13:47 결국 테트레이션은 지수연산의 반복이고 왼쪽 위에 적는 수로 반복하는 ‘횟수’를 정의하는데 이 아래서 부터 연산하는 것도 뭔가 논리 전개상 잘못된 것이 없어보입니다. 하지만 연산 순서에 따라 값은 천지차이죠. 그렇다면 위에서 아래, 아래서 위 두 방식 중 위에서부터 연산하는 건 이렇게 하자 라고 인간이 ’정의‘한 것이겠죠. 사칙연산의 순서를 생각해보면 분수나 소수와 같은 수가 곱셉으로 표현이 가능한데 이런 여러가지로 표현 되는 식에 앞에 덧셈 하나만 있으면 서로 다른 값이 되니 우선 순위에 대한 괄호를 생략한다면 곱셈쪽을 생략하는 것이 식을 표현하는데 있어 더 효율적입니다. 그래서 ‘편리’에 따른 사칙연산순서를 정의한 것이죠. 그렇다면 테트레이션의 계산 순서를 위에서 아래로 정의한 이유는 무엇일까요? 사칙연산에선 모든 순서를 괄호로 표현해보고 어느쪽 괄호를 생략하는 것이 더 효율적인가가 정의의 근거가 되었었는데 테트레이션의 표현에도 괄호를 위쪽보다 아래쪽에 표현하는 것이 더 쉽기 때문일까요?
요새 너무 재밌어서 정주행 중이에요.. 보면서 정말 궁금한게 있었는데미국 도량형 보면서 생각했는데 동양은 만을 단위로 만, 억, 조 이렇게 늘려가고 서양권은 밀리언, 빌리언, 트릴리언 이런 식으로 늘어나는데 서양권이 더 편한건가요? 저음 회계공부를 했을 때 콤마 때문에 애먹었던 기억이 있어서.. 너무 재밌는 영상 감사합니다
우주론 얘기 들을 때 접하는 수들보다 훠얼씬 큰 수들이라 가슴 먹먹해질 새도 없네요. 비트겐시타인이 '트락타투스'에서 "실재는 가능의 부분집합"이라고 하는 것을 보고 "그게 뭐...?" 하고 생각했는데, 그때 이 얘길 들었어야 그 말의 의미를 좀더 제대로 느꼈을 것 같습니다. 물론, 비트겐시타인이 저런 말을 했다고 해서 선생님이 보여주신 걸 그가 비슷하게라도 생각했었다고 볼 수는 없지만요...
그나마 테트레이션 연산은 x^^2 정도는 x가 15 이하의 수면 현실세계에서도 한번씩 볼만한 숫자긴 합니다만...펜테이션 연산 중 우리가 표현 가능한 숫자는 2^^^3=65536이랑 3^^^2=3^^3=7.6조가 끝이고 3^^^3만 되어도 그냥 노답...(참고로 이 숫자는 tritri라는 별명이 있는데 3을 7.6조개 승을 올려야함 ㅋㅋㅋㅋㅋ) 헥세이션으로 가면 2^^^^3이랑 3^^^^2만 해도 답이 없고 3^^^^3이 G(1)이라고 하는데 아까 나온 그레이엄 수와 관련 있습니다
오.. 마지막에 무한 테트레이션이 인상깊네요. 제가 직접 상상해보고 계산기 두들겨가면서 √2를 무한히 제곱한 수가 2에 한없이 가까워 진다는 게 신기해서 √3도 무한히 제곱해보다가 √3은 √2와 다르게 무한히 상승하던 기억이 납니다. 그러다가 n의 n제곱근의 무한 테트리션은 무한히 상승하지 않는다는 것을 생각해냈는데 그걸 증명하다보니 수학이 참 재밌더라고요. 그래도 제 자신이 모든 걸 할 수는 없으니 이렇게 또 하나의 지식을 배워가며 12math를 봅니다 ㅎㅎ ㅡ과고 진학 예정인 수학을 좋아하는 한 학생이
