@@adfr1806 regarde la définition du prolongement : il est proportionnel à sin(s*π/2) qui est 1-périodique sur l'ensemble des réels. Comme ce prolongement est une définition valide de ζ sur l'ensemble des complexes de partie réelle négative, il est évident que pour tout entier négatif s ζ(s)=0 (car sin(s*π/2)=0)
Une infinité de mathématiciens rentre dans un bar ou la bière est à 3euros. Le premier en commande une, le 2eme deux, le 3eme trois etc... Le barman leur dit "Vous payez d'avance" et leur donne 25 centimes.
A 8:20 on parle de la somme infinie des entiers (celle au sens de Zeta de Riemann) qui se trouve avoir comme valeur -1/12 (toujours selon cette approche). Du coup au total les matheux commandent -1/12 bière ce qui a 3euros la bière fait -1/4 et donc ils doivent être remboursé de 25centimes pour payer leur tournée :p
C'est vraiment incroyable de se dire qu'au début de la vidéo, je pipais absolument rien à la phrase de Riemann, et qu'une fois le visionnage fini, je la comprenais enfin. J'adore vraiment tes vidéos, très bien expliquées et très intéressantes :)
+FloJess55 Oui c'est assez drôle quand il l'a ré-affiche, je me suis, mais c'est pas la même phrase dont j'ai rien enquillé tout à l'heure, car là je l'a pige bien ^^
Elles sont toutes incroyables tes vidéos, même les plus anciennes peuvent toujours aisément se regarder avec beaucoup de plaisir, aucune vidéo décevante sur cette chaîne, c'est génial
Voire cette vidéo à sa sortie. Ne rien bité revenir en terminale toujours pareil revenir, en première année de prepa comprendre un peu. Deuxième année. Je me rend compte que je comprenais que très peu mais maintenant j'ai calculé la ζ(2) petit flexe
J'ai une démonstration magnifique de l'hypothèse de Riemann, mais l'espace commentaire me laisse trop peu de caractères pour vous la faire découvrir ...
Vous savez très bien ce que vous présentez, j'ai vu des vidéos sur le même sujet et c'était des catastrophes. Je vous remercie de votre effort et votre clarté d'esprit, tout et dit et résumé en peu de mot. Respect.
Waah mais El JJ t'es juste incroyable ! Tu es de loin le meilleur vulgarisateur de mathématiques français que j'ai pu voir ! Le travail qu'il y a en amont d'une vidéo doit juste être monstrueux Continue comme ça et tu atteindras des centaines de milliers d'abonnés j'espère, et tu les mériteras !
Il y a cinq ans, lorsque j'avais 15 ans, j'ai regardé cette vidéo en me disant que c'était quand même vachement stylé. J'ai ensuite appris à l'école la base des nombres complexes et j'avais toujours au fond de ma tête cette envie de comprendre précisément ce dont tu parles dans cette vidéo. Holomorphe? Zêta? Sommes et produits infinies? 1+2+3+... = -1/12? Mais qu'est-ce que c'est que ce bordel? J'ai commencé des études de mathématiques dans ce but, et c'était le meilleur choix de ma vie. J'ai jamais été autant épanoui. Cette année je termine mon bachelier, et j'ai donc du écrire mon mémoire de bachelier. Pourquoi je viens écrire ça ici? Parce que le sujet de mon mémoire, c'est précisément comprendre zêta, son prolongement, son lien avec les nombres premiers et tout ce qui va avec (dans la mesure du possible, bien sûr). J'ai fait ma défense de mémoire il y a quelques semaines, et je me suis dit que j'allais regarder cette vidéo qui était à la source de ma curiosité. Résumé : tout ce que je fais précisément dans mon travail et qui m'a fasciné, tu en parles dans cette vidéo. Tu as réussi à encrer toutes ces informations dans ma tête pour cinq ans. Je pourrai jamais te remercier assez pour ça. D'ailleurs, un camarade à moi a également trouvé son sujet de mémoire grâce à toi (les nombres surréels, dans vidéo sur Conway). J'espère du fond du cœur que tu continueras à vendre du rêve avec tes vidéos, elles sont vraiment supers. Tu as su m'inspirer, et surement d'autres, avec ton travail. Tout a commencé avec cette vidéo. Merci beaucoup
- A quoi reconnaît-on un bon prolongement d'un mauvais prolongement ? - Bah, le bon prolongement, il prolonge la fonction et ça donne un résultat ! Et, le mauvais prolongement... il prolonge la fonction, et ça donne un résultat !
C'est tellement bien expliqué alors qu'il s'agit quand même du problème le plus irrésolue de l'histoire mathématicienne. Le plus cool c'est que ça réunis beaucoup de chose comme tu l'as dit : l'arithmétique ainsi que l'analyse. J'ai hâte de voir le problème résolu et qui sait peut être que les grandes conjecture avec des nombres premiers seront résolu à partir de ça
Allez je me mets au boulot c'est parti! La Rinmann money est déjà en route! Alors - - ça fait +, et les multiplications/divisions c'est prioritaire c'est ça?
PetitNuageML Oui bon bah (bou boh buh) je fais référence a ce qu'on apprends en 6ème^^. Mais heu, pourquoi un signe ça n'existe pas dans certains ensembles? Parce que c'est "+ un truc négatif" donc si y'a pas de truc négatif ça n'existe pas? Je trouve pas ça logique, mème dans les entiers positifs je peux faire 1 - 2 techniquement non, mème si c'est 1 + (-2) qui a une partie pas dedans?
PetitNuageML Non mais c'est de l'ironie, personne comprends ^^? Les premières maths qu'on apprends c'est faire des additions soustractions, multiplier avec les priorités ect... Je suis bien en L3 mais LEA^^ Il me reste les équations a une inconnue dans ma tète que je sais faire sans faute, après 5 ans à rabâcher ça et avoir une matière en licence par an qui l'utilise ça reste, d'autres trucs basiques reviendraient si j'en refaisais mais j'ai un niveau seconde je pense maintenant, ce qu'on a vu en 1re et TS j'ai galéré pendant 2 ans, et j'ai du beaucoup en oublier après le bac, puis mème des trucs simples comme la trigo ça me reviendrait mais j'en referais pas...^^ Sinon merci pour l'info^^
+Lydos77 P vs. NP : On appelle P la classe des problèmes résolubles par une machine de Turing (modélisation la plus puissante de la notion de calcul) déterministe (qui n'a qu'un seul état et ne fait qu'un seul calcul à la fois) en un temps polynomial (en fonction de la taille du problème). Par exemple, le problème de la recherche du plus court chemin entre deux points dans un graphe a une complexité de l'ordre de n² où _n_ est le nombre de sommets. On appelle NP la classe des problèmes résolubles par une machine de Turing non-déterministe (qui peut être dans plusieurs états et faire plusieurs calculs à la fois) en un temps polynomial. Cela correspond aussi aux problèmes dont on peut vérifier si une solution donnée est exacte en un temps polynomial, par exemple multiplier deux nombres premiers demande une complexité de l’ordre de n² (alors que décomposer un entier en un produit de facteur premiers est bien plus complexe, de l’ordre de n! il me semble). Puisque les machines de Turing non-déterministes peuvent faire tout ce que les machines déterministes peuvent faire, on a trivialement que P est inclus dans NP mais a-t-on l'inclusion inverse (ce qui entraîne que P = NP) ? Autrement dit, si une solution à un problème peut se vérifier facilement, alors peut-elle aussi être facilement trouvable ?
J'ai découvert ta chaîne par "hasard" (merci RUclips), et je suis vraiment bluffé. Félicitations pour la clarté des explications malgré la complexité du sujet.
Enfin quelqu'un qui explique bien 1+2+3+4.... = -1/12 ! Merci, ça va permettre à beaucoup d'arrêter de dire des conneries (enfin en espérant qu'ils arrivent à comprendre ce que tu as dit .....)
0:47 Pour ceux qui n’ont pas compris, je vais vous expliquer. « Les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont pour partie réelle 1/2 ». En fait il faut imaginer une entreprise qui s’appelle Zêta et donc le directeur est Mr Riemann. Dans cette entreprise, il y a des zéros, c’est à dire des grosses queues qui méritent le chômage. Et parmi ces zéros, on compte des zéros non-triviaux, autrement dit, c’est des punks anarchistes qui se distinguent de cette société désuète et conservatrice. Et donc l’hypothèse de Mr Riemann c’est que ces zéros non triviaux représentent quand même la moitié de ses employés et ÇA c’est la partie réelle que nous révèle les statistiques (alors sont elles exactes, difficile à dire puisque c’est une hypothèse) au sein de l’entreprise Zêta.
Encore merci pour ton travail, c'est toujours sympa à regarder. Vous les vulgarisateurs scientifiques, vous êtes ce qu'on peut appeler des prêcheur de bonne parole !
Excellent !!!! J'adore la manière de faire : Poser le problème auquel le spectateur moyen ne pigera rien Expliquer Reposer le problème exactement de la même manière que la première fois. On a vraiment la sensation d'avoir compris quelque chose. Et le monde des mathématiques est tellement fascinant.
"Un bon mathématicien, il voit une fonction, il la prolonge. Bon. Un mauvais mathématicien, il voit une fonction, il la prolonge, mais... mais c'est pas pareil !"
Je viens tout juste de découvrir cette chaine, waow, je suis foudroyé face à la perfection d'autant d'attention envers tout ça, je n'ai pas plus de mots, thank-ks
Je suis revenue voir cette vidéo pour une raison toute particulière. Voici la dernière question du DM de maths que j'ai à faire ce week-end : "On note : ζ : z → ∑(n=1→+∞) 1/n^z Montrez que les zéros non triviaux de ζ ont tous pour partie réelle 1/2." Sur le coup je me suis dis que j'avais déjà vu ça quelque part et c'est pour ça que je suis venue vérifier ici. (Ne vous en faites pas, le dernier exercice est facultatif, et mon prof ayant un sacré sens de l'humour, il me reste juste à cherche comment repondre avec humour à sa question)
Je ne poste pas souvent de commentaire sur RUclips mais je tiens à te dire que j'apprécie énormément tes vidéos : c'est exactement le bon dosage de maths "pures" et d'explication (en tout cas pour un élève de 1èreS comme moi), les montages sont excellents, les explications claires et détaillés, et juste un petit détail mais important : le choix de la musique de fond parfait, créant l'ambiance apaisante qui fait tout le charme de tes vidéos! En bref, on sent un réel investissement de ta part et c'est pour ça que je t'encourage très vivement à continuer! :)
Pour ma part, c'est à 7m26 que ça me gêne : une formule qui prolonge Zeta. (et celle qui fait que zeta(0) = -1/2). Est on sur que ce prolongement est valide ? Est ce que l'avenir ne nous dira pas "ah, on ne pouvait pas écrire cette fonction de prolongement ainsi car on avait une propriété qu'on a découvert que plus tard dans ce cas la, qui restreint la possibilité de prolongement", et dans ce cas, on ne tombe plus sur 1+2+3+... = -1/2. Un peu comme si on dérivait une fonction sans vérifier qu'elle est continue ou dérivable. On dérive |x| (valeur absolue de x) et à 0 on dit n'importe quoi par "prolongement ou je ne sais quoi" jusqu'à ce qu'un mathématicien dise "non, avant de dériver, il faut vérifier que c'est dérivable et continu en tout point, donc pour |x|, on NE PEUT PAS dériver en 0. A la rigueur en 0+ ou 0-, mais pas en 0, NIET". Donc un jour, peut être qu'un mathématicien dira "On ne peut pas prolonger Zeta avant 1 car on a une propriété sur cette fonction qu'on a découvert tardivement qui l'en empêche" ?
