수학이 좋아서 수학과를 갔는데 위상수학은 재미도 있고 이해도 잘되고 성적도 잘나왔는데 대수학은 가장 쉬워보였지만 공부하면 할수록 그 심오함에 교과서에서 보던 수학자들이 사람처럼 보이지가 않고 그들에 비하면 난 한낱 원숭이만 못한 뇌를 가지고 있다는 자괴감에 너무 힘들었음
공학도들을 위해 지식이 짧은 전자공학도가 공부를 해보니.. i는 도메인(차원 혹은 평면)을 하나 더 표현하는 방법인 것 같더라구요.. 예를 들면 2차원에서 전기장의 움직임은 표현할 수 있지만 전기장으로 인해 생기는 자기장은 표현할 수 없거든요. 그때 이 i라는 개념이 차원을 하나 더 늘려주는 것 같더라구요. 이러한 개념은 복소전력을 배우면 더욱 실감나실거에요.. 그리고 i는 오일러 법칙을 설명하기 위해서 꼭 팔요한 개념인데.. 현대 통신은 이 i라는 개념이 없었다면 지금과 같은 발전이 없었을거에요~~ 여러모로 직관적 이해는 어려운 개념이지만, 차원을 확장하는 유용한 수학적 툴이라고 생각하시면 편할 것 같아요. 저도 학부생이라 제가 느낀점 간단히 써봤습니다..
허수를 직관적으로 이해 하는법은 일직선상에 놓인 모든수를 실수라 할수 있는데 허수는 그실수에 속하지 않는다는것이고 그렇다면 허수는 실수 위의 또다른 공간 즉 실수에 수직이 되는 평면위에 있다고 할수 있습니다 그래서 허수를 표현하기 위한 복소수응 2치원이 되는겁니다 이복소수평면은 원을 엄청 단순하게 그릴수 있습니다 (허수를 계속곱하면 원) 원은 삼각함수와 관계있고 물리적으로는 주파수표현을 간결하게 합니다 양자역학에서도 핵심 입니다.
설명 거의 다 끝나갈 때쯤 돼서야 '아! 이게 대수학의 기본원리 설명하는 거였어?'하고 머릿속으로 연결이 파바박됐네요 ㅋㅋㅋ 4차원을 저렇게 알기 쉽게 쏙쏙 알려주시다니 정말 대단하십니다.. 영상을 다 보고 나니 의문이 하나 드는데 우선 해당 증명과정으로 복소계수의 n차방정식은 반드시 해를 '적어도 1개는' 갖는다는 것은 납득이 갔습니다. 그런데 n차식에서 복소근이 n개 존재한다는 것을 보이는 방법을 쉽게 접근하는 길도 있을까요?
학부때 배운 이후로 그런갑다라고만 기억하고 있었는데, 명쾌하게 정리되었습니다. 큰원과 작은원에서 음 뭐지?? 싶었다가 큰원에서 작은원으로 라는 것을 듣자마자 진짜 육성으로 아 맞네! 라고 해버렸어요. 중학생들을 가르치는 현직인데 오랜만에 수학적 묘미를 느낄 수 있었습니다. 감사합니다.
마지막 논리가 성립하려면 큰원에서 작은 원으로 갈때, 큰 원의 공간에 해당하는 모든 점들이 정의역이 줄어들때 만나야하지 않나요? 실제로 그런가요? 다시 말해서, 큰원 -> 작은원으로 가도록 정의역을 줄인다면 작은원의 공간을 제외한 큰원의 공간안에 있는 임의의 점을 무조건 지나나요?
대단하네요. 증명이 진행되면서 반지름이 점점 커지니 결국 R이라는 큰 반지름 잡고 무한대로 넘기겠지 하면서 전공책에서 나오는 증명대로 갈 거라 생각했는데, 이렇게 보니 또 새롭네요. 뭐 그게 그 이야기일 수도 있겠습니다만, 어쨌든 전공책에서만 있던, 그리고 다소 직관적이지 않았던 대수학의 기본정리의 증명을 이렇게도 볼 수 있다는 것이 재미있었습니다.
복소수를 더 확장한 해밀턴의 사원수(Quaternion)에선 i 뿐 아니라 j, k 도 등장하죠~ i*j*k = -1 인게 함정. 영상처리에서 사원수는 컬러이미지 고속 콘볼루션에 이용됩니다. 심지어 팔원수(Octonion)는 끈이론과 관련이 있다고 알려져 있죠. 이 세상에 써먹을수 없는 수학은 없는거 같아요.
일반 복소함수도 이변수함수 끌고와서 해석가능 여부도 코시-리만 방정식으로 좆더럽게 해석해야될 지경인데 거기서 사원수니 뭐니 하는거 존나 부질없는거 같은데 복소해석학 배울때 수학과 학부생들도 선적분까지 배우고 끝임 그 뒤에 적분 계산하기 쉽게 Cauchy 적분정리나 복소함수의 유수적분법까지만 배우고 끝 일반 복소평면에서의 복소함수 적분이 벡터장의 선적분과 유사하지만 면적분처럼 차원을 늘리지 못하냐면 늘려봤자 복잡하기만 하고 유용성이 없어서 아님? 사원수는 솔직히 특정분야 아니면 쓸모 없는거 맞음
수학의 매력은 정말 이 하나의 정답에 대한 다양한 관점과 해석, 그리고 그것의 활용에 있는 것 같습니다. 추상대수학을 전공한 저는 이번 영상을 보면서, 학부 1학년 시절에 선형대수학 강의에서 교수님께서 Nullity-Rank Theorem을 이용해 FTA를 증명해주셨던 기억이 납니다. 저는 이 때 Group Theory의 Isomorphism Theorem과 연결지어 이해하는 관점에 익숙했기 때문에, 이번 영상에서 같은 내용을 해석적 관점에서 다루신 걸 보면서 새롭게 느껴졌습니다. 역시 수학은 너무나 매력적인 학문입니다.
