而為 那是不可同日而語的
大學學習到的知識不是沒用 只是還沒用到 等用到了 發現不夠 那就糗了!!
非常認同！也非常感觸！香港的教育局和學校也好好反思一下，他們的考試制度，教育態度，害死了多少人！
超級好文 大學教育家必考題庫 一個案例研究透徹了解 頂過萬篇史 譬如歷史課都說甲午戰敗 歸因慈禧太后挪用海軍經費 但主因是大清無人懂得海軍的經營,戰略與戰術
😂
林院士大部份講得頗有道理，只是以愛因斯坦為例恐引喻失當，能16歲自學微積分的人，我想愛氏天資非同凡俗，再者他第一次沒考到大學是因為跳級，並不是學習成效不佳。大學成績沒有很突出是因為他偏科嚴重，系上教授韋伯對他說：「愛因斯坦你是個聰明的孩子，非常聰明的孩子，但是你犯了一個大錯，你聽不進任何話」，也就是他固執得很，固執到只想學自己要學的，不想學的就放水流或靠好朋友的筆記應付，因此物理教宗的學習歷程並不宜作為出學得不好的人將來仍可以有所成就的例子。
但从另一个角度也是因为爱因斯坦偏执于某一方向，才能做出成绩。
@ctyffff 不聰明並非做三級科員的充要條件，主要原因為愛因斯坦當時求職不順（一部份也是個性使然），加上當還是女友的第一任妻子懷孕，使得他不得不快點找到工作以便有收入，適好朋友介紹他「三級科員」的工作，也就有此經歷。而且「三級科員」只是愛氏人生的一段，僅以小職員看待未免失之公允，何不看他後來拿到諾貝爾獎、成為世界知名的物理學家這一段？
@ctyffff 我同意「“聪明并非名利的充要条件」，所以您想表示「那么聪明为什么只做到三级科员？」是指愛因斯坦不追求名利？
@ctyffff 我所知關於「聰明」的定義有兩種：智商和作品。愛氏沒測過智商，智商也非聰明的充份條件──例如費曼的智商不算突出（一說125，一說128），故以作品來論，愛氏提出了不起的物理論文，若依前述定義，稱得上聰明。
@ctyffff 我同意林院士提的普通人也可以學好數學科學，但愛因斯坦不適合作為普通人學好科學的例子，您如果否認作品可以顯示出一個人聰明與否，請提出「聰明」的定義為何。
老院士也把事情看簡單了，用瞬時位移除瞬時時間差得到速度，可能有人還是聽不懂。如把切西瓜來算面積可能會好理解。切六等份圓弧看得出，切12等份呢，圓弧就更平了，再切下去就跟微分極限近似。那一半的三角形對接成矩形周長一半X半徑面積就得出來了。
這個教授是很典型的科研者
肚子裡很有貨，十分有實力
只是表達能力不是很好
😂
你是真理部？专业下结论？
老師講得道理根本人生大哲學 能適用於我在學習的任何事
感谢院士讲解基础问题，大道至简，大德至明！
假传万卷书，真传一案例。
林院士讲的正是文化大革命的实质内容。
可惜，文革真实的内容被标签黑化歪曲了。
微积分類似愛因斯坦相對論 ，以及現在股市、流行的虛擬貨幣 ，譬如比特幣。
相對論基本公式 E = mc2 E =能量 m=挖礦車 c=人的平方 (純屬參考)
😂
哈哈哈
人生回顧自己最大成就是想通了經濟學的基本原理.卻從未讀過一本經濟學的教科書，完全由思考...驗證.思考.驗證而來。物理學本科卻曾辯倒多位經濟學教授.並予博士班講學，至今仍不斷驗證無誤。簡言經濟學的基本原理是讓市場自由正常運作即可，外加輕税興邦和私有民營。與大師同。
借光，放一道坑人的题，2x=2^x，求x。很有趣的，如谁在大数以上却在下笔后30秒就卡住，请往下传，能知道为什么难解也行。谢谢。
@@zhishuihu6650 1
@@Doubleone_design 你没下笔吧，是凑的吗？楼上有猜2的。请传给高人试一试。谢谢。