+Fred M Nope. Pour qu'une formule de prolongement soit valide, il faut tout de même qu'elle soit égale à l'expression initiale au moins sur un petit domaine où les deux sont définies à la fois. Une fois que ceci est vérifié (ce qui se fait pour les deux formules qui apparaissent dans la vidéo, et les dizaines d'autres qu'on trouve sur la page wikipédia de la fonction zeta), on applique le théorème du prolongement analytique qui assure que le prolongement est "correct".
+El Jj Et bien vivement qu'ils démontrent comment on peut en arriver à une telle somme divergente qui tendrait vers -1/2. J'ai du mal à penser qu'il n'y a pas un soucis en amont, mais bon ! Je ne prolonge que des NURBS pour ma part, de plusieurs façons différentes !
+Fred M Oui on ne peut prolonger une fonction holomorphe que d'une et une seul manière. (si l'on souhaite conserver la propriété d'holomorphie bien sur)
Bon, ça fait un an mais laissons quand même un commentaire. Les gens ont du mal à comprendre la philosophie derrière la convergence, il y a "le bon sens" qui n'a finalement que peu de réalité mathématique. Dans le cas simple, on considère qu'une suite converge vers x si la "distance" entre les termes de la suite et x finissent, à partir d'un certain rang, à devenir plus petit que tout réel. Grosso modo dans le cas habituel dans les réels, si la suite finit par rentrer et rester dans tout intervalle dont x n'est pas sur le "bord" et contenant x. C'est le sens "commun", on se dit "ça devient et reste aussi proche que l'on souhaite". C'est une définition, un choix. C'est un objet comme un autre et ses propriétés sont bonnes, les opérations usuelles se comportent bien et donc on l'étudie. Il faut remarquer qu'on peut faire des suites dés que l'on peut mesurer une "distance" (en fait on peut faire sans, mais je ne vais pas vous saouler de topologie) même si on n'a pas d'opération comme l'addition, qui vient s'ajouter "par dessus". Alors pour les séries, on s'est simplement dit qu'il suffisait de regarder les sommes limitées, et ça forme un suite. Ah mais on a une idée de ce qu'est la convergence d'une suite, donc tout va bien ... Pas si vite. Les séries sont "plus riches" que les suites, on a une opération dans les séries, c'est plus précis qu'une suite. Et les mathématiques nous disent rapidement que cette distinction a de l'importance. Il existe des séries qui convergent mais en permettant des éléments de la série, elles ne convergent plus, ou convergent mais vers un autre nombre. C'est embêtant, car la multiplication en est impactée (considérons la série des an multipliée par la série des bn, j'aimerais pouvoir la réécrire sous la forme d'une seule série, mais si l'ordre a de l'importance, comment dois-je faire ?). C'est là que le "bon sens" nous fait défaut. La notion de convergence ne colle pas avec les opérations usuelles. Alors on peut "durcir" la notion de convergence (convergence absolue) ou l'affaiblir. Dans le premier cas, on se retrouve à rejeter des séries qui ne se comportent pas trop mal et dans le second, on se retrouve avec des résultats "bizarres" comme 1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1/2. Et c'est là qu'est la philosophie derrière la convergence : ai-je une série qui n'est jamais qu'une suite, où ai-je une série dont les opérations ont de l'importance ? Pour Zeta, son existence a été prouvée. Le théorème en question a des hypothèses assez simples, il suffit que la fonction soit dérivable au sens complexe sur un disque, et Zeta l'est sur un demi-plan, donc en particulier sur le disque centre en 3 et de rayon 1. Et ce théorème nous dit qu'il existe une unique fonction, qui est le quotient de deux fonctions dérivables au sens complexe PARTOUT, égale sur ce disque. C'est ça le prolongement analytique. Et les formules ne font jamais que donner ce quotient. Un exemple typique est la série des puissance de x. 1+x+x^2+x^3+x^4+... On peut montrer que quand x est dans le disque centré en 0 et de rayon 1, cette série définie une fonction dérivable au sens complexe, on peut même calculer sa dérivée qui est 1+2x+3x^2+... et on peut même calculer la valeur de la série pour ces x, c'est 1/(1-x). Oh, c'est le quotient de deux fonctions dérivables au sens complexe partout (1 et 1-x). Et bien le théorème nous dit qu'il n'existe qu'une seule fonction définie partout sauf en x=1 et dérivable au sens complexe, qui prend les mêmes valeur que notre série sur le disque centré en 0 et de rayon 1. Et c'est forcément 1/(1-x) vu que cette fonction vérifie les conditions. C'est fou que ce soit UNIQUE, ça doit vouloir dire quelque chose que ce soit unique, non ? Et donc, pour x=2, on a 1/(1-2) = -1. Donc on aurait 1+2+4+8+16+... = -1, ce qui semble complètement débile. Mais c'est là qu'une chose étrange se passe, il existe des nombres (les nombres 2-adiques) où cette série a un sens, et si on fait la convergence au sens "2-adiques" ont trouve -1. C'est "comme si" le prolongement analytique "tenait compte" des autres façon de converger. Tu peux te demander l'utilité, mais écrivons 1+2+4+8+16+... en base 2. Ca fait 1+10+100+1000+.... = ....1111111, en "abusant" de la notation usuelle. Bah, c'est bien joli, mais ajoutons 1 : ...111111+1 = ...0000000. Whoa, c'est "comme si" c'était vraiment -1 en abusant de la notation. Et encore une fois, dans les nombre 2-adiques, cette notation a un sens et fonctionne très bien. Tellement bien que l'appareil sur lequel tu lis ce message encode les informations de cette façon (tronquée).
Tes vidéos sont très claires et très bien faites. Je regarde plein de vidéos de maths et tu es un des meilleurs ce qui n'est pas peu dire. Cette video sur l'hypothèse de Riemann est extrêmement bien réussie.
1:45 Ce serait tellement plus clair en disant simplement : ∑(1/(d*d),d,1,inf) C’est pas évident de trouver une somme qui a pour valeur les termes de cette suite alambiquée !
Oh enfin une vidéo qui explique ce problème, je cherche une explication du 'problème' depuis longtemps pour au moins savoir quoi chercher et essayer de trouver , merci !
Mais alors si un mathématicien arrive un jour a demontrer cette fameuse hypothèse de Riemann les nombres premiers n'auront plus aucun secret pour les mathématiciens Ce qui en vient a ma question : Étant donné que c'est justement cette incomprehension des nombres premiers qui est un enjeu majeur en cryptographie si cette hypothèse venait a être démontré il y aurait une enorme faille de securité informatique non? Je n'ai que très partiellement compris cette thèorie et il se peut que toute ma question ne soit qu'une grossière erreur
Tout à fait. Si l'hypothèse de Riemann est résolue, on aura une connaissance bien plus aiguisée de la repartition des nombres premiers. Ce qui pourra effectivement causer des problèmes pour la sécurité informatique. Mais il ne faut pas croire que n'importe qui pourra cracker n'importe quoi. Ça reste du domaine de la théorie des nombres. Mais entre de mauvaises mains ça pourrait tourner au drame. Il y a d'ailleurs toute une théorie complotiste autour de ce problème, qui dit que l'hypothèse a déjà été résolue mais que les banques se gardent de faire publier ce papier... Ah les complotistes ^^
Non pas vraiment. L'hypothèse de Riemann donne une très bonne approximation de la répartition des nombres premiers, mais en cryptographie ce qui compte c'est d'être capable de factoriser un nombre très très grand en deux nombres premiers également très grands. Pour l'instant on ne sait pas faire autrement que en les essayant tous (je résume) ce qui n'est pas faisable. L'hypothèse de Riemann n'aide pas pour résoudre ce problème. En revanche, certains types d'ordinateurs "quantiques" peuvent accélérer considérablement ce calcul. Pour l'instant les ordi quantiques existent mais ont encore des capacités limitées.
@@ryanhawking9127 mais je comprends pas car il y a plusieurs papiers qui disent "si l'hypothèse de Riemann est vrai alors" du coup cela n'a pas empêcher les matheux d'avancer sur ce sujet. Ainsi si ce que vous dites est vrai il suffira de supposer que l'hypothèse est correcte et de tester que sa stratégie marche pour plusieurs cas concret plutôt que d'attendre à tourner les pouces sachant qu'au final ça changera rien aux tests si il y a une démonstration qui prouve que ça marche vraiment à tout les coups
Super ! Quel plaisir de pouvoir faire fonctionner son esprit avec de telles explications réellement pédagogiques. Ce n’est la 1ere video de vous que je regarde, et cela reste captivant…
Bon résumé du problème, je mets le petit pouce en l'air qui fait plaisir. Au passage, le mathématicien anglais Matthew Watkins recense quelques-unes des tentatives de démonstration de l'HR : empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin//zeta/RHproofs.htm
Je viens de découvrir ta chaine. J'adore ce format. Concis, clair, efficace, et de la vulgarisation comme j'aime, qui donne des pointeurs pour approfondir si on veut. Merci.
Magnifique video, malgré tout j'apprécie beaucoup le "la somme 1+1+1+1+1...= naturellement l'infini et "1+2+3+4+5...=-1/12" dans la même video très intéressant et bonne continuation
Tu me vends un rêve la, résoudre le mystère des nombres premiers !!! ça m'intéresse, mais en ce moment j'apprends le calcul intégral ou on voit les suites et séries et on a parlé plusieurs fois de Riemann, mais jamais de son hypothèse, ça m'aurait beaucoup plus motivé de parler de l'hypothèse de Riemann rien que pour 15 minutes en cours.
+Invoker Le niveau de ce genre de problème est tel qu'il n'est accessible que par une poignée de personnes dans le monde. Sa compréhension est "assez simple" mais son analyse est infiniment plus dure
D'ailleurs même si ce problème aurait des répercussion absolument incroyables sur les mathématiques, je pense que celui dont l'enjeu est le plus grand reste (P=NP ?) car si oui, alors les répercussions sur notre société seraient assez catastrophiques dans un premier temps, et si non eh bien on serait fixé. J'ai aussi entendu dire, mais je ne saurais pas dire d'où, que si ce problème venait à trouver pour réponse que P=NP, alors les résolutions des autres problèmes du millénaire deviendraient triviales (même si j'ai du mal à me l'imaginer, ça doit être une extrapolation ?).
