А если Вы студент 1-го курса и боитесь не сдать сессию, то советую записаться на мой курс по анализу и построению графиков функций! profimatika.ru/graphs
Работала раньше с интегралами немного (в 11 классе, когда проходили первообразную) на самом элементарном уровне, в вузе их еще не проходили, а про переменный верхний предел вообще никогда не слышала. Задача на картинке изначально показалась страшной. Я эконом. факультет вшэ (миэф, если кто-то знает), так что нас прям сильно матаном не грузят, и вышмат я не особо люблю. Однако все, что было в видео я поняла, задача оказалась довольно простой. Объяснено всё ну очень красиво и выглядит так, будто когда-нибудь навык считать такое может пригодиться :) Спасибо, Максим! ❤️
Интересная задачка, хотя я ее решал совсем по другому. Мне почему-то сразу в голову пришла идея написать численную оценку интеграла через формулу Симпсона, но для этого нужно помнить формулы остатков в правилах многоугольников, трапеций и парабол.
Уважаемый Лидий, честно говоря, так почему-то приятно видеть Ваши комментарии под разными видео физико-математической тематики. Прям тепло на душе, сам не понимаю почему)
Было интересно. Я учусь в немецком вузе и мы проходили интегралы с параметрическими границами в первом семестре. А правило Лопиталя это база)) Так что для меня эта задача оказалась не сложной, но поучительной.
Аналогично! Подумал 5 минут, разложил arctg в ряд (с помощью взятия производной, которая хорошо раскладывается, а потом первообразной ряда), подставил t^3, взял первообразную, и получил верный ответ. Естественно, (5^4-3^4)/4 тоже не считал, и так всё ясно
Зачем такое усложнение с промежуточной константой? Вроде очевидно, что по аналогичной логике мы должны вычесть функцию от нижней границы вместо нуля. Ёж точно понял, а я вот нет )
Спасибо за чиловые представления, чел! Я реально от математики не отхожу 24/7. И твои сложные штуки, так простяцки подаваемые, сильно отвлекают и разбавляют. Реально интересно…
по хорошему нет, потому что интеграл Римана связан с первообразной через формулу Ньютона-Лейбница, для вывода которой нужно заранее знать о производной интеграла с переменным верхним пределом
@@stasessiya Правильно, по формуле Ньютона-Лейбница, а откуда эта формула берётся? Так что в принципе @imperialist81 прав. Хотя «проще сказать» это нечёткое понятие. (Не забываем про теорию нечётких множеств. 🙂)
В математике нет царской дороги, не понимаете высшую математику значит не знаете элементарную, поэтому надо в таком случае начинать с программы 5 класса. А ведущий классный мужчина❤❤❤❤.
Было немного в вузе такое. В вашем объяснении сильно заступорился на 13:50. Думал, что как это производная F(t) по x дает f(t), видимо штрих это производная по т в этом случае, а уже в примере все нормально. Так как там т и х местами поменяны
Это прям простой пример, не за рамками вузовской программы как было сказано в видео. Главное - пройти что такое интеграл (ну и предел естественно, но их раньше интегралов проходят)
а в чем прикол, когда мы выводили формулу Ньютона Лейбница мы пользовались как раз итегралом с переменным пределом, брали от него производную, да и на кр задачи, где нужно было какие то хитрые такие приемы сделать много было
Сначала нужно определить множество всех лампочек L и множество всех возможных состояний закручивания S. Затем требуется одна переменная λ, которая будет отображением λ:L→Sλ:L→S
В универе немного столкнулись с интегралом с переменным верхним пределом. Но ещё и дифференцированием его не занимались. Как-то попался такой пример на дифференцирование, просто не стал его делать. А сейчас всё понял, пригодится. спасибо.
Предел по X от предела по dt, если предел по dt расходится то вопрос вдоль какой кривой в пространстве X#dt брать придел, если предел по dt сходится то ответ предела нет
Кмк переусложнен момент с разбиением интеграла с параметром на два (до С и после С) - можно ведь было этого не делать, сразу бахнуть Ньютона-Лейбница от t=3x до t=5x и получить буквально тот же результат?
Сразу возникает вопрос: можно ли придумать пример, опровергающий это рассуждение «по идее»? Это ещё нужно доказывать, что при стремлении пределов интегрирования к нулю (или, например, к одной и той же константы) любой определённый интеграл стремится к нулю. Интуитивно это выглядит очевидным, но я пока сомневаюсь, что это можно доказать. Хотя... нет, похоже это доказывается, так и есть.