你這只是自由放任的態度而已。但人的能力有高低，弱者在這種市場競爭下只會淘汰而得不到保障。
@@小綠的朋友 有競争才有進步,弱勢者可由社會福利補助。共產制度已證明不可行，毛時代的貧窮落後不說，餓死和被鬥死的幾千萬人何其可憐。改革開放則是猛暴型的資本主義路線，經濟大發展又是衝擊了全世界的生態，這又是另一個話題了。
微積分原理，用在醫學斷層掃描，還有應用在五軸cnc蝕刻機台，飛彈彈道的計算與落點，一首古典樂有上千上萬音符組合而成，微積分原理就是細部剖析每個時間點有那些音頻，然後建構出推算值，這些值，成為數據，而這個數據，就可以模擬，可以用另一種方式重組。用微積分可不可製造出一顆與天然蘋果a一模一樣的蘋果a，完全複製，人造食用肉已經可以很相似，但水果還不行
不讲道理而去讲定理、讲证明，这都是假话。太精辟了！
學習都是為了自己，但是學習後的成果能造福他人，這是菩薩，這是佛。我也很認同林院士所說，化繁為簡，慢慢學，慢慢消化，與其學得多，不如學得精。念書念得好，跑去當和尚，也是不鼓勵；不是說當和尚不好，而是生活即道場，跑到寺廟那種清靜的地方是要修個甚麼？佛說世間娑婆，能入世修行而無所住，得道後助人，影響他人，那才是真本事。
这位林老先生讲的很好。我一直认为，平庸的人喜欢把简单的问题复杂化，装作高深。真正的高手会把复杂的问题简单化，用最简单的道理一步一步逼近最复杂问题的结果。
我最怕老師說考試要能學以致用所以出一堆情境簡答題，然後要開始猜老師認為的「現實」長怎樣......
因為真正的現實是身旁有筆電和網路可以查，遇到問題可以和老師/客戶來回溝通。我可以在一來一往的過程中搞清楚問題的核心並逐漸摸索出解決的辦法。而這，絕對不是三個小時斷網的考試時間內可以做完的事。
所以我是非常支持填鴨式教育的，不要搞一堆情境題玩文字遊戲，共同課程該給我的是基本的工具和觀念，之後讓我自由發揮就好。所謂的情境題，說穿了無非是在背公式外多套了一層背情境的外衣，背下積木的拼法和學會自己組積木仍舊是兩回事。
😂
講得很好 一針見血 台灣教科書真的弄簡為繁 整天考試限制學生思考空間 當然遇到好的老師也很重要
大陆一样，高校的微积分-分析学数学，其实就是拿海外的翻译下，凑凑， 话都不是正着说的，都是反着说的。
@@dangbinghoo 而且还是苏联教材，难的一逼
@@qzhou4292 当年苏联的数学非常厉害，完全是仰仗他们的老师，现在是不行了，人才流失严重，俄罗斯一蹶不振。
@@qzhou4292 以前我學微積分是算不規則拋物曲線，天文物理學，大空船在宇宙飛行軌跡
事实上全亚洲的教学好像都是一个毛病。。。
個人基因先不講(雖然佔比不少)，其實我覺得學習很大一部份的問題，跟教材編寫的方式有關。
我覺得理科是非常難理解的。但我國中時期其實是唸得起來的，也真的沒那麼難，也多少跟生活有些關聯。從高中開始，那個範圍基本就跳脫了生活(不是說生活沒用到，而是你必須要學到很深的領域，就業後才知道原來這個東西有用在這個領域)，他開始變成一種很抽象的東西。那這個時候，就有點像是在比說，誰的思考頻率跟古代的數學家、科學家比較接近。你用不到，不知道怎麼用，用在哪，對你來說就是一種無中生有的感覺，那古人也是用他們自己理解、自己習慣的方式，把理論跟公式定義下來，而我們是學習如何去接上他的頻率，學習用他驗證的方法來面對數學、科學。
我個人認為這個過程非常困難，所以我完全唸不起來，我真的抓不到那個感覺，所以基本就放棄了學習。不是我沒有努力過，而是我每每看著課本，甚至是講義的時候，我都會非常納悶他的編寫方式。