안녕하세요 박사님 제가 어딘가에서 infinite number의 해를 가지는 polynomial은 f(x)=0 밖에 없다는걸 보았습니다. Fundamental theory of algebra 에 따르면 finite order degree n의 polynomial은 최대 n개의 해를 가지니까요. 혹시 그러면 infinite order degree polynomial에 대해선 어떻게 생각해야 하나요? 정의상 polynomial은 finite으로 두는 것은 알겠는데 그걸 넘어서도 궁금합니다. 항상 감사드립니다!
이렇게 수준 높은 설명도 필요 없습니다 스프링 같은 역학적인 문제에서 고유값을 이용해 해를 구하는 과정만 봐도 명확합니다. 분명히 눈에 보이는 운동이고 진동인데 숫자는 허수로 나타나죠. 그런데 그 허수는 삼각함수로 다시 모습을 바꾸어 우리에게 답을 알려줍니다. 단지 직관적인 개념이 아니라 그렇지 허수도 엄연히 자연계의 열쇠라 생각합니다.
처음 대수학의 기본정리를 써주실때 '왜 n개의 복소수 해' 가 아니라 그냥 복소수 해가 있다고만 되어있는거지? 라는 생각이 들었는데 이후로 연쇄적인 인수분해 과정들을 보면서 이 정리가 정말 간결하고 함축적으로 아름답게 표현되었구나 하는 생각이 들었습니다. 유튜브에서 본 수학 채널 중 단연 으뜸인 것 같아요.
후반에 잘 설명해주신 복소평면상의 정의역과 공역을 바라보는 파트를 잘 보면 주파수 해석의 여지를 보여주는걸 알 수 있습니다. 푸리에 변환의 기저에는 역시 도메인을 옮겨갈때의 해석이 깔려있던 것이군요. 이 영상은 공대생이 꼭 봐야할 영상인 것 같습니다. 좋은 설명 감사합니다.
콜라츠 추측에서 한번 하나 문의를 해봅니다. 홀수일때 3N+1 이고 짝수일때 N/2 라고 할때 3을 K 2를 L으로 하는 1로 수렴하는 값이 아닌 값을 가지는 최소한의 정수는 무엇인가요? 그리고 그것은 K가 3일때와 L이 2일때와 왜 다른가요? 제가 알기로는 수학은 단지 자연 현상을 문자로 표현하는 학문입니다. 수학에 갖혀서 수학을 풀고 있으면 수학이 얼마나 부족한지 알수 있게 됩니다.
조금 첨언을 하자면 복소수를 확장한 사원수 (quaternion algebra)를 나타내기 위해 i 같은 수인 j를 도입하기도 합니다. 더 나아가 이런 수를 여러개 도입하여 Quaterion (숫자 4을 뜻함), Octonian (숫자 8을 뜻함), ... 이런식으로 2의 n승 별로 확장해 나갈 수 있죠. Quaternion 대수학의 경우 대수학 자체에 대한 관심 말고도 타원곡선과의 깊은 연관성으로 많이 연구됩니다 ㅎㅎ
@@ymkim4698 쿼터니안의 회전에 대한 성질만 알고싶으시면 그냥 quaternion rotation 영문 위키피디아 들어가서 보시는게 빨라요 쿼터니안을 사용한 벡터 회전, 쿼터니안의 기본 연산이랑 켤레 쿼터니안, 회전행렬로의 변환, 로드리게스 회전과의 관계 뭐 이런거만 아시면 됨.
좋은 영상 감사합니다. 하지만 고1 또는 중등 선행을 하는 아이들에게 이보다 더 잘 설명한다 한들 그아이들은 방정식의 해를 도데체 왜 내가 꼭 구해야 하냐고 할겝니다 ^^ 그냥 어른들이 너희들의 머리가 누가 좋은지 일일이 쫒아다니며 판단하기엔 경제적으로 시간적으로 비 효율적이어서 필요하다 싶은것을 가르치고 이해해 내는지 못해내는지 판단하여 줄세우려고 한다고 하면 오히려 받아들이더군요.
와. 너무 재미있습니다. 수학적인 관점 뿐 아니라 물리학적인 관점에서도 좀 풀어주시면 안될까요? 저는 물리학에서 Schrodinger 파동방정식에서 왜 i가 나오지? i의 수학적인 의미는 그렇다치더라도 물리학적으로 어떤 의미가 있는 거지? 하는 게 너무 궁금했습니다. 어쨌든 앞으로도 좋은 강의 많이 부탁드려요.
오일러 공식을 활용하고 e의 지수함수를 도입하면 i를 곱하는 것으로 미분이나 적분을 대신할 수 있습니다. 곱셈으로 미적분을 대신한다면 얼마나 편한 것인지요. 특히 전기공학에서 콘덴서, 코일을 해석하기 위해서는 전류를 시간에 대해 미적분해야하는데 해석에서 계수를 복소수로 두면 곱셈으로 미적분을 대신해 줍니다. 슈레딩거의 파동방정식에서도 i를 곱해서 미분 1회를 대신하고 있죠.
자연수상의 연산에서 음수, 분수가 나오는걸 설명하지 못해서 정수, 유리수를 확장했고, 또, 유리수 체계로는 무리수를 설명할 수 없기 때문에 확장해서 실수를 만들었는데, 실수마저 허근을 나타내지 못해서 복소수까지 확장했다.. 그런데 복소수 체계로 구할수 없는 해가 없어서 더 이상 확장을 할 필요가없다... 이렇게 이해해도 될까요..?
