그러면 교육과정을 최소한 이차방정식은 물론 삼각함수와 지수함수를 배운 뒤 복소평면을 배우는 과정으로 바꿔야 하지 않을까 싶습니다. 복소해석학 초반부에서는 복소수를 표현할 때 극좌표의 아이디어를 쓰는데, 못해도 삼각함수의 정의를 알아야지만 극형식이라는 걸로 바꿔 쓸 수 있고, 자연지수함수 e^x에서 x의 정의역을 복소수로 확장해 아래와 같이 정의할 듯 싶습니다. x + yi = r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ) (단, r = √(x^2 + y^2), θ는 양의 실수축과 복소수에서 원점을 향해 그은 선분 사이의 끼인각, 즉 편각.) 그리고 이런 복소지수함수를 조작해서 삼각함수를 도출하는 것도 중요하기도 하고... * 사실 좀 더 엄밀히 말하자면, 실수 지수와 자연지수함수를 정의하는 것은 미적분(자연지수함수의 테일러 급수에서 x 대신 ix를 대입해서 삼각함수도 도출 가능)에서 해석학(코시수열에 대한 정리들이었나...)까지의 지식을 요하기는 합니다.
1. 허수의 도입으로 모든 실계수 방정식의 해를 도출할 수 있게 됨. 당장 2차방정식만 봐도, 허수가 없다면 허근의 존재를 인정하지 않고, 그냥 해가 없다고만 생각하게 됨. n차 방정식의 근이 반드시 n개 존재하는 새로운 수 체계는 다양한 수학 문제들이 정말 우아하게 풀림 2. 허수를 도입해서 만든 2차원 수인 복소수 수 체계 역시 '체'의 성질을 가짐. 쉽게 말하면 그냥 일반적인 실수 처럼 모든 성질이 유지된다는 뜻임. (덧셈과 곱셈의 교환, 분배, 결합 , 항등원, 역원의 존재 등등이 전부 실수체계와 동일함) 우리에게 익숙한 실수 처럼 자연스럽게 조작하기 쉬움. 3. 복소수를 2차원 평면에 표현하면 기하학과도 연결됨. 마치 평면위의 점을 (x,y)로 표현하는 것 처럼. 하나의 복소수 z=a+bi도 마치 점 (a,b)처럼 표현할 수 있음. 이 표현 방식을 복소평면이라 하고, 복소수를 기하학 문제와 연결시키는 새로운 지평을 열음. 복소수의 덧셈과 뺄셈은 이제 벡터의 덧셈과 뺄셈으로도 해석할 수 있게 되면서 다양한 대수 문제를 기하 문제로 바꿀 수도 있고, 그 반대도 가능하게 됨. 4. 오일러라는 사람이 자연 상수 e의 지수로 허수를 올리면 재미있는 일이 일어난다는 사실을 발견함. e^(ia) = sin(a) + i*cos(a) 라는 공식을 찾아냈고, 여기에 a=pi를 넣으면 그 유명한 식이 도출됨 e^(i pi) + 1 = 0. 진짜 아름다운 식임. 5. 복소수는 회전을 표현하는데 아주 유리함. 위의 오일러 등식을 보면, 복소수와 삼각함수가 밀접한 관련이 있고, 특히 회전을 자연스럽게 기술할 수 있다는 것을 밝혀 냈음. 예를 들어, 2개의 복소수를 서로 곱하면, 복소평면 상에서 길이끼리는 곱해지고 원점으로부터의 각도가 더해짐. 이걸 응용하면 싸인 코싸인 한번 안쓰고도 좌표를 회전시키는 등의 다양한 변환이 가능함. 2차원 상의 물체의 회전을 기술하는 가장 우아하고 깔끔한 방법이 바로 복소수임. 6. 복소수는 진동 또는 주파수를 해석하는 탁월한 도구임. 삼각함수는 원래 주기함수로써, 무엇인가의 진동 내지 주파수를 기술하는데도 자주 사용됨. 