請注意，你現在開始學的是人類歷史上，多數人認為最難學、最需要深入理解的科目(我這裡就泛指數學，畢竟理科都從數學開始，也都需要用到大量數學)
課本教了一個簡單的觀念，大概懂了，基本題也寫對了，然後放一個進階題，你確定你剛剛真的有教過嗎？ 然後這個進階題常常要到下一個單元(甚至之後)才會教你他要用到的觀念跟公式，甚至是不了了之(你甚至不知道要用哪些觀念)，常常也沒有給你詳解，你根本就不知道要怎麼算，連試圖知道他要我做什麼都不知道。我很想請問一下，面對一個最難的科目，你非但沒有給學生建立起信心，然後反而像是要打擊他的信心一樣，請問是什麼居心？ 是你編寫的人太過聰明，不知道怎樣編寫才適合學生，還是你一開始就壓根打算用這種方式打擊學生，想要逼迫他們往補習班前進，去圖利特定行業/人士呢？
理科要舉一反三啊！你不會就是你沒有弄懂！ 阿請問你要變化題型，等你確實把觀念講清楚，所有章節觀念都教完之後，再放在章節末端做一個總複習，是有什麼問題嗎？ 你就一直重複著打擊學生，讓他們半知半解前進，然後又再打擊他，讓他們根本不確定自己到底有沒有理解為什麼要這樣算，為什麼公式是這樣用，就一直往前推。你確定你真的做到了由淺入深，循循善誘嗎？ 我完全感受不到，理科課本全部都這樣寫。你既然要填鴨，你要應付考試，那你即使耗費更多頁面、更多唇舌，也要講得更清楚，就算是背公式都要能讓他們會一些東西，就算只看課本都要能慢慢往前推進，不要完全脫節。然後你的教材卻遠遠不達這個水準，你是要人家怎麼唸？ 一個地方沒過去，基本上就後面全死不用玩了，你要人家不害怕數學？
家長：阿唸不起來，送補習班！ 這是計畫通嗎？
太聰明的人反而不適合當老師，因為這種人常常不懂平凡的人為什麼不懂，寫出來不適合的教材還覺得理所當然，也許我們編寫教材的是這種太過聰明的人。但我總覺得他們更傾向另一種，就是故意要讓你不夠懂，把你送去補習班，然後這個行業就蓬勃發展了，我實在難以認為這後面沒有什麼東西。
我不知道現在的教材編寫進度是什麼樣子，我覺得數學開始明顯區分適性的地方，是從代數跟三角函數開始。在我那一屆，這個是高中才開始的東西。你說再往前壓縮到國中，好像是太緊了，可是放到高中，又有點太晚了。我覺得就算要走沒用到精深學術的技職路線，至少國中還是要唸好，各種層面上都很有機會用到。
可是高中突然一個難度陡增，你國中很可能覺得你可以繼續唸，但其實你不行。華人社會一直有萬般皆下品，唯有讀書高的思維，台灣自己弄爛技職教育，又不尊重其他專業技術(工安、訓練、待遇條件都不穩定)，然後才在那邊喊缺工。從小也沒有試圖引導孩子可以往哪些興趣方向發展，需要學會什麼，或是哪些技術可以考慮試試，提早出社會。就一直念書考試唸書考試，然後突然不行了，你就直接卡在高中那邊不上不下的，但是要想做別的，你也不知道要做什麼。轉學不太對，重來高中也不太對，不混張大學文憑好像也不對，不夠專業的也只能做著跟科系無關的工作，就這樣晃蕩大半生。
你說要選拔出頂尖的人才，可以，但是我覺得中間那塊一定有更好的方法，可以早一點引流，讓多一點人提早知道自己可以往哪些方面試著發展，而不是學了自己沒興趣，學不來的科目，不知道能幹麻，很多事情不能幹什麼之外，還連學習知識的自信都沒有了，缺乏自信，就難以立足，難以成長了。
传说中的 “小作文”😂
