Hitotsubashi University's integer problems are interesting.
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- Опубликовано: 18 окт 2024
- This time, we will explain Hitotsubashi University's integer problems!
When you start learning congruent expressions, you tend to convert everything into remainders. This video is a reminder to those who do.
This is one question that you should definitely take, so make sure you master it!
![The best of integer problems with too much to learn [Mathematical Olympiad].](http://i.ytimg.com/vi/N_7SFu93e8c/mqdefault.jpg)
![The best of integer problems with too much to learn [Mathematical Olympiad].](/img/tr.png)
9:02 で6で割った余りが2と5になる理由がわからない人へ
nを6で割った余りを考える→n=6k+0~5と表す
nを3で割った余りが2よりn=6k+0~5≡2(mod3)であればよい
6k+0~5≡0~5≡2 であればよい
0~5の中で3で割った余りが2であるのは2と5のみ
ありがとう
頭悪く3k＋2のkに代入して6で割ってったら流れは掴めるよな
大学受験の問題見るの本当に好きで社会人になった今でも本屋で赤本立ち読みしてます
河野さんの大学受験解いてみたシリーズも大好きです、これからも動画待ってます！
前回の動画で知ったmodを使用する良問で分かりやすくてスッキリした笑
a≡b(mod m) ⇔ na≡nb(mod mn) は初めて聞きましたが、言われてみれば明らかですね
6で割ったときの余について。n=6k+0〜5と表せる。
今、n=6k+0〜5≡2(mod3)となればよい。
6kは3の倍数だから6k≡0(mod3)となって、
(6k+)0〜5≡(0+)2(mod3)を考えて、2になるのは2と5。
これは、nが2か5である時、割り切れると言っているが、2つ目の条件でn=2のときは1余ると言っているから5が当てはまるとわかる。
すごい分かりやすいです！
実は京都よりも一橋のほうが整数大学
マジで合同式って便利よな。
いつもお世話になってます😊
気持ちい問題ですね！
とてもわかりやすい
受験終わってから受験数学が強くなってく自分w
それはある
受験勉強に追われずやる勉強の方が伸びると思う
すごくわかる。
@@ディゥイツ プレッシャーってスゴいよな
サッカーやる体力がなくなってからサッカーIQが上がった自分がいる。
(1)別解
与式=(n+1)(n^2-n+1)
より、n+1またはn^2-n+1が3の倍数
n+1のときn=3k-1(k≧1)
n^2-n+1のとき
n^2-n+1=(n-2)(n+1)+3
⇔n-2またはn+1が3の倍数
⇔n=3k-1(k≧1)
従って、n=3k-1(k≧1)のみ
(これより題意を満たすとき与式は9の倍数であることもわかった)
別解2
与式=(n+1)^3-3n(n+1)
より、
(n+1)^3が3の倍数
⇔(n+1)が3の倍数
⇔n=3k-1(k≧1)
だがmodは偉大
はやく見れたーーー
(2)
aを整数として3a-1の形になるものを奇数乗する(定数項は±1または0と置ける、また式全体の定数項が零になればよい)と考えて
n=6a-1,但aは自然数
しかしながら
検算が暗算では困難
余はラマヌジャンではないのだ
金輪際数学受験することなんてないのに、問題みた途端にmodかな？って思えるぐらい数学力ついてしまった。元々そんなに得意じゃなかったのに…
今の受験生は本当に恵まれている。
チャート式以降の学生にとってはやる気の問題。全部書いてある。
大した数学力でもなくて草
大した数学力じゃなくて草
そこまでは誰でも行けるんじゃない？wそこからが大事
@@user-lz2su9fs3n辛辣だけど言ってることめちゃくちゃ正しいの草
一橋と東工大って憧れる
今数Aでやってる範囲だからありがたい
mod楽しい、初めてこういう系でノーヒントで行けた。モチベなるわ
やべぇ神やん
1:40 理解できず詰み
毎回こんなんだけど見ちゃう
神解説
Modular arithmetic offers concise solutions like what Kouno Sensei did in his video, yet experience-based tricks such as 2ⁿ ≡ (-1)ⁿ (mod 3) being shown might not appear in your mind. Binomial theorem (actually serves to prove some basic mod properties, and used to "filter out multiples of 3" in this question) is a tool that helps to bridge gaps.