Il est très probable que P ≠ NP. Une preuve de cette inégalité confirmerait ce que tout le monde pense et n'aurait aucune influence sur la société. Une preuve non-constructive de P=NP ne serait pas très utile: on aurait un résultat théorique du style il existe un exposant p fini tel que O(NP)
Salut deja merci pour cette superbe video ! Ensuite il y a un truc que je pige vraiment pas avec les sommes infinis. Si on prend les 2 sommes infinis 1 + 1 +1 +.... et 1+2+3+...., on se rend compte qu'on peut exprimer la 2eme en fonction de la premiere, c'est a dire 1 + (1+1) +(1+1+1)+ ... , ou du moins on peut quand il s'agit d'une somme finie. Quand on passe à l'infinie, outre les 2 resultats wtf, l'une est egale à 1/2 et l'autre a un nombre negatif ... mais pourquoi nomdidiou ?!
En fait, les sommes infinies ne peuvent pas être manipulées avec légèreté, sous peine de tomber dans le paradoxe que tu es en train de décrire. Ces séries ne sont pas convergente, et c'est pourquoi il faut dans un premier temps dire que 1+1+1+1+1+... tout comme 1+2+3+4+5+... sont égaux à l'infini. Dans un second temps, une fois que l'on a redéfinit le sens d'une limite de série non convergente et compris ce que l'on peut faire ou non avec ces séries, on peut leur attribuer des valeurs. En particulier, pour attribuer une valeur à une série non convergente, il n'est pas autoriser de regrouper les termes (si on l'autorisait, on pourrait que tu le montres attribuer deux résultats différents à une même somme). Bref, les séries non convergentes sont difficiles à manipuler proprement !
+El Jj : jolie vidéo, tes remarques en début de vidéo sont sympas. Pour ton exemple ici présent, tu peux également parler de la commutativité qui saute pour les séries semi-convergentes ainsi que le problème du produit de séries convergentes qui peut donner une série non-convergente. +Spencer one : c'est difficile de donner un sens "simple" à ces réponses. On est tellement habitué à nager dans les réels qu'on en oublie que ces derniers ne sont qu'une construction parmi d'autre, d'un point de vue mathématique. De même, la notion de convergence n'est qu'un choix arbitraire (mais qui marche bien pour ce qu'on souhaite faire) mais d'autres propriétés mathématiques amènent la création d'autres convergence et d'autres ensembles de nombres. Qui n'ont pas grand chose en commun avec les réels. Par exemple, mon travail m'anèe à étudier des ensembles où la somme des puissances d'un nombre premier fixé (donc si p est un nombre premier fixé, par exemple 2 ou 3 ou 43 ou etc) 1+p+p^2+p^3+p^4+... = -(1/p-1). Ca a un sens pour ce que je fais ;)
En fait il faut distinguer les + de la sommation et les + d'addition de nombres complexes. Quand tu écris 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 + (1 + 1) + (1 + 1 + 1) + ... tu confonds les + En fait pour mieux comprendre il vaut mieux formaliser, au lieu d'écrire u0 + u1 + u2 + ... on écrira ∑(un) ce qui est plus "intuitif" car formellement une série complexe c'est une application qui à une suite complexe associe un complexe Du coup on aura par exemple l'égalité zêta(2) = ∑(un) = pi²/6 (= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...) avec u0 = 1 et un = 1/n² pour tout n € IN* Et donc dans ton exemple, en passant de 1 + 1 + 1 + ... à 1 + (1+1) + (1+1+1) + ... tu passes en réalité de ∑(1) à ∑(n), puisqu'on part du principe que les parenthèses délimitent les termes de la suite dont on calcule la série En réalité le fait de pouvoir sommer comme tu l'as fait sur certaines suites est une propriété contingente qui marche uniquement pour les séries convergentes (il me semble) mais ce n'est pas une propriété axiomatique des séries. ;)
@@neloka4313 Merci pour ton commentaire. Selon moi, il est Important c'est de Souligner qu'une SUITE n'est pas équivalent à L'ADDITION DE PLUSIEURS NOMBRES, du fait que la première est UNE ADDITION N-AIRE ORDONNÉE, donc la seconde PLUS une autre propriété, et que l'on peut définir d'autres types de suites en rajoutant d'autres propriétés restrictives, ce qui bien évidemment peut donner des résultats Très Différents de L'ADDITION ARITHMÉTIQUE COMMUTATIVE. Qu'en penses-tu ?
Je suis toujours impressionné par la clareté de tes explication! Perso, le plus loin où je suis allé en mathématiques c'est la 2eme année de licence, donc j'avais déjà vu les sommes infinies, espaces vectoriels (et donc un peu de fonctions complexes), je ne connaissais pas les puissances complexes, l'holomorphisme et les prolongements, mais ça ne m'a pas gêné plus que ça. Bref, pour moi le rapport pré-requis/apport de connaissances est excellent! Et l'image à la fin est juste magnifique...
Presque toutes les fonctions classiques (analytiques) se décomposent ainsi. C'est surtout que la même decomposition marche quelque soit la valeur de x et du coup on dit qu'il a un rayon de convergence infini. La technique d'Euler ne marchera pas sur 1/(1+x) malgré le fait qu'en tout point on peut l'écrire comme une somme infinie de polynômes. Le problème là c'est que ça peut pas être le même polynôme infini en chaque point. Le domaine d'applicabilité de cette décomposition polynomiale sera toujours limité du fait que le dénominateur a un zéro en x=-1. En fait même parmi les fonctions qui ont un rayon de convergence infini la decomposition d'Euler est correcte modulo des histoires de convergence et de régularisation mais aussi modulo un facteur supplémentaire contenant une fonction qui n'a aucun zéro. Par exemple exponentielle n'a pas de zéro et sin(x) exp(x) a les mêmes zéros que sin(x) du coup d'après la décomposition d'Euler, en les traitant comme des polynômes, ils vont se factorizer de la même façon ce qui est absurde. En fait le problème là c'est que exp(x)=(1+x/n)^n pour n qui tend vers l'infini donc il y a un zéro en x=-n qui se trouve en plus infini pour n infini et qui manque dans l'analyse. Pour plus de détails voir le théorème de factorization de Weirstrass sur Wikipedia par exemple (l'histoire du zéro à l'infini pour l'exponentielle est ma vision personnelle et il se peut que vous ne le trouverez pas écrit ailleurs).
Pour connaitre la répartition des nombres premiers, étant donné qu'on a beaucoup observé et que l'hypothèse de Riemann semble vraie, ne peut-on pas supposer qu'elle est vraie et faire toute la suite du problème ?
J'aime tellement ton travail, toutes tes vidéos piquent ma curiosité et me donnent envie de rouvrir mes livres de culture scientifique! La vidéo sur Riemann a du être un sacré challenge à réaliser mais quelle merveille ! ^^
Concrètement, l'hypothèse de Riemann fournit (bien que ce ne soit pas évident au vu de sa formulation) un ordre de grandeur du nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné, ainsi qu'une estimation de l'erreur dans cet ordre de grandeur bien meilleure que ce que les gens sont actuellement en mesure de démontrer.
Renaud Riff : concrètement ζ'(s)/sζ(s)-1/(s-1) est la transformée de Laplace de ψ(e^u)-e^u où ψ(x) compte le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Connaitre les poles de ζ'(s)/ζ(s) (donc les zéros de ζ(s)) permet de majorer ψ(x)-x. C'est aussi (étrangement) le seul moyen connu de le faire. en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formulae_(L-function)#Riemann.27s_explicit_formula
Tu peux obtenir le graphe exact de la fonction π(la fonction qui compte les nombres premiers (à ne pas confondre avec 3,14...)) en modifiant la fonction Ri ou Li grâce aux zéros de ζ. La courbe lisse qu'est Li se rapproche de plus en plus de la fonction en escalier π. Une autre chose si l'hypothèse est vraie alors l'inégalité |π(x) - Li(x)|
C'est dans une soirée de cos où on s' amuse bien; l'un d'entre eux voit un sin tout seul dans son coin. Il lui demande: alors, tu ne t'intègres pas ? Et le sin de répondre: non merci j'ai pas envie d'être négatif.
Il en reparle à 8:05 À 4:26 on ne disposait pas du prolongement, ζ divergeait vers + l'infini car 1+2+3+... diverge vers +l'infini À 8:05 , ζ après prolongement donne -1/12, cette valeur a été obtenue grâce aux formules qui ont permis ce prolongement (7:27) "définie comme somme infinie on ne peut pas lui attribuer de valeurs" "si on s'efforce à lui donner une valeur finie alors c'est -1/12"
Même si il faut savoir ce qu'une fonction, je te félicite (même si ça a pris un tout petit peu plus, mais à peine plus, que deux minutes). Expliquer l'hypothèse de Riemann en 13 minutes à un 3ème, c'est pas donné à tout le monde, bravo !
Bonjour El JJ, Est ce que vous avez un commentaire sur la vidéo de Micmath sur la somme 1+2+3+4+... =-1/12 et cette histoire d'Hendrik Casimir qui l'aurait valid" lors d'une expérience?
Je n'y connais pas grand chose en physique, donc je peux pas raconter grand chose sur l'effet Casimir, mais tu peux lire l'article de Science étonnante sur le sujet : sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/
Car Micmath à fait une vidéo totalement absurde. La somme des entiers positifs est une série divergente donc par définition elle ne converge pas vers une limite fini ainsi en travaillant dessus comme il l'a fait dans sa vidéos avec tout un tas d'autre series divergentes il a supposé que cette série converge ce qui est faux donc son résultat est absurde C'est comme dire que si tu avais des ailes tu pourrais voler donc même sans ailes tu serrais voler ....
Dans l'effet Casimir en calculant une énergie on trouve un infini qui provient de la divergence de la somme des entiers naturels. Il se trouve qu'on peut soit régulariser la somme et utiliser le prolongement de la fonction Zeta et trouver un résultat fini, soit de manière équivalente prendre en compte des effets de bords électromagnétiques qui rajoutent des termes "d'amortissement des hautes fréquences"et font converger la somme vers -1/12 * une constante. Les résultats obtenus sont égaux et sont ceux qui sont physiquement corrects. Donc l'effet Casimir ne "prouve" en rien que la somme des entiers vaut -1/12 (puisqu'elle diverge), cependant il peut donner une belle application des prolongements et des régularisations de sommes divergentes.
C'est forcement vrai ou forcement faux (ça ne peut pas être ni vrai ni faux, ou vrai et faux si on a une question correctement posée) par contre ça peut être indémontrable. D'ailleurs y'a un théorème mathématique qui dit que dans toute théorie mathematique "habituelle" et cohérente, il existera forcément des énoncés indémontrables. On peut par contre démontrer qu'un énoncé est indémontrable...
Oui et le second montre que l'on ne peut pas savoir si une théorie axiomatique est contradictoire tant qu'on a pas montré qu'elle l'était (si elle l'est), me semble-t-il ?
Mougrouf pour faire plus clair "on ne peut pas montrer qu'elle est cohérente", mais il y a quand même deux-trois hypotèses et on connait des théorie qui ne les respectent pas dont on a pu monter la cohérence.