А это нормально, что я ученик 10 класса и смотрю уроки по выш мат...? Знаю уже всю программу 11-го класса, понимаю от куда что берется, это интересно. Учусь даже не в лицее, в книгах все понятно. Но это нормально, что я все это смотрю? 😅
Но ведь вы берёте производную по x, а в самом интеграле не dx, а dt. Сам x фигурирует только в границах интеграла. Можете пояснить, почему это работает?
@@Profimatika_vyshmat , так даже объяснять не надо. Просто молча выписать три формулы, следующие друг за другом. Первая - Ньютона-Лейбница, последняя - вон та, итоговая . Я слышал за интегралы с переменными пределами, но ни разу не сталкивался, но мне хватило понять, что нужно делать, и в уме "написать" этот итог. Что сложного в одной-единственной промежуточной формуле?
@ с таким же успехом можно сразу ответ на задачу выписать и закончить видос) Цель всех моих видео-не просто зазубрить формулу, не поняв их смысл, а осознать, откуда какая формула берется и как ее идейно можно получить
Специально для Вас три промежуточные формулы / f(x) \ ' / | f(x) \ ' | ∫ φ(t)dt | = | F(t) | | = ( F(f(x) - F(g(x) )' = F'(f(x)) - F'(g(x)) = φ(f(x))f'(x) - φ(g(x))g'(x) \ g(x) / \ | g(x) / P.S. "Для Вас" не в том смысле, как может показаться, сорри. В том смысле, что "как объяснить наглядно совсем уж нестудентам". Для студентов можно оставить только третью.
Но в целом задача интересна, не спорю. Посмотрел с удовольствием. К слову, я "в уме" ctg превратил в tg и подзастрял. По видосу уже понял, что стоило оставить отношение cos/sin
спасибо. очень интересный пример с весьма внезапным ответом. было здорово послушать рассуждения, как обычно. с удовольствием смотрю. жена пугается таких страшных цифр )
Точно прямо НИКТО не смог решить? Что-то не верю. Тут же элементарные преобразования. Знаем, что arctg y = y + O(y²) Тогда ∫ arctg t³ = t⁴ / 4 + O(t⁷) = (5⁴ - 3⁴)x⁴ / 4 + O(x⁷) = 136x⁴ + O(x⁷) Знаем, что sin y = y + O(y³), cos y = 1 + O(y²) Тогда ctg x⁴ = [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] Исходное выражение: lim [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] ⋅ [136x⁴ + O(x⁷)] = lim [1 + O(x⁸)] / [1 + O(x⁸)] ⋅ [136 + O(x³)] = lim 1 / 1 ⋅ 136 = 136. И вообще без разницы, какие там функции и интегралы внутри. Дело пяти минут, если аккуратно расписывать.
Вот это и называется неприятным словом «начётничество». 🙂Да, я увидел смайлик в вашем комментарии, так что и мой комментарий со смайликом не принимайте всерьёз.
А если Вы студент 1-го курса и боитесь не сдать сессию, то советую записаться на мой курс по анализу и построению графиков функций!
profimatika.ru/graphs
Работала раньше с интегралами немного (в 11 классе, когда проходили первообразную) на самом элементарном уровне, в вузе их еще не проходили, а про переменный верхний предел вообще никогда не слышала. Задача на картинке изначально показалась страшной. Я эконом. факультет вшэ (миэф, если кто-то знает), так что нас прям сильно матаном не грузят, и вышмат я не особо люблю. Однако все, что было в видео я поняла, задача оказалась довольно простой. Объяснено всё ну очень красиво и выглядит так, будто когда-нибудь навык считать такое может пригодиться :) Спасибо, Максим! ❤️
Спасибо, приятно слышать)
МИЭФ знаю, конечно, каждый год по несколько учеников индивидуальных с МИЭФа приходит заниматься матаном😅
Чистейший кайф) раз ты сегодня спрашивал в чате про семестровую работу из МФТИ, надеюсь, будет её разбор)
Интересная, хотя вроде и несложная, задача! Объяснение прямо очень подробное, после такого никаких вопросов быть не может)
Интересная задачка, хотя я ее решал совсем по другому. Мне почему-то сразу в голову пришла идея написать численную оценку интеграла через формулу Симпсона, но для этого нужно помнить формулы остатков в правилах многоугольников, трапеций и парабол.
Очень крутое объяснение. Будь у меня такой преподаватель можно было бы и в ШАД поступать. Спасибо!
Можно было ещё перед применением правила Лопиталя заменить (cos(x))^4 на эквивалентную ему в нуле единицу.