Let f(n) = nⁿ + 1. If n is a natural number, the division algorithm asserts that
n = 3m+k where k is an integer and k ∈ {0, 1, 2} - the 3 cases are explored separately:
Case 1, k=0:
f(n) = (3m)ⁿ + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 (mod 3)
⇒ f(n) is not divisible by 3
Case 2, k=1:
f(n) = (3m+1)ⁿ + 1 = [(3m)ⁿ + ... + Cⁿ₁(3m) + 1] + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3)
⇒ f(n) is not divisible by 3
Case 3, k=2:
f(n) = (3m+2)ⁿ + 1 = [(3m)ⁿ + ... + Cⁿ₁(3m)(2)ⁿ⁻¹ + 2ⁿ] + 1 ≡ 2ⁿ + 1 = (3-1)ⁿ + 1 = [3ⁿ + ... + Cⁿ₁(3)(-1)ⁿ⁻¹ + (-1)ⁿ] + 1 ≡ (-1)ⁿ + 1 = (-1)ᵐ + 1 (mod 3)
(Spotting f(n) = [3(m+1)-1]ⁿ + 1 would do the same with only 1 expansion.)
When 2ⁿ appears, to keep separating multiples of 3 out, 2ⁿ = (3-1)ⁿ is a quite natural way to do so. This bails you out even when 2ⁿ ≡ (-1)ⁿ (mod 3) is overlooked (many geniuses would think that it is obvious...).
From here things proceed as in the video: there are 2 sub-cases, which are "m is odd" and "m is even" - clearly only the former sub-case makes f(n) divisible by 3.
who are you
記述するときはどんな感じで書けばいいんですか？動画のをちょっと丁寧に書けば点数貰えますか？
それでいいと思います😊
二項定理で解いたら大変😱
先週これ解いたのですがこの問題出たときはmod教科書に書いてなかったので赤本の解説は2項定理でした
ヤバそうですね…
n=3k,3k+1,3k+2を代入するけど指数のnは残して(3k+2)^n+1のように書けばそんなにごちゃごちゃしない。
展開すれば3の倍数＋2^n＋1になって、ここで初めて指数側に3k+2を代入して４×8^k＋1となる。
あとは4×(9-1)^k+1を展開して36の倍数＋4 ×( -1)^k+1がでてきてkが奇数(=2L+1)なら3で割り切れるからn＝3(2L+1)+2=6L+5がでてくる。
青チャでは二項定理やった
高一の俺にはまだ早かったのか
合同式は代入のための式ではないということですねー
最後の部分、中国剰余定理を使っても解ける
最後の余りが5になる理由教えてください！
高一なんですがこれ解けるの凄いですか？
めちゃおもろ
Mod使えば楽ですね。
普通なら因数分解して答えを求めるのが筋
法まで整数倍していいってみんな知ってた？割と数学マニアだけど初めてしった！！！！衝撃