덧셈, 곱셈, 거듭제곱, 테트레이션과 같이 커지는 연산체계를 표현할 수 있다면 뺄셈, 나눗셈, 로그, 로그보다 작게 하는 어떠한 체계(정확히 이게 맞는지는 모르겠습니다만 흐름이 그렇다고 이해해주세요)와 같이 작아지는 연산체계도 표현이 가능한 게 아닌가 하는 생각이 듭니다. 그게 학문적으로 가치를 가지는 건지 잘은 모르겠지만요
@@user-cy1po4id5e 음.. 보통 FGH는 하나의 수학 개념이라고 볼 수 있는데요, 우리가 상상 할 수 없고 범접 할 수 없을 만큼의 큰 수들의 대소 관계를 비교할 때 쓰이는 하나의 방법이라고 생각하시면 됩니다. 대충 수열이나 순환하지 않는 무한소수들을 비교한다고 보시면 되는데, 예전에 루트 대소관계 비교할 때랑 비슷한 방식으로 쓰이고 있습니다. 그 중 배를런 함수는 FGH의 가장 기본이 되는 함수 중 하나로 함수와 수열의 성질을 둘 다 갖고 있는 이중성을 띠고 있어서 수열이라고도 하고 함수라고도 합니다. FGH의 H는 Hierarchy 라는 계층의 뜻을 갖는 한 단어인데요, FGH의 기본이 되는 수열(함수) 중 Wainer Hierarchy 라는 웨이너 계층이라는 가산수의 기본 수열이구요, 제가 언급한 배를런 함수는 함수를 수열화 시켰기에 다양한 수학적인 테크닉과 기호들을 사용하여 수열과 함수의 이중성을 나타내는 어찌보면 개같으면서도 굉장히 아름다운 형태의 수식이 완성이 됩니다. 마지막 기본수열은 서수파괴함수(서수붕괴함수) 라고 불리우는 함수인데요.. 이 함수는 말로 설명을 하려면 그 뒤에 역사까지 설명을 해야하고 다양한 수식들을 정리하는 과정이 필요하기에 생략하고 그냥 이러한 함수들만 있다라는 것을 알기만 하시면 될 것 같습니다. 또 계산이 불가능한 FGH수열도 존재하긴 합니다만 이건 정말 개같습니다 특히 용어나 이런 게 말장난 하는 것 같고 알 수 없는 기호들과 그것을 의미하는 뜻이 있는데 그것을 해석하고 문제를 푸는 것이 상당히 개같습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다 ㅋㅋ
1차 3+4 = 3★3★3★3 2차 3×4 = 3+3+3+3 3차 3^4 = 3×3×3×3 1차 연산이 0차 연산을 반복한 거라면, 다른 연산들과 같이 피연산자가 있다고 가정하여 ((3★3)★3)★3이라고 생각했는데(3의 다음 수의 다음 수의 다음 수의 다음 수) 그렇다면 예를 들어 3+3은 3에다가 0차 연산을 3번 반복한 3★3★3이고, 3에다가 3을 ★연산을 진행하면 +1이 더해진 4, 또 한번 ★연산을 진행하면 5가 되므로 3★3 = 4이고 4는 3에다 -1차 연산을 3번 반복한게 아닐까 추측해봅니당
수학은 어디에나 존재하니까.. 짐작은 되는데 결국 e테트레이션x 던4테트레이션파이던 간에 어느 한 부분을 인간이 발견한다면 어디선가 막혔던 밀레니얼난제라던가 우주의 풀리지않던 식이라던가 이해되지 않던 물리학이라던가 이런 문제들이 갑자기 확! 하고 풀릴거같음… 대신 엄청난 시간과 엄청난 노력이 들어가겠지만 그 끝을 본 인류는 정말 우리가 진짜 시뮬레이션 안 속에서 살아가고있다고 생각할 수도있을거 같다..