뒤늦게 댓글을 달아서 보시련지는 모르겠지만, 궁금증이 하나 생겨서 여쭤봅니다. 혹시 보신다면 알려주시면 대단히 감사드리겠습니다. 이 영상을 보고 복소수 계수의 n차 방정식은 반드시 복소수해를 가진다는 건 확실히 이해할 수 있었습니다. 그리고 그 때문에 복소수를 정의역으로 가지는 n제곱과 사칙연산은 반드시 복소수로 표현 가능하다는 것도요. 그럼 eˣ이나 ln𝑥, sin𝑥와 같은 함수들(초월함수라고 부르던가요??)을 이용한 모든 연산들도 양(또는 음)의 무한대로 발산하지 않는다는 가정하에 복소수로 표현할 수 있다는 것도 증명되어있을까요?? 만일 그렇지 않다면 그 또한 허수와 같은 새로운 수체계를 만들어야 할 이유가 될 거 같아서요.
말씀하신 e^x나 lnx 등은 사칙연산과정을 단순화시킨 기호에 불과합니다. 따라서 복소수로 충분히 표현 가능하죠. 그리고 복소평면에서 지수/로그는 오일러공식으로 충분히 이해할 수 있습니다. 여기서 오일러 공식 또한 사칙연산으로 증명됩니다. 세계의 수많은 석학들이 말씀하신 허수와 같은 새로운 수 체계를 아직까지 만들지 않은 이유가 있지 않을까요? 공격적으로 들리실 수 있겠지만 수학자들을 과소평가 하거나 본인을 너무 과대평가 하시는 것 같습니다.
제 생각은 좀 다릅니다. i가 필요한 이유는 우리나라가 저출산 국가이기 때문입니다.
..😂
이상한게 요런게 은근히 웃김 ㅋㅋ
Li !
문과라고 해야되나 이런건 ㅋㅋㅋ
왓더 헬ㅋㅋ
수학이 좋아서 수학과를 갔는데
위상수학은 재미도 있고 이해도 잘되고 성적도 잘나왔는데
대수학은 가장 쉬워보였지만 공부하면 할수록 그 심오함에
교과서에서 보던 수학자들이 사람처럼 보이지가 않고
그들에 비하면 난 한낱 원숭이만 못한 뇌를 가지고 있다는 자괴감에 너무 힘들었음
선형대수도 쉽고 추상대수학 배우고있는게 개꿀잼인데 이게 이해가안돼?
수학은 아름답죠, 모든 인간이 "미쳐버릴정도로"
위상수학이 쉬웠나요?우리학교 교수님이 잘 못가르치셨나?정말 위상수학 깊이 팔수록 증명도 그렇고 힘들었는데 ㅜㅜ
컨텐츠가 너무 명확하고 훌륭해서
화려한 편집
수려한 외모
감각 있는 배경 음악
이딴 거 다 필요 없네요
대수학의 기본 정리를 이렇게 깔끔하게 이해시키실 수 있다니 ㅠㅠ
공학도들을 위해 지식이 짧은 전자공학도가 공부를 해보니..
i는 도메인(차원 혹은 평면)을 하나 더 표현하는 방법인 것 같더라구요..
예를 들면 2차원에서 전기장의 움직임은 표현할 수 있지만 전기장으로 인해 생기는 자기장은 표현할 수 없거든요. 그때 이 i라는 개념이 차원을 하나 더 늘려주는 것 같더라구요.
이러한 개념은 복소전력을 배우면 더욱 실감나실거에요..
그리고 i는 오일러 법칙을 설명하기 위해서 꼭 팔요한 개념인데.. 현대 통신은 이 i라는 개념이 없었다면 지금과 같은 발전이 없었을거에요~~
여러모로 직관적 이해는 어려운 개념이지만, 차원을 확장하는 유용한 수학적 툴이라고 생각하시면 편할 것 같아요.
저도 학부생이라 제가 느낀점 간단히 써봤습니다..
전기자기학과 양자역학에서
복소수는 굉장히 중요합니다.
어쩌면 세계는 복소수로 만든게 아닌가
싶을 정도입니다.
복소수 발전 사원수 사원수 발전 벡터 벡터 발전 텐서
출근하면서 박사님의 수업을 듣고 있습니다.
좋은 강의 감사합니다!
이 어려운 내용을 이렇게 재미나게 설명하다니 몇번을 듣고 또 듣네요
어떻게 이런걸 아는지 늘 경이롭습니다.
감사합니다!
전기공학은 정말 수학을 많이 쓰는데 이런 설명을 들었다면 좀더 많은 관심을 가졌을 듯 합니다. 사실, 최근 아들놈 수학 가르쳐 주면서 그런데 이건 왜 배우는 걸까? 라는 의문을 갖게 되더군요. 기존 교육체계에서 이런 수업이 많았으면 좋겠네요.
이야....
천잰데...
수학을 이렇게 재미있게 설명하다뉘....
고등학교 때 이런 강의를 들었으면 수학을 전공했을 듯....
감사합니다...
이런건 더 많은 사람이 봤으면 좋겠네요. 대학에서 공업수학을 배울때 편미분 방정식을 배우면서 복소수 개념이 잘 이해가 안 됐었는데 이 영상을 미리 봤다면 도움이 많이 됐을거 같아요.
22:15 ㄹㅇ 끝내준다
끝났네
대수학의 기본 정리를 이렇게 쉽게 설명할 수 있다니, 훌륭한 영상입니다.