하지만 기존에는 2개의 서로 다른 진동을 더하거나 빼려면 삼각함수랑 씨름해야 했음. 이때, 삼각 함수 안에 힘들게 표시하는 진동수 값을, 오일러 공식을 통해 자연상수 e의 지수로 빼낸다면. 주파수의 기술과 합성을 지수법칙으로 단순한 덧셈 뺄셈으로 바꿔버림. 이 외에도 열거하자면 끝도 없는데.. 여담. 수학자들은 복소수에서 멈추지 않았고, 그 이상의 차원을 가진 새로운 수들을 계속 찾아냈음. 4차원의 사원수, 8차원의 옥토니언 등등등.. 복소수를 초월한 이 수들을 초복소수(hypercomplex number) 라고 함. 이 중에서도 4차원상의 수인 사원수는 3차원 물체의 회전을 기술하는 최고의 방법임이 밝혀짐. 우리가 하는 게임엔진에서는 지금도 사원수를 열심히 곱해서 캐릭터의 자세와 날아가는 포탄의 회전을 연산함. 결론은 복소수를 통해서 우리가 얻게 된 것들은 정말 너무너무너무 많아서 쉽게 정리하기 힘들 정도임. 고등학교 때 이런 필요성을 전혀 피력해주지 않고 무작정 성질만 기계적으로 배우니. 대부분의 학생분들이 재미를 느끼기 쉽지 않다는게 안타까움.
오...배웠던 기억이 난다
쌤 최고!!!
나는 이걸 왜 보고 있을까 ...
Ebsi는 허상이었나요...?
Showmaker
저 고등학교 때 수학정석에서는 허수를 이렇게 쉽게 배우질 않았어요.
허수(虛數)는 imaginary number 를 한자로 번역한 거구요. 虛는 imaginary와 뜻이 같구요.
뭐가 쉽고 뭐가 어렵다는거지?
그건 멍청한거야 걍 ㅋㅋㅋㅋ
똑같이 기술돼있음. 그냥 이 선생이 여러번 말할 뿐.
쉬운거만 얘기하니까 쉬워보이지...저게 다가아닐텐데ㅎ
13:25
13:23
EBS허수
실수=제곱해서 0보다 크거나 같은거
제곱근4와 4의 제곱근은 다른겁니다 제곱근4를 제곱해서 4가 되는수라고 설명하면 오해의 소지가 있어보이네요.
영상 약 45초 부근
정의에 따르면
은 제곱해서 a가 되는 '모든' 수
는 a의 제곱근 중 실수인 것
이라서, 배울때는 √4=2or-2라고 배우지만
'루트4는 제곱해서 2가 되는 수' 라고 표현해도 틀린 말이 아닙니다.
@@김아무개ss허나 표현상에서는 루트(4)=2입니다.
@@Hanhwado 제 말이 그말이에요
제곱근a와 a의 제곱근이 다르다고, √a가 제곱해서 a가 되는수라는 말이 틀린게아닌데 전형적으로 숲은 안보고 나무만 보는 스타일
수학선생이 그걸모르겠냐.. 사과는 과일이다 라고 한다고 틀린말이 아닌데
EBS 예능 떴다
그냥 복소평면 알려주는게 아이들한테 더 좋지않을까 하는 생각도 드네요
그러면 교육과정을 최소한 이차방정식은 물론 삼각함수와 지수함수를 배운 뒤 복소평면을 배우는 과정으로 바꿔야 하지 않을까 싶습니다. 복소해석학 초반부에서는 복소수를 표현할 때 극좌표의 아이디어를 쓰는데, 못해도 삼각함수의 정의를 알아야지만 극형식이라는 걸로 바꿔 쓸 수 있고, 자연지수함수 e^x에서 x의 정의역을 복소수로 확장해 아래와 같이 정의할 듯 싶습니다.
x + yi = r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ)
(단, r = √(x^2 + y^2), θ는 양의 실수축과 복소수에서 원점을 향해 그은 선분 사이의 끼인각, 즉 편각.)
