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πとlog21の比較を考えてしまった
logをとるとスケールが小さくなるから厳密にやらないといけなくなるって誰かが言ってた
この問題、受験生時代に過去問分析してるときは全く気付かなかったけど「21世紀はいい（e）こと一杯(π)」というメッセージを込めて出題したんだとその後どこかで聞いて、なるほど！と。
当時の理1受験生です。この問題にも正解して合格しました。私の本番での解き方はもっと文系的で明快でした。2.71^3 = 19.9 なので 2.71^0.14 > 1.1 を示す、というところまでは同じですが、2.71^0.14 > 2.71^0.125 = ((2.71^0.5)^0.5)^0.5 = √√√2.71 > 1.1 これを示します両辺を2乗して √√2.71 > 1.21再度両辺を2乗して √2.71 > 1.46もう一度両辺を2乗して 2.71 > 2.13以上、証明終了。世界一明快で簡単な回答だと思います。0.125 が 1/8 ということに目をつけた近似ですね。本番では一瞬で解けて、手前味噌ですが実にかっこいい解き方にテンションがあがってましたｗ
これはかっこいいな
すごい
最初から√√√2.71>1.1って式にしてから証明始めていいんですか？
@@lm_0x まず 2.71^3.14 > 21 という式を証明する式までは積分出来たという前提で話しますね。2.71^3 = 19.9... は手計算で求まります。そして、21 以上を証明する必要があるので、2.71^3 × 2.71^0.14 > 21 、すなわち 2.71^0.14 > 21/19.9 を証明することになります。21/19.9 = 1.055... となるので 2.71^0.14 > 1.06 を証明するのでも良いのですが、今回は結構余裕があるので、計算しやすいように 2.71^0.14 > 1.1 として計算を楽にしています。2.71^0.14 > 2.71^0.125 = √√√2.71 > 1.1 > 1.06 > 21/19.9 となるわけです
@@nico_pro示すはずの不等式を、あたかも最初から正しいかのような書き方でいいのかな、という趣旨の質問かと。まぁ俺は多少書き方に注意すれば良いと思うし、それが気に入らないのなら不等号を逆にしてプチ背理法にするのもありかなぁって。
10:25 この記述の仕方よくない。頭痛が痛いみたいになってる
面白かった。大学1年の数学の範囲になるけど、テーラー展開の偉大さが分かる。
ちなみにe^π-π=19.999...でほぼ整数になる
すげー！証明見てみたい
計算するだけなんだから証明とか存在しないだろ😅
ゲルフォントの定数って名前がついてるものが21より大きいことを示せって問題。多分いろいろな参考書が想定解としている接線近似法そこまで頻出ってわけでもないから(出すときは大体誘導付き)難問扱いされることが多いのかな。いわれてみたらなんだこの程度かって内容の単純さだから悔しくなるタイプの難問。e^π自体は23.1くらいの数だから結構アバウトな評価でも大丈夫なのが救い。
第5の解法。スマホからの投稿につき大雑把に。e^π>2.71^3.14>2.7^3.125=2.7^3×2.7^0.125=19.683×2.7^(1/8)=Aとおく。さらに2.7^(1/8)=Bとおく。ここでB=(√2.7^2)^(1/8)=√2.7^(1/4)>2.6896^(1/4)=1.64^(1/4)=(√1.64^2)^(1/4)=√1.64^(1/2)>1.6384^(1/2)=1.28^(1/2)=√1.28>√1.2769=1.13よりB>1.13よってA=19.683×B>19.683×1.13=22.24179>21だから、e^πは21より大きい。