복소수 i를 설명하는 여러 fancy 하고 impact있는 영상들을 봤지만, 우리가 학교다닐때 배우는 커리큘럼을 종합해서 간결하게 설명하는 이 영상이 더 와 닿고 좋습니다.
지나가는 중2입니다 허수 배울때 그냥 수학자들이 필요하니까 만들었겠지하고 했는데 너무 유익하네요
일종의 사잇값 정리를 통해 해의 존재성을 보이는 거라고 할 수 있겠네요. 매우 흥미롭게 잘 봤습니다.
교육계열에서 일하는사람으로서
12매스님 스토리텔링 순서랑 연구주제가 배우는사람 입장으로서 진짜 흥미롭고 재밌게 구성되있어요
좋은지식알려주셔서 감사합니다
허수를 직관적으로 이해 하는법은 일직선상에 놓인 모든수를 실수라 할수 있는데 허수는 그실수에 속하지 않는다는것이고 그렇다면 허수는 실수 위의 또다른 공간
즉 실수에 수직이 되는 평면위에 있다고 할수 있습니다 그래서 허수를 표현하기 위한 복소수응 2치원이 되는겁니다 이복소수평면은 원을 엄청 단순하게 그릴수
있습니다 (허수를 계속곱하면 원) 원은 삼각함수와 관계있고 물리적으로는 주파수표현을 간결하게 합니다 양자역학에서도 핵심 입니다.
교류회로를 배우면 복소수의 소중함을 알게됩니다.
ㅋㅋㅋㅋ 아 L,C 들어가면 페이저 필수라고
ㄹㅇㅋㅋ
사실 거부감이라기보다 그냥 "그런갑다,," 하고 외웠던 기억이 나네요
어쩌면 수학의 보통자세이지 않을까 싶어요.
그런갑다😌🤣🤣🤣
사실 시험치려면 그게 효율적이긴 해요
근데 정의 해놓은 거면 그런갑가가 정상적인 반응이죠
왜??라는 질문이 떠오르시면
수학과 가시면 됩니다.
설명 거의 다 끝나갈 때쯤 돼서야 '아! 이게 대수학의 기본원리 설명하는 거였어?'하고 머릿속으로 연결이 파바박됐네요 ㅋㅋㅋ 4차원을 저렇게 알기 쉽게 쏙쏙 알려주시다니 정말 대단하십니다.. 영상을 다 보고 나니 의문이 하나 드는데 우선 해당 증명과정으로 복소계수의 n차방정식은 반드시 해를 '적어도 1개는' 갖는다는 것은 납득이 갔습니다. 그런데 n차식에서 복소근이 n개 존재한다는 것을 보이는 방법을 쉽게 접근하는 길도 있을까요?
원점에 못이 박혀있고 그 못을 중심으로 실이 세바퀴 꼬여있다 상상해 보시면.. 줄어들면서 원점을 세번 쓸고갈수 밖에 없겠죠 :)
@@12math 아..! 한 바퀴만 도는 게 아니네요 그나저나 모든 해가 하나의 원(?)에서 다 나온다니 ㄷㄷ
학부때 배운 이후로 그런갑다라고만 기억하고 있었는데, 명쾌하게 정리되었습니다. 큰원과 작은원에서 음 뭐지?? 싶었다가 큰원에서 작은원으로 라는 것을 듣자마자 진짜 육성으로 아 맞네! 라고 해버렸어요. 중학생들을 가르치는 현직인데 오랜만에 수학적 묘미를 느낄 수 있었습니다. 감사합니다.
진짜 처음부터 끝까지 너무 흥미롭게 시청했습니다.
유투브로 이런 어디서 쉽게 보지 못할 통찰을 습득할 수 있다니 참 감사한 세상이네요.
이런 지성인분들의 나눔에 감사합니다.
감사합니다
잠이 안 와서 고생했는데
영상 덕분에 꿀 잠 😂
마지막 논리가 성립하려면 큰원에서 작은 원으로 갈때, 큰 원의 공간에 해당하는 모든 점들이 정의역이 줄어들때 만나야하지 않나요? 실제로 그런가요?
다시 말해서, 큰원 -> 작은원으로 가도록 정의역을 줄인다면 작은원의 공간을 제외한 큰원의 공간안에 있는 임의의 점을 무조건 지나나요?
훌륭하십니다.. 이런 강의를 무료로 해주시다니 감사할 뿐 입니다.
일단 좋아요만 눌러두고 수학이 늘면 다시 찾아와서 보겠습니다...
30년뒤) 일단 좋아요만 눌러두고 수학이늘면 다시 찾아와서 보겠습니다...
50년뒤)(똑같음)
100년뒤)(사망)수학이왜 안 늘어!(?)
ㄹㅇㅋㅋ
@@luzo6658 ;;
정확히 3분까지만 알아들음
@@emilyyeo4572 그래도 재밌죠?
와.. 설명 진심 쩐다...방금 소름 돋았네요... ㅜ.ㅜ 대수학을 무작정 암기만 했던 무지한 자를 눈뜨게 하셨습니다.. 감사합니다
대단하네요. 증명이 진행되면서 반지름이 점점 커지니 결국 R이라는 큰 반지름 잡고 무한대로 넘기겠지 하면서 전공책에서 나오는 증명대로 갈 거라 생각했는데, 이렇게 보니 또 새롭네요. 뭐 그게 그 이야기일 수도 있겠습니다만, 어쨌든 전공책에서만 있던, 그리고 다소 직관적이지 않았던 대수학의 기본정리의 증명을 이렇게도 볼 수 있다는 것이 재미있었습니다.
좋은강의 감사합니다.