Ça m'a rappelé pas mal de choses de je ne sais plus quel épisode de podcast science; encore une superbe vidéo, j'ai l'impression que chaque vidéo est meilleure que la précédente :)
Superbe vidéo !! je suis en maths spé et bien que je m'y était jamais vraiment penché dessus j'ai enfin compris de quoi traite ce problème essentiel en mathématiques ! merci pour cette vulgarisation pas si vulgaire
Les Maths ne sont pas censées être utiles. Il s'agit plutôt d'une forme d'Art. Est-ce que l'Art a besoin d'être utile? Non? Pourtant, les gens apprécient l'Art. Ça te convient comme réponse?
De rien, maintenant tu comprends pourquoi les matheux utilisent souvent les termes "beau" voir "majestueux" pour parler des formules qu'ils ont découvertes...et pourquoi Leonard Euler, Carl Gauss et Srinivasa Ramanujan étaient considérés comme de véritables artistes par les matheux.
Si on maîtrise mieux la répartition des nombres premiers, hypothetiquement plein de système de cryptage seront bons à jeter (si j'ai pas tout confondu)
Hey ! Je reviens de la Néocast, où on m'a conseillé ta chaîne au stand de VidéoSciences. Eh bien j'ai regardé toutes tes vidéos depuis hier soir, et je ne suis pas déçu ! Les vidéos sont vraiment cools, et puis ce n'est pas trop vulgarisé. Etant en deuxième année de prépa j'ai déjà un petit niveau en maths, donc j'ai parfois du mal à trouver des vidéos qui vont assez loin. En tout cas continue, j'ai hâte de voir ce que tu vas nous faire découvrir :)
j'ai lu pas mal d'article sur wikipédia autour de la fonction zeta pour comprendre ce que c'est, et j'avais globalement compris mais ta vidéo m'a permis d'en comprendre les enjeux et de clarifié certains points ^^ je vais maté toutes tes vidéos a partir de la 1ere !!!!
Merci beaucoup pour cette vidéo, grâce à toi j'ai (enfin) compris cette foutue hypothèse avec mon niveau de terminale S. Et je comprends mieux pourquoi on qualifie cette hypothèse de problème mathématique le plus dur qui soit. En tout cas, merci beaucoup et bonne continuation ! :-)
Ouaaaouuuuu.... C'est la première fois qu'on m'explique la fonction zêta et que je comprends [presque] tout (sauf l'histoire du prolongement). Merci :-)
+Emmanuel DESVIGNE C'est le principe du prolongement ou la méthode utilisée pour prolonger Zêta que tu ne comprends pas ? (Je peux peut-être t'aider dans le 1è cas, pas dans le seconde ^^')
+Me Em En fait, je comprends le principe de prolongement pour l'exemple donné : une droite. On prend LA prolongation qui semble conserver le plus de propriétés du segment initial. Mais pour zêta, il est dit qu'il en existe "des tonnes". Et que toutes se valent... Déjà, c'est louche. Mais ensuite, il est dit que zêta(0)=-1/2, ou que zêta(-1)=-1/12 (il me semble avoir déjà vu ça dans une des VDO de MicMaths d'ailleurs).... Mais comme il existe moult prolongements de zêta, on devrait avoir plein de valeurs possibles pour zêta(0) ou pour zêta (-1) non ??? Donc, quand on dit que 1+2+3+4+5....=-1/12, on devrait certainement pouvoir dire que 1+2+3+4+5...=-4/3 (au pif) si on avait choisi un autre prolongement de la fonction zêta. Non ?
Attention, je crois que tu as mal compris. Il y a effectivement toute une flopée de prolongements possibles pour la fonction zeta (rien ne t'empêche de lui assigner n'importe quelle valeur là où elle n'est pas définie et ça donnera un prolongement), par contre, il n'y a qu'un "bon" prolongement (au sens prolongement qui conserve la propriété de zeta d'être holomorphe), c'est l'objet du théorème de "prolongement analytique" qui était affiché lorsqu'il expliquait ça.
+KGrayD Et le point supplémentaire important, c'est que même s'il existe des tas de formules qui prolongent zeta, à partir du moment où elles vérifient la bonne condition (à savoir, être "holomorphe"), tous ces prolongements seront parfaitement égaux là où ils sont définis. Quel que soit le prolongement défini en -1 que l'on utilise, on trouvera toujours zeta(-1) = -1/12.
Super vidéo! Très bien expliqué et je trouve que le niveau mathématique nécessaire pour tot jien comprendre est juste bien dosé! Merci bcp! (Je m'abonne)
j'aime regarder cette vidéo uniquement pour cette phrase (qui me fait rire) "Les mauvais aussi mais ils ne sont des bon prolongement". au passage merci pour tes vidéos
Riemann conjecture demonstration has been published by me on march 18th, 2022.:J.Sanchez , "On the Absence of Zeros of Riemann Zeta-Function Out of ℜ(z ) = 1/2. Advances in Pure Mathematics , 12, 178-185. Anyone wishing to comment on, contact me. Willie Johnson ·
Excellente vidéo comme d'habitude. la j'avoue que tu m'as mis ko, ca surpasse ma compréhension mais ça m'a qd même bien éclairé sur le pb et les enjeux liés. Continue comme ça c'est un vrai plaisir de te suivre :)
L'égalité 1+2+3+..=-1/12 ne provient-elle pas d'un "glissement de sens" ? Je m'explique : On définit la fonction zeta en chaque point de son domaine par une somme de série puis on la prolonge. Est-il encore sensé de dire que ce prolongement s'identifie à la somme dont on est parti en des points dont on a démontré qu'elle n'est, du moins avec une théorie classique, plus convergente ? Ce genre d'égalité ne découle-t-il pas de calculs formels auxquels on s'efforce de donner un sens ? Ou alors il y a qqch de l'ordre du concept qui m'échappe...
J'ai réussi à comprendre l'ensemble parce que j'ai déjà vu une vidéo sur le sujet; Mais c'est corsé :) Merci en tout cas pour le temps pris à faire cette vidéo. Elle est très instructive. :)
Attention : cette vidéo de deux minutes a été prolongée de façon holomorphe.
Bravo. La pédagogie est impressionnante !
Je ne comprend pas pourquoi l’image des entiers pairs négatifs est zéro (11 Minutes 10)? Au passage très bonne vidéo
@@adfr1806 regarde la définition du prolongement : il est proportionnel à sin(s*π/2) qui est 1-périodique sur l'ensemble des réels. Comme ce prolongement est une définition valide de ζ sur l'ensemble des complexes de partie réelle négative, il est évident que pour tout entier négatif s ζ(s)=0 (car sin(s*π/2)=0)
une chance que ce n'est pas le cas des classes
🤣🤣
Une infinité de mathématiciens rentre dans un bar ou la bière est à 3euros.
Le premier en commande une, le 2eme deux, le 3eme trois etc...
Le barman leur dit "Vous payez d'avance" et leur donne 25 centimes.
Excellent :)
Après plusieurs relectures et en ayant réfléchi un peu je n'ai tjrs pas compris, est il possible d'avoir une explication'?
A 8:20 on parle de la somme infinie des entiers (celle au sens de Zeta de Riemann) qui se trouve avoir comme valeur -1/12 (toujours selon cette approche). Du coup au total les matheux commandent -1/12 bière ce qui a 3euros la bière fait -1/4 et donc ils doivent être remboursé de 25centimes pour payer leur tournée :p
+Passe-Science merci
parfait, j'adore, c'est le bide garanti (oui je suis bidathéliste, je collectionne les bides en soirées :)
C'est vraiment incroyable de se dire qu'au début de la vidéo, je pipais absolument rien à la phrase de Riemann, et qu'une fois le visionnage fini, je la comprenais enfin. J'adore vraiment tes vidéos, très bien expliquées et très intéressantes :)
+FloJess55 Oui c'est assez drôle quand il l'a ré-affiche, je me suis, mais c'est pas la même phrase dont j'ai rien enquillé tout à l'heure, car là je l'a pige bien ^^
+FloJess55 Et le plus fou c'est qu'à la prochaine video tu résoudras l’hypothèse de Riemann. (ou pas)
"Les mauvais prolongements aussi, sauf que ce ne sont pas de bons prolongements" il m'a tué !
"Les mauvais prolongements aussi, sauf que ce ne sont pas de bons prolongements" il m'a tué !
Sinon, superbe vidéo
@@abellematheux7632 C'est un clin d'oeil aux Inconnus
Elles sont toutes incroyables tes vidéos, même les plus anciennes peuvent toujours aisément se regarder avec beaucoup de plaisir, aucune vidéo décevante sur cette chaîne, c'est génial
Voire cette vidéo à sa sortie. Ne rien bité revenir en terminale toujours pareil revenir, en première année de prepa comprendre un peu. Deuxième année. Je me rend compte que je comprenais que très peu mais maintenant j'ai calculé la ζ(2) petit flexe
J'ai une démonstration magnifique de l'hypothèse de Riemann, mais l'espace commentaire me laisse trop peu de caractères pour vous la faire découvrir ...
+Pi Vix
ça aurait été mieux dans un tweet.
#Fermat
+Pi Vix Fermat serait fier.
+difajabug Exactement ce que j'allais dire mais je suis certain que c'était volontaire de sa part :D
+Pi Vix Ecrit la en formule mathématique :)
Vous savez très bien ce que vous présentez, j'ai vu des vidéos sur le même sujet et c'était des catastrophes. Je vous remercie de votre effort et votre clarté d'esprit, tout et dit et résumé en peu de mot. Respect.
Waah mais El JJ t'es juste incroyable ! Tu es de loin le meilleur vulgarisateur de mathématiques français que j'ai pu voir ! Le travail qu'il y a en amont d'une vidéo doit juste être monstrueux
Continue comme ça et tu atteindras des centaines de milliers d'abonnés j'espère, et tu les mériteras !
C'est franchement pas mérité que tu n'es pas plus de vus... tu fais du sacré taff, c'est clair et bien compréhensible. bravo frère
Complètement d'accord...même si ça augmente les chances que l'on voit mes commentaires.
Il y a cinq ans, lorsque j'avais 15 ans, j'ai regardé cette vidéo en me disant que c'était quand même vachement stylé.
J'ai ensuite appris à l'école la base des nombres complexes et j'avais toujours au fond de ma tête cette envie de comprendre précisément ce dont tu parles dans cette vidéo. Holomorphe? Zêta? Sommes et produits infinies? 1+2+3+... = -1/12? Mais qu'est-ce que c'est que ce bordel?
J'ai commencé des études de mathématiques dans ce but, et c'était le meilleur choix de ma vie. J'ai jamais été autant épanoui.
Cette année je termine mon bachelier, et j'ai donc du écrire mon mémoire de bachelier. Pourquoi je viens écrire ça ici? Parce que le sujet de mon mémoire, c'est précisément comprendre zêta, son prolongement, son lien avec les nombres premiers et tout ce qui va avec (dans la mesure du possible, bien sûr).
J'ai fait ma défense de mémoire il y a quelques semaines, et je me suis dit que j'allais regarder cette vidéo qui était à la source de ma curiosité. Résumé : tout ce que je fais précisément dans mon travail et qui m'a fasciné, tu en parles dans cette vidéo. Tu as réussi à encrer toutes ces informations dans ma tête pour cinq ans. Je pourrai jamais te remercier assez pour ça.