すごい。1.64²≲2.7、1.28²≲1.64という評価法はあらかじめ頭に入れておかないと使えないですね。私自身、(2⁷)²=16384という整数形は当然のように知っていましたけど、×10⁻² した形での利用ははじめて見ました。
e^π > 21 の両辺対数を取って、π > log(21) を示すのかと思ってしまったlog(21) = log(e^3 × 21 /e^3) = 3 + log[21/e^3] からlog(21) < 3 + log[21/(2.7)^3] < 3 + log(1.07)ここで、log(1+x) < x (for x ≪ 1) よりlog(21) < 3.07 < 3.14 < π 的な。
私も、その方法で解きました
ネイピア数の定義から考えると(1+10/1)^10がeより小さいのは明らかだから、e^π>e^3*e^0.1>2.7^3*(1.1^10)^0.1>21のようにしても良さげ？
証明問題でeが2.71...とか πが3.14... であることを導出なしにいきなり使っていいのか気になりました。
元々の問題では近似値が与えられておりましたので使っています！
e は与えられなくても lim(1+1/n)^n の n を適当な値代入してやればそれより大きいのは示せるけど、π の値を与えられず導出しないといけないなら大変すぎますね。内接する正n角形の辺の和より円周は大きいことを使えば 3.1 より大きいことくらいは示せそうだけど、それだけで別の問題にできるくらいの重さ。
@@passlaboじゃあ近似値が与えられてなかったら頑張って導出しないといけないってことですか？
みんなハイ完やってみて！これいっぱい出てくる
最後の二項定理の係数がだんだん小さくなるのって、そんなに自明なんですかね。ちょっと不安になった。
自明ではありませんね。全く別の証明が必要になってきます。素直に第6項目を計算すればあとは減少することが自明に言えるので、動画内で最初に説明した評価方法で2.591+0.00252*5=2.6036となって、2.7を超えることはありませんでした。
@@約数関数 返信、解説ありがとうございます！理解できました。
1.1の10乗までは辿り着いたんですが、その後電卓使ってしまいました……二項定理便利ですね
無理数の無理数乗の値の評価は、文系（数Ⅱまで）では近い有理数の有理数乗の値を二項定理など用いて計算して行うのでしょう。そのときに、指数が正で底が1より大きいとき、x>yならばa^x>a^y、a>bならばa^x>b^xであることは「原理」として扱うようです。文系ではeはそもそも扱われないですが、Σ1/n! で定義していれば、項を増やすと増加するので、e>2+17/24が分かり、(2+17/24)^3>19.8が計算で示せます。π>3+1/8なので、2+17/24>(1+1/9)^8を二項定理を利用して示し、e^π>(2+17/24)^(3+1/8)>19.8×10/9=22が微積分ぬきで示せると思います。
指数関数の微分ができれば、a^x も x^a も一次導関数が正なので単調増加、と言えるのは当然じゃないかな？と一瞬思ったけど、指数関数の微分って数Ⅱではやらないんでしたね。逆に範囲外の内容を「原理」ってしちゃっていいのか…。
たむらかえで接線を考えるというのが感動した一問だったと言われていたのを覚えていたけど，考えてみれば単にテイラー展開して近似していけば全然難しくないのか もちろん接線を考えるのが一次近似という前提で
12:48 あたりの議論、後ろ6個の項が0.021より小さくなることを示す必要はないんでしょうか？
両辺の対数取って1/xの積分使って面積比較、だと思いました。
e^xのマクローリン展開や、logx/xの増減表などを使って、ゴリゴリ計算して示しました。log3の7の近似値も求めて使いました。
e^π>23を示せという問題になると, eは2.718, πは3.14のレベルまで正確に出さないと厳しいですね.