참고로 공학에서는 전류(I)와 구별하기 위해서 i 대신 j를 쓰게 됩니다. ^^
그리고 공학(특히 전기, 전자공학) 에서는 복소수 i 가 매우 중요합니다.
매일 자기전 정말 효과좋은, 믿고보는 동영상
선형적인 궤적을 이용해서 복소방정식의 근이 있다는 것을 보여주는게 사잇값정리랑 비슷해보이네요
이정도 난이도 좋은거 같습니다. 뭔가 교양인거 같으면서도 어느정도 심화된 부분도 있는.
복소수를 더 확장한
해밀턴의 사원수(Quaternion)에선 i 뿐 아니라 j, k 도 등장하죠~
i*j*k = -1 인게 함정.
영상처리에서 사원수는 컬러이미지 고속 콘볼루션에 이용됩니다.
심지어 팔원수(Octonion)는 끈이론과 관련이 있다고 알려져 있죠.
이 세상에 써먹을수 없는 수학은 없는거 같아요.
일반 복소함수도 이변수함수 끌고와서 해석가능 여부도 코시-리만 방정식으로 좆더럽게 해석해야될 지경인데 거기서 사원수니 뭐니 하는거 존나 부질없는거 같은데 복소해석학 배울때 수학과 학부생들도 선적분까지 배우고 끝임 그 뒤에 적분 계산하기 쉽게 Cauchy 적분정리나 복소함수의 유수적분법까지만 배우고 끝 일반 복소평면에서의 복소함수 적분이 벡터장의 선적분과 유사하지만 면적분처럼 차원을 늘리지 못하냐면 늘려봤자 복잡하기만 하고 유용성이 없어서 아님? 사원수는 솔직히 특정분야 아니면 쓸모 없는거 맞음
@@파벨네드베드 하지만 답러닝애서 점점 중요해지고 있음.
@@제갈식 뭐 수학에 안써먹는곳이 어딨겠냐마는 복소해석학 자체가 마이너라...저도 코시적분까지밖에 모르긴 해서 아만보긴 한데 이거 배우면서 차라리 선형대수학쪽 좀 더 팔걸 이생각이 많이 나긴 했음
@@파벨네드베드 사원수는 3d 그래픽스에서 특히 요긴하게 써먹는데. 비록 그 분야가 특정 분야래도 컴퓨터로 삼차원을 표현돼서 오는 득이 산업 전반에 거나한 영향을 끼쳤는지라 무시할 수준은 아닌듯?
수학의 매력은 정말 이 하나의 정답에 대한 다양한 관점과 해석, 그리고 그것의 활용에 있는 것 같습니다. 추상대수학을 전공한 저는 이번 영상을 보면서, 학부 1학년 시절에 선형대수학 강의에서 교수님께서 Nullity-Rank Theorem을 이용해 FTA를 증명해주셨던 기억이 납니다. 저는 이 때 Group Theory의 Isomorphism Theorem과 연결지어 이해하는 관점에 익숙했기 때문에, 이번 영상에서 같은 내용을 해석적 관점에서 다루신 걸 보면서 새롭게 느껴졌습니다. 역시 수학은 너무나 매력적인 학문입니다.
안녕하세요 박사님 제가 어딘가에서 infinite number의 해를 가지는 polynomial은 f(x)=0 밖에 없다는걸 보았습니다. Fundamental theory of algebra 에 따르면 finite order degree n의 polynomial은 최대 n개의 해를 가지니까요. 혹시 그러면 infinite order degree polynomial에 대해선 어떻게 생각해야 하나요? 정의상 polynomial은 finite으로 두는 것은 알겠는데 그걸 넘어서도 궁금합니다. 항상 감사드립니다!
지수함수나 삼각함수를 테일러시리즈를 통해 무한한 항의 polynomial로 표현할 수 있습니다. 무한한 항으로 정의할때는 수렴성을 포함해 좀 더 엄밀하게 접근해야 합니다.
@@12math 감사합니다!
3b1b에서도 극좌표를 통해서 머리속에서 상상이 되도록 알려줬는데 이런사실을 더 빨리 알았으면 수학이 재밌었을거 같아요 ㅠㅠ
와.. 설명 진심 쩐다...방금 소름 돋았네요... ㅜ.ㅜ 대수학을 무작정 암기만 했던 무지한 자를 눈뜨게 하셨습니다. 역시 수학은 너무나 매력적인 학문입니다. 좋은지식알려주셔서 감사합니다
와..뭔가 배워서 이해될 때 즐겁다는 걸 참 오랜만에 경험합니다. 감사합니다.
즐겁게 봐주셔서 감사합니다.
감사합니다 공식으로 봤을때는 어지럽고 토할것 같았는데
이 영상을 보니 왠지 고향에 온 것 같은 안정감이 느껴집니다 ㅋㅋ
제2의 dmt park.. 너무조아요..
그냥 새로운 축의 형성, 실용적으로 차원을 늘리기 위한 목적이라고 생각했었는데.. 감사합니다
이렇게 수준 높은 설명도 필요 없습니다
스프링 같은 역학적인 문제에서 고유값을 이용해 해를 구하는 과정만 봐도 명확합니다.
분명히 눈에 보이는 운동이고 진동인데 숫자는 허수로 나타나죠.
그런데 그 허수는 삼각함수로 다시 모습을 바꾸어 우리에게 답을 알려줍니다.
단지 직관적인 개념이 아니라 그렇지 허수도 엄연히 자연계의 열쇠라 생각합니다.
아침에 살짝 졸려서 비몽사몽했는데 잠이 달아날 정도로 재밌게 봤습니다. 감사합니다.