これ数2青チャートの最初の方の例題であるよね
数Aですね
数学IIであったね
合同式では指数の変換はできない
modを使って条件を満たす自然数を求める
かけることができる
おもしろい
8:22のnが偶数で2、nが奇数で0ってのは自明ということで大丈夫なのでしょうか。
合同式で必要条件攻めまくったらいけた
なんか河野くんと解いてみると河野くんがどう解いているのかが分かる！
備忘録60G"【 mod3 の合同式を用いると、】 n ≡ 0, 1, 2 と表すことができる。
⑴ n≡ 0 のとき n³＋1≡ 1 ∴ 不適, n≡ 1 のとき n³＋1≡ 2 ∴ 不適,
n≡ 2≡－1 のとき n³＋1≡ 0 以上より、 n≡ 2 ⇔ n＝ 3k＋2 ( k ∈非負整数 ) ■
⑵ n≡ 0 のとき nⁿ＋1≡ 0ⁿ＋1≡ 1 ∴不適, n≡ 1 のとき nⁿ＋1≡ 1ⁿ＋1≡ 2 ∴ 不適,
n≡ 2≡－1 のとき nⁿ＋1≡ (－1)ⁿ＋1≡ 0 ( ただし n ∈奇数 )
以上より、n＝ 3k＋2＝ 2ℓ＋1 ･･･① ( k, ℓ ∈非負整数 ) 《 1次不定方程式 》
⇔ 2･( ℓ－2 )＝ 3･( k－1 ) 2と3は 互いに素より、 k－1＝ 2m ∴ k＝ 2m＋1
①に代入して、n＝ 6m＋5 ( m ∈非負整数 ) ■
注意⚠ modp の合同式において a≡b のとき、
aⁿ≡bⁿ は真○、 n^a≡n^b は偽✕
【 底の合同変換は○、指数の合同変換は✕ 】
合同式習ってない段階で今年の青チャート(数Ⅱで)は練習7で出してきました。(2番目の問題の類題だけどまあほぼこれと同じ)
合同式ってすごい便利そうだなと思いました新高2です
n^3+1を因数分解してしまった。
n^n+1でも出来るんですかね？
nが正の奇数の時しか因数分解出来ないですよ。
ちなみに、a^n+b^n(nは正の奇数)の因数分解は慶應の医学の入試問題に出されていました。
動画の1:30~2:10にかけての質問なのですが
0³+1、1³+1や2³+1などと1、2、9は≡で結んで良いのでしょうか？それとも=で結んだ方が良いのでしょうか？誰か教えていだけると幸いですm(_ _)m
どちらでもいいそうですよ！
ただ、学校とかだったら≡のまま計算しろ！とか習ったりするので一応≡の方が良かったりするかもです！
たしかに 0³+1 = 1 ですが、余りの世界(modのもと)で考えているので、基本合同式で表します。
=より≡のほうがガバガバだから、俺は繋げられる時は必ず=で繋げるね。これも流派による違いかな？(笑)
@@すとろんぐ-u2c ありがとうございます！m(_ _)m
@@moca7523 ありがとうございます！m(_ _)m
9:42 黄チャの基本例題123でこれ使ってみたんですけど、できませんでした。
確認なんですが、
2n≡-34(mod84)は2と84が互いに素ではないから2で割ってはいけないんですよね。
でも、
2n=84k+50
n=42k+25(k≧0)←(この問題では)
の形ならokですか？
どなたか分かる方教えていただけると助かります
追記
n≡1(mod12) n≡4(mod7)
7n≡7(mod84) 12n≡48(mod84)
35n≡35(mod84) 36n≡60(mod84)
n≡25(mod84)でいけました。
4か月前のコメントなので他で解決してる可能性が大だとは思ってますが…
そして黄色チャートを所持してない為、問題を
「2n≡-34(mod84)のとき、n≡？？(mod84)」
と推測して私の回答予想を答えさせていただきます。
2n=84k+50
n=42k+25(k≧0)←(この問題では)
ここまではいいと思うのですが、これを
n=84m+??