영유아 수학 커리큘럼인 몬테소리 수학에도 동일한 내용이 나옵니다. 십진법 자릿수의 증가를 교구를 통해 차원의 증가로 보여주더라고요. 1차원 선으로는 덧셈 훈련, 2차원 면으로는 곱하기 훈련, 3차원 부피로는 거듭제곱 훈련. 3차원까지만 다루고 있어 그 다음이 궁금했는데 이렇게 설명을 듣네요. 감사합니다.
x가 e^(1/e)를 넘어가면 왜 발산하는가에 대해서도 고민해봤는데, y=a^x와 y=x의 그래프가 a가 1보다 살짝 클 때는 두 점에서 만나다가 a=e^(1/e)일 때 (e,e)에서 한 점에서 접하고 a가 더 커지면 더 이상 만나지 않습니다. 말로 표현하기가 좀 어려운데 a^a^a^...를 a^x에 x=1을 넣고 재귀하여 수렴하는 값으로 볼 수 있고, 이를 그래프로 해보면 y=a^x와 y=x가 첫 번째로 만나는 교점으로 수렴한다는 걸 알 수 있어요. 따라서 a가 너무 커지면 교점이 생기지 않아 발산하게 되며 그 경계가 접할 때인 e^(1/e)인 것입니다.
물리학자이신 김상욱 교수님께서 (어느 프로에선가) '그래도 물리학자는 고층 빌딩이지만 지상에 기반해서 사고하는데, 수학자들은 저 하늘을 날아 다는 존재' 라는 취지의 말씀을 하신 적이 있으신데, 이분의 영상을 볼때마다 자꾸 그 말씀이 생각나는군요. 아무튼 제 입장에서는 다 저 천상계에 계신분들 같습니다.
거대수 정원수 (현존하는 인간이 생각해 낼 수 있는 수 체계로 만든 기념적인(단순 함수의 반복이 아닌) 수 중에 가장 큰 것? 이라고 하네요) f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(10↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑10)))))))))) 이것을 f10 (10 ↑10 10) 이라고 표기한다네요
자, 더 신기한 것은 이런 상위 연산의 단계가 올라갈 수록 화살표를 늘린다는 것입니다. 즉, 9^^^^^^^^^9 라는 하이퍼 연산을 가정하고 표기할 때, 우리는 0단계 연산을 이용하여 하이퍼 연산을 표기한 것입니다. 이런 하이퍼 연산 표기용 0단계 연산을 다시 하이퍼 연산으로 표기하는 뇌절을 기대해봅니다.😂
동양에서 수는 한자사용하는 국가에서는 동일하다. billion 수는 영국,미국이 서로 달랐지만, 미국의 영향으로 10억으로 변경 되었다. 그런데, 과거에 사용하는 수의 단위가 변경이 되는 것이 말이 되나? 그리고, 서양에서는 수를 읽는 방식이 나라마다 다르다. 07:54 구골을 말하는데, 과거로 돌아가 뉴턴에게 구골 말한다는 알아듣겠는가? 절대로 아무런 설명하지 안고, 뉴턴은 구골을 표기 하겠는가? 그냥 말장난이다.
영상에서 pentation 을 pentration 으로 잘못 얘기했네요. 정정합니다.
13:47 결국 테트레이션은 지수연산의 반복이고 왼쪽 위에 적는 수로 반복하는 ‘횟수’를 정의하는데 이 아래서 부터 연산하는 것도 뭔가 논리 전개상 잘못된 것이 없어보입니다. 하지만 연산 순서에 따라 값은 천지차이죠.
그렇다면 위에서 아래, 아래서 위 두 방식 중 위에서부터 연산하는 건 이렇게 하자 라고 인간이 ’정의‘한 것이겠죠. 사칙연산의 순서를 생각해보면 분수나 소수와 같은 수가 곱셉으로 표현이 가능한데 이런 여러가지로 표현 되는 식에 앞에 덧셈 하나만 있으면 서로 다른 값이 되니 우선 순위에 대한 괄호를 생략한다면 곱셈쪽을 생략하는 것이 식을 표현하는데 있어 더 효율적입니다. 그래서 ‘편리’에 따른 사칙연산순서를 정의한 것이죠.
그렇다면 테트레이션의 계산 순서를 위에서 아래로 정의한 이유는 무엇일까요?