그리고 이런 복소지수함수를 조작해서 삼각함수를 도출하는 것도 중요하기도 하고...
* 사실 좀 더 엄밀히 말하자면, 실수 지수와 자연지수함수를 정의하는 것은 미적분(자연지수함수의 테일러 급수에서 x 대신 ix를 대입해서 삼각함수도 도출 가능)에서 해석학(코시수열에 대한 정리들이었나...)까지의 지식을 요하기는 합니다.
모든 실수면 0은요?
0i는 허수가아니라는것이논제라는거겠죠..
@@ToAnyujin제목을 보실래요?
ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ
❤❤❤❤❤❤❤
나다
상대치
허수는 왜 필요한건가요
전자공학에서 쓰임
왜 필요하냐가 아니라 존재하는 수라서 배우는겁니다.
x^+4=0 이라는 방정식을 풀기 위해서 수학자들이 고안해냈습니다
1. 허수의 도입으로 모든 실계수 방정식의 해를 도출할 수 있게 됨.
당장 2차방정식만 봐도, 허수가 없다면 허근의 존재를 인정하지 않고, 그냥 해가 없다고만 생각하게 됨.
n차 방정식의 근이 반드시 n개 존재하는 새로운 수 체계는 다양한 수학 문제들이 정말 우아하게 풀림
2. 허수를 도입해서 만든 2차원 수인 복소수 수 체계 역시 '체'의 성질을 가짐.
쉽게 말하면 그냥 일반적인 실수 처럼 모든 성질이 유지된다는 뜻임. (덧셈과 곱셈의 교환, 분배, 결합 , 항등원, 역원의 존재 등등이 전부 실수체계와 동일함)
우리에게 익숙한 실수 처럼 자연스럽게 조작하기 쉬움.
3. 복소수를 2차원 평면에 표현하면 기하학과도 연결됨.
마치 평면위의 점을 (x,y)로 표현하는 것 처럼. 하나의 복소수 z=a+bi도 마치 점 (a,b)처럼 표현할 수 있음.
이 표현 방식을 복소평면이라 하고, 복소수를 기하학 문제와 연결시키는 새로운 지평을 열음.
복소수의 덧셈과 뺄셈은 이제 벡터의 덧셈과 뺄셈으로도 해석할 수 있게 되면서 다양한 대수 문제를 기하 문제로 바꿀 수도 있고, 그 반대도 가능하게 됨.
4. 오일러라는 사람이 자연 상수 e의 지수로 허수를 올리면 재미있는 일이 일어난다는 사실을 발견함. e^(ia) = sin(a) + i*cos(a) 라는 공식을 찾아냈고, 여기에 a=pi를 넣으면 그 유명한 식이 도출됨
e^(i pi) + 1 = 0. 진짜 아름다운 식임.
5. 복소수는 회전을 표현하는데 아주 유리함.
위의 오일러 등식을 보면, 복소수와 삼각함수가 밀접한 관련이 있고, 특히 회전을 자연스럽게 기술할 수 있다는 것을 밝혀 냈음.
예를 들어, 2개의 복소수를 서로 곱하면, 복소평면 상에서 길이끼리는 곱해지고 원점으로부터의 각도가 더해짐.
이걸 응용하면 싸인 코싸인 한번 안쓰고도 좌표를 회전시키는 등의 다양한 변환이 가능함.
2차원 상의 물체의 회전을 기술하는 가장 우아하고 깔끔한 방법이 바로 복소수임.
6. 복소수는 진동 또는 주파수를 해석하는 탁월한 도구임.
삼각함수는 원래 주기함수로써, 무엇인가의 진동 내지 주파수를 기술하는데도 자주 사용됨. 하지만 기존에는 2개의 서로 다른 진동을 더하거나 빼려면 삼각함수랑 씨름해야 했음.
이때, 삼각 함수 안에 힘들게 표시하는 진동수 값을, 오일러 공식을 통해 자연상수 e의 지수로 빼낸다면. 주파수의 기술과 합성을 지수법칙으로 단순한 덧셈 뺄셈으로 바꿔버림.