D'ailleurs, un camarade à moi a également trouvé son sujet de mémoire grâce à toi (les nombres surréels, dans vidéo sur Conway).
J'espère du fond du cœur que tu continueras à vendre du rêve avec tes vidéos, elles sont vraiment supers. Tu as su m'inspirer, et surement d'autres, avec ton travail. Tout a commencé avec cette vidéo. Merci beaucoup
Merci beaucoup pour cette confiance ! C'est vraiment très émouvant de se dire que l'on a un impact énorme sur des personne que l'on ne connait pas ☺️
Je veux bien lire ton mémoire ^^
@@ook99 Je te le donnerai avec plaisir, mais j'ai aucune idée de comment te contacter (à une époque y'avait des mp youtube, mais je trouve plus mdr)
@@RalofDeRivebois Tu peux le mettre sur un drive et partager le lien ici 😉
Je suis également intéressé 😊
@@manun7105alors ce mémoire ahah
- A quoi reconnaît-on un bon prolongement d'un mauvais prolongement ?
- Bah, le bon prolongement, il prolonge la fonction et ça donne un résultat ! Et, le mauvais prolongement... il prolonge la fonction, et ça donne un résultat !
le bon et le mauvais chasseur en somme^^
: )))
Attention, il n'y pas qu'en Picardie qu'il y a de bons et de mauvais chasseurs !
Parler des autres problèmes du millénaire est déjà un problème entant que tel.
Un bon prolongement d'une fonction préserve sa régularité sinon à quoi de bon prolonger la fonction
C'est tellement bien expliqué alors qu'il s'agit quand même du problème le plus irrésolue de l'histoire mathématicienne. Le plus cool c'est que ça réunis beaucoup de chose comme tu l'as dit :
l'arithmétique ainsi que l'analyse. J'ai hâte de voir le problème résolu et qui sait peut être que les grandes conjecture avec des nombres premiers seront résolu à partir de ça
Allez je me mets au boulot c'est parti! La Rinmann money est déjà en route!
Alors - - ça fait +, et les multiplications/divisions c'est prioritaire c'est ça?
+Zebezia t'es sûr de toi quand tu dis que --=+ ?
loupiotable
Quand mème, j'ai eu mon bac S^^
PetitNuageML
Oui bon bah (bou boh buh) je fais référence a ce qu'on apprends en 6ème^^.
Mais heu, pourquoi un signe ça n'existe pas dans certains ensembles? Parce que c'est "+ un truc négatif" donc si y'a pas de truc négatif ça n'existe pas? Je trouve pas ça logique, mème dans les entiers positifs je peux faire 1 - 2 techniquement non, mème si c'est 1 + (-2) qui a une partie pas dedans?
PetitNuageML
Non mais c'est de l'ironie, personne comprends ^^? Les premières maths qu'on apprends c'est faire des additions soustractions, multiplier avec les priorités ect... Je suis bien en L3 mais LEA^^ Il me reste les équations a une inconnue dans ma tète que je sais faire sans faute, après 5 ans à rabâcher ça et avoir une matière en licence par an qui l'utilise ça reste, d'autres trucs basiques reviendraient si j'en refaisais mais j'ai un niveau seconde je pense maintenant, ce qu'on a vu en 1re et TS j'ai galéré pendant 2 ans, et j'ai du beaucoup en oublier après le bac, puis mème des trucs simples comme la trigo ça me reviendrait mais j'en referais pas...^^
Sinon merci pour l'info^^
MDRRRRRR t'es bien parti gamin
Pourrait tu parler des autres problèmes du millénaire !!?!?!?! ❤️❤️❤️❤️
+Lydos77 P vs. NP : On appelle P la classe des problèmes résolubles par une machine de Turing (modélisation la plus puissante de la notion de calcul) déterministe (qui n'a qu'un seul état et ne fait qu'un seul calcul à la fois) en un temps polynomial (en fonction de la taille du problème). Par exemple, le problème de la recherche du plus court chemin entre deux points dans un graphe a une complexité de l'ordre de n² où _n_ est le nombre de sommets. On appelle NP la classe des problèmes résolubles par une machine de Turing non-déterministe (qui peut être dans plusieurs états et faire plusieurs calculs à la fois) en un temps polynomial. Cela correspond aussi aux problèmes dont on peut vérifier si une solution donnée est exacte en un temps polynomial, par exemple multiplier deux nombres premiers demande une complexité de l’ordre de n² (alors que décomposer un entier en un produit de facteur premiers est bien plus complexe, de l’ordre de n! il me semble). Puisque les machines de Turing non-déterministes peuvent faire tout ce que les machines déterministes peuvent faire, on a trivialement que P est inclus dans NP mais a-t-on l'inclusion inverse (ce qui entraîne que P = NP) ? Autrement dit, si une solution à un problème peut se vérifier facilement, alors peut-elle aussi être facilement trouvable ?
J'adorerais !
J'ai découvert ta chaîne par "hasard" (merci RUclips), et je suis vraiment bluffé. Félicitations pour la clarté des explications malgré la complexité du sujet.
Enfin quelqu'un qui explique bien 1+2+3+4.... = -1/12 !
Merci, ça va permettre à beaucoup d'arrêter de dire des conneries (enfin en espérant qu'ils arrivent à comprendre ce que tu as dit .....)
Christophe André hum hum taupe 10 hum hum
Je ne sais pas si cette égalité est réellement démontrée mais il existe en tout cas un lien très intéressant entre les deux.
Personne inconnue
Non elle n'est pas encore démontrée il me semble ^^
De toutes façons, il suffit de regarder Micmaths.
Quantum Plex La démonstration qu'il utilise est je crois fausse ^^
El J ton explication est Génialissime... je l'ai vu et revu juste pour le bonheur de réécouter ! Bravo. Suuuuuperrrr...
0:47 Pour ceux qui n’ont pas compris, je vais vous expliquer.
« Les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont pour partie réelle 1/2 ».
En fait il faut imaginer une entreprise qui s’appelle Zêta et donc le directeur est Mr Riemann. Dans cette entreprise, il y a des zéros, c’est à dire des grosses queues qui méritent le chômage.
Et parmi ces zéros, on compte des zéros non-triviaux, autrement dit, c’est des punks anarchistes qui se distinguent de cette société désuète et conservatrice.
Et donc l’hypothèse de Mr Riemann c’est que ces zéros non triviaux représentent quand même la moitié de ses employés et ÇA c’est la partie réelle que nous révèle les statistiques (alors sont elles exactes, difficile à dire puisque c’est une hypothèse) au sein de l’entreprise Zêta.
T'as refait ma journée
C'est la meilleure explication ever j'ai adoré
Merci beaucoup!!! Très bonne analogie
Merci pour l'explication, je comprends mieux maintenant.
mdrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr... et dire que je me suis concentré pour lire ta démonstration... c'est Triviaaaaal... ouiii Mr Riemannn !!! mdrrr
Encore merci pour ton travail, c'est toujours sympa à regarder. Vous les vulgarisateurs scientifiques, vous êtes ce qu'on peut appeler des prêcheur de bonne parole !
11:36 Regardez en dessous la photo : Pendant une fraction de seconde, "Xavier "Le" Gourdon" SE TRANSORME EN "Xavier "Le" Groudon" hahahhaa
excellent haha
EXCELLENT ! Et subtil ! Merci bien. C'est génial on a meme la photo avec !
Ta juste pas de vie mdr
Bien vu hahaha
c'est tellement bref, même en vitesse 1/4 j'arrive pas faire l'arrêt sur image.
Excellent !!!!
J'adore la manière de faire :
Poser le problème auquel le spectateur moyen ne pigera rien
Expliquer
Reposer le problème exactement de la même manière que la première fois.
On a vraiment la sensation d'avoir compris quelque chose.
Et le monde des mathématiques est tellement fascinant.
"Un bon mathématicien, il voit une fonction, il la prolonge. Bon. Un mauvais mathématicien, il voit une fonction, il la prolonge, mais... mais c'est pas pareil !"
Je viens tout juste de découvrir cette chaine, waow, je suis foudroyé face à la perfection d'autant d'attention envers tout ça, je n'ai pas plus de mots, thank-ks
Excellente vidéo, à vrai dire c'est assez complexe d'expliquer aussi bien des maths de niveau licence ou Master.
Je suis émue. Mon amour pour les mathématiques ne cesse d'augmenter. La video est très bien détaillée. Merci ☺
Je suis revenue voir cette vidéo pour une raison toute particulière.
Voici la dernière question du DM de maths que j'ai à faire ce week-end :
"On note :
ζ : z → ∑(n=1→+∞) 1/n^z
Montrez que les zéros non triviaux de ζ ont tous pour partie réelle 1/2."
Sur le coup je me suis dis que j'avais déjà vu ça quelque part et c'est pour ça que je suis venue vérifier ici.
(Ne vous en faites pas, le dernier exercice est facultatif, et mon prof ayant un sacré sens de l'humour, il me reste juste à cherche comment repondre avec humour à sa question)
C'est marrant, l'année dernière on avait eu pareil un DM qui se terminait par cette question ! Tu fais quoi comme études ?
Je ne poste pas souvent de commentaire sur RUclips mais je tiens à te dire que j'apprécie énormément tes vidéos : c'est exactement le bon dosage de maths "pures" et d'explication (en tout cas pour un élève de 1èreS comme moi), les montages sont excellents, les explications claires et détaillés, et juste un petit détail mais important : le choix de la musique de fond parfait, créant l'ambiance apaisante qui fait tout le charme de tes vidéos!
En bref, on sent un réel investissement de ta part et c'est pour ça que je t'encourage très vivement à continuer! :)
Pour ma part, c'est à 7m26 que ça me gêne : une formule qui prolonge Zeta. (et celle qui fait que zeta(0) = -1/2). Est on sur que ce prolongement est valide ? Est ce que l'avenir ne nous dira pas "ah, on ne pouvait pas écrire cette fonction de prolongement ainsi car on avait une propriété qu'on a découvert que plus tard dans ce cas la, qui restreint la possibilité de prolongement", et dans ce cas, on ne tombe plus sur 1+2+3+... = -1/2.
Un peu comme si on dérivait une fonction sans vérifier qu'elle est continue ou dérivable. On dérive |x| (valeur absolue de x) et à 0 on dit n'importe quoi par "prolongement ou je ne sais quoi" jusqu'à ce qu'un mathématicien dise "non, avant de dériver, il faut vérifier que c'est dérivable et continu en tout point, donc pour |x|, on NE PEUT PAS dériver en 0. A la rigueur en 0+ ou 0-, mais pas en 0, NIET".
Donc un jour, peut être qu'un mathématicien dira "On ne peut pas prolonger Zeta avant 1 car on a une propriété sur cette fonction qu'on a découvert tardivement qui l'en empêche" ?
