eの正体とは?数学の定数ネイピア数と自然界の法則
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- Опубликовано: 3 янв 2025
- 前回の動画に引き続き、ネイピア数eの正体について探ります。
ネイピア数はπと同じく無理数であり超越数です。eという記号で表され、自然対数の底とも呼ばれます。
また、eを底とする指数関数e^xは微分すると元の関数が現れ、対数関数log(x)は1/xというきれいな形になります。
eに関しては様々な性質があり、また教科書を見るといくつもの定義が並んでいるので、初めて勉強したときに一体何を表しているのか分からず混乱したのではないでしょうか?
この動画では、eの定義の導出や、自然界から経済への活用まで、実用例も踏まえて解説しています。
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noutore_123@yahoo.co.jp
#数学#ネイピア数
教科書だと急にネイピア数とその定義が出てくるけど、こんな感じの導入があったらすごい分かりやすいね
この動画のお陰で理解できました。ネイピア数の "ｅ" という記号は、対数螺旋を図案化した物なのですね！
ネイピアという人が最初に研究をしたから日本では「ネイピア数」と読んでいるんだけど、ヨーロッパではより詳しく研究した数学者オイラーの名前をとって「Euler’s number」って呼んでいるから、世界中の人がわかる数学の記号としてEulerの頭文字をとったeを用いているんです。
@@Yu-zz9dm なんかスマンなあ
@@buddhagautama673 なんで謝ってはるんですか？
だから教科書は嫌い。
普通に数学IIIやる前の人が見たら丁度いい内容の動画！
自身に比例して変化する現象がeで表せるという解説はすごく分かりやすかったです！
「一つ一つ意味を考えれば理解できそう」これすごく大事だと思う。
9:33
ここめっさ納得した
俺数IIまでしかやってなかったからネイピア数とかよくわかってなかったけどめちゃくちゃ日常に出てくるんだな…
めちゃくちゃ細かいところ指摘してる人いますけど、そこまでこだわってない人からしたら今の状態が一番分かりやすいです
これからも動画待ってます！
まあ専門的な内容をやる以上そういうミスを指摘するのも仕方ないと思う
ただの指数関数が絡む法則を、あたかもeが支配しているかのように表現するのはただの嘘なので仕方ないかと
サムネの1
数学を興味深く考察する動画これからも待ってます！最高です！謎解きもいいですが数学考察楽しみにしてます〜
文系でも分かるようになってて超絶面白い
受験終わったら数学掘っていきたいな〜
リーマン予想
結の穴
@@クエイボマローンマントルまで深掘りさすな
e^(-rx)だったらrを加減すれば底は変えられるからネイピア数がというより指数関数がすごいって話な気がする
群論や環論への導入が強く意識されているな
半年前くらいからネイピア数に興味があるが微分とかが分からなくてこれから4年間やる数学を今全力で勉強してます予習なので難しいです
微積に関してはネイピア数eの指数関数が不動点としての役割を持っていますが、そのような性質を特別なものであるとすると、離散的な和分差分の世界では2の指数関数(2^x)が、和分差分という操作に対して不動点として振る舞うので、そのような意味では2という数も特別な対象であると考えることができます。連続的な世界におけるe^xに対する離散的なバージョンとして2^xが挙げられる。
しかしながら、離散的な指数関数の世界から逆に連続的な指数関数という世界を考えてみても、やはりネイピア数は微積の概念と深い関わりがあると言える。
もう最近謎解きでは無くなってきている気がする
こっちの方が嬉しい
カイセツラボ
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明らかに数学の動画の方が視聴回数とれてるみたい...
でもまた謎解きもやってくれるはず
@@munk0916
この手のトラップ久々に見た
この世の謎を解くって意味でしょ
どこの大学か忘れたけど一見ただの確率の問題かと思いきや答えに自然対数が出てくるみたいな入試問題あって感動した記憶
2022の共通テスト数ⅠAで出てた筈…
やっぱおかしいよあのテスト...