사칙연산에선 모든 순서를 괄호로 표현해보고 어느쪽 괄호를 생략하는 것이 더 효율적인가가 정의의 근거가 되었었는데 테트레이션의 표현에도 괄호를 위쪽보다 아래쪽에 표현하는 것이 더 쉽기 때문일까요?
요새 너무 재밌어서 정주행 중이에요.. 보면서 정말 궁금한게 있었는데미국 도량형 보면서 생각했는데 동양은 만을 단위로 만, 억, 조 이렇게 늘려가고 서양권은 밀리언, 빌리언, 트릴리언 이런 식으로 늘어나는데 서양권이 더 편한건가요? 저음 회계공부를 했을 때 콤마 때문에 애먹었던 기억이 있어서.. 너무 재밌는 영상 감사합니다
수학을 포기하고 살았는데 정말 재미있게 설명 잘해주셔서 감사합니다.❤❤
우주론 얘기 들을 때 접하는 수들보다 훠얼씬 큰 수들이라 가슴 먹먹해질 새도 없네요.
비트겐시타인이 '트락타투스'에서 "실재는 가능의 부분집합"이라고 하는 것을 보고
"그게 뭐...?" 하고 생각했는데,
그때 이 얘길 들었어야 그 말의 의미를 좀더 제대로 느꼈을 것 같습니다.
물론, 비트겐시타인이 저런 말을 했다고 해서
선생님이 보여주신 걸 그가 비슷하게라도 생각했었다고 볼 수는 없지만요...
처음 보는 개념인데 재밌게 잘 봤습니다.
수학을 포기했는데 포기하길 잘했다는 생각을 하게 되었습니다.
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
?
ㅋㅋㅋㅋㅋ
그나마 테트레이션 연산은 x^^2 정도는 x가 15 이하의 수면 현실세계에서도 한번씩 볼만한 숫자긴 합니다만...펜테이션 연산 중 우리가 표현 가능한 숫자는 2^^^3=65536이랑 3^^^2=3^^3=7.6조가 끝이고 3^^^3만 되어도 그냥 노답...(참고로 이 숫자는 tritri라는 별명이 있는데 3을 7.6조개 승을 올려야함 ㅋㅋㅋㅋㅋ) 헥세이션으로 가면 2^^^^3이랑 3^^^^2만 해도 답이 없고 3^^^^3이 G(1)이라고 하는데 아까 나온 그레이엄 수와 관련 있습니다
와 제가 궁금해하던게 여기나오니까 흥분되네요..
제가 발견했던건 x↑↑∞의 역함수가 x^1/x 인데 그이유가 x↑↑∞ = s일때
s=x^s , s^1/s=x , -ln(s^1/s)=-lnx
, (e^-lns) ×-lns =-lnx , - lns=W(-lnx)
, s=e^-W(-lnx) = x↑↑∞.
이렇게나오는데 역함수가 x^1/x라면
y↑↑∞=x일때 y^1/y=x 여야하고
x^1/x=z일때 e^-W(-lnz)=x 여야합니다.
대입해보면
e^-W(-ln(x^1/x))=e^-W{(x^-1)×-lnx}=e^-W{(e^-lnx)×-lnx}=(e^-1)^-lnx=e^lnx=x ,
{e^-W(-lnx)} ^ [{e^-W(-lnx)}^-1]={e^-W(-lnx)} ^ {e^W(-lnx)} = (e^-1)^W(-lnx)×e^W(-lnx)=(e^-1)^-lnx=e^lnx= x.
가 나오네요.
그러나 x^1/x는 단조증가하는 함수가아니고 x가 0부터 e까지는 증가하다 x>e일때 감소하므로 역함수가없지만 x↑↑∞의 그래프를 e^1/e까지만 정의한다면 이문제는해결됩니다.
중학생이라 람베르트함수의 깊은것까진모르겠지만 ⁿx=a [n>2]에서의 x의 해를 람베르트함수로 어떻게 나타내는지, a↑↑x가 연속함수로 어떻게 표현하는지 궁금합니다.
중학생...?
??
중학생이라
라는 표현을 쓰고자 긴문장 쓰느라 수고했네
@@user-yu9vm3xd7i 수학을 안다고생각하시는분들이 이런얘기 꺼내십니다.
