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動画14分、a
Nの約数とは、1とNと因数(6だったら2と3とか)になる約数が4個とは、1とN以外の因数が2個ある合成数(≒素数以外の数)を示しているつまりNは2つの素数の積によって作られていることになる2つの素数をX、Yとした場合に約数の合計が84とはXY＋X＋Y＋1＝84ということになる因数分解して(X+1)(Y+1)＝84の形に変形することができる次に2つの(素数+1)の積であることが分かっているので、84の素材を探す素数+1の値を列挙していく素数+1リスト：３ ４ ６ ８ １２ １４ １８ ・・・次に84を素因数分解する 7 3 2 2素数+1は3以外は全て偶数となり、3の場合は他方が28となる戻した27は素数ではないため一方が3ではないことが分かるつまり84を構成する2つの積はどちらも偶数であることが分かる且つ、2を戻すと1であるためこちらも該当しないことが分かるその為、７ ３ ２ ２ の組み合わせ方について・2つの数は偶数である・どちらも2が使用されている・2単体では使われていないこの条件を満たすのは、2×7と2×3、つまり14と6の組み合わせとなる大元の数に戻すと、これは13と5の2つの素数となっていることが分かるよってN＝65となる (約数の和も1+13+5+65＝84となっている)
詳しく解説くださり、ありがとうございます。考え方の流れがよく分かり助かります。上手く絞り込める問題設定でしたね。
この方法で行く場合、動画でも最初に触れてますが約数が４つのパターンで素数^3のケースを潰しておかないと、最後で解が見つからないになりませんか。 例えば今回の動画では和が84という問題でしたが、和が40という問題だった場合 5 2 2 2 から条件を満たす組合せが 4×10 か 5×8 のどちらかですが 大本の数字に戻すと素数同士の掛け算がないため答えが無いになってしまいます。 でもN=27という解が存在します。
N=a^3の場合のS=a^3+a^2+a+1はa=7あたりから（特にa^3の）計算めんどくさくなるのでこれも素因数分解して(a^2+1)(a+1)にしたほうがよさげいっそのことa=19くらいまでは覚えておいてもいいかもｗ a=2 S=(2^2+1)(2+1)=5*3=15 a=3 S=(3^2+1)(3+1)=10*4=40 a=5 S=(5^2+1)(5+1)=26*6=156 a=7 S=(7^2+1)(7+1)=50*8=400 a=11 S=(11^2+1)(11+1)=122*12=1464 a=13 S=(13^2+1)(13+1)=170*14=2380 a=17 S=(17^2+1)(17+1)=289*18=5202 a=19 S=(19^2+1)(19+1)=361*20=7220こうしてみると意外と５の倍数がところどころに出てくるので暗算でもいけそう
(a^2+1)(a+1)とすると大変見やすくなりますね。19までご紹介くださり助かります。ありがとうございます。
ab+a+b+1=84 (a,bは素数)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)=84このうちa,bともに素数の組み合わせはa+1=14 a=13 , b+1=6 b=5なので、ab=65。
解説ありがとうございます。大変見やすくて助かります。
後半(a+1)(b+1)=84a=2の時はb=27となりbは素数ではありません。なので、a、bは3以上の奇数で、a+1、b+1は4以上の偶数です。したがってa+1=2m (m>=2)、b+1=2n (n>=2)とすると、(a+1)(b+1)=4mn=84、mn=21よりm=3、n=7となりました。(以下略)
解法のご紹介ありがとうございます。大変助かります。mnと置き換えると数字を小さくできて良いですね。
こんなゴリゴリ行うよりももっとシステマティックな方法はありませんか？
一意性の確認も込めて場合分けして行きましたが、少しゴリゴリ感があったかもしれません。
@@gakusensei-channel ありがとうございます😀
しかし、慶応女子高校の問題解いていて思うのは、この程度の問題は灘中には出題されてもおかしくないということで、その場合、小学生に対してアルファベットの文字よりも■、三角形表記にわざわざするのはどうでもよいこと。小学生にも文字を使った方がやりやすいということです。約数の和を求める表は約数の個数がなぜN=a^px b^qの場合に(p+1)(q+1)個になり、また約数の和について(1+a+a^2+・・・+a^p)(1+b+b^2+b^3+・・・+b^q)個あるというのは灘中受験生は知っておくべきことだということでしょう。（実は高校生範囲でしょうが）
アドバイスありがとうございます。そうですね。文字の方が理解しやすかったですね。仰せの通り、今回のような問題は中学入試でもよく出されます。