という形に変換したいのだと思います。
この時、kが奇数か偶数かで状況が異なりまして、
(42kが84で割り切れるか否かに着目)
①kが偶数の時
k=2mとおく(m≧0)
n=42k+25に代入して
n=84m+25
となるため
n≡25(mod84)
②kが奇数の時
k=2m+1とおく(m≧0)
n=42k+25に代入して
n=42(2m+1)+25=84m+(42+25)=84m+67
となるため
n≡67(mod84)
よってn≡25or67(mod84)
となるのかなぁと思っています。
問題想定や回答が間違っていたり、すでに解決済みなようなら無視してください。
nが偶数の時n^n≡0,1 (mod3)よりn^n+1≡1,2(mod3)
したがってnは奇数である。
n≡0 (mod3)のときn>0からn^n+1≡1 (mod3)
n≡1 (mod3)のときn^n+1≡2 (mod3)
よってn≡-1(mod 3) かつn≡1 (mod2)⇔n≡-1 (mod6)が必要。（同値変形は中国剰余定理）
f(x)=x^n+1とする。
nが奇数の時(-1)^n=-1だから
f(-1)=0なのでf(x)=(x+1)g(x) (gは整数係数多項式)
f'(x)=nx^(n-1)=g(x)+(x+1)g'(x)より
f'(-1)=n=g(-1)なのでg(x)=(x+1)h(x)+n (hは整数係数多項式)
したがってf(x)=(x+1){(x+1)h(x)+n}
f(n)=n^n+1=(n+1){(n+1)h(n)+n}
よってn≡-1 (mod3)のときf(n)≡0 (mod3)
以上よりn≡-1 (mod6)は十分。
したがってn^n+1が3の倍数⇔n≡-1(mod6) (nは正整数)
なんかそこまで難しく感じなかった、成長というのか…
1番って3k－1(1く＝k)でもいですか？
よく見たら「＜」じゃなくて「く」で草
@@クライスラー-p8e 不等式打つのめんどいからくにしちゃったwww
≦
油断してたけど間違わなかった。
(1)って、n=3k-1(k≧1の自然数)でもいいの？
文系プラチカのやつやん
商業科の自分には何一つ分からぬ…
(2)の答えってn=6k-1(kは自然数)でも可能ですか？
その法の数なら何回足しても引いても合同だから、合ってますよ。
阪大プレの過去問に似たようなのがあった気がする
自然数…習ったのは正の整数なんだけどなぁ…答えにkやらxやら入っていいんや…
これ文系プラチカにあって簡単に初見でも解けました。
問題はさておき、modの読み方俺の地元の高校ではモッドって言ってたけどみんなどうなの
頭良すぎてついていけない…
これ解いた時直ぐにmod6閃いて怖かった
(1)で
n^3+1≡0(mod3)
n^3≡-1
n:自然数より
n≡-1
3k-1 (k:1以上の整数)
とやったのですが間違えているところなどありますか？
n:自然数よりのところが、nはmod3の法のもとで-1,0,1しか存在せず上式を満たすのが-1だけという意味でしたら正しいですが、n^3≡-1(mod3)から式変形でn≡-1を導いたのでしたら間違い（or 証明不足）になりますかね。（前者の方法は動画と同義です）
合同式の計算では、掛け算はどのように計算しても問題はありませんが、割り算は非常に注意する必要があるので、そこが明確にわかるように記述するのがベターだと思います。
まあ、コメント欄なので多少省いてるかもしれませんが…
11:08 ここで2式を引き算して同値になる理由が分からないです。誰か教えてくれると助かります
これは良問なのか？
源斗さんが使っているホワイトボードみたいなアプリは何ですか？
この問題青チャに載ってたな
（2）青チャートに載ってた！
(1)の答え3k＋2までは理解しましたがこれが答えじゃないですよね？
n=3k+2を満たすnは全て問題の条件を満たします。k=0,1,2...といくつか代入してみて下さい、全て3の倍数になっていることが確かめられます。
9:02 これ分からない
2から5までの数で割っていって見てください
9:00 なんで2か5になるん？
誰かヘルプ
3で割った余りが2になるのは
2,5,8,11,14,17,…
これらを6で割った余りは
2,5,2,5,2,5,…
って発想かなーって思いました！！
2と3しか扱わなくて済むから運が良かったですね。
明日の「Qさま3時間スペシャル」に、河野玄斗さんと、山上大喜さんと、上田彩瑛さん他が出演するので、河野玄斗さん達の事、応援しております‼️
n 5乗＋n＋1が素数となるnを教えてください。お願いします。
nの条件はなんですか？