下からは有名でもうみんな知ってると思うけど、上からの評価もできるようになって欲しいね
8:55あたり 不正確かつ真逆のテロップになってますね．「1.14で計算してもいいけど1.1で計算しても21より大きくな『る』」と言っているハズ
テーラー展開臭いことすればできるんですねー。勉強になります！
どうも例の筋が暗躍しているので、日本語多めで小噺を一つ乗客「うわ～緊張するわ～俺今日飛行機に乗るの初めてなんだ～」機長「大丈夫ですよ。私も操縦するの初めてですから」計算のめちゃくちゃ得意な人向け。これなら小学生でも解ける人いるはず。両方8乗するe^8π > 2.7^25 = 3^75/10^2521^8 = 3^8*7^8両方3^8で割ると 3^67/10^25 と 7^8 の比較となる。3^67/10^25 > 80^16*3^3/10^25 = 2^48*3^3/10^9 > 1000^4*2^8*3^3/10^9 = 2^8*3^3*10^3 = 69120007^8 < 50^4 = 6250000 < 6912000
テイラー展開やっぱり強し
E>2.71,Pi>3.14E^Pi>22.8836>21って考えて動画開いたけど合ってるかしら（見てない）
2.7の1/2乗の1/2乗の1/2乗を計算して解いたなぁ
確かにe^(0.14)は指数が0に近いからマクローリン展開で良好な近似ができるって発想があればかなり楽になったなー。めんどくさい計算を長々としてしまった。
1.1^10は強引に計算しても良さそうですね。
ネイピア数は下10桁、円周率は下100桁暗記しているワイ高みの見物。そんなの覚えてどうするの？とはもう言わせない。
22
eのπ乗は23くらいの実数なのにそれをi乗すると-1になる不思議
pi>e^(pi-2)を示せという問題を解いてほしいす
そもそもπが3より大きいとか証明が必要なのでは？π＞3.14が既知というのは前提条件なの？示されてないけど。eについても同様。
1999年第6問見れば分かるけど書いてあるんだよ。
いっつも｢パスラボの整数丸｣に聞こえる
マクローリン展開の不等式xの6乗まで作ってときましたw
解4のギリギリ感好き
ふなひとはち...鮒一鉢...覚え方＜ネイピア数＜wikipedia より
ln21=ln3+ln7=＜ln3+ln7.2＜ln3+lne²=2+ln3ln（（1+x）/（1-x））=2（x+x³/3+x^5/5+……）（1+x）/（1-x）=3，x=0.5ln3≈2（0.5+0.125/3+0.03125/5）≈1.096∴π＞ln21∴e^π＞21
自分で解いたときは解4だったなあ 傾きとか面積近似は一回やらんと思いつきにくいよね
ChatGPT 3.5先生に教えていただきました。e^π と 21 どちらが大きいですか。
「e^π＞23」の高難易度版の証明でもよかろうか。
πとeそれぞれの近似値の上振りを求めて最大で21以上かどうかで答えになるはずなんやけどなπは2005年のあれでいけるけどeの近似値が2.713以上になるのがわかれば21以上やし2.62以下になれば21以下
これって指数×三角関数の積分結果として帰着した不等式でしたっけ。過去問でやった気がするがこんな短かったっけ
自分が受験生だったときは不等式の意味をちゃんと理解していなかったんだなって思います。"マイナスかけたら逆向きになる"だけであとは方程式と同じみたいな認識だったというか。。。大人になった後でもいろいろ気づかさせてくれるいいチャンネルだね。あと解き方を一つだけじゃなくて別の解き方も示してくれるのもgood!解き方なんてきちんと理にかなっているいればいくらでも存在しても良いというのも,数学の面白いところだね♪
頭のいい人は発想力が違うんだなと思った次第・・
y＝logx/x で増減表とグラフ書いて求めてもいいの？
展開して5次位まで雑に計算したら21超えるな〜ってなったけど、大学入試だとあかんのかね
標準問題精講でやった！
0.021以降が、0.021以下になる説明はいらないのですか？1/10^nは減少するけど、10Caは増加するから、なんとも…直感的にはわかりますよ。けど、なんかモヤが、高一なんで、難しい説明はわかりませんが、有識者さん教えてください
おなじことおもいましたよ。10個だから全部かいてもよいし、この場合に限って言えば10Cnのnがn+1になっても倍率は(10以下)/(10以下)、せいぜい10倍だから、1/10が一つ増えるの考えて、全部それ以下なんでしょうけど。
10Caは10C5が一番でかいからね。
@@oku13 なるほどです！ありがとうございます！10Caと10Ca+1で最大値探すやつですね！
∵e^3＞20；e^4＞50∴e^7＞1000=10³； ∵21³=9261＜10000=10^4 ∴21^9＜10^12∴9ln21＜ln10^12=ln(10³)^4＜4lne^7=28＜9π∴π＞ln21∴e^π＞21
