제가 고등학교때 이해한건 미분은 변화율이죠 구의 부피를 반지름에 대해서 미분한다는건 반지름이 커질 때 구의 부피가 얼마나 변하냐를 구한다는거랑 똑같은 말이고 구의 부피의 변화는 구의 껍질을 구하는거랑 같은 말입니다 껍질이라는게 원래 부피를 가지지만 미분한다는게 매우 얇은 껍질 구한다는거고 그 높이가 0에 수렴하죠 그래서 그 껍질의 면적 즉 구의 면적이 되는거죠 미분이라는게 변화율이라는걸 이해했다면 왜 이렇게 될까를 증명은 못해도 그럴것이다라는거정도까지는 유추할수있지않을까합니다
직관적으로 보면, 구의 부피 S(r)을 r로 미분한 미분계수는 결국 r값의 변화에 따른 넓이의 순간 변화이니, 구의 부피가 변화하는건 구 겉에 겉넓이만큼의 껍데기가 생기거나 벗겨지는 걸로 볼 수 있을 것 같네요 ^^ 이러한 직관적 이해 후 이 영상에서의 이론적 설명이 주어지면 좋은 학습이 될 것 같습니다
미분이란 순간 변화율 입니다. 변화율이란 변화량 분의 변화량 입니다 즉 분모도 변화량 이고 분자도 변화량 순간을 만들려면 리밋이 필요 하구요 분모는 기준이 되는 값이므로 무엇이 기준인가? 도 중요합니다. 그래프 는 위치x 를 기준으로 높이y(양,음) 를 관찰하므로 위치 X변화량 분의 높이y 변화량 이것에 리밋 기준 x변화량을 0으로 보내 순간 변화율을 만들어 우리는 이것을 미분한다 말합니다. 넓이를 미분 할때도 넓이의 변화량이 필요 합니다 반드시 변화해야 변화량을 얻으니까요. 넓이를 변화시키는 기준값은 반지름 이므로 기준 분모의 변화량 은 반지름 변화량 입니다. 고로 리밋 반지름의 변화량 --->0 에 분모 반지름 변화량 분자 넓이의 변화량(도넛 모양) 이걸 안다면 식은 바로 세워집니다. 미분의 근본 개념을 그래프에서 다양한 길이,넓이,부피로 가도 해결할 수 있는 이유입니다.
구의 접선의 기울기를 다 구한다는 것은 조금 애매한 말인듯 해요. 접선의 기울기란 평면적 해석이라 3차원 구에서 긋는 접선은 기울기를 정의하지 않습니다. 여기선 방향을 벡터로 표현해요 영상 말미에 말씀드린것처럼 부피의 순간변화율이 경계의 넓이가 되고, 넓이의 순간변화율이 경계에서의 길이가 되는 이유에 대한 해석 영상 제작계획이 있는데요, 그 영상도 보시면 좀 더 직관적으로 이해하시는데 도움이 되실 것입니다. 감사합니다
미분은 쉽게 생각하면 변화율을 보는겁니다. 적분은 과거에대한 변화량을 다 더한 값이고 미분은 미래에 앞으로 변화하는 변화량을 구하는 도구라고 생각하면 운동 에너지를 가지고 앞으로 변화하는 변화량은 당연히 운동량이 되는거죠 구의 부피도 똑같이 생각하면 구의 부피의 변화량은 구의 겉넓이가 결정짓는거라고 생각하면 됩니다
계에 가해진 알짜힘은 운동에너지와 운동량을 모두 변화시킵니다. 이 때 운동에너지는 물체가 이동한 거리에 비례해 증가하고 운동량은 물체에 힘이 가해진 시간에 비례해 증가합니다. 그러므로 운동에너지와 운동량의 비가 속도가 될 것이라 짐작할 수 있습니다. 자세한 증명은 일-에너지 원리와 운동량-충격량 정리를 기반으로 생각해보시면 좋을 듯 합니다. 여담으로, 역으로 속도를 운동량의 변화율에 대한 운동에너지의 변화율로 생각하기도 하는데, 이런 걸 생각해보면 속도라는 게 생각보다 의미심장합니다.
ruclips.net/video/GNcFjFmqEc8/видео.htmlsi=sk5mTDOkKUZE38Oq 논리 자체가 차원이 증가함에 따라 발생하는 문제는 없을것 같네요. 이 유튜브 채널은 아마도 채널주께서도 아실거라 생각합니다. 전체와 테두리 사이의 관계는 미분이라지만 그 자세한 내막은 증분인데 사실 증분의 존재 목적은 좌표계 즉 공간에 대한 고찰을 말하기 위함이 주류라 생각합니다. 저 링크 영상에서 보이는 바 같이요.이런 새로운 접근 너무 좋네요.