+Fred M Nope. Pour qu'une formule de prolongement soit valide, il faut tout de même qu'elle soit égale à l'expression initiale au moins sur un petit domaine où les deux sont définies à la fois. Une fois que ceci est vérifié (ce qui se fait pour les deux formules qui apparaissent dans la vidéo, et les dizaines d'autres qu'on trouve sur la page wikipédia de la fonction zeta), on applique le théorème du prolongement analytique qui assure que le prolongement est "correct".
+El Jj MicMaths , somme des nombres de 1 à infini
+El Jj Et bien vivement qu'ils démontrent comment on peut en arriver à une telle somme divergente qui tendrait vers -1/2. J'ai du mal à penser qu'il n'y a pas un soucis en amont, mais bon ! Je ne prolonge que des NURBS pour ma part, de plusieurs façons différentes !
+Fred M Oui on ne peut prolonger une fonction holomorphe que d'une et une seul manière. (si l'on souhaite conserver la propriété d'holomorphie bien sur)
Bon, ça fait un an mais laissons quand même un commentaire.
Les gens ont du mal à comprendre la philosophie derrière la convergence, il y a "le bon sens" qui n'a finalement que peu de réalité mathématique. Dans le cas simple, on considère qu'une suite converge vers x si la "distance" entre les termes de la suite et x finissent, à partir d'un certain rang, à devenir plus petit que tout réel. Grosso modo dans le cas habituel dans les réels, si la suite finit par rentrer et rester dans tout intervalle dont x n'est pas sur le "bord" et contenant x. C'est le sens "commun", on se dit "ça devient et reste aussi proche que l'on souhaite". C'est une définition, un choix. C'est un objet comme un autre et ses propriétés sont bonnes, les opérations usuelles se comportent bien et donc on l'étudie. Il faut remarquer qu'on peut faire des suites dés que l'on peut mesurer une "distance" (en fait on peut faire sans, mais je ne vais pas vous saouler de topologie) même si on n'a pas d'opération comme l'addition, qui vient s'ajouter "par dessus".
Alors pour les séries, on s'est simplement dit qu'il suffisait de regarder les sommes limitées, et ça forme un suite. Ah mais on a une idée de ce qu'est la convergence d'une suite, donc tout va bien ... Pas si vite.
Les séries sont "plus riches" que les suites, on a une opération dans les séries, c'est plus précis qu'une suite. Et les mathématiques nous disent rapidement que cette distinction a de l'importance. Il existe des séries qui convergent mais en permettant des éléments de la série, elles ne convergent plus, ou convergent mais vers un autre nombre. C'est embêtant, car la multiplication en est impactée (considérons la série des an multipliée par la série des bn, j'aimerais pouvoir la réécrire sous la forme d'une seule série, mais si l'ordre a de l'importance, comment dois-je faire ?).
C'est là que le "bon sens" nous fait défaut. La notion de convergence ne colle pas avec les opérations usuelles. Alors on peut "durcir" la notion de convergence (convergence absolue) ou l'affaiblir. Dans le premier cas, on se retrouve à rejeter des séries qui ne se comportent pas trop mal et dans le second, on se retrouve avec des résultats "bizarres" comme 1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1/2. Et c'est là qu'est la philosophie derrière la convergence : ai-je une série qui n'est jamais qu'une suite, où ai-je une série dont les opérations ont de l'importance ?
Pour Zeta, son existence a été prouvée. Le théorème en question a des hypothèses assez simples, il suffit que la fonction soit dérivable au sens complexe sur un disque, et Zeta l'est sur un demi-plan, donc en particulier sur le disque centre en 3 et de rayon 1. Et ce théorème nous dit qu'il existe une unique fonction, qui est le quotient de deux fonctions dérivables au sens complexe PARTOUT, égale sur ce disque. C'est ça le prolongement analytique. Et les formules ne font jamais que donner ce quotient.
Un exemple typique est la série des puissance de x. 1+x+x^2+x^3+x^4+... On peut montrer que quand x est dans le disque centré en 0 et de rayon 1, cette série définie une fonction dérivable au sens complexe, on peut même calculer sa dérivée qui est 1+2x+3x^2+... et on peut même calculer la valeur de la série pour ces x, c'est 1/(1-x). Oh, c'est le quotient de deux fonctions dérivables au sens complexe partout (1 et 1-x).
Et bien le théorème nous dit qu'il n'existe qu'une seule fonction définie partout sauf en x=1 et dérivable au sens complexe, qui prend les mêmes valeur que notre série sur le disque centré en 0 et de rayon 1. Et c'est forcément 1/(1-x) vu que cette fonction vérifie les conditions. C'est fou que ce soit UNIQUE, ça doit vouloir dire quelque chose que ce soit unique, non ?
Et donc, pour x=2, on a 1/(1-2) = -1. Donc on aurait 1+2+4+8+16+... = -1, ce qui semble complètement débile. Mais c'est là qu'une chose étrange se passe, il existe des nombres (les nombres 2-adiques) où cette série a un sens, et si on fait la convergence au sens "2-adiques" ont trouve -1. C'est "comme si" le prolongement analytique "tenait compte" des autres façon de converger.
Tu peux te demander l'utilité, mais écrivons 1+2+4+8+16+... en base 2. Ca fait 1+10+100+1000+.... = ....1111111, en "abusant" de la notation usuelle. Bah, c'est bien joli, mais ajoutons 1 : ...111111+1 = ...0000000. Whoa, c'est "comme si" c'était vraiment -1 en abusant de la notation. Et encore une fois, dans les nombre 2-adiques, cette notation a un sens et fonctionne très bien. Tellement bien que l'appareil sur lequel tu lis ce message encode les informations de cette façon (tronquée).
Tu es vraiment fort du fait d'arriver à expliquer ce problème aussi simplement
Fichtre ! ça c'est une chaîne de Maths !
Tes vidéos sont très claires et très bien faites. Je regarde plein de vidéos de maths et tu es un des meilleurs ce qui n'est pas peu dire. Cette video sur l'hypothèse de Riemann est extrêmement bien réussie.
Génial la vidéo !! Continue comme sa ( si tu pouvais sortir des videos plus souvent je serais pas contre, elle sont vraiment bien :))
Vraiment très bien expliqué. Je ne connaissais pas l'hypothèse de Riemann et j'ai maintenant compris de quoi il s'agit, merci :)
1:45 Ce serait tellement plus clair en disant simplement : ∑(1/(d*d),d,1,inf)
C’est pas évident de trouver une somme qui a pour valeur les termes de cette suite alambiquée !
La série des 1/n² tout simplement
@@e.c.3426 oui, c’est ce que j’ai dit. Je l’ai juste laissé développée. On peut réduire, mais quand on a l’habitude de cette écriture c’est égal.
Oh enfin une vidéo qui explique ce problème, je cherche une explication du 'problème' depuis longtemps pour au moins savoir quoi chercher et essayer de trouver , merci !
Mais alors si un mathématicien arrive un jour a demontrer cette fameuse hypothèse de Riemann les nombres premiers n'auront plus aucun secret pour les mathématiciens
Ce qui en vient a ma question :
Étant donné que c'est justement cette incomprehension des nombres premiers qui est un enjeu majeur en cryptographie si cette hypothèse venait a être démontré il y aurait une enorme faille de securité informatique non?
Je n'ai que très partiellement compris cette thèorie et il se peut que toute ma question ne soit qu'une grossière erreur
Tout à fait. Si l'hypothèse de Riemann est résolue, on aura une connaissance bien plus aiguisée de la repartition des nombres premiers. Ce qui pourra effectivement causer des problèmes pour la sécurité informatique.
Mais il ne faut pas croire que n'importe qui pourra cracker n'importe quoi. Ça reste du domaine de la théorie des nombres. Mais entre de mauvaises mains ça pourrait tourner au drame.
Il y a d'ailleurs toute une théorie complotiste autour de ce problème, qui dit que l'hypothèse a déjà été résolue mais que les banques se gardent de faire publier ce papier... Ah les complotistes ^^
Non pas vraiment. L'hypothèse de Riemann donne une très bonne approximation de la répartition des nombres premiers, mais en cryptographie ce qui compte c'est d'être capable de factoriser un nombre très très grand en deux nombres premiers également très grands. Pour l'instant on ne sait pas faire autrement que en les essayant tous (je résume) ce qui n'est pas faisable. L'hypothèse de Riemann n'aide pas pour résoudre ce problème.
En revanche, certains types d'ordinateurs "quantiques" peuvent accélérer considérablement ce calcul. Pour l'instant les ordi quantiques existent mais ont encore des capacités limitées.
@@ryanhawking9127 mais je comprends pas car il y a plusieurs papiers qui disent "si l'hypothèse de Riemann est vrai alors" du coup cela n'a pas empêcher les matheux d'avancer sur ce sujet. Ainsi si ce que vous dites est vrai il suffira de supposer que l'hypothèse est correcte et de tester que sa stratégie marche pour plusieurs cas concret plutôt que d'attendre à tourner les pouces sachant qu'au final ça changera rien aux tests si il y a une démonstration qui prouve que ça marche vraiment à tout les coups
Super ! Quel plaisir de pouvoir faire fonctionner son esprit avec de telles explications réellement pédagogiques. Ce n’est la 1ere video de vous que je regarde, et cela reste captivant…
Bon résumé du problème, je mets le petit pouce en l'air qui fait plaisir.
Au passage, le mathématicien anglais Matthew Watkins recense quelques-unes des tentatives de démonstration de l'HR : empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin//zeta/RHproofs.htm
Je viens de découvrir ta chaine. J'adore ce format. Concis, clair, efficace, et de la vulgarisation comme j'aime, qui donne des pointeurs pour approfondir si on veut. Merci.
Super vidéo, c'est super interessant et tres tres bien expliqué ! Continue ainsi :)
Magnifique video, malgré tout j'apprécie beaucoup le "la somme 1+1+1+1+1...= naturellement l'infini et "1+2+3+4+5...=-1/12" dans la même video
très intéressant et bonne continuation
Super Vidéo (comme toutes les autres). Ça donne envie de faire des Math !!!!!
Encore une vidéo excellente. Ce sont sans conteste tes vidéos que j'attends avec le plus d'impatience sur RUclips.
Merci beaucoup !
Tu me vends un rêve la, résoudre le mystère des nombres premiers !!! ça m'intéresse, mais en ce moment j'apprends le calcul intégral ou on voit les suites et séries et on a parlé plusieurs fois de Riemann, mais jamais de son hypothèse, ça m'aurait beaucoup plus motivé de parler de l'hypothèse de Riemann rien que pour 15 minutes en cours.
+Invoker Le niveau de ce genre de problème est tel qu'il n'est accessible que par une poignée de personnes dans le monde. Sa compréhension est "assez simple" mais son analyse est infiniment plus dure
Tu as une narration super agréable. Je comprend pas grand choses mais ça me captive quand même ! Le travaille vidéo et super, félicitation et merci !
D'ailleurs même si ce problème aurait des répercussion absolument incroyables sur les mathématiques, je pense que celui dont l'enjeu est le plus grand reste (P=NP ?) car si oui, alors les répercussions sur notre société seraient assez catastrophiques dans un premier temps, et si non eh bien on serait fixé.