3ln22=ln10648=4ln10+ln1.0648∵ e^7＞2.7^7＞1046＞10^3∴ 3ln10＜7， ln10＜7/3∵ x→0，x/（1+x）＜ln（1+x）＜x∴ ln1.0648 ＜0.0648∴ 3ln22＜ 28/3 +0.0648∴ ln22 ＜28/9 +0.0216 ＜ 3.14＜π∴ e^π ＞22 ＞21
解４の2項展開のところ, 1+1+0.45+0.12+0.021+.... 6項め以上の6項を5項めの値で上回らせて6倍すると2.7より大きくなってしまうようですが，ちゃんと隣同士の項比較をすると前の項より0.45以下と分かるので0.5倍x6＝3倍で済みOK．もしかしたら4項めの値から等比級数で上回らせられるかも(やってないので不明)．
大学入試でテイラー展開するのってどうなんだろう・・・とは思う
記述でやっていいかどうか怪しいけど少なくとも検算とか予測とかには良いのでは？
解１の接線 おもしろいね でも自分ならもっと違う解き方するとおもう
最後はちゃんと二項係数計算して評価した方がイイと思われ〜🥰0.021×6 では大雑把すぎ。1+1+0.45+0.12ここまで二項展開で出てくる組み合わせ総数2^10=1024のうち1+10+45+120=176を使っているわけだから、残りは1024-176=848これを使って(1+(1/10))^10
こっちの方がイイかな…。パスカルの三角で 1.1^5=1.61051 はすぐ出るから、1.1^10=(1.1^5)^2
まぁニュートン近似よな
𝑒=𝑙𝑖𝑚[𝑛→∞]{(1+1/𝑛)^𝑛}なので、動画内では𝑙𝑖𝑚[𝑛→∞]{(1+1/𝑛)^𝑛}>(1+1/10)^10を遠回りに示しているだけに思ってしまいますね。やるとしたら𝑦=(1+1/𝑥)^𝑥 が𝑥>0で単調増加であることを示すくらいかと。ただ、確かに文系の人向けと言ったら二項定理で示すしかないかもしれないです。ちなみに私は解1(に1番近い方法)で解きました。
e^(iπ)なら脊椎反射で-1と答えられる自信ならあるけどな…
文系はe知らんねん
もと数字大好きの文系にジジイですが、Taylor展開を持ち出す必要はないのですね。大学入試の問題だからな。
e=2.71、π=3.14という数値は問題文に指示もないのに勝手に使っていいんですか？
34万人登録で7万再生いいね1000未満細かく切りきざまれ理解よりさきぱやに流れる動画直ぐに消される式動画の途中で書いているので誤解があったら申し訳ありませんが序盤でヨビノリに慣れてしまった僕はとてつもなく一部の人向けに思えてみるに耐えない知識の乏しい人や忘れかけてる人も分かりやすくしていただけたら数学を好きになるかも知れないが好きな人が作って好きな人が見てるスタッフに数学が苦手な(一般的に)人をいれてみてはいかがでしゃうか？まずはご自身の動画再生、視聴回数、コメント数からの分析をなさっては？
早大理工卒です解２が一番しっくり来たかも。
早大理工卒です←要らない
1秒で解いた
なんでe^π＞21を示したい時に平均値の定理にπと3を当てはめてみようってなるんですか？3がどっから出てくるのか知りたいです
πより小さい最大の整数だから、3でやることによって不等式の小さい部分が最大の整数になるから解きやすいっていう感じだと思います
常用対数表の整数の部分は受験生なら覚えるものという言説をみたことがあるのですが覚えてても出題者から提示されてない場合は使ったらどこまで減点されるでしょうか?試しに常用対数表見ながらやってみたら正答と言えるかは自信ないですが結構楽だったもので気になりました。本題から離れますが常用対数を使う方針でやって最後にpi>3.05でやろうとしたら失敗しました。
常用対数表の整数部分って、全部ゼロじゃないのかな？覚えた？？
@@MISOKUSO 失礼しました。真数が整数の部分(log2 log3 log5 log7)のことです。
とてもゴリ押しπ>3.125=25/8(e^π)^8(20*7)^5=20^5*7^5=32*10^5*7*49^2=32*10^5*7*(50^2-2*50+1)>32*10^5*7*(50^2-2*50)=16*10^7*7*(50-2)=16*10^7*7*48=16*10^7*7*3*16=21*2^8*10^7=(16+5)*2^8*10^7=2^12*10^7+5*2^8*10^7=2^12*10^7+2^8*10^8=2^12*10^7+(20^2)^4=2^12*10^7+(400)^4=>2^12*10^7+(80)^4=2^12*10^7+(2^3*10)^4=2^12*10^7+2^12*10^4>21^8e^π>e^3.125>21
πとlog21の比較を考えてしまった
logをとるとスケールが小さくなるから厳密にやらないといけなくなるって誰かが言ってた
この問題、受験生時代に過去問分析してるときは全く気付かなかったけど