大大講解得非常好，看完挺有共鳴感的。小時候寫數學有時會發生我寫得出來答案，朋友寫不出來的狀況，大家都是很認真學習的，題目頻率有沒有對到真的是很大的問題。長大以後題目開始變難了，身邊的同學也都越變越強，開始換成我是那個寫不出來的人，才開始體會到頻率對於數學來說有多麼重要，一直能夠寫出答案，寫的越好的人，不會是教得最好的人，因為他不懂為甚麼其他人會在這邊卡住，對他來說這就是直覺反應就能解出來的狀況，所以最適合教學的人，反而會是最快遇到數學問題，覺得數學最難，但一個一個用思考去，但我必敘說，頭腦與智商是數學學的好與不好的最大關鍵，沒有之一，但大家也不用氣餒，這種東西就跟骰骰子一樣，長得好不好看、家境好不好、頭腦聰不聰明，你今天也不會因為骰到六就很開心吧?持續找出自己的優勢，找出自己的興趣，但必須確定那樣興趣是真的你喜歡的，喜歡到每天工作都會感到開心，那時候數學學得不好，沒能當工程師賺大錢，你也一樣能活得很開心，活得很快樂。
BY 熱愛行銷、還沒有賺大錢但希望會也覺得自己有機會、喜歡世界的平凡人
以前在放牛班時 也有老師傳授了類似的道理 只花了一年就考上國立大學 至今還是受用無窮
放牛班好亲切的感觉
放牛班是啥呀？
@@xiaomuhan629 放牛吃草，不管孩子成績的班級，通常是由成績後段學習不好的學生組成的班級
林院士是计算数学和泛函方面专家，数学当然是极好的。演讲中他主张从理解物理意义出发研究微积分乃至整个高等数学内容，当然是一道法门的金钥匙。
学习研究数学有四万八千法门，一些人，一些数学领域，比如数论，群上的加密理论，一些离奇猜想，很多完全没有对应的物理场景,或当时物理意义未知，或物理场景非常深刻不直观乃至对其的理解反而需要用数学工具数学语言进行；另一些做数学的老师从逻辑严格化着手修筑数学大厦，起头就是晦涩的语言。这些都是有益的实践，极大地丰富了数学的内涵，也是另一道道的法门，我以为不必扬此抑彼。
很真誠的院士，很踏實。少則多，專心做一件事，把他做好。
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本立而道生！
这是真正的学者，值得我们尊敬！！！！！！！！！！
要培养一个会思考的孩子。学习是要将一个案例弄透彻，以达到触类旁通
「不過忙碌的生活，思考才能作出創造來」，例如牛頓在鄉下的那段日子。
总结，先培养寻找问题的能力，然后在深入解决自己寻找出来的问题。
而不是培养别人告诉你问题，你在去解决别人问题的人。
前者会不断的从自己寻找出的问题去解决，当解决后那就是一种创新。
后者当别人不在提出问题，你就认为没有问题，只会踏步不前。
但是国内的环境并不允许个人去寻找问题，也可以说很忌讳你去寻找问题。
😂
竞争太激烈了，养家糊口是第一，不过我相信，随着老百姓生活水平越来越高，慢慢会越来越好的。
院士虽然年纪大了，口才也不算好，但是确实说的很对，他说的那些会考试的没什么了不起，那些学霸永远只会解题不会出题，所以没有创造力，没有创新~
@@wangherr4090 不同意你的说法，不同意院士的说法，他入学选拔时 如果没有考好，他现在摆地摊，
说的很好，说得对，微积分没有学会，但是假传万卷书，真传一案例。我收益匪浅，谢谢楼主分享
有境界和高度的內容 對我而言您也是巨人
感謝林群院士提供您的肩膀 提升了我們的高度
其實最重要是培養孩子的興趣。讓孩子去追求真理。死讀書讀死書止要有興趣同樣有出路。一通百理明。人一能知己千知。都是興趣使然。培養興趣必需要有好的老師。能夠啟發學生興趣的老師。學問越多越好。越廣越好。這種多這種廣是興趣的多興趣的廣。才能貫通一個主軸問題、才可以有發明有創造。我從22歳教小學直到退休深深體驗這個道理。
不理解老師說的時間為0=靜止
不妨這樣去思考
動畫都是一幀一幀的
假設有一個動畫是角色從A點跑到B點動畫結束
而這個移動距離除以動畫的總時長就是平均速度
當我們想觀察角色在某一點的狀態的時
我們會按下暫停