よくあるのは1/nをn回引いた時当たる確率はn→∞でeになるってのは
ほぼほぼ定義から明らかってのもあったりなかったり
完全順列の問題はn->∞で1/eになるね
eの正則連分数展開も綺麗ですよね！
なんて有意義な動画なんでしょう!ありがとうございます。大切な対人の距離感の微分は揺れ動く心の変化率、運命を形作る心の傾向性を表し、さらに微分すると加速度の果ての光速、光明仏性性善説とも理解できます。数学的妄想で楽しく遊ばせてもらってます。
こんな複雑な数がπと虚数i累乗して1足すとゼロになるって… 世の中はもっと単純なのかもしれない（語彙力）
あれはどちらかと言うと人間が都合良くそうなるように定義したという認識が正しいと思う（複素関数論を参照）
@@vonneumann6161 👏👏
今回もありがとうございます
2:40 ここらへん超わかりやすいな
このように理解すれば式とかど忘れした時もたてられるやん
もとより教科書ちゃんと読めばそう書いてあるはず
本来先生がこうやって説明してくれるはずなんやけどな
lim n→∞ n！／n＊n＝eになるのも不思議ですよね
lim[n→∞, Σ[1, n, k/k!]]=e
は聞いたことあるけど…
n＊n ってなんですか？
n！/nⁿ→0(n→∞)だと思うんですけど
n＊nってnⁿの事じゃないならなんですか？
普通＊(というより*)は掛け算を表すので、指数を表したいなら^を使うべきかと
すみませんでしたm(_ _)m
皆さんのおっしゃる通りなんですが、その記号の打ち方が分からなくて😭
世の中は相対で動いている。
むしろ絶対で動くものこそ意外と少ないのだ。
e＝2.718...とまるで絶対的にその値が定まっているように思えるが、その実は微分におけるある種の「法則」にある定数に過ぎない。そもそも微分というのは「値」を求めるものでなくて、せいぜいむずかしい事柄を「相対」的にみて理解することが本質だ。その相対的にみる物事において「一定である」ということが、つまり「e」なのである。
金利も突き詰めれば一定ということも、対数螺旋の一定角度も、要するに「fx=e^x」をどこまでも微分してもその関数自身に変わらないというのが、それがこの世で「最もシンプルである」ことの証明であるのだろうか。
学校よりも分かりやすいかつ幅広いジャンルのことを説明してくれるから助かる
人間の成長もこんな感じですね。初心者では成長が早く、熟練者の成長は遅い。こういった原則を知る事が自身の成長にも繋がるのかな？
ここを高校数学でさらっと浅く説明する教師が多すぎて数学嫌いになる学生が増える原因の1つになるのがこれ
実在物理学の事例を1つも挙げないのは理解しようとする生徒の苦痛を産むだけだと未だに理解されていない
むしろ謎解きより数学の解説動画の方が好き
eが自然対数の底はそのとおりだけど、螺旋とか温度とかは、e^bθ=(e^b)^θなんだから、現象がeに支配されているというよりは単にeにしたほうが式として扱いやすいからそう書いてるだけじゃない？r=0.5^θだって螺旋だよね
待ってました！！！
この続きとして微分方程式取り上げたら面白そう
まじわかりやすいけど、自分頭良くないから再生速度落として見ないと理解しながら進めん😭みんなスゴすぎ
とても面白かったですよ
基準か、、、、、、、
わかりやすっっ
高校の時にこんな動画が欲しかったよ…ン十年前…
(4:31)のn=1/hという変形は、厳密に言うとあまりよろしくない変形です。h→0というのは正から近づけたのか、負から近づけたのかの区別がつけられないため、純粋にn→∞とするのは危ないです。
このチャンネル雑学チャンネルみたいな系統だからそこまで厳密性求めるのが違う気がする…
@@見たら登録コメ活イフレン絶対 正から近づけたのか負から近づけたのかって高校レベルでめちゃくちゃ大事なことだと思います
hって長さだから正の値しかとらないから0
@@もちもち-k5o 数2の極限は結構ざっくりしてるので確かにそのように勘違いしてしまうかもしれませんが、hは長さではありません。したがって負も考えます。数3の極限でその辺を学びますよ！
@@salmon_math 嘘やん、グラフ上でのxからx +hまでってx座標が大きい方から小さい方引くから意味としては長さだと思った、、
高1やけど全くわからん
6:30
底をeにしてるからそりゃそうなる
対数螺旋や温度変化の話は、eの肩に定数が乗っているため、ただの指数関数であり、「eが自然法則を支配している！！」というのはおかしい
微分とかをしやすいようにeを含む形で表現しているだけ
途中の数式をいじるところで数学的厳密性を犠牲にして分かりやすさを優先するのは視聴者層を考慮すれば妥当だとしても、こういう「誤解を招く表現(あるいはただの嘘)」は悪質なのでやめていただきたい
おおおおー－、これまで聞いたことの無い解説じゃった！
e^(ab)=A^b(A=e^a)なので途中のいくつかの自然現象にeが現れるという表現には無理があるかと。
eの美しさは純粋数学の中に現れるものです。
ですよね。
その理屈通るならなんでもありじゃんって思いました。
宇宙の謎を解いて行くスタイルほんま好き
ほんとに数学って興味深いな〜！
8:12
これネイピア数じゃなくて指数関数の性質やんけ