처음 대수학의 기본정리를 써주실때 '왜 n개의 복소수 해' 가 아니라 그냥 복소수 해가 있다고만 되어있는거지? 라는 생각이 들었는데 이후로 연쇄적인 인수분해 과정들을 보면서 이 정리가 정말 간결하고 함축적으로 아름답게 표현되었구나 하는 생각이 들었습니다. 유튜브에서 본 수학 채널 중 단연 으뜸인 것 같아요.
.
@@ApertureScience_Opt 극점이 무슨 뜻인가요...? 답글이 잘 이해가 안 돼요
엄밀하게 말씀 드리자면
하나의 해가 생기면...
그 해를 바탕으로 동치류를 만들어서
새로운 field를 만들 수 있는데
그 field가 복소수의 범위를 넘지 않는다고 합니다.
왜 우리 교수님은 이렇게 좋은 내용을 어렵게 설명해주시는거지...
게다가 20분만에 하셨음... 대학에서는 몇년을 배워도 모르고 졸업하는사람이 수두룩 빽빽인데..
저에게 선생님 같은 사람이 있었다면 어땠을까 생각해보지만 지금이라도 알아서 다행인가요 감사합니다
영상 맨처음부터 맨끝까지 한순간도 막힘없이 아주 매끄럽게 이해되었습니다. 감사합니다
후반에 잘 설명해주신 복소평면상의 정의역과 공역을 바라보는 파트를 잘 보면 주파수 해석의 여지를 보여주는걸 알 수 있습니다. 푸리에 변환의 기저에는 역시 도메인을 옮겨갈때의 해석이 깔려있던 것이군요.
이 영상은 공대생이 꼭 봐야할 영상인 것 같습니다.
좋은 설명 감사합니다.
여기 DSP 배우고있는 전자공학도 한명추가요...
@@ItzReina1 열역학, 유체역학, 전자기학, 양자역학, 중력 등등 배우는 과목마다 등장해서 '허수'라는 네이밍 자체가 잘못된게 아닌가 긁적이게 했죠..ㅎㅎ
맞아요 사실 모든 수는 전부 인간이 생각한 추상적인 개념이지 현실에 딱 존재하는 물체같은건 아니죠 허수는 단지 기존의 수직선 위에 나타낼 수 없는 수여서 허수가 되었을 뿐... 하지만 확실히 인간의 직관에서 가장 먼 수인건 사실이긴 하죠
전기공학 전공자로서 진심 공감합니다.
너무 유익했습니다!!
콜라츠 추측에서 한번 하나 문의를 해봅니다. 홀수일때 3N+1 이고 짝수일때 N/2 라고 할때 3을 K 2를 L으로 하는 1로 수렴하는 값이 아닌 값을 가지는 최소한의 정수는 무엇인가요? 그리고 그것은 K가 3일때와 L이 2일때와 왜 다른가요? 제가 알기로는 수학은 단지 자연 현상을 문자로 표현하는 학문입니다. 수학에 갖혀서 수학을 풀고 있으면 수학이 얼마나 부족한지 알수 있게 됩니다.
뇌가 즐거운 영상이었습니다. 수학에 대해서 항상 재미있었는데 이렇게 자극을 받게 되네요. 감사합니다.
성인 되고 수학얘기가 재밌는 문돌이인데요 너무 알기 쉽게 잘 설명해주셔서 영상이 끝날 땐 기립박수를 치며 즐겁게 봤습니다. 감사합니다.
조금 첨언을 하자면 복소수를 확장한 사원수 (quaternion algebra)를 나타내기 위해 i 같은 수인 j를 도입하기도 합니다. 더 나아가 이런 수를 여러개 도입하여 Quaterion (숫자 4을 뜻함), Octonian (숫자 8을 뜻함), ... 이런식으로 2의 n승 별로 확장해 나갈 수 있죠. Quaternion 대수학의 경우 대수학 자체에 대한 관심 말고도 타원곡선과의 깊은 연관성으로 많이 연구됩니다 ㅎㅎ
쿼터니온 기초에 대해 참고할만한 쉬운 서적이 있을까요.
모델의 rotation equation 관련해서 관심이 있는데 수학전공자가 아니어선지 참고 서적 찾는게 어렵네요
@@ymkim4698 추상대수 깊이 들어가면 나옵니다.
전자/전기 공학에서는 전류 기호랑 겹쳐서 i를 j로 쓰기도 한답니다 ㅋㅋ
@@ymkim4698 쿼터니안의 회전에 대한 성질만 알고싶으시면 그냥 quaternion rotation 영문 위키피디아 들어가서 보시는게 빨라요
쿼터니안을 사용한 벡터 회전, 쿼터니안의 기본 연산이랑 켤레 쿼터니안, 회전행렬로의 변환, 로드리게스 회전과의 관계 뭐 이런거만 아시면 됨.
현직 입시수학강사 입니다. 평소 수학관련 영상을 즐겨보는터라 추천영상에 떠서 우연히 들어왔는데 혹시 동생분이 HK 맞나요? 맞다면 동생분과 중학교 동창입니다. 이런우연이ㅎㅎ 유익하고 잼있는 영상 감사합니다.
맞아요 ㅋ 반가워요~
군더더기 없이 잘 이해할 수 있도록 설명해주셔서 아주 즐거웠습니다.
조건을 만족하는 작은 반지름과 큰 반지름은 찾을 수 있을 것 같습니다. 그런데 그 사이에 이미지가 원점을 지나는 |z|=r인 반지름 r의 존재성은 어떻게 봐야할까요? 중간값 정리같은 정리가 있나요?