可即使動畫暫停了
但角色當下的速度並不為0
現實生活中我們沒有暫停鍵
因此通過微積分去實現類似暫停的效果
前段冗長 撥放速度 是時候開發3倍速了 不敢想像現場觀眾聽正常語速 有多催眠 這好像是大多數老師教課的能力
後段案例精闢 弧線的和 算出直線跟曲線的微小差異 就是一個案例 一個用數學解決日常精確計算實例 化繁為簡 大道而簡 這才是最重要的
七八十岁的老人家，还是严谨的学者，这种讲课速度正常。或许现在大家都把速度慢下来讲，数学就不那么难懂了呢。
完了，我1倍速都听不懂😂
你就很标准的急功近利。
这就是学习方法，先少而精，掌握了再学就容易了，速度是比较简单日常容易的案例，把速度弄懂了微积分也理解学会了
真精彩，没有废话，全是干货！
听大师讲简单的小事，深入简出，启发最大，感受最深！
林院士讲得实在太好了，我上大学的时候，就是有这样的困惑，数学内容又宽泛，难度又非常大，想要全部都深入学习，是不现实的，如果当时遇到这样的老师点拨，就能豁然开朗了，可惜后来数学学得很糟糕，好的老师真的很重要。还有我们的数学教科书真的有问题，没有探索数学的趣味性，通篇都是概念。
还是讲得太复杂了，只学过幼儿园数学的我来一句话总结一下吧：假设这世界上没人知道如何计算圆的面积，最厉害的数学家也只知道如何计算方块的面积（长*宽），于是把一个圆分解成一个又一个小方块，再把所有小方块的面积加起来就能得到圆的面积，这个方法就叫微积分。
教科书是历代教育家，累积出来的最佳的教学材料，编成教材,
如果按你说的趣味性，再加概念多，教材会像气球🎈一样，膨胀更多
@山川異域風月同天 吉米多维奇的习题集还在用呢？我四十多年前读大学的时候就属于老书了
@@heng1938 这个解释绝了
@山川異域風月同天 数学的基本原理一样的，
事实与真相的区别。题目答对就是符合事实，譬如问太阳从那个方向升起，东方就是事实，但问为什么是从东方，那解答就是真相。所以能答东方不等于完全了解问题。能够问问题才能有更深的发现。
把复杂问题简单化，归纳总结，才是真本事
现在教书的有几个有真本事的
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那么多学富五车，真才实学的高级讲师，讲习教授，副教授被你吃掉了，🙄🤔🤐
问题1：求火车某一时刻的瞬时速度。对于一个固定的时刻来说，时间变化为0，火车行驶的路程也为0，此刻速度为应该等于路程除以时间即所谓0/0。除数为0，显然算不了。怎么办？我们可以计算这个时刻附近的某个很小的时间段内火车的平均速度，并以此来作为这个时刻的火车瞬时速度。这就是微分。
问题2：求一列速度变化的火车开行一段时间后的行驶路程。由于火车的速度无时无刻不在变化，因此无法直接使用匀速直线运动的路程公式。怎么办？我们采取与问题1类似的处理方法。在某个很小的时间段内，火车速度变化很小，因此可以看作是匀速直线运动处理。将整个行驶过程分成若干个小时段，分别计算每个小时段的路程，最后将所有小时段的路程加起来就得到了火车所行驶的路程。这就是积分。
上面两个问题就是林院士所讲的火车的例子，对于非数学专业的学生理解微积分的本质是很有好处的。但对于数学专业的学生来说，还是老老实实从实数连续统学起吧。
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最終他還是無法跳脫在現今東方教育中的框架，還是要逼念？對孩子的要求要高？考100分算什麼！前面明明說的挺不錯的，最後問答部分還是回歸原點，依舊是"你大學畢業後就輕鬆了，想幹嘛就幹嘛"的邏輯...