하나를 꼬집어보기보단 가치를 느껴보시는게 좋을듯해요.
@@user-yu9vm3xd7i딱밤마렵네
오.. 마지막에 무한 테트레이션이 인상깊네요. 제가 직접 상상해보고 계산기 두들겨가면서 √2를 무한히 제곱한 수가 2에 한없이 가까워 진다는 게 신기해서 √3도 무한히 제곱해보다가 √3은 √2와 다르게 무한히 상승하던 기억이 납니다.
그러다가 n의 n제곱근의 무한 테트리션은 무한히 상승하지 않는다는 것을 생각해냈는데 그걸 증명하다보니 수학이 참 재밌더라고요.
그래도 제 자신이 모든 걸 할 수는 없으니 이렇게 또 하나의 지식을 배워가며 12math를 봅니다 ㅎㅎ
ㅡ과고 진학 예정인 수학을 좋아하는 한 학생이
((참고로 증명은
펼쳐보세요
n이 1보다 클 때
"1
물론 정확하진 않지만 제 나름대로의 증명이라 틀린 부분이 있어도 너그럽게 대해주세요~ㅎㅎ
세상에는 뛰어난 분들이 너무 많더라구요..
아..! 제곱 표시 "^"는 앞에서부터 계산하군요.. 제 표기가 잘못 되었네요 이런
아니에요 제 표기가 잘못되었는걸요
지적해주셔서 제가 감사드려야죠
@@142smdopp 아까 제가 착각해서 헛소리했었습니다. 고쳐서 다시 썼으니 다시 한 번 읽어주세요. 제거 주장한 근거는 틀렸지만 수렴하는 건 맞아요
공대지만 수학과는 아니었던 사람으로서 대학수학도 일부 배워봤지만 테트레이션은 처음 듣습니다. 수학을 전공하는 사람 입장에서는 테트레이션이 어떤 효용성을 갖게되나요?
어떤 명제의 증명, 어떤 대상의 유한성을 증명하는데 활용이 되긴 합니다만, 실생활에 효용이 있는 예시는 저도 알고 있는 것이 없네요:)
@@12math
쓰이긴하는군요.. 물론 그러니까 수학자들이 만든거겠지만.. 신기합니다 ㅎㅎ
수학을 좋아하는 학생인데, 썸네일부터 내용까지 진짜 웅장해지네요.. 와..
13:05
우리가 살고 있는 세상에서 변수가 되는 차원축이 3개라, 쉽게 말하자면 우리가 사는 세상이 3차원을 기반한 논리에 의해 구성되어 그런건가요?
+ 그리고 혹시, 복소수 i는, 자연논리적으로 존재가 증명될 수 있는 수인가요?
덧셈, 곱셈, 거듭제곱, 테트레이션과 같이 커지는 연산체계를 표현할 수 있다면 뺄셈, 나눗셈, 로그, 로그보다 작게 하는 어떠한 체계(정확히 이게 맞는지는 모르겠습니다만 흐름이 그렇다고 이해해주세요)와 같이 작아지는 연산체계도 표현이 가능한 게 아닌가 하는 생각이 듭니다. 그게 학문적으로 가치를 가지는 건지 잘은 모르겠지만요
이항한다면 얼마든지 표현ㄱㄴ
덧셈 곱셈 지수 테트레이션에 마이너스만 붙이면 작아지는거 아님?
@@KimGyuWon9961 제가 설명이 부족했는데, 음의 방향으로 절댓값이 커지는 걸 말하는 게 아니라 소수점 방향으로 0에 수렴에 가까워지는 걸 말하는 겁니다. 거시적인 표현은 해봤으니 미시적인 표현을 해보고자 하는 게 목적인 거죠
@@Sarabande 그니까요 지수에 마이너스 붙이면 0에 가깝게 작아지잖아요 2^-2는 1/4고 2^-10은 1/1024로 테트레이션도 마찬가지일테고?