「21世紀はいい（e）こと一杯(π)」というメッセージを込めて
出題したんだとその後どこかで聞いて、なるほど！と。
当時の理1受験生です。この問題にも正解して合格しました。私の本番での解き方はもっと文系的で明快でした。
2.71^3 = 19.9 なので 2.71^0.14 > 1.1 を示す、というところまでは同じですが、
2.71^0.14 > 2.71^0.125 = ((2.71^0.5)^0.5)^0.5 = √√√2.71 > 1.1 これを示します
両辺を2乗して √√2.71 > 1.21
再度両辺を2乗して √2.71 > 1.46
もう一度両辺を2乗して 2.71 > 2.13
以上、証明終了。世界一明快で簡単な回答だと思います。0.125 が 1/8 ということに目をつけた近似ですね。
本番では一瞬で解けて、手前味噌ですが実にかっこいい解き方にテンションがあがってましたｗ
これはかっこいいな
すごい
最初から√√√2.71>1.1って式にしてから証明始めていいんですか？
@@lm_0x
まず 2.71^3.14 > 21 という式を証明する式までは積分出来たという前提で話しますね。
2.71^3 = 19.9... は手計算で求まります。そして、21 以上を証明する必要があるので、
2.71^3 × 2.71^0.14 > 21 、すなわち 2.71^0.14 > 21/19.9 を証明することになります。
21/19.9 = 1.055... となるので 2.71^0.14 > 1.06 を証明するのでも良いのですが、
今回は結構余裕があるので、計算しやすいように 2.71^0.14 > 1.1 として計算を楽にしています。
2.71^0.14 > 2.71^0.125 = √√√2.71 > 1.1 > 1.06 > 21/19.9 となるわけです
@@nico_pro示すはずの不等式を、あたかも最初から正しいかのような書き方でいいのかな、という趣旨の質問かと。
まぁ俺は多少書き方に注意すれば良いと思うし、それが気に入らないのなら不等号を逆にしてプチ背理法にするのもありかなぁって。
10:25 この記述の仕方よくない。
頭痛が痛いみたいになってる
面白かった。大学1年の数学の範囲になるけど、テーラー展開の偉大さが分かる。
ちなみにe^π-π=19.999...でほぼ整数になる
すげー！
証明見てみたい
計算するだけなんだから証明とか存在しないだろ😅
ゲルフォントの定数って名前がついてるものが21より大きいことを示せって問題。多分いろいろな参考書が想定解としている接線近似法そこまで頻出ってわけでもないから(出すときは大体誘導付き)難問扱いされることが多いのかな。いわれてみたらなんだこの程度かって内容の単純さだから悔しくなるタイプの難問。e^π自体は23.1くらいの数だから結構アバウトな評価でも大丈夫なのが救い。
第5の解法。スマホからの投稿につき大雑把に。
e^π>2.71^3.14>2.7^3.125=2.7^3×2.7^0.125=19.683×2.7^(1/8)=Aとおく。
さらに2.7^(1/8)=Bとおく。
ここでB=(√2.7^2)^(1/8)=√2.7^(1/4)>2.6896^(1/4)=1.64^(1/4)
=(√1.64^2)^(1/4)=√1.64^(1/2)>1.6384^(1/2)=1.28^(1/2)
=√1.28>√1.2769=1.13よりB>1.13
よってA=19.683×B>19.683×1.13=22.24179>21だから、e^πは21より大きい。
すごい。1.64²≲2.7、1.28²≲1.64という評価法はあらかじめ頭に入れておかないと使えないですね。
私自身、(2⁷)²=16384という整数形は当然のように知っていましたけど、×10⁻² した形での利用ははじめて見ました。
e^π > 21 の両辺対数を取って、π > log(21) を示すのかと思ってしまった
log(21) = log(e^3 × 21 /e^3) = 3 + log[21/e^3] から
log(21) < 3 + log[21/(2.7)^3] < 3 + log(1.07)
ここで、log(1+x) < x (for x ≪ 1) より
log(21) < 3.07 < 3.14 < π 的な。
私も、その方法で解きました
ネイピア数の定義から考えると(1+10/1)^10がeより小さいのは明らかだから、
e^π>e^3*e^0.1>2.7^3*(1.1^10)^0.1>21
のようにしても良さげ？
証明問題でeが2.71...とか πが3.14... であることを導出なしにいきなり使っていいのか気になりました。
元々の問題では近似値が与えられておりましたので使っています！
e は与えられなくても lim(1+1/n)^n の n を適当な値代入してやればそれより大きいのは示せるけど、π の値を与えられず導出しないといけないなら大変すぎますね。