중간값 정리와 같은 개념입니다
혹시 ncs응용수리 영상도 올려주심 안되나요 😢
좋은 영상 감사합니다. 하지만 고1 또는 중등 선행을 하는 아이들에게 이보다 더 잘 설명한다 한들 그아이들은 방정식의 해를 도데체 왜 내가 꼭 구해야 하냐고 할겝니다 ^^ 그냥 어른들이 너희들의 머리가 누가 좋은지 일일이 쫒아다니며 판단하기엔 경제적으로 시간적으로 비 효율적이어서 필요하다 싶은것을 가르치고 이해해 내는지 못해내는지 판단하여 줄세우려고 한다고 하면 오히려 받아들이더군요.
복소수 처음 배울땐 그래도 쓰일 일이 있을테니까 라는 생각을 했는데 자연상수(e)는 미적분배울때 갑자기 튀어나와서 자연상수는 어디에 쓰이는지 왜 배워야 하는지 알수있을까요?
아이를 배워야 수학을 아는 어른이 돼요... 깔깔깔
훌륭한 통찰이십니다 감사합니다^^
진심 감사합니다 ♡덕분에 수학이 잼있어여~~~ㅎㅎ
진심 멋지심~~♡♡♡
유익한 영상 올려주시는 귀한분,,, 덕분에 수학이 더 좋아졌어요 정말 감사드립니다!!
그럼 저 복소수가 실제 생활에서 어떻게 쓰이느냐? 전기공학이나 전자공학을 배우게 되면 저 복소수 i가 왜 필요한지 알게 됨... 적분도 왜 필요하냐? 교류 전원의 에너지 W를 구할 때 사용함. 전기 전공이라 다른 과는 잘 모르겠음...
와. 너무 재미있습니다. 수학적인 관점 뿐 아니라 물리학적인 관점에서도 좀 풀어주시면 안될까요? 저는 물리학에서 Schrodinger 파동방정식에서 왜 i가 나오지? i의 수학적인 의미는 그렇다치더라도 물리학적으로 어떤 의미가 있는 거지? 하는 게 너무 궁금했습니다. 어쨌든 앞으로도 좋은 강의 많이 부탁드려요.
공간상의 움직임을 나타내야 하니까요~허수는 실수의 수직한 평면상에 존재하는 수이니까요.
10년전에 대학교 컴퓨터전자과 갔을때 생각나네요. 라플라스 변환, 푸리에 변환, 편미분방정식 배우느라 고생했는데 ㅎㅎ 회로이론에서는 허수기호 i를 전류기호로 써서 대신 j를 썼죠.
좋은 영상 잘 봤습니다. 고맙습니다.
잘 봤습니다. 좀 뜬금없지만 영상에 사용하시는 필기어플이 뭔가요??
icannote 입니다
3차항과 2차항이 3바퀴2바퀴 돌면서 흔들리면서 돌게된다. 푸리에변환 설명하는 동영상을 보면서도 왜그럴까 했는데, 속이 후련해지내요. 또 미시에서 볼때 점점 작아지면서 -1+1Ii 언저리에서 돌게 된다고 하실때 감탄했습니다. 정말정말 감사합니다.
1:35 개섹시
너무 유익합니다. 1년치 공부의 핵심을 22분만에 배운 느낌이네요 감사합니다.
정말 재미있네요. 이런 상상이 정말 즐거워요
수학 공부하고 싶어진다... 감사합니다.
설명 진짜 잘해주시네요 👍🏻
i 다음 j 는 필요없음을 이해합니다. 그러면 전혀 새로운 접근으로써 (+R)^(j)=-R 이런 j 를 정의할수있지 않을까요??
안녕하세요. 공부한지 꽤 오래되었는데, 우연히 재미있게 잘 시청햇습니다.. 한 가지만 물러보면, 목소리가 너무 깨끗히 잘 목음이 되었는데, 혹시 어떤 마이크 사용했는지 알 수 있을까요? 핀마이크를 컴퓨터 마이크 단자에 접속하고 녹음하신 건가요?
수학자들은 욕심이 참 많았네요
정말 잘봤습니다!
새로운 수의 한 종류로 'j'를 언급하니 전자공학을 전공한 사람으로서 많이 헷갈립니다. --그냥 농담입니다.-
오일러 공식을 활용하고 e의 지수함수를 도입하면 i를 곱하는 것으로 미분이나 적분을 대신할 수 있습니다. 곱셈으로 미적분을 대신한다면 얼마나 편한 것인지요. 특히 전기공학에서 콘덴서, 코일을 해석하기 위해서는 전류를 시간에 대해 미적분해야하는데 해석에서 계수를 복소수로 두면 곱셈으로 미적분을 대신해 줍니다. 슈레딩거의 파동방정식에서도 i를 곱해서 미분 1회를 대신하고 있죠.
중간에 보다가 말았는데 확실히 잘 설명해주시는 것 같아요. 근데 개인적으로는 동기부여를 위해서는 허수가 실제로 생활에서 어디 쓰이는지 (공학적인 설명) 해주는게 더 쉽지 않나 생각이 듭니다.
영상 항상 잘 보고 있습니다.
전부터 얘기하고 싶었는데
마이크 좀 어떻게 안되는 부분인가요...
영상마다 소리가 일정하지 못하는거 같고
마이크소리가 듣기 불편할때가 많습니다..
이런 내용을 누군가 알려주길 원했는데, 이제서야 알게되서 기쁩니다.
e^(pi*i) = -1
이 공식을 아름답게 만든 수죠.
크어 최고네요 ㅠㅠ 영상 30초 도입부부터 완벽합니다 ㅠㅠ 저는 왜 이런 의문 자체가 안들었을까요 ㅎㅎ 너무 잘듣고 갑니다
멋있는 해설입니다. 감사합니다.