J'ai aussi entendu dire, mais je ne saurais pas dire d'où, que si ce problème venait à trouver pour réponse que P=NP, alors les résolutions des autres problèmes du millénaire deviendraient triviales (même si j'ai du mal à me l'imaginer, ça doit être une extrapolation ?).
Merci pour ton commentaire ^^
Il est très probable que P ≠ NP. Une preuve de cette inégalité confirmerait ce que tout le monde pense et n'aurait aucune influence sur la société. Une preuve non-constructive de P=NP ne serait pas très utile: on aurait un résultat théorique du style il existe un exposant p fini tel que O(NP)
Toujours aussi passionnant !
Ça fait plaisir de la bonne vulgarisation mathématique qui fait plaisir autant aux experts qu'aux néophytes :D
7:35 l'amour des mathématiques
Apery !!! c'était mon prof à la fac de Caen ...je savais qu'il était connu mais quel plaisir de le voir dans une vidéo aussi sympa
Salut deja merci pour cette superbe video !
Ensuite il y a un truc que je pige vraiment pas avec les sommes infinis. Si on prend les 2 sommes infinis 1 + 1 +1 +.... et 1+2+3+...., on se rend compte qu'on peut exprimer la 2eme en fonction de la premiere, c'est a dire 1 + (1+1) +(1+1+1)+ ... , ou du moins on peut quand il s'agit d'une somme finie. Quand on passe à l'infinie, outre les 2 resultats wtf, l'une est egale à 1/2 et l'autre a un nombre negatif ... mais pourquoi nomdidiou ?!
En fait, les sommes infinies ne peuvent pas être manipulées avec légèreté, sous peine de tomber dans le paradoxe que tu es en train de décrire. Ces séries ne sont pas convergente, et c'est pourquoi il faut dans un premier temps dire que 1+1+1+1+1+... tout comme 1+2+3+4+5+... sont égaux à l'infini.
Dans un second temps, une fois que l'on a redéfinit le sens d'une limite de série non convergente et compris ce que l'on peut faire ou non avec ces séries, on peut leur attribuer des valeurs. En particulier, pour attribuer une valeur à une série non convergente, il n'est pas autoriser de regrouper les termes (si on l'autorisait, on pourrait que tu le montres attribuer deux résultats différents à une même somme). Bref, les séries non convergentes sont difficiles à manipuler proprement !
+El Jj : jolie vidéo, tes remarques en début de vidéo sont sympas. Pour ton exemple ici présent, tu peux également parler de la commutativité qui saute pour les séries semi-convergentes ainsi que le problème du produit de séries convergentes qui peut donner une série non-convergente.
+Spencer one : c'est difficile de donner un sens "simple" à ces réponses. On est tellement habitué à nager dans les réels qu'on en oublie que ces derniers ne sont qu'une construction parmi d'autre, d'un point de vue mathématique. De même, la notion de convergence n'est qu'un choix arbitraire (mais qui marche bien pour ce qu'on souhaite faire) mais d'autres propriétés mathématiques amènent la création d'autres convergence et d'autres ensembles de nombres. Qui n'ont pas grand chose en commun avec les réels.
Par exemple, mon travail m'anèe à étudier des ensembles où la somme des puissances d'un nombre premier fixé (donc si p est un nombre premier fixé, par exemple 2 ou 3 ou 43 ou etc) 1+p+p^2+p^3+p^4+... = -(1/p-1). Ca a un sens pour ce que je fais ;)
T'es pas le premier à y avoir penser
En fait il faut distinguer les + de la sommation et les + d'addition de nombres complexes. Quand tu écris 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 + (1 + 1) + (1 + 1 + 1) + ... tu confonds les +
En fait pour mieux comprendre il vaut mieux formaliser, au lieu d'écrire u0 + u1 + u2 + ... on écrira ∑(un) ce qui est plus "intuitif" car formellement une série complexe c'est une application qui à une suite complexe associe un complexe
Du coup on aura par exemple l'égalité zêta(2) = ∑(un) = pi²/6 (= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...)
avec u0 = 1 et un = 1/n² pour tout n € IN*
Et donc dans ton exemple, en passant de 1 + 1 + 1 + ... à 1 + (1+1) + (1+1+1) + ... tu passes en réalité de ∑(1) à ∑(n), puisqu'on part du principe que les parenthèses délimitent les termes de la suite dont on calcule la série
En réalité le fait de pouvoir sommer comme tu l'as fait sur certaines suites est une propriété contingente qui marche uniquement pour les séries convergentes (il me semble) mais ce n'est pas une propriété axiomatique des séries. ;)
@@neloka4313 Merci pour ton commentaire. Selon moi, il est Important c'est de Souligner qu'une SUITE n'est pas équivalent à L'ADDITION DE PLUSIEURS NOMBRES, du fait que la première est UNE ADDITION N-AIRE ORDONNÉE, donc la seconde PLUS une autre propriété, et que l'on peut définir d'autres types de suites en rajoutant d'autres propriétés restrictives, ce qui bien évidemment peut donner des résultats Très Différents de L'ADDITION ARITHMÉTIQUE COMMUTATIVE. Qu'en penses-tu ?
Je suis toujours impressionné par la clareté de tes explication! Perso, le plus loin où je suis allé en mathématiques c'est la 2eme année de licence, donc j'avais déjà vu les sommes infinies, espaces vectoriels (et donc un peu de fonctions complexes), je ne connaissais pas les puissances complexes, l'holomorphisme et les prolongements, mais ça ne m'a pas gêné plus que ça. Bref, pour moi le rapport pré-requis/apport de connaissances est excellent! Et l'image à la fin est juste magnifique...
2:00 La fonction sinus ressemble à un polynôme car sin(x) = x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!...
c'est ce qu'on appelle une fonction analytique
Presque toutes les fonctions classiques (analytiques) se décomposent ainsi. C'est surtout que la même decomposition marche quelque soit la valeur de x et du coup on dit qu'il a un rayon de convergence infini. La technique d'Euler ne marchera pas sur 1/(1+x) malgré le fait qu'en tout point on peut l'écrire comme une somme infinie de polynômes. Le problème là c'est que ça peut pas être le même polynôme infini en chaque point. Le domaine d'applicabilité de cette décomposition polynomiale sera toujours limité du fait que le dénominateur a un zéro en x=-1. En fait même parmi les fonctions qui ont un rayon de convergence infini la decomposition d'Euler est correcte modulo des histoires de convergence et de régularisation mais aussi modulo un facteur supplémentaire contenant une fonction qui n'a aucun zéro. Par exemple exponentielle n'a pas de zéro et sin(x) exp(x) a les mêmes zéros que sin(x) du coup d'après la décomposition d'Euler, en les traitant comme des polynômes, ils vont se factorizer de la même façon ce qui est absurde. En fait le problème là c'est que exp(x)=(1+x/n)^n pour n qui tend vers l'infini donc il y a un zéro en x=-n qui se trouve en plus infini pour n infini et qui manque dans l'analyse. Pour plus de détails voir le théorème de factorization de Weirstrass sur Wikipedia par exemple (l'histoire du zéro à l'infini pour l'exponentielle est ma vision personnelle et il se peut que vous ne le trouverez pas écrit ailleurs).
Certainement une des (la?) meilleures vidéos sur le sujet! Merci.
Pour connaitre la répartition des nombres premiers, étant donné qu'on a beaucoup observé et que l'hypothèse de Riemann semble vraie, ne peut-on pas supposer qu'elle est vraie et faire toute la suite du problème ?
+akanegally Merci :)
J'aime tellement ton travail, toutes tes vidéos piquent ma curiosité et me donnent envie de rouvrir mes livres de culture scientifique! La vidéo sur Riemann a du être un sacré challenge à réaliser mais quelle merveille ! ^^
J'ai tout compris !
( Arf on est plus le 1er avril.. tant pis )
Euler était vraiment une rockstar des maths, c'est incroyable.
Merci beaucoup :)
Concrètement, en quoi la résolution du problème nous apprendrait quelque chose sur la répartition des nombres premiers ?
Concrètement, l'hypothèse de Riemann fournit (bien que ce ne soit pas évident au vu de sa formulation) un ordre de grandeur du nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné, ainsi qu'une estimation de l'erreur dans cet ordre de grandeur bien meilleure que ce que les gens sont actuellement en mesure de démontrer.
Renaud Riff : concrètement ζ'(s)/sζ(s)-1/(s-1) est la transformée de Laplace de ψ(e^u)-e^u où ψ(x) compte le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Connaitre les poles de ζ'(s)/ζ(s) (donc les zéros de ζ(s)) permet de majorer ψ(x)-x. C'est aussi (étrangement) le seul moyen connu de le faire.
en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formulae_(L-function)#Riemann.27s_explicit_formula
Globalement, les matheux n'ont juste pas de meilleure piste alors ils tentent des trucs.
Tu peux obtenir le graphe exact de la fonction π(la fonction qui compte les nombres premiers (à ne pas confondre avec 3,14...))
en modifiant la fonction Ri ou Li grâce aux zéros de ζ. La courbe lisse qu'est Li se rapproche de plus en plus de la fonction en escalier π.
Une autre chose si l'hypothèse est vraie alors l'inégalité
|π(x) - Li(x)|
C'est dans une soirée de cos où on s' amuse bien; l'un d'entre eux voit un sin tout seul dans son coin. Il lui demande: alors, tu ne t'intègres pas ? Et le sin de répondre: non merci j'ai pas envie d'être négatif.
4:26 1+2+3+4+5+.... est égal à -1/12 non ?
non
Il en reparle à 8:05
À 4:26 on ne disposait pas du prolongement, ζ divergeait vers + l'infini car 1+2+3+... diverge vers +l'infini
À 8:05 , ζ après prolongement donne -1/12, cette valeur a été obtenue grâce aux formules qui ont permis ce prolongement (7:27)
"définie comme somme infinie on ne peut pas lui attribuer de valeurs"
"si on s'efforce à lui donner une valeur finie alors c'est -1/12"
Même si il faut savoir ce qu'une fonction, je te félicite (même si ça a pris un tout petit peu plus, mais à peine plus, que deux minutes).
Expliquer l'hypothèse de Riemann en 13 minutes à un 3ème, c'est pas donné à tout le monde, bravo !
"Bâle comme la ville, pas comme celle du tennis"
Plus recherché qu'il n'y paraît ^^
Anfield Lights surtout quand on sait que le meilleur joueur de l’histoire du tennis vient de Bâle !
Bale et son célèbre trou!
Mec tu me fais encore plus kiffer les mathématiques complexes.
Continue comme ça gros !
Vive les maths ! ♡
11:37 Qui a spamé le bouton pause pour voir l'image subliminale? Moi, pas du tout *tousse*
+Baptiste Loreau Il met un Groudon sur la tête de Xavier Gourdon , lel
11:36
On dirai t raptor dissident
Je n`avais jamais vu une video de maths aussi bien faite !!! Merci El Jj
Bonjour El JJ, Est ce que vous avez un commentaire sur la vidéo de Micmath sur la somme 1+2+3+4+... =-1/12 et cette histoire d'Hendrik Casimir qui l'aurait valid" lors d'une expérience?