원의 넓이와 부피를 초중딩때, 미분과 극한의 개념을 고딩때 배우다 보니 이런 흥미로운 사실을 이제서야 알았네요 ㄷㄷ 지금 보면 저 공식을 보면서 의심해볼만한데 왜 이제서야 알았을까.. 참 유익한 영상이네요
잘 봤습니다^^ 초야수학님만의 순수 수학이 담긴 영상들이 하나같이 참 매력적이군요. 승승장구하세요~
감사합니다 ^^
제가 고등학교때 이해한건 미분은 변화율이죠 구의 부피를 반지름에 대해서 미분한다는건 반지름이 커질 때 구의 부피가 얼마나 변하냐를 구한다는거랑 똑같은 말이고 구의 부피의 변화는 구의 껍질을 구하는거랑 같은 말입니다 껍질이라는게 원래 부피를 가지지만 미분한다는게 매우 얇은 껍질 구한다는거고 그 높이가 0에 수렴하죠 그래서 그 껍질의 면적 즉 구의 면적이 되는거죠
미분이라는게 변화율이라는걸 이해했다면 왜 이렇게 될까를 증명은 못해도 그럴것이다라는거정도까지는 유추할수있지않을까합니다
영상이 대박이에요. (내용은 당연 촤고)수학 채널로 떡상하길 진심으로 바랍니다 ^^
망고정리로 기억할께요~
네 감사합니다 😊
직관적으로 보면, 구의 부피 S(r)을 r로 미분한 미분계수는 결국 r값의 변화에 따른 넓이의 순간 변화이니, 구의 부피가 변화하는건 구 겉에 겉넓이만큼의 껍데기가 생기거나 벗겨지는 걸로 볼 수 있을 것 같네요 ^^ 이러한 직관적 이해 후 이 영상에서의 이론적 설명이 주어지면 좋은 학습이 될 것 같습니다
네 그 부분에 대한 영상제작을 생각하고 있습니다. 본 영상의 '비긴즈'같은 형태가 될 것 같네요.
사실 현 교육과정에서도 적분 첫머리에 나오는 내용이나 대부분 학생들이
무시하고 지나치는 것이 현실이라
매우 안타까운 부분입니다.
응용하면 구의 성장속도 또는 면적의 성장속도를 구할 수도 있겠네요
GIS 레이어에 올려놓고 강우량 등 피해면적, 심도를 예측할 때 쓰면 좋겠다는 생각이 번뜩 드네요
유튜브 채널 시작하고 느끼는 점 중 하나인데요, 이렇게 다양한 시각이 있다는 것이 무척 재미있습니다.
영상 완성도가 기가 막히네요
미분이란 순간 변화율 입니다.
변화율이란 변화량 분의 변화량 입니다 즉 분모도 변화량 이고 분자도 변화량
순간을 만들려면 리밋이 필요 하구요
분모는 기준이 되는 값이므로 무엇이 기준인가? 도 중요합니다. 그래프 는 위치x 를 기준으로 높이y(양,음) 를 관찰하므로 위치 X변화량 분의 높이y 변화량 이것에 리밋 기준 x변화량을 0으로 보내 순간 변화율을 만들어 우리는 이것을 미분한다 말합니다.
넓이를 미분 할때도 넓이의 변화량이 필요 합니다 반드시 변화해야 변화량을 얻으니까요. 넓이를 변화시키는 기준값은 반지름 이므로 기준 분모의 변화량 은 반지름 변화량 입니다.
고로 리밋 반지름의 변화량 --->0 에 분모 반지름 변화량 분자 넓이의 변화량(도넛 모양) 이걸 안다면 식은 바로 세워집니다. 미분의 근본 개념을
그래프에서 다양한 길이,넓이,부피로 가도 해결할 수 있는 이유입니다.
어떻게 이상하게 설명할까 의심의 눈초리로 보다가 감탄하고 갑니다. 좋은 영상 감사합니다!
영상 무슨 프로그램인가요?
코딩프로그램 파이썬 기반의 manim이란 프로그램입니다.
수학 시각화에 정말 뛰어난 프로그램이지만, 우리나라 환경에서는 공부하기가 쉽지 않더라구요..
차후에 이 프로그램 사용법에 관한 멤버십 영상을 제작해 볼 계획을 가지고 있습니다.
5:15 에서 넓이를 어떻게 구하는 건가요?
정육각형은 보조선을 그어보면 6개의 정삼각형으로 쪼개어집니다.
영상에서의 선은 그 정삼각형의 높이가 됩니다.
@@jh_math정오각형일 경우에 넓이는 어떻게 되나요?
초등학교 다닐 때 담임선생님한테 원의 넓이는 교과서에서 증명하는데, 구의 겉넓이 공식은 증명 어떻게 하냐고 물어봤다가 엄청 혼났던 기억이 아직도 나네요
ㄷㄷㄷㄷ 수학의 끝은 어디일까…. 모든 수학이 연결되어 있는 끝은 어디일까..
4:57 이 정리를 아무 도형에나 쓸 수는 없는 이유죠. 왜 구는 되고 원뿔은 안될까 고민했던 기억이 납니다
네 저도 물론 비슷한 고민들을 했었습니다.
그 결과 4:57 에서의 결론이 나왔네요.
무한영상에서 뵙고 오랜만이네요 ^^
@@jh_math 헉... 절 기억해주시다니
잘 봤습니다 ^^
이걸 예전에 알아서 정다각형에 대해서도 증명 시도했는데 실패했었던 기억이 있습니다.