С спасибо . Но , можно чуть иначе ! Решаем задачу « в лоб». {разумеется нужен крепкий «лоб» }
Предварительно напомним несколько полезных в будущем формул ( может кто не знает ?)
(1) [tg(x)]’=1/[cos(x)]^2 ; (2) [cos(al)]^2=[cos(al)]^2/{ [cos(al)]^2+[sin(al)]^2 }=1/{ 1+[tg(al)]^2 }. Представляем в (2) al=arctg(x) - получаем : (3) cos( arctg(x) )=1/(1+x^2) .
(4) [tg( arctg(x) )]’={1/[cos(arctg(x) )]^2}*[arctg(x)]’=x’=1 . Из (4) - с учетом (3) - получаем : (5) [arctg(x)]’=1+x^2.
За неимением на клавиатуре знака интеграла , обозначим первообразную функцию от f(x) : НИ{f}(x) . Формула интегрирования « по частям» доказывается по определению взятием производной от обеих частей тождества : (6) НИ{u*v’}=u(x)*v(x)-НИ{u’*v} .
Применим (6) и (5) для вычисления «в лоб» предложенного интеграла . (7)J(t)=НИ{arctg(t^3)*t’}=t*arctg(t^3)-НИ{t*3*t^2*(1+t^6)}=J(t)=t*arctg(t^3)-(3/4)*t^4-3/10*t^10 .
По известной (надеюсь 😊) формуле Ньютона- Лейбница : Y(x)=J(5*x)-J(3*x) .
Теперь можно рассмотреть предлагаемый предел . ( везде при ‘x’ или ‘q’ - стремящемся к нулю !)
Напомним , что предел произведение равен произведению пределов , предел суммы равен сумме пределов ( разумеется , если все пределы существуют).
lim{sin(x)/x }=1 ; (8) lim{ arctg(x)/x }=!! arctg(x)=q , x=tg(q) !!=lim{ q/tg(q) }=lim{ cos(q) }/lim{ sin(q)/q }=1/1=1 ;
(9) ?=A=lim{ cos(x^4)*[x/sin(x)]^4*[Y(x)/x^4] }=lim{cos(x) }*[1/lim{ sin(x)/x }]^4*[ lim{ J(5*x)/x^4 }+lim{ J(3*x)/x^4 } .
(10) lim{ cos(x^4) }=1 ; (11) lim{ [sin(x)/x]^4 }=1^4=1 ; (12) lim{J(5*x)/x^4 }=(7)= (5^4*[ lim{ arctg(5*x)/(5*x) } ]^3-(3/4)*5^4*-(3/10)*5^10*lim{ x^6 }=5^4*(1-3/4)+0=5^4/4 ;
(13) lim{ J(3*x)/x^4 }=…….. =3^4*(1-3/4)+0=3^4/4 . ……….
Получаем Ваш ответ .
С уважением, Лидий
Здорово. Крепкий лоб прилагается.
Уважаемый Лидий, честно говоря, так почему-то приятно видеть Ваши комментарии под разными видео физико-математической тематики. Прям тепло на душе, сам не понимаю почему)
Класс! Переменные пределы интегрирования считать не доводилось ранее )
ааа, выглядит страшно, решение огонь!
Было интересно. Я учусь в немецком вузе и мы проходили интегралы с параметрическими границами в первом семестре. А правило Лопиталя это база)) Так что для меня эта задача оказалась не сложной, но поучительной.
Если не секрет, то где вы учились? А то у нас по программе максимум это пределы в 1 семе)
Я ее решил в уме! Как это не решил никто? Ну окей, мне было лень считать (5^4-3^4)/4=136 и я посчитал это в гугле
Аналогично! Подумал 5 минут, разложил arctg в ряд (с помощью взятия производной, которая хорошо раскладывается, а потом первообразной ряда), подставил t^3, взял первообразную, и получил верный ответ. Естественно, (5^4-3^4)/4 тоже не считал, и так всё ясно
Спасибо! Ждем новых роликов
Зачем такое усложнение с промежуточной константой? Вроде очевидно, что по аналогичной логике мы должны вычесть функцию от нижней границы вместо нуля. Ёж точно понял, а я вот нет )
Замечательно, отличная видеокарточка
Спасибо за чиловые представления, чел! Я реально от математики не отхожу 24/7. И твои сложные штуки, так простяцки подаваемые, сильно отвлекают и разбавляют. Реально интересно…
Рад слышать)
В объяснении производной от интеграла мне кажется проще было сказать про первообразные, и что мы берём производные от них)
по хорошему нет, потому что интеграл Римана связан с первообразной через формулу Ньютона-Лейбница, для вывода которой нужно заранее знать о производной интеграла с переменным верхним пределом
@@stasessiya Правильно, по формуле Ньютона-Лейбница, а откуда эта формула берётся? Так что в принципе @imperialist81 прав. Хотя «проще сказать» это нечёткое понятие. (Не забываем про теорию нечётких множеств. 🙂)
@@Micro-Moo текст после «Ньютона-Лейбница»: меня нет
По поводу учили или нет этому, да не помню, давно было) а так все очень доступно и понятно
В математике нет царской дороги, не понимаете высшую математику значит не знаете элементарную, поэтому надо в таком случае начинать с программы 5 класса. А ведущий классный мужчина❤❤❤❤.