最近数学ってこんなだよってのが多くて助かるんですけど、偉大な数学者とかの紹介も見てみたいです！
ラマヌジャンとかガウスとかすごいらしいですけど、すごいらしいしか知らないんで(´ω`)
微分（導関数求めても）しても、変わらない関数という基準を求める発想はわかるが、無数にある関数の中で、なぜいきなり指数関数を選んだのかが気になってしょうがないです。
普通に2のxじょうとか底が2の対数関数とかを微分してみると、なんか変なものがくっついてくるなあ→eが見つかったって流れだと思いますよ。初手で微分して変わらない関数を探そうとしたわけじゃないと思います。
逆に指数関数以外で微分しても変わらない関数は無いだろうか？ってことだよね
これはy'=yという微分方程式を解いた結果
微分しても変わらないのは「底がeの指数関数）✕定数」だけだと導かれている事を既に人類は知ってるんです。ですが、ネイピア数を新しく学んだような初学者に「微分方程式」を持ち出しても分からないので、逆算してヒント「答えは指数関数である」を与えて考えていると捉えればいいですかね！長文失礼しました。
それを厳密に求めるには初歩的な数学じゃ無理だから、そこを誤魔化したっていうことでしょうね。
微分しても変わらない関数を求めたいなら微分方程式を使うといいです。
☆ y = y' となる関数を求める。
y = 0 は明らかにこの解である。
y ≠ 0 とする。y = y' ⇒ 1 = y'/y. この式の両辺をx で不定積分する⇒ ∫ 1dx = ∫ y'/ydx ⇒ x + c = ln y ⇒ y = e^(x+c).（ln は自然対数。つまり、ln y = log_e y という意味です）
ということで、微分しても変わらない関数は指数関数(とy=0)のみであるということが証明できました🎉
因みにこれは変数分離形と呼ばれるメジャーな微分方程式です！ウィキブックスの「解析学基礎/常微分方程式」というページでは、たくさんの微分方程式の解法が紹介されているので興味があれば覗いてみてくださいね！
めちゃくちゃ待ってました！
y = 0を微分しても導関数は一致しませんか？
しません
@@maka9431 なんでですか
@@animisorog9463 xでy＝0を微分しようとしても有限確定値(元のyの式にxがない)を取らないから。
@@animisorog9463 y=e^xの定数倍なので一致します
特に言うことないけど解答が気になるので通知もらえるようにコメント残してます。
無限小時間で無限回数の増加をすることの根底として考えると、ネイピア数はビッグバンとかに使えそう
更にネイピア数の理解が深まりました
高校受験生自分、高校楽しみすぎて勉強が捗る
数学の世界は、自然界などにも存在するんだね。
Nice!
ヒヨコイよりもヒヨコイだった…
学生時代の時に見たかった・・・。そうしたら、もっと数学がいー感じに好きになれたかもしれなかった。eだけに。
[06:49] x軸の目盛上で、e(2.71828…)が2より小さい位置となっているのはどうなんですかね？
他にも書いている方がいらっしゃいますが、こういう風に教えてくれたら…
んで、銀行には幾ら貯金したんですか？
新しい動画が上がったのを見るたびにワクワクする😋
0や1のことを
加法単位元とか乗法単位元と呼んだりするように
eにも累乗法単位元などといった呼び名があったりするんでしょうか？
「a^xはlimitと関係がないので外に出すことができる」という理由付けの言い回しはどうかと思う。
「(この極限操作において)a^xは0でない定数なので」か、
「もしlim(a^h-1)/hを収束することがわかっていたとすると」か、
いずれかどちらかの前置きをしれっと挟んでほしい。
分量との兼ね合いがあることは理解するが、発散する関数f(x)に対して0*f(x)の0を極限の外に出してはいけないが、それを含めて「関係ないので」と言っているにしても、不親切です。
うまく噛み砕いて説明しつつも嘘にならない上手な言い回しの工夫が必要だと思います。
誤解を生む表現ですよね〜
youtubeの動画程度にこまけーやつやな
@@kazeno_hafuriko 専門的動画で誤解を生じる内容があったら指摘するのもおかしくないやろ
limit絡んでるのに両辺に数字かけていいのかとか、結構極限について曖昧だからちょっともやもやしたとこあるこの解説
ネイピア数eはπの1/logπ乗とも言えます。
e進数とか作ったら何か分かったりするのかな
積分しても変わらない数って無いのかな？
y=e^x
厳密には積分しても元の関数と同じという関数は存在しない。
余計にCがついてくるから
1と∞の中間は2っていう共役指数のイメージが強い
中1だけどわかりやすいのいいですね！
きちんと理解するには数Ⅲの内容を理解している必要があります。まずは数Ⅱの微分積分から入って、そこから理解するとよいでしょう。今ならネットに無料の良い教材がたくさんあるので、数学的センスがあれば中学生でも理解できると思いますよ。(まずは自学自習。わからないことがあれば学校で先生に聞きにいこう。※ただし教育学部出身の先生だとうまく説明できないかも(^o^;)
中1でこれが理解できるのは将来有望
@@もぐのすけ-t7z ありがとうございます!