중심에서 한변까지 내린 수선의 길이를 기준으로 계산하면 맞아떨어지는 거였네요.
겉넓이를.정적분 한다는 것은 구의 겉넓이의 함수와 그 사이의 넓이를 다 더하는 것인데 다 더해보면 부피가 나옴
부피를 미분한다는 것은 구의 접선의 기울기를 다 구하는 것인데 해보면 겉넓이가 나오겠죠?
구의 접선의 기울기를 다 구한다는 것은 조금 애매한 말인듯 해요.
접선의 기울기란 평면적 해석이라 3차원 구에서 긋는 접선은 기울기를 정의하지 않습니다. 여기선 방향을 벡터로 표현해요
영상 말미에 말씀드린것처럼
부피의 순간변화율이 경계의 넓이가 되고, 넓이의 순간변화율이 경계에서의 길이가 되는 이유에 대한 해석 영상 제작계획이 있는데요, 그 영상도 보시면 좀 더 직관적으로 이해하시는데 도움이 되실 것입니다. 감사합니다
구 부피를 반지름에 대해 미분한다는건 반지름이 변화할 때 구의부피가 얼마나 변하냐를 구한다는거랑 같은 말이죠 그게 겉넓이인거고
정적분의 정의.
영상 잘 봤습니다. 구의 표면 껍질이 한겹씩 차례대로 쌓이다 보면 구의 체적이 나오는 군요
음.. 저도 전에 한참 고민했었는데 전 간단하게 기하적으로 증명? 했어요
원주(선)를 적분하면 원의 넓이(면)가 나오는거니까 반지름이 0부터 r까지인 원주를 다 더한다는 의미니까 자연스레 넓이의 개념이 되는 느낌인데.. 수학적인 증명은 아닌거 같긴해요
오호 신기하네요 ㅋㅋ
운동에너지를 미분하면 왜 운동량이 되는지도ㅠ궁금합니다
미분은 쉽게 생각하면 변화율을 보는겁니다. 적분은 과거에대한 변화량을 다 더한 값이고 미분은 미래에 앞으로 변화하는 변화량을 구하는 도구라고 생각하면 운동 에너지를 가지고 앞으로 변화하는 변화량은 당연히 운동량이 되는거죠 구의 부피도 똑같이 생각하면 구의 부피의 변화량은 구의 겉넓이가 결정짓는거라고 생각하면 됩니다
계에 가해진 알짜힘은 운동에너지와 운동량을 모두 변화시킵니다. 이 때 운동에너지는 물체가 이동한 거리에 비례해 증가하고 운동량은 물체에 힘이 가해진 시간에 비례해 증가합니다. 그러므로 운동에너지와 운동량의 비가 속도가 될 것이라 짐작할 수 있습니다. 자세한 증명은 일-에너지 원리와 운동량-충격량 정리를 기반으로 생각해보시면 좋을 듯 합니다. 여담으로, 역으로 속도를 운동량의 변화율에 대한 운동에너지의 변화율로 생각하기도 하는데, 이런 걸 생각해보면 속도라는 게 생각보다 의미심장합니다.
❤
저도 직관적으로 이해가 안되었는데 이해가 되는 군요.
1. 원적을 미분한다는 것은 원적이 변한다는 것을 전제로 한다.
2. 원적이 변한다면 그 순간증가량이 바로 원주이다.
3. 마치 원적이 속도라면 원주는 가속도에 해당한다. 이해끝
👍👍👍
면의 중적분은 체적. 스톡스 정리
오호!
부피는 연속된 각 반지름 들의 겉넓이를 전부 합한 정적분이 되니까. 미적분의 기본원리에 따라 부피를 미분하면 넓이가 되겠군.
무서워요 선생님
그냥 즐기시면 되죠~ ㅎㅎ
신박합니다~
구의 부피 설명 보려고 들어왔는데 같은 원리니까 생략한다니ㅂㄷㅂㄷ
겉넓이를 조금씩 늘리는게(적분) 부피니까.
ruclips.net/video/GNcFjFmqEc8/видео.htmlsi=sk5mTDOkKUZE38Oq
논리 자체가 차원이 증가함에 따라 발생하는 문제는 없을것 같네요.
이 유튜브 채널은 아마도 채널주께서도 아실거라 생각합니다.
전체와 테두리 사이의 관계는 미분이라지만 그 자세한 내막은 증분인데 사실 증분의 존재 목적은 좌표계 즉 공간에 대한 고찰을 말하기 위함이 주류라 생각합니다. 저 링크 영상에서 보이는 바 같이요.이런 새로운 접근 너무 좋네요.
네 저도 잘 알고 있습니다. ^^
우리나라에도 좋은 수학 채널이 많이 생기면 좋겠네요. 감사합니다
거꾸로 하면 구각적분
부피가 x씩 변화한다고 할때 x가 무한소면 변한 것의 두께는 무시해도 될 만큼 작으니까요.
N 차원 Hyperspher의 부피를 구하시오
크흐.........