Было немного в вузе такое. В вашем объяснении сильно заступорился на 13:50. Думал, что как это производная F(t) по x дает f(t), видимо штрих это производная по т в этом случае, а уже в примере все нормально. Так как там т и х местами поменяны
Вау. Я все понял. Спасибо!
12:55 производная была по х, а по сути становится по т. Объяснить бы понятнее и подписывать внизу, по какой она переменной. Спасибо.
легенда, ждём объяснения егэ правилом лапиталя
Очень интересно и новое для меня
Как раз сейчас решала отборочный, очень кстати попалось видео😅
Страшно, что почти все понял, учась в 10 классе, когда по программе еще только начали проходить тригонометрию)
О жиза
Это прям простой пример, не за рамками вузовской программы как было сказано в видео. Главное - пройти что такое интеграл (ну и предел естественно, но их раньше интегралов проходят)
а в чем прикол, когда мы выводили формулу Ньютона Лейбница мы пользовались как раз итегралом с переменным пределом, брали от него производную, да и на кр задачи, где нужно было какие то хитрые такие приемы сделать много было
Спасибо за видео. Ты очень красивый мужчина ❤❤❤.
Анекдот: сколько переменных нужно, чтобы закрутить лампочку...😂
Сначала нужно определить множество всех лампочек L и множество всех возможных состояний закручивания S. Затем требуется одна переменная λ, которая будет отображением λ:L→Sλ:L→S
Продолжение анекдота: Одной, но при условии, что она комплексная - тогда крутится и в реальной, и в мнимой части!
- Ответ: тысяча.
- Почему?
- А что, нам жалко переменных?
В универе немного столкнулись с интегралом с переменным верхним пределом. Но ещё и дифференцированием его не занимались. Как-то попался такой пример на дифференцирование, просто не стал его делать. А сейчас всё понял, пригодится. спасибо.
подскажите пожалуйста, каким планшетом вы пользуетесь для работы? очень хочу себе тоже такой купить для учебы но выбрать никак не могу
iPad Pro 12.9)
For x approaching zero, approximate ctg x^4 as 1/x^4, and the integrand as t^3. The result is (5^4-3^4)/4=136, lol.
предел при х стремящимся к 0 косинус делить на синус не существует же, функция расходится около нуля
можно сказать по модулю стремится к бесконечности
Не очень понял, почему интеграл стремится к нулю, объясни поподробнее, пожалуйста...
а не проще ктг в тг перевести и в низ дроби поставить? чтобы без произведения сверху
Согласен)
Cos то зачем дифференцировать? Его сразу можно вынести
Хорошее видео, православное 👍
Предел по X от предела по dt, если предел по dt расходится то вопрос вдоль какой кривой в пространстве X#dt брать придел, если предел по dt сходится то ответ предела нет
Круто, честно, кажется не работал с таким...
Чёрт его знает, зачем я это смотрю - но увлекает. По работе институтский матан так и не стал нужен.
Спасибо )
Кмк переусложнен момент с разбиением интеграла с параметром на два (до С и после С) - можно ведь было этого не делать, сразу бахнуть Ньютона-Лейбница от t=3x до t=5x и получить буквально тот же результат?
а не проще ли было ctg дставить как 1/tg ? чуть менее грамоздко будет
Теорема Барроу?
Да)
Это норма, что я учусь в 11-м классе и это смотрю(мне интересно)?
А что, нужно по норме, иначе никак? Вообще-то таких школьников немало. И это замечательно.
Конечно!
Знаем, учили в ВУЗе такое, как в 15:48 по матану.