@@KimGyuWon9961 아 그렇게 하면 영상에서 나온 걸 기반으로 어느 정도 유도할 수 있겠군요 ㅎㅎ 답변 감사드립니다
시간 괜찮으시면 fast growing hierarchy도 다뤄주시면 좋을 것 같습니다!
정신나갈것 같은 기분을 느껴보고 싶어요!
배를런 함수.. 오랜만이군요
@@jwater2l 먼데 그게
@@user-cy1po4id5e 음.. 보통 FGH는 하나의 수학 개념이라고 볼 수 있는데요, 우리가 상상 할 수 없고 범접 할 수 없을 만큼의 큰 수들의 대소 관계를 비교할 때 쓰이는 하나의 방법이라고 생각하시면 됩니다. 대충 수열이나 순환하지 않는 무한소수들을 비교한다고 보시면 되는데, 예전에 루트 대소관계 비교할 때랑 비슷한 방식으로 쓰이고 있습니다. 그 중 배를런 함수는 FGH의 가장 기본이 되는 함수 중 하나로 함수와 수열의 성질을 둘 다 갖고 있는 이중성을 띠고 있어서 수열이라고도 하고 함수라고도 합니다. FGH의 H는 Hierarchy 라는 계층의 뜻을 갖는 한 단어인데요, FGH의 기본이 되는 수열(함수) 중 Wainer Hierarchy 라는 웨이너 계층이라는 가산수의 기본 수열이구요, 제가 언급한 배를런 함수는 함수를 수열화 시켰기에 다양한 수학적인 테크닉과 기호들을 사용하여 수열과 함수의 이중성을 나타내는 어찌보면 개같으면서도 굉장히 아름다운 형태의 수식이 완성이 됩니다. 마지막 기본수열은 서수파괴함수(서수붕괴함수) 라고 불리우는 함수인데요.. 이 함수는 말로 설명을 하려면 그 뒤에 역사까지 설명을 해야하고 다양한 수식들을 정리하는 과정이 필요하기에 생략하고 그냥 이러한 함수들만 있다라는 것을 알기만 하시면 될 것 같습니다. 또 계산이 불가능한 FGH수열도 존재하긴 합니다만 이건 정말 개같습니다 특히 용어나 이런 게 말장난 하는 것 같고 알 수 없는 기호들과 그것을 의미하는 뜻이 있는데 그것을 해석하고 문제를 푸는 것이 상당히 개같습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다 ㅋㅋ
@@jwater2l 도대체 이걸 취미로 하는건 아닐거고 뭘하길래 이런 대충 요약본을 훑어보기만 해도 짜증나는 수학개념에 대해 알고계신 건가요?
@@Caffeine6 현역 공대생이에요 ㅋㅋㅋ 미적분학이나 통계학에서 주로 다루어요 ㅋㅋ 소위 말하는 Vector Calculus에서 나오는 내용이에요 ㅎㅎ
7:47 여기서 잠깐 정신이 아득해졌습니다. ㅋㅋ
1차 3+4 = 3★3★3★3
2차 3×4 = 3+3+3+3
3차 3^4 = 3×3×3×3
1차 연산이 0차 연산을 반복한 거라면, 다른 연산들과 같이 피연산자가 있다고 가정하여 ((3★3)★3)★3이라고 생각했는데(3의 다음 수의 다음 수의 다음 수의 다음 수)
그렇다면 예를 들어 3+3은 3에다가 0차 연산을 3번 반복한 3★3★3이고, 3에다가 3을 ★연산을 진행하면 +1이 더해진 4, 또 한번 ★연산을 진행하면 5가 되므로 3★3 = 4이고 4는 3에다 -1차 연산을 3번 반복한게 아닐까 추측해봅니당
재미 있다는 정도가 아니라 가슴이 웅장해진다는 말에 전적으로 공감됩니다.^^
지수와 테트레이션에서 교환법칙 결합법칙이 성립하지 않고, 괄호 안쓰면 3^(3^3) 처럼 오른쪽부터 계산한다는 사실은 처음 알았을때 직관에 반대되는 부분이었어요.