この動画の中でちょっと触れている、対数螺旋＝黄金らせん？黄金比？みたいなの興味あります
カタツムリとかアンモナイトとか
簡単に求められるから2.718っていう数字が出てくると嬉しい
中間にしては１にあまりにも近すぎる気がするよね
品川と博多のちょうど中間が新横浜ですって言われてるみたいで
物差しの目盛りが一次関数じゃなくて
対数関数になるってそういうことなんだろうけど
概念として中間ってだけで実数として中間という事ではないねこれ
中の人の地が出まくってるVtuverはさしずめe次元
ナゾトキラボさんや視聴者の皆様本当に頭が良い…📝👓️ヒヨコイレベルと仰っておりますが、全然ヒヨコイさんでも頭良くないですか？😂ここにいる人皆東大卒なのかしら…🏫☀️本当に尊敬します！！
オイラーの定理も頼むぜ
a^xノ微分モa^x⇒aハeト定義トスル
とするのが数学的に正しくなくても、数学的に正しい気がする
l(1+1/∞)^∞ をeと定義したくナイ。なんとなく これはホントは
公式の様な気がする。
教科書の定義はキニナル😆
大学に入って、代数学の講義の最初でｅが出てきた。講師がどんな説明をするのかと思っていたら「これは例のｅです」で終わった。これが大学かと感心した（嘘）。
微分方程式してわかった、eがどれほど自然界に必要なのか
ヒヨコイ、髪がeみたいになっててかわいー
これ学校の授業で流してほしいなw
新作来てるぅ！！喜ばずにはいられないッ！
これは理系ホイホイやから数3とかをしてない人にはキツイかもね
めっちゃタイムリーやな
さすがについていけない、怒涛
粘ればきっとすげー楽しくなるんだろうな
１を「無限大乗」した数？？
9:16の黄金比か。A対B＝B対（A＋B）。
特に無いですね(即答)
その法則を操れたり無視したり吸収できる我々には関係ないことですね。
3:54 この操作数学科の教授にダメって言われたけどなんで？
収束するかどうかも分からん極限を等号で結んでるからちゃうん
lim (c f(x))＝c lim f(x) は両方の極限値が存在する場合のみ成立する性質ですので。
（もし lim f(x) が存在しなかったらそもそも＝という記号を使えません。）
今回の場合は lim(h→0) a^x · {(a^h－1)/h} で後ろの方の式がまだ収束する（＝極限値が存在する）かどうかがわからないので、勝手に a^x を外に出すのはダメです。
先に lim(h→0) {(a^h－1)/h} が 1 に収束する、というのを条件として掲げておいたらまぁ問題ないのかなと。
台風が、東から来たのをネイピア数で分析してほしい
ついでに不思議だと大騒ぎしないのは、どんな現象なの?
教育関係者から言わせてもらうと、
専攻する人には正確に教えなければならなくて、この動画の説明には粗がある。
でもその分野に詳しくない人や初学者に説明するときは、厳密さより簡潔さが大切。最初から情報量多いとそもそも興味持たないよ。
微分積分習ってねぇー高1だけで、理解すんのムズ！
2の半分は1ということにしてたけど、√2と考えてもいいのかと最近おもったw
ぜっんぜん、分からん！😵🌀 でも、面白い♪☺️
すげえなんかこういうの知ると興奮してくる
でもなぜ対数を2回取ったんだろう？
多分eでの値を0にしたかったから。んで±∞を擬似的に実数として扱って、中間値の定理っぽくしたかったんだと思う。
１リットルのポカリスエットを百ml分飲んで
百ミリリットルの真水を入れる
これを無限回繰り返すとポカリの濃度はどうなりますか
0
「1Lのポカリを1mL飲んで1mLの真水を入れる」を1000x回繰り返すとポカリの濃度は最初のe^(-x)倍になります
自然数や円周率を「自然に存在する」としてるけど、自然界には自然数も円周率も存在しないんじゃないかな。
数学上の概念だけでしょ。
ニコニコでも見たいなあ
まっすぐな線を一本足して8を作れ！→まっすぐな線を十本足して8を作れ！→まっすぐな線を三百十本足して8を作れ！→あとはお好きなように8を作る→8が出来ました！
そういう歴史があったのね
同じことの繰り返し、がeの名前だよな。
サイコロを何度も振る。
最近、理解したすぎて夜しか眠れなかったネイピア数キター
むっちゃ健康ーー
8:24
誰に教わったわけでも「お」なく
インチや寸に近いのは偶然だろうけど笑ってしまう