動画14分、a
Nの約数とは、1とNと因数(6だったら2と3とか)になる
約数が4個とは、1とN以外の因数が2個ある合成数(≒素数以外の数)を示している
つまりNは2つの素数の積によって作られていることになる
2つの素数をX、Yとした場合に約数の合計が84とは
XY＋X＋Y＋1＝84ということになる
因数分解して(X+1)(Y+1)＝84の形に変形することができる
次に2つの(素数+1)の積であることが分かっているので、84の素材を探す
素数+1の値を列挙していく
素数+1リスト：３ ４ ６ ８ １２ １４ １８ ・・・
次に84を素因数分解する 7 3 2 2
素数+1は3以外は全て偶数となり、3の場合は他方が28となる
戻した27は素数ではないため一方が3ではないことが分かる
つまり84を構成する2つの積はどちらも偶数であることが分かる
且つ、2を戻すと1であるためこちらも該当しないことが分かる
その為、７ ３ ２ ２ の組み合わせ方について
・2つの数は偶数である
・どちらも2が使用されている
・2単体では使われていない
この条件を満たすのは、2×7と2×3、つまり14と6の組み合わせとなる
大元の数に戻すと、これは13と5の2つの素数となっていることが分かる
よってN＝65となる (約数の和も1+13+5+65＝84となっている)
詳しく解説くださり、ありがとうございます。
考え方の流れがよく分かり助かります。
上手く絞り込める問題設定でしたね。
この方法で行く場合、動画でも最初に触れてますが約数が４つのパターンで素数^3のケースを潰しておかないと、最後で解が見つからないになりませんか。 例えば今回の動画では和が84という問題でしたが、和が40という問題だった場合 5 2 2 2 から条件を満たす組合せが 4×10 か 5×8 のどちらかですが 大本の数字に戻すと素数同士の掛け算がないため答えが無いになってしまいます。 でもN=27という解が存在します。
N=a^3の場合のS=a^3+a^2+a+1はa=7あたりから（特にa^3の）計算めんどくさくなるので
これも素因数分解して(a^2+1)(a+1)にしたほうがよさげ
いっそのことa=19くらいまでは覚えておいてもいいかもｗ
a=2 S=(2^2+1)(2+1)=5*3=15
a=3 S=(3^2+1)(3+1)=10*4=40
a=5 S=(5^2+1)(5+1)=26*6=156
a=7 S=(7^2+1)(7+1)=50*8=400
a=11 S=(11^2+1)(11+1)=122*12=1464
a=13 S=(13^2+1)(13+1)=170*14=2380
a=17 S=(17^2+1)(17+1)=289*18=5202
a=19 S=(19^2+1)(19+1)=361*20=7220
こうしてみると意外と５の倍数がところどころに出てくるので暗算でもいけそう
(a^2+1)(a+1)とすると大変見やすくなりますね。
19までご紹介くださり助かります。
ありがとうございます。
ab+a+b+1=84 (a,bは素数)
ab+a+b+1=(a+1)(b+1)=84
このうちa,bともに素数の組み合わせはa+1=14 a=13 , b+1=6 b=5なので、ab=65。
解説ありがとうございます。
大変見やすくて助かります。
後半
(a+1)(b+1)=84
a=2の時はb=27となりbは素数ではありません。
なので、a、bは3以上の奇数で、a+1、b+1は4以上の偶数です。
したがってa+1=2m (m>=2)、b+1=2n (n>=2)
とすると、(a+1)(b+1)=4mn=84、mn=21より
m=3、n=7となりました。(以下略)
解法のご紹介ありがとうございます。
大変助かります。
mnと置き換えると数字を小さくできて良いですね。
こんなゴリゴリ行うよりももっとシステマティックな方法はありませんか？
一意性の確認も込めて場合分けして行きましたが、少しゴリゴリ感があったかもしれません。
@@gakusensei-channel ありがとうございます😀
しかし、慶応女子高校の問題解いていて思うのは、この程度の問題は灘中には出題されてもおかしくないということで、その場合、小学生に対してアルファベットの文字よりも■、三角形表記にわざわざするのはどうでもよいこと。小学生にも文字を使った方がやりやすいということです。約数の和を求める表は約数の個数がなぜN=a^px b^qの場合に(p+1)(q+1)個になり、また約数の和について(1+a+a^2+・・・+a^p)(1+b+b^2+b^3+・・・+b^q)個あるというのは灘中受験生は知っておくべきことだということでしょう。（実は高校生範囲でしょうが）
アドバイスありがとうございます。
そうですね。文字の方が理解しやすかったですね。
仰せの通り、今回のような問題は中学入試でもよく出されます。