오히려 그게 직관적으로 당연하지 않나요? 3^3이라 했을 때 지수는 그 밑에 있는 숫자를 몇 번 곱할지 결정해주는 일종의 고유한 특성이 되므로 지수를 계산할 때는 가장 위의 지수부터 계산해야 원래 의도를 표현할 수 있는 계산법이 되겠죠!
@@unanswered98 그때가 합성함수도 안배웠을 시절이었는데 같은 연산자가 여러번 나오는 상황 자체를 사칙연산 말고는 겪어본적이 없었기 때문이죠
9를 세 번 써서 만들 수 있는 가장 큰 숫자가 오늘 바뀌었습니다.
⁹
⁹9
이제 그런 문제가 나오면 다른 답을 제시할 수 있겠군요
9
9
9 ㄷㄷ
9↑↑↑↑↑↑↑↑↑(↑가 9번)9
9[9]9
넘 재밌네요 ㅋㅋㅋ
이런 내용은 해석학에서 배우는건가요???
테트레이션과 제곱이 있을 때 어떤 연산을 먼저하나요?
좋은 질문이네요. 지수연산과 곱하기가 괄호없이 붙어 있으면 지수먼저 하니 테트레이션와 지수가 붙어있으면 테트레이션부터 하는게 맞지 않을까 싶은 생각인데 알려져있는 룰이 있는지 모르겠네요
@@12math 답글 감사드려요😄
2+2=4
2×2=4
2²=4
²2=4
6:40 이 때 3의 3의 3승은 지수법칙을 이용하면 3의 9승 아닌가요? 밑에서부터 계산하지 않나요? 왜 위에서부터 계산하죠?
(3^3)^3[3의 세제곱의 세제곱]은 지수법칙을 활용하여 3^9가 되지만 3^3^3[삼의 삼의 세제곱 제곱]은 (3^3)^3이 아니라 3^(3^3)이기에 3^27이 되기 때문입니다.
우리가 잘 모르는 수가 무리수인지, 유리수인지 고민하게 되는 것은
해석학의 저주다!!!
해석학을 배우기 전으로 돌아가고싶어!
수학은 어디에나 존재하니까..
짐작은 되는데 결국 e테트레이션x 던4테트레이션파이던 간에 어느 한 부분을 인간이 발견한다면 어디선가 막혔던 밀레니얼난제라던가 우주의 풀리지않던 식이라던가 이해되지 않던 물리학이라던가 이런 문제들이 갑자기 확! 하고 풀릴거같음…
대신 엄청난 시간과 엄청난 노력이 들어가겠지만 그 끝을 본 인류는 정말 우리가 진짜 시뮬레이션 안 속에서 살아가고있다고 생각할 수도있을거 같다..
지수연산 표현법 설명하실때 위쪽화살표라고 표현한다 하셨는데 3^3 같이 지수를 표현하는 기호인 ^ 의 모양을 보니 비슷한거 같아요. 간략화한 표현인건가요?
이 영상은 정말로 상상을 초월하는 아름다움을 담고 있어 마음이 웅장해졌습니다. 화면 속의 풍경과 음악이 조화를 이루면서 더욱 감동적인 경험이었습니다. 이런 영상을 통해 세상의 아름다움을 느낄 수 있다는 것이 특별한 경험이었습니다. 감사합니다.
15:08 y값이 4일수도 있지 않나요? 예전부터 생각 했던건데 2여도 성립하고 4여도 성립해서요
테트레이션이 우주의입자수보다 많다고 해서 굉장히커보이는데 그 우주의 입자가 조합될수있는 가짓수를 계산한다면 테트레이션 다음 단위도 필요하지않을까요
수학 동화책 하나를 듣는거같아요 편안한 목소리 너무좋아요
영유아 수학 커리큘럼인 몬테소리 수학에도 동일한 내용이 나옵니다. 십진법 자릿수의 증가를 교구를 통해 차원의 증가로 보여주더라고요. 1차원 선으로는 덧셈 훈련, 2차원 면으로는 곱하기 훈련, 3차원 부피로는 거듭제곱 훈련. 3차원까지만 다루고 있어 그 다음이 궁금했는데 이렇게 설명을 듣네요. 감사합니다.