内接する正n角形の辺の和より円周は大きいことを使えば 3.1 より大きいことくらいは示せそうだけど、それだけで別の問題にできるくらいの重さ。
@@passlaboじゃあ近似値が与えられてなかったら頑張って導出しないといけないってことですか？
みんなハイ完やってみて！
これいっぱい出てくる
最後の二項定理の係数がだんだん小さくなるのって、そんなに自明なんですかね。
ちょっと不安になった。
自明ではありませんね。全く別の証明が必要になってきます。
素直に第6項目を計算すればあとは減少することが自明に言えるので、動画内で最初に説明した評価方法で
2.591+0.00252*5=2.6036
となって、2.7を超えることはありませんでした。
@@約数関数 返信、解説ありがとうございます！理解できました。
1.1の10乗までは辿り着いたんですが、その後電卓使ってしまいました……
二項定理便利ですね
無理数の無理数乗の値の評価は、文系（数Ⅱまで）では近い有理数の有理数乗の値を二項定理など用いて計算して行うのでしょう。
そのときに、指数が正で底が1より大きいとき、x>yならばa^x>a^y、a>bならばa^x>b^xであることは「原理」として扱うようです。
文系ではeはそもそも扱われないですが、Σ1/n! で定義していれば、項を増やすと増加するので、e>2+17/24が分かり、(2+17/24)^3>19.8が計算で示せます。
π>3+1/8なので、2+17/24>(1+1/9)^8を二項定理を利用して示し、e^π>(2+17/24)^(3+1/8)>19.8×10/9=22が微積分ぬきで示せると思います。
指数関数の微分ができれば、a^x も x^a も一次導関数が正なので単調増加、と言えるのは当然じゃないかな？
と一瞬思ったけど、指数関数の微分って数Ⅱではやらないんでしたね。
逆に範囲外の内容を「原理」ってしちゃっていいのか…。
たむらかえで接線を考えるというのが感動した一問だったと言われていたのを覚えていたけど，考えてみれば単にテイラー展開して近似していけば全然難しくないのか もちろん接線を考えるのが一次近似という前提で
12:48 あたりの議論、後ろ6個の項が0.021より小さくなることを示す必要はないんでしょうか？
両辺の対数取って1/xの積分使って面積比較、だと思いました。
e^xのマクローリン展開や、logx/xの増減表などを使って、ゴリゴリ計算して示しました。
log3の7の近似値も求めて使いました。
e^π>23を示せという問題になると, eは2.718, πは3.14のレベルまで正確に出さないと厳しいですね.
下からは有名でもうみんな知ってると思うけど、上からの評価もできるようになって欲しいね
8:55あたり 不正確かつ真逆のテロップになってますね．
「1.14で計算してもいいけど1.1で計算しても21より大きくな『る』」
と言っているハズ
テーラー展開臭いことすればできるんですねー。勉強になります！
どうも例の筋が暗躍しているので、日本語多めで小噺を一つ
乗客「うわ～緊張するわ～俺今日飛行機に乗るの初めてなんだ～」
機長「大丈夫ですよ。私も操縦するの初めてですから」
計算のめちゃくちゃ得意な人向け。これなら小学生でも解ける人いるはず。
両方8乗する
e^8π > 2.7^25 = 3^75/10^25
21^8 = 3^8*7^8
両方3^8で割ると 3^67/10^25 と 7^8 の比較となる。
3^67/10^25 > 80^16*3^3/10^25 = 2^48*3^3/10^9 > 1000^4*2^8*3^3/10^9 = 2^8*3^3*10^3 = 6912000
7^8 < 50^4 = 6250000 < 6912000
テイラー展開やっぱり強し
E>2.71,Pi>3.14
E^Pi>22.8836>21
って考えて動画開いたけど合ってるかしら（見てない）
2.7の1/2乗の1/2乗の1/2乗を計算して解いたなぁ
確かにe^(0.14)は指数が0に近いからマクローリン展開で良好な近似ができるって発想があればかなり楽になったなー。
めんどくさい計算を長々としてしまった。
1.1^10は強引に計算しても良さそうですね。
ネイピア数は下10桁、円周率は下100桁暗記しているワイ高みの見物。そんなの覚えてどうするの？とはもう言わせない。
22
eのπ乗は23くらいの実数なのにそれをi乗すると-1になる不思議
pi>e^(pi-2)を示せ
という問題を解いてほしいす
そもそもπが3より大きいとか証明が必要なのでは？π＞3.14が既知というのは前提条件なの？示されてないけど。eについても同様。
1999年第6問見れば分かるけど書いてあるんだよ。
いっつも｢パスラボの整数丸｣に聞こえる
マクローリン展開の不等式xの6乗まで作ってときましたw
解4のギリギリ感好き
ふなひとはち...