xのa乗をx^a
と書きます
n^5+n+1
= (n^2+n+1)(n^3−n^2+1)
ここでn^2+n+1はn
どうやって因数分解思いつきましたか？文系ですみません。
@@きーうい-u3e 河野玄斗さんがあげてる因数分解の動画より
x^5+x^4+1を解説しているものがあって、それを見るのが良いかと思います
同じ解放でいけるので。
2n^2×2+1
2×整数^2×2+1
は3の倍数になります
なぜ3の倍数になるか説明せよ
っていうのを中間で出てきたのを思い出した。
by私学中1
8:50
3で割ったときの余りが2なので6で割ったときの余りは2か5ってなるのが分かんないです。誰か教えて下さい🙏
自然数は0以上ですか？
それとも1以上ですか？
わかる方教えてください！
基本的に1以上ですよー！
大学からは0以上とすると言う人もいますが、
@@岸信介清水 わざわざありがとうございます！
なんか解説あると、解ける
全く分からない、高３間に合う？
受験はあくまで冬。あと半年しかない、みたいに焦らず着実に進めるのが大事だと思いますよ
例外はあるかもしれんが、一般に理系学部のある大学の入試なら、「すべて求めよ」って言ったら解が有限個の場合になるのが暗黙の了解だと思う。なんか変。
今更の返信になるけど、自分がまさにその考えにハマっちゃって(1)でn=3k+2になったとき無限にあるから間違いかってなった
@@アルミカン-d6d そうなんです。無限に定義される数を全て列挙することができない場合に、一般式を使うのが大前提なので、「すべて求めよ」とあれば、一般式など使わずに有限に列挙できる題意であるとするのが普通です。出題者が本当に数学問題の専門家なんだろうかとさえ思います。
早い話が「２で割り切れる自然数をすべて求めよ」と言ってるのと同じなんです。いかにナンセンスか。
プラチカ、、、
今日やったばっかなんだが
なぜ6で割ったときの余りが2か5なんですか？？
そこだけ本当に詰まってるんで誰か教えて下さい！(._.)
その前に3で割った余り（mod3）が2である事が説明されているからです。
6で割った時の余りが2,5の時だけこの条件を満たします。
同様にmod2が1なので6で割った時の余りは1,3,5のいずれかの時この条件を満たすので、2つとも条件を満たすのは5だけです。
よって答えは6k+5（kは0以上の整数）、もしくは6k-1（kは自然数）となります。
@@skybluewastaken
最初の四行の意味が分からんぬ
確かに説明されてますが、なぜそのとき5か2ってわかるんですか？
これは知識の問題でしょうか、、
@@hanamaru4443 nを6で割った余りを考えると
n=6k+0~5 と表せる（0~5という書き方は便宜上認めてください。）
ここでnを3で割った余りが2より6k+0~5を3で割った余りも2になるはず
つまり6k+0~5≡2(mod3)になればよい
6k+0~5≡0~5≡2となる0~5の数は2と5のみ こんな感じです
@@お早め なるほどです
それを暗算ですぐに出したってわけですか、、、
なかなか高度ですね😬
きもちええええ
9:00 の「6で割った時のあまりは2か5」ってどうやって分かるのでしょうか？誰か助けてくださると嬉しいです>
mod3(3で割る時の話)なのに、0〜5の範囲で考えるだけで、6で割った時の余りが分かっちゃうのですか？
まだmodについてよく理解できていなくてすみません！
@@真人間-n4i 動画のやつくらいなら暗算でいけるんですけど、「151で割った時の余りが3のとき、233で割ると何が余る」みたいになっても、modの何かしらの法則で計算できるのかな？と疑問に思いました>
@@ponzu_game ありがとうございます！分かりやすかったです
これって高校何年の内容で解けますか?
一年じゃない？人によって半年
高校の授業でmodに触れるところは多くないから高校何年になると解けるってのはそんなになさそう。modについてある程度わかってたら中学生でも解けるような気がする。
@@an_punch 駿台レベルだと高１から普通に出たし(使うとクソ楽になる)、大学進学目標の高校なら習うんじゃないかな
@@nohara___misae
そういえば出てたね。
ていうかmodってどこでも習うようなものなの？俺の学校は習いたい人だけ休日に学校行って習ったから通常授業で習うとこは多くないのかなって
@@an_punch 教科書にも青茶にも発展事項で載ってるし、上にも書いたように学校が大学進学目標なら大抵おしえるとおもあ
おほほ
いち
え、1じゃない？
ごめんなチャイナ
おー