이 외에도 열거하자면 끝도 없는데..
여담.
수학자들은 복소수에서 멈추지 않았고, 그 이상의 차원을 가진 새로운 수들을 계속 찾아냈음.
4차원의 사원수, 8차원의 옥토니언 등등등.. 복소수를 초월한 이 수들을 초복소수(hypercomplex number) 라고 함.
이 중에서도 4차원상의 수인 사원수는 3차원 물체의 회전을 기술하는 최고의 방법임이 밝혀짐.
우리가 하는 게임엔진에서는 지금도 사원수를 열심히 곱해서 캐릭터의 자세와 날아가는 포탄의 회전을 연산함.
결론은 복소수를 통해서 우리가 얻게 된 것들은 정말 너무너무너무 많아서 쉽게 정리하기 힘들 정도임.
고등학교 때 이런 필요성을 전혀 피력해주지 않고 무작정 성질만 기계적으로 배우니. 대부분의 학생분들이 재미를 느끼기 쉽지 않다는게 안타까움.
@@이지석-n2r 정말 감사합니다.
i^pi =? 뭐예요?
목소리가 도올 닮아가네..
도올 목소리는 고자 목소리인데..
이제와서 드는 생각인데,
왜 고등학교 수학에서는 복소수를 가르치면서
복소평면은 자세히 알려주지 않는 걸까….
그러면 i의 거듭제곱도 엄청 쉽게 이해되고,
i를 곱하는 것이 복소수의 회전이라는 것을 아주 쉽게 설명가능한데…
모든 것에는 순서가 있는법입니다. 복소평면을 설명하려면 먼저 삼각함수를 정의해야 하는데, 그건 고등학교 2학년 과정입니다.
목소리가 사람 지치게 만드네. 두통이 생기네.
이렇게 없나?
34살인데 이걸 왜 끝까지 보고있지...??ㅋ
🐟 🐠
허수근데수능에안나오잖슴
이거 고1 강의임
문과면 인정 이과면 수능안나와도 봐라
@@김진열-z1q 왜임
@@qhwl수학의 논리를 이해하고 보충하는 영양제..
이거 모르면 대학와서도 헤맴
ㅋ
왜이리 산만하냐
이 분 수학을 전공하진 않은 듯.
그쵸 실수는 제곱해서 a가되는수가 아니라 완비 순서 체를 말하는것 아닙니까?
@@유난민-k5o고등학생한테 실수를 완비된 순서 체라고 설명할 수는 없잖습니까... 그렇게 보면 초등학생한테 자연수도 페아노 공리계 들먹이면서 설명해야 합니까?
역시 전공학과가 중요하다
정선생님은 강의 관점 자체가 애들이 아닌 본인인거 같아 아쉬움. 하고싶은말을 본인호흡대로만 하다보니 듣는사람입장에선 집중이 잘 안됨
대충보거나 집중 안하면 굉장히 산만하고 정신없어 보이고 집중해서 보다보면 얼마나 학생입장에서 생각하고 수업하시는지 느끼게 됩니다
이렇게 쉽고 학생머리에 박히게 강의하시는분 몇없죠
자기랑 맞지 않다고 까대는건 좀 아니라고봄. 댁 말 대로라면 저 강사분이 인기가 없어야 할텐데 인기만 많잖아? 그렇다면 학생과 동떨어진 교수법 이라는건 글쓴이의 편협한 속단이 아닐까?
오히려 집중을 하다보면 수업을 듣는 나도 정승제쌤의 호흡을 따라가게 되서 이해도 잘되는데
1타강사들 공통점임.
쉽게 잘 설명해줘서 학생의 고뇌와 체득화 기회가 없어짐.
어렵게 배운학생이랑 1타수업들은 학생이랑 3개월 뒤에 시험치는 비교실험도 있음.
그냥.. '많이 잘 배운 것 같은 느낌'만 받아가면 됨.