鮒一鉢...
覚え方＜ネイピア数＜wikipedia より
ln21=ln3+ln7=＜ln3+ln7.2＜ln3+lne²=2+ln3
ln（（1+x）/（1-x））=2（x+x³/3+x^5/5+……）
（1+x）/（1-x）=3，x=0.5
ln3≈2（0.5+0.125/3+0.03125/5）≈1.096
∴π＞ln21
∴e^π＞21
自分で解いたときは解4だったなあ 傾きとか面積近似は一回やらんと思いつきにくいよね
ChatGPT 3.5先生に教えていただきました。
e^π と 21 どちらが大きいですか。
「e^π＞23」の高難易度版の証明でもよかろうか。
πとeそれぞれの近似値の上振りを求めて最大で21以上かどうかで答えになるはずなんやけどな
πは2005年のあれでいけるけどeの近似値が2.713以上になるのがわかれば21以上やし
2.62以下になれば21以下
これって指数×三角関数の積分結果として帰着した不等式でしたっけ。過去問でやった気がするがこんな短かったっけ
自分が受験生だったときは不等式の意味をちゃんと理解していなかったんだなって思います。
"マイナスかけたら逆向きになる"だけであとは方程式と同じみたいな認識だったというか。。。
大人になった後でもいろいろ気づかさせてくれるいいチャンネルだね。
あと解き方を一つだけじゃなくて別の解き方も示してくれるのもgood!
解き方なんてきちんと理にかなっているいればいくらでも存在しても良いというのも,数学の面白いところだね♪
頭のいい人は発想力が違うんだなと思った次第・・
y＝logx/x で増減表とグラフ書いて求めてもいいの？
展開して5次位まで雑に計算したら21超えるな〜ってなったけど、大学入試だとあかんのかね
標準問題精講でやった！
0.021以降が、0.021以下になる説明はいらないのですか？
1/10^nは減少するけど、10Caは増加するから、なんとも…
直感的にはわかりますよ。けど、なんかモヤが、高一なんで、難しい説明はわかりませんが、有識者さん教えてください
おなじことおもいましたよ。
10個だから全部かいてもよいし、この場合に限って言えば10Cnのnがn+1になっても倍率は(10以下)/(10以下)、せいぜい10倍だから、1/10が一つ増えるの考えて、全部それ以下なんでしょうけど。
10Caは10C5が一番でかいからね。
@@oku13
なるほどです！
ありがとうございます！
10Caと10Ca+1で最大値探すやつですね！
∵e^3＞20；e^4＞50
∴e^7＞1000=10³；
∵21³=9261＜10000=10^4
∴21^9＜10^12
∴9ln21＜ln10^12=ln(10³)^4＜4lne^7=28＜9π
∴π＞ln21
∴e^π＞21
3ln22=ln10648=4ln10+ln1.0648
∵ e^7＞2.7^7＞1046＞10^3
∴ 3ln10＜7， ln10＜7/3
∵ x→0，x/（1+x）＜ln（1+x）＜x
∴ ln1.0648 ＜0.0648
∴ 3ln22＜ 28/3 +0.0648
∴ ln22 ＜28/9 +0.0216 ＜ 3.14＜π
∴ e^π ＞22 ＞21
解４の2項展開のところ, 1+1+0.45+0.12+0.021+.... 6項め以上の6項を5項めの値で上回らせて6倍すると2.7より
大きくなってしまうようですが，ちゃんと隣同士の項比較をすると前の項より0.45以下と分かるので0.5倍x6＝3倍で済みOK．もしかしたら4項めの値から等比級数で上回らせられるかも(やってないので不明)．
大学入試でテイラー展開するのってどうなんだろう・・・とは思う
記述でやっていいかどうか怪しいけど少なくとも検算とか予測とかには良いのでは？