Не смотрел. Но мы имеем определённый интеграл, и пределы интегрирования стремятся к нулю - и по идее должен получиться ноль 😊
Сразу возникает вопрос: можно ли придумать пример, опровергающий это рассуждение «по идее»? Это ещё нужно доказывать, что при стремлении пределов интегрирования к нулю (или, например, к одной и той же константы) любой определённый интеграл стремится к нулю. Интуитивно это выглядит очевидным, но я пока сомневаюсь, что это можно доказать. Хотя... нет, похоже это доказывается, так и есть.
Ну вообще-то по формуле Ньютона-лейбница любой определённый интеграл равен нулю.
Любой определённый интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределом, конечно.
@@alter.007 «Любой определённый интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределом...» Ну да, понятно. (А то вы меня испугали насчёт любого 🙂)
почитайте про дельта функцию)
как пример функции с стремящимися границами к нулю, интеграл от которой равен 1
А это нормально, что я ученик 10 класса и смотрю уроки по выш мат...? Знаю уже всю программу 11-го класса, понимаю от куда что берется, это интересно. Учусь даже не в лицее, в книгах все понятно. Но это нормально, что я все это смотрю? 😅
А почему нельзя котангенс заменить на 1/тангенс? Проще не выйдет?
@@maxgreenword8790 можно, не пробовал)
Предел от интеграла? Беспредел от интегральщика. 🙂
а что дает вузовская олимпиада?
возможность поступить в магистратуру без вступительных испытаний, например)
Но ведь вы берёте производную по x, а в самом интеграле не dx, а dt. Сам x фигурирует только в границах интеграла. Можете пояснить, почему это работает?
Определенный интеграл с границами, зависящими от х, также будет функцией, зависящий от х)
Что за приложение вы для "моделирования" математики используюте?
@@АлександрУшаков-к8е Desmos для визуализаций)
GoodNotes для записей
если вы про приложение для графиков - то desmos
Видос о том, как 20 секунд объяснений растянуть на 6 минут 10 секунд?
@@Qraizer будет ли объяснение за 20 секунд понятно всем и усвоится ли оно?)
@@Profimatika_vyshmat , так даже объяснять не надо. Просто молча выписать три формулы, следующие друг за другом. Первая - Ньютона-Лейбница, последняя - вон та, итоговая . Я слышал за интегралы с переменными пределами, но ни разу не сталкивался, но мне хватило понять, что нужно делать, и в уме "написать" этот итог. Что сложного в одной-единственной промежуточной формуле?
@ с таким же успехом можно сразу ответ на задачу выписать и закончить видос)
Цель всех моих видео-не просто зазубрить формулу, не поняв их смысл, а осознать, откуда какая формула берется и как ее идейно можно получить
Специально для Вас три промежуточные формулы
/ f(x) \ ' / | f(x) \ '
| ∫ φ(t)dt | = | F(t) | | = ( F(f(x) - F(g(x) )' = F'(f(x)) - F'(g(x)) = φ(f(x))f'(x) - φ(g(x))g'(x)
\ g(x) / \ | g(x) /
P.S. "Для Вас" не в том смысле, как может показаться, сорри. В том смысле, что "как объяснить наглядно совсем уж нестудентам". Для студентов можно оставить только третью.
Но в целом задача интересна, не спорю. Посмотрел с удовольствием. К слову, я "в уме" ctg превратил в tg и подзастрял. По видосу уже понял, что стоило оставить отношение cos/sin
спасибо. очень интересный пример с весьма внезапным ответом. было здорово послушать рассуждения, как обычно. с удовольствием смотрю. жена пугается таких страшных цифр )
Точно прямо НИКТО не смог решить? Что-то не верю. Тут же элементарные преобразования.
Знаем, что arctg y = y + O(y²)
Тогда ∫ arctg t³ = t⁴ / 4 + O(t⁷) = (5⁴ - 3⁴)x⁴ / 4 + O(x⁷) = 136x⁴ + O(x⁷)
Знаем, что sin y = y + O(y³), cos y = 1 + O(y²)
Тогда ctg x⁴ = [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)]
Исходное выражение:
lim [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] ⋅ [136x⁴ + O(x⁷)] = lim [1 + O(x⁸)] / [1 + O(x⁸)] ⋅ [136 + O(x³)] = lim 1 / 1 ⋅ 136 = 136.
И вообще без разницы, какие там функции и интегралы внутри. Дело пяти минут, если аккуратно расписывать.
Правильно, надо просто заменить то и другое на 1/x^4 и t^3.
я испугался
NB: Пределы не "решают", а находят))!
Вот это и называется неприятным словом «начётничество». 🙂Да, я увидел смайлик в вашем комментарии, так что и мой комментарий со смайликом не принимайте всерьёз.