Je n'y connais pas grand chose en physique, donc je peux pas raconter grand chose sur l'effet Casimir, mais tu peux lire l'article de Science étonnante sur le sujet : sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/
c'est quoi les nombres de bernoulli? le reste ca va mais la du coup je peux pas comprendre la formule
Car Micmath à fait une vidéo totalement absurde.
La somme des entiers positifs est une série divergente donc par définition elle ne converge pas vers une limite fini ainsi en travaillant dessus comme il l'a fait dans sa vidéos avec tout un tas d'autre series divergentes il a supposé que cette série converge ce qui est faux donc son résultat est absurde
C'est comme dire que si tu avais des ailes tu pourrais voler donc même sans ailes tu serrais voler ....
Dans l'effet Casimir en calculant une énergie on trouve un infini qui provient de la divergence de la somme des entiers naturels. Il se trouve qu'on peut soit régulariser la somme et utiliser le prolongement de la fonction Zeta et trouver un résultat fini, soit de manière équivalente prendre en compte des effets de bords électromagnétiques qui rajoutent des termes "d'amortissement des hautes fréquences"et font converger la somme vers -1/12 * une constante. Les résultats obtenus sont égaux et sont ceux qui sont physiquement corrects. Donc l'effet Casimir ne "prouve" en rien que la somme des entiers vaut -1/12 (puisqu'elle diverge), cependant il peut donner une belle application des prolongements et des régularisations de sommes divergentes.
Tes vidéos sont de très bonne qualité, continues comme ça !
Du doliprane svp.
Mr.VB coder je suis dans le même cas que toi
Je suis sûr que t’a une fonction zêta en vb que tu peux importer 🤣
vraiment excellente vidéo comme d'habitude. Que se soit la présentation ou la musique.. vraiment chapeau 🎩
Je me demande : tous ces problèmes mathématiques, est-on sûr qu'ils aient une réponse définie (que ce soit 'oui', 'non', un numéro, ou un calcul) ?
C'est forcement vrai ou forcement faux (ça ne peut pas être ni vrai ni faux, ou vrai et faux si on a une question correctement posée) par contre ça peut être indémontrable. D'ailleurs y'a un théorème mathématique qui dit que dans toute théorie mathematique "habituelle" et cohérente, il existera forcément des énoncés indémontrables. On peut par contre démontrer qu'un énoncé est indémontrable...
Si je dit pas de conneries, il existe des problèmes insolvables dans un système d'axiomes donné.
Le théorème d'incomplétude de Göedel
Oui et le second montre que l'on ne peut pas savoir si une théorie axiomatique est contradictoire tant qu'on a pas montré qu'elle l'était (si elle l'est), me semble-t-il ?
Mougrouf pour faire plus clair "on ne peut pas montrer qu'elle est cohérente", mais il y a quand même deux-trois hypotèses et on connait des théorie qui ne les respectent pas dont on a pu monter la cohérence.
Vraiment, comme d'habitude, vraiment merci pour ce contenu d'excellente qualité :)
très bien présenté et intéressant mais je pense que le problème P = NP est le plus difficile
Ça m'a rappelé pas mal de choses de je ne sais plus quel épisode de podcast science; encore une superbe vidéo, j'ai l'impression que chaque vidéo est meilleure que la précédente :)
6:58 : petite erreur : ce n'est pas une droite, c'est un segment ! Mais bonne vidéo sinon !
non en analyse de fonction c’est une droite définie sur un espace précis
Superbe vidéo !! je suis en maths spé et bien que je m'y était jamais vraiment penché dessus j'ai enfin compris de quoi traite ce problème essentiel en mathématiques ! merci pour cette vulgarisation pas si vulgaire
Ça sert a quoi dans la vie ça ? J'accepte toutes les réponses 😂😅
Les Maths ne sont pas censées être utiles. Il s'agit plutôt d'une forme d'Art. Est-ce que l'Art a besoin d'être utile? Non? Pourtant, les gens apprécient l'Art.
Ça te convient comme réponse?
Quantum Plex merci pr ce message constructif 😊
De rien, maintenant tu comprends pourquoi les matheux utilisent souvent les termes "beau" voir "majestueux" pour parler des formules qu'ils ont découvertes...et pourquoi Leonard Euler, Carl Gauss et Srinivasa Ramanujan étaient considérés comme de véritables artistes par les matheux.
Si on maîtrise mieux la répartition des nombres premiers, hypothetiquement plein de système de cryptage seront bons à jeter (si j'ai pas tout confondu)
Rien... il y a une faute c sur ;)
Hey ! Je reviens de la Néocast, où on m'a conseillé ta chaîne au stand de VidéoSciences. Eh bien j'ai regardé toutes tes vidéos depuis hier soir, et je ne suis pas déçu ! Les vidéos sont vraiment cools, et puis ce n'est pas trop vulgarisé.
Etant en deuxième année de prépa j'ai déjà un petit niveau en maths, donc j'ai parfois du mal à trouver des vidéos qui vont assez loin.
En tout cas continue, j'ai hâte de voir ce que tu vas nous faire découvrir :)
Je ne le voyais pas du tout comme ça Gourdon !
j'ai lu pas mal d'article sur wikipédia autour de la fonction zeta pour comprendre ce que c'est, et j'avais globalement compris mais ta vidéo m'a permis d'en comprendre les enjeux et de clarifié certains points ^^
je vais maté toutes tes vidéos a partir de la 1ere !!!!
Merci beaucoup pour cette vidéo, grâce à toi j'ai (enfin) compris cette foutue hypothèse avec mon niveau de terminale S. Et je comprends mieux pourquoi on qualifie cette hypothèse de problème mathématique le plus dur qui soit. En tout cas, merci beaucoup et bonne continuation ! :-)
Ouaaaouuuuu.... C'est la première fois qu'on m'explique la fonction zêta et que je comprends [presque] tout (sauf l'histoire du prolongement). Merci :-)
+Emmanuel DESVIGNE
C'est le principe du prolongement ou la méthode utilisée pour prolonger Zêta que tu ne comprends pas ?
(Je peux peut-être t'aider dans le 1è cas, pas dans le seconde ^^')
+Me Em En fait, je comprends le principe de prolongement pour l'exemple donné : une droite. On prend LA prolongation qui semble conserver le plus de propriétés du segment initial. Mais pour zêta, il est dit qu'il en existe "des tonnes". Et que toutes se valent... Déjà, c'est louche. Mais ensuite, il est dit que zêta(0)=-1/2, ou que zêta(-1)=-1/12 (il me semble avoir déjà vu ça dans une des VDO de MicMaths d'ailleurs).... Mais comme il existe moult prolongements de zêta, on devrait avoir plein de valeurs possibles pour zêta(0) ou pour zêta (-1) non ??? Donc, quand on dit que 1+2+3+4+5....=-1/12, on devrait certainement pouvoir dire que 1+2+3+4+5...=-4/3 (au pif) si on avait choisi un autre prolongement de la fonction zêta. Non ?
Attention, je crois que tu as mal compris.
Il y a effectivement toute une flopée de prolongements possibles pour la fonction zeta (rien ne t'empêche de lui assigner n'importe quelle valeur là où elle n'est pas définie et ça donnera un prolongement), par contre, il n'y a qu'un "bon" prolongement (au sens prolongement qui conserve la propriété de zeta d'être holomorphe), c'est l'objet du théorème de "prolongement analytique" qui était affiché lorsqu'il expliquait ça.
+KGrayD Et le point supplémentaire important, c'est que même s'il existe des tas de formules qui prolongent zeta, à partir du moment où elles vérifient la bonne condition (à savoir, être "holomorphe"), tous ces prolongements seront parfaitement égaux là où ils sont définis. Quel que soit le prolongement défini en -1 que l'on utilise, on trouvera toujours zeta(-1) = -1/12.
+El Jj +KGrayD D'accord.... C'est beaucoup plus clair maintenant (et logique). Merci+++ pour vos compléments :-)
Excellente video, superbe, Riemannesque! Explications claires et montage au top. Bravo.
Super vidéo! Très bien expliqué et je trouve que le niveau mathématique nécessaire pour tot jien comprendre est juste bien dosé!
Merci bcp! (Je m'abonne)
Je tiens simplement à dire que la vidéo est géniale, comme d'habitude. Bravo!
merci mec, grace à cette chaine j'ai réussi à ,e réconcilié avec les maths après une longue rupture 👍🏻
Superbe vidéo, je me lasse pas de regarder les autres, sujets toujours intéressants et bien présentés. Continue ainsi !
La ligne de lecture du Lecteur RUclips coïncide parfaitement avec ton axe des abscisses... J'aime bien quand ça coïncide :-)
j'aime regarder cette vidéo uniquement pour cette phrase (qui me fait rire) "Les mauvais aussi mais ils ne sont des bon prolongement". au passage merci pour tes vidéos
Merci beaucoup l jj pour vos claires explications qui m'ont permis de bien conprendre le problème
Je viens de découvrir cette chaîne qui m'as l'air très interessante et qui vulgarise bien. Continue comme ça ;)
Riemann conjecture demonstration has been published by me on march 18th, 2022.:J.Sanchez , "On the Absence of Zeros of Riemann Zeta-Function Out of ℜ(z ) = 1/2. Advances in Pure Mathematics , 12, 178-185. Anyone wishing to comment on, contact me.
Willie Johnson
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Encore une superbe vidéo ! :D Sur ce je m'en vais démontrer l'hypothèse de Riemann par l'absurde
Très bonne vidéo El Jj, je ne peux qu'approuver en tant que mathématicien. C'était ma pause, je retourne travailler sur mes grassmanniennes, bisous !
+TheUneuro Oh ! Un Uneuro sauvage apparaît !
+JurgalWorld Coucou !
Ce qui est magnifique, c'est plus que 1+2+3+..=-1/12 mais intelligence réside aussi dans deux minutes = 13 minutes BRAVO
Excellente vidéo comme d'habitude. la j'avoue que tu m'as mis ko, ca surpasse ma compréhension mais ça m'a qd même bien éclairé sur le pb et les enjeux liés. Continue comme ça c'est un vrai plaisir de te suivre :)
Discours très fluide, bon rythme. Vraiment bravo :)
L'égalité 1+2+3+..=-1/12 ne provient-elle pas d'un "glissement de sens" ? Je m'explique : On définit la fonction zeta en chaque point de son domaine par une somme de série puis on la prolonge. Est-il encore sensé de dire que ce prolongement s'identifie à la somme dont on est parti en des points dont on a démontré qu'elle n'est, du moins avec une théorie classique, plus convergente ? Ce genre d'égalité ne découle-t-il pas de calculs formels auxquels on s'efforce de donner un sens ? Ou alors il y a qqch de l'ordre du concept qui m'échappe...
J'ai réussi à comprendre l'ensemble parce que j'ai déjà vu une vidéo sur le sujet; Mais c'est corsé :) Merci en tout cas pour le temps pris à faire cette vidéo. Elle est très instructive. :)
Bonjour intéressante cette vidéo j'aime bien la musique derrière dvp