解１の接線 おもしろいね でも自分ならもっと違う解き方するとおもう
最後はちゃんと二項係数計算して評価した方がイイと思われ〜🥰
0.021×6 では大雑把すぎ。
1+1+0.45+0.12
ここまで二項展開で出てくる組み合わせ総数2^10=1024のうち
1+10+45+120=176を使っているわけだから、残りは
1024-176=848
これを使って
(1+(1/10))^10
こっちの方がイイかな…。
パスカルの三角で 1.1^5=1.61051 はすぐ出るから、
1.1^10=(1.1^5)^2
まぁニュートン近似よな
𝑒=𝑙𝑖𝑚[𝑛→∞]{(1+1/𝑛)^𝑛}なので、動画内では
𝑙𝑖𝑚[𝑛→∞]{(1+1/𝑛)^𝑛}>(1+1/10)^10
を遠回りに示しているだけに思ってしまいますね。
やるとしたら𝑦=(1+1/𝑥)^𝑥 が𝑥>0で単調増加であることを示すくらいかと。
ただ、確かに文系の人向けと言ったら二項定理で示すしかないかもしれないです。
ちなみに私は解1(に1番近い方法)で解きました。
e^(iπ)なら脊椎反射で-1と答えられる自信ならあるけどな…
文系はe知らんねん
もと数字大好きの文系にジジイですが、Taylor展開を持ち出す必要はないのですね。大学入試の問題だからな。
e=2.71、π=3.14という数値は問題文に指示もないのに勝手に使っていいんですか？
34万人登録で7万再生いいね1000未満
細かく切りきざまれ理解よりさきぱやに流れる動画
直ぐに消される式
動画の途中で書いているので誤解があったら申し訳ありませんが
序盤でヨビノリに慣れてしまった僕はとてつもなく一部の人向けに思えてみるに耐えない
知識の乏しい人や忘れかけてる人も分かりやすくしていただけたら数学を好きになるかも知れないが
好きな人が作って好きな人が見てる
スタッフに数学が苦手な(一般的に)人をいれてみてはいかがでしゃうか？
まずはご自身の動画再生、視聴回数、コメント数からの分析をなさっては？
早大理工卒です解２が一番しっくり来たかも。
早大理工卒です←要らない
1秒で解いた
なんでe^π＞21を示したい時に
平均値の定理にπと3を当てはめてみようってなるんですか？
3がどっから出てくるのか知りたいです
πより小さい最大の整数だから、3でやることによって不等式の小さい部分が最大の整数になるから解きやすいっていう感じだと思います
常用対数表の整数の部分は受験生なら覚えるものという言説をみたことがあるのですが覚えてても出題者から提示されてない場合は使ったらどこまで減点されるでしょうか?試しに常用対数表見ながらやってみたら正答と言えるかは自信ないですが結構楽だったもので気になりました。
本題から離れますが常用対数を使う方針でやって最後にpi>3.05でやろうとしたら失敗しました。
常用対数表の整数部分って、全部ゼロじゃないのかな？
覚えた？？
@@MISOKUSO 失礼しました。真数が整数の部分(log2 log3 log5 log7)のことです。
とてもゴリ押し
π>3.125=25/8
(e^π)^8(20*7)^5=20^5*7^5
=32*10^5*7*49^2=32*10^5*7*(50^2-2*50+1)
>32*10^5*7*(50^2-2*50)
=16*10^7*7*(50-2)
=16*10^7*7*48
=16*10^7*7*3*16
=21*2^8*10^7
=(16+5)*2^8*10^7
=2^12*10^7+5*2^8*10^7
=2^12*10^7+2^8*10^8
=2^12*10^7+(20^2)^4=2^12*10^7+(400)^4=
>2^12*10^7+(80)^4=2^12*10^7+(2^3*10)^4
=2^12*10^7+2^12*10^4
>21^8
e^π>e^3.125>21