다시 머리가 말랑해지는 기분이 듭니다. 감사합니다~!! 좋은 컨텐츠 많이 부탁드리며, 아이랑도 함께 볼께요!
궁금했던점이 해결이 되네요 ㅋㅋ 😎
여러 영상들을 보니 이런 통찰력은 언제쯤, 어떻게 갖게 되신 건지 무척 궁금하네요. 이런 것들을 떠올려내고 그걸 설명해내는 능력이 대단하셔서, 교육 쪽에 관심이 있으시다면 진심으로 수학교육의 발전에 기여해주시면 좋을 것 같습니다.
맞아요 저도 이런생각 들었음 다른 유투버랑 다른 차원인거같아요
프린스턴 박사 출신의 인사이트 강의 ㄷ
이거 귀하네요..
수학교육학과 오시면 허수단위 도입 필요성과 당위성 어떻게 아이들에게 설명할지 다 배웁니다...
선생님들이 이런 걸 몰라서 안 가르치는 게 아닌데..
@@노현균-g2d 그럼 왜 안 가르치나요? 재미없어서?
9:30 왜 동경 45일 때를 제곱하면 90도가 되는건가요? ^2이지 x2가 아니잖아요(시비 아ㅣ니고 질문입니다)
이해가 너무 잘되네요 재밌어요
재밌게 잘봤어요 ㅎㅎ 사실 수학이란 학문이 직관이란말과 굉장히 괴리감이 심하다는걸 어느순간 깨닫게됬죠 ㅋㅋㅋ
나중에 시간남으시면 Complex mapping 하는것도 나중에 다뤄줄수있나요?
형 너무 좋은 강의야!! 형 강의 덕분에 오랜만에 꿀잠잤어..
오 갑자기 영상이떠서 봤는데 죄송합니다 갑자기 머리가 아프네요😂😂😂 ㅎㅎㅎㅎ
i를 만든 이유를 요약하면 n차방정식의 해는 항상 n개 나오게 하기 위해서네요.
배울때.. 이 영상 한번 틀어주고 시작했으면 좋겠다 하는 생각이 드네요 ㅋㅋ
형성과정을 하나씩 알려주시는거 멋있어요
아직도 허수가 왜 있는건지 몰랐는데 아주 좋은 영상이겠네요
(-1)^n은 n이 정수일때 1과 -1을 반복하면서 진동합니다.
그렇다면 이런 특성을 n이 실수일때로 확장해서 연속성을 갖게 한다면 어떨까요?
이게 i의 기본적인 개념입니다.
허수.. i제곱이 -1 이라는게 핵심이 아니라 그림으로 설명했듯이 각도라는 새로운 기저벡터를 설정하는건가요? 뭐 이것도 백퍼센트 대응되는것처럼 보이진않지만 벡터에서 흔히 사용되는 i j k 랑 관련이 있는지 궁금합니다
0:31 저도 호기심이 많은 편이었는데 학창시절이 참 힘들었어요 ㅠ 뭐든지 그냥 외워야하고... 요즘처럼 유튜브같은게 존재하지도 않았고 교과서 이외의 책에서 특정 파트만 골라 볼 수 있는 방법도 없었으니 참...
자연수상의 연산에서 음수, 분수가 나오는걸 설명하지 못해서 정수, 유리수를 확장했고,
또, 유리수 체계로는 무리수를 설명할 수 없기 때문에 확장해서 실수를 만들었는데,
실수마저 허근을 나타내지 못해서 복소수까지 확장했다..
그런데 복소수 체계로 구할수 없는 해가 없어서 더 이상 확장을 할 필요가없다...
이렇게 이해해도 될까요..?
맞습니다
참고로 실수 중 초월수(e,𝛑등) 쪽으로 가면
더 발전할 수 있긴 한데,
이거는 위와는 다르게 방정식의 해를 이용하여 발전시키는 방법은 아니라
큰 관련은 없습니다
뒤늦게 댓글을 달아서 보시련지는 모르겠지만, 궁금증이 하나 생겨서 여쭤봅니다. 혹시 보신다면 알려주시면 대단히 감사드리겠습니다.
이 영상을 보고 복소수 계수의 n차 방정식은 반드시 복소수해를 가진다는 건 확실히 이해할 수 있었습니다. 그리고 그 때문에 복소수를 정의역으로 가지는 n제곱과 사칙연산은 반드시 복소수로 표현 가능하다는 것도요.
그럼 eˣ이나 ln𝑥, sin𝑥와 같은 함수들(초월함수라고 부르던가요??)을 이용한 모든 연산들도 양(또는 음)의 무한대로 발산하지 않는다는 가정하에 복소수로 표현할 수 있다는 것도 증명되어있을까요??
만일 그렇지 않다면 그 또한 허수와 같은 새로운 수체계를 만들어야 할 이유가 될 거 같아서요.
말씀하신 e^x나 lnx 등은 사칙연산과정을 단순화시킨 기호에 불과합니다. 따라서 복소수로 충분히 표현 가능하죠.
그리고 복소평면에서 지수/로그는 오일러공식으로 충분히 이해할 수 있습니다. 여기서 오일러 공식 또한 사칙연산으로 증명됩니다.
세계의 수많은 석학들이 말씀하신 허수와 같은 새로운 수 체계를 아직까지 만들지 않은 이유가 있지 않을까요? 공격적으로 들리실 수 있겠지만 수학자들을 과소평가 하거나 본인을 너무 과대평가 하시는 것 같습니다.
@@김수영-q2z5d 당연히 증명되어있으리라 생각했지만, 그 증명 과정이 궁금해서 여쭤본 것인데... ㅎㅎ 오해를 유발하게 적었나봅니다. 답변 감사합니다!