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林老朴实的精神作风值得学习！🎉🎉🎉
太精媲了！ 從前初等微積分的洋教授說「微積分是數學的基石！ 所有的高等科學都於焉而生！」
我是数学白痴，但是林教授说的道理我貌似听懂了... 我之前也查过屠呦呦的经历，也佩服她！ 我也一直认为数学是宇宙间最原始的语言。
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就目前来说，考试还是底层人民唯一相对公平的机会。
😂
講的很正確 其實這也是為何我覺得要讀研究所的原因 因為研究所你多少會用到你大學所學習的知識 讓它活用起來 之後進去業界你多少都能用到 線性代數的部分真的業界用到的不少 微積分是純數學他只能說是最基本的工具吧 反倒微積分延伸的科目 工程數學 數值分析 熱力 材力 動力 自控 通訊 電磁 等等那才是重點 可如果微積分都不會又怎能會這些 雖說影片裡教授說要先講道理這我也認同 但理工這東西會就是會不懂就是不懂 學不來就是學不來這是我的看法 因為從國中就開始最基本的物理化數學就開始篩選了！最基本的都不懂 到大學你怎麼玩 且只有四年的時間要學這麼多科確實也難為這些教科書但沒辦法 也許ai能幫忙吧但我認為還是有限 別以為ai就不會出錯算錯 我常常用chatgpt 解研究所試題 問題等等嘿嘿 超多計算過程錯誤但方法是對的情況 那麼好了你如果自己都不知道自己在幹嘛又如何知道ai教的是否正確又怎能活用 也就是說目前的ai面對難度很高的問題真的只能小小的輔助 要靠它進步前提是你得先會最後才是活用ai了
其實我這麼覺得吧！講定理很多人都不懂就別說講道理 這是真的 微積分 線性代數 工程數學這東西就是拼就對了 如果你覺得自己學的來就是讀 大量的運算 大量的思考 沒有捷徑這是真的 且你如果走工程 即便你只是一個初級小小coding 人士你都有可能碰到這些很關鍵的數學問題 不會就別想繞彎子過關 科技文明發展最怕的不是找不到方法解決而是連問題在哪你都不知道哈哈哈哈
所以我真的是蠻鼓勵各位有為的好大學生去讀研究所 因為大學所學的還真的只是應付考試為主要想會用這些教授們會教會你的
繁体字看的好费劲😂
看似沒什麼，卻是學習精神的總結，無價
我覺得是很核心的想法，感謝，我高中以下的部分因為是中文，在講證明的部分還能理解，但到大學講的是英文之後，形成認知壁壘後，這個教學方式的缺點就展現出來了，後來出社會後很多事是院士的說法來教的，就會很好學，現在回來看數學確實也適合這這樣的普遍教法
思考的前提是要有材料可供思想，如果其前提累積是 "愛貓、愛狗" 那就求仁得仁
可站在平地上思考、創新，也可站在巨人的肩膀上思考、創新
建議多閱讀或背誦經典之作
也建議多瞭解人世冷暖
😂
说的对，有时候真觉得数学就像政治，越搞越复杂
教科书是历代教育家，累积出来的最佳的教学材料，编成教材
你需要的是小学数学。大学，研究生的数学 必须复杂，🙄🤔🤐
老先生講的太好了，看看歐洲就知道了，生活節奏慢，但產出比我們高一大截！我們低頭耕耘，別人卻在仰望天空
😂
多则少，少则多。辩证的关系，学的种类多范围广，各类知识就比较浅。专攻一门，学的深，涉及的知识面就比较窄。这就是一个纵横的关系。
😂
感恩前辈谆谆教诲，除了数学，还有人生哲学。
人人都会思考是许多重要的人物不愿意看到的景象。
这位教授的观念，和一些学者很相似，对于考试答题、应试问题，可以借用某位科学巨匠的话“与解决一个问题相比，发现问题，更加难能可贵！”。可以肯定的一点，考试能手，未必是发明发现的能手；而后者，也未必具有前者的能力--因为前者是模仿能力，后者是开创能力。