수학 접은지 오래됐는데 이 채널 볼때마다 흥미 돋아서 다시 공부해보고 싶은 욕구가 생겨요
와 설명 진짜 너무잘해주시네요 감사합니다!
큰 수는 그냥 보기만 해도 어지럽죠... 다음에는 순서수도 한 번 다뤄주십시오
반대로 다음 수의 전단계도 있을까요
덕분에 불면증이 해결되었습니다 감사합니다
좋은 내용 감사합니다.
테트레이션에서의 0이나 음수는 어떻게 정의할 지 궁금하네요...
찾아보니 0에서는 1이고 -1에서는 0이라는 것 같네요 ㅎㅎ 그 이하의 음수도 정의를 할 수 있는 것 같네요
저 궁굼한게 있는데 지수법칙에 의하면 (a의제곱)의 세제곱 은 nm 이니까 3x2가 되는거 아닌가요? 왜 a의 제곱은 2x2x2가 되는건가요?
오늘 영상도 잘 보고 갑니다!
x↑^(infty)=x^x^x^x… (커누스 위 화살표 표기법)
무한지수탑은 Rambert W Function*과 연관이 깊습니다!
무한지수탑=-W(-ln(x))/ln(x) 로 표기할수있습죠
(* Rambert W(x) 는 xe^x의 역함수이다.)
와 고맙습니다
흠.. 지수연산부터는 교환법칙이 성립하질 않기에
2의 2승의 2승의 2승과 2의 (2의 (2의 2승))은 다르죠
그런데 테트레이션은 밑을 생성하는 연산이지 지수연산을 반복하는 연산은 아니지 않나요?
테트리션이라는 개념을 알고 나니 생각 없이 하고 있던 지수 순서를 인지했습니다
생각해보니까 어릴때 지수를 배울때 4⁴ ⁴을 왜 위에 숫자를 곱하기만 하지 라는 생각을 해본거 같아요 그때를 생각하면 괄호를 무조건 붙이던데 그게 이거때문이었나 싶네요
2011년 9월 고2 수리 가형, 나형 14번 기출인가요?
x^x^x^...에서 x가 1을 넘어가면 발산한다고 착각하기 쉽지만, x가 루트 2일때도 식의 값은 2로 수렴해요. 이게 뭔가 마음으로 와닿지 않는데, 이를 증명해봤습니다.
루트2^x는 증가함수이므로 a
x가 e^(1/e)를 넘어가면 왜 발산하는가에 대해서도 고민해봤는데, y=a^x와 y=x의 그래프가 a가 1보다 살짝 클 때는 두 점에서 만나다가 a=e^(1/e)일 때 (e,e)에서 한 점에서 접하고 a가 더 커지면 더 이상 만나지 않습니다.
말로 표현하기가 좀 어려운데 a^a^a^...를 a^x에 x=1을 넣고 재귀하여 수렴하는 값으로 볼 수 있고, 이를 그래프로 해보면 y=a^x와 y=x가 첫 번째로 만나는 교점으로 수렴한다는 걸 알 수 있어요. 따라서 a가 너무 커지면 교점이 생기지 않아 발산하게 되며 그 경계가 접할 때인 e^(1/e)인 것입니다.
ruclips.net/video/LABUpfm-rF0/видео.html
@@ztzeros 오 제 풀이가 이 영상과 같은 내용이네요
익숙하지 않으니까 에로우표기의 전개식이 딱 떠오르지 않네요^^
그레이엄 수 기대됩니다
가장 큰수로 아는데 뚜둥!!
물리학자이신 김상욱 교수님께서 (어느 프로에선가) '그래도 물리학자는 고층 빌딩이지만 지상에 기반해서 사고하는데, 수학자들은 저 하늘을 날아 다는 존재' 라는 취지의 말씀을 하신 적이 있으신데, 이분의 영상을 볼때마다 자꾸 그 말씀이 생각나는군요.
아무튼 제 입장에서는 다 저 천상계에 계신분들 같습니다.
거대수 정원수 (현존하는 인간이 생각해 낼 수 있는 수 체계로 만든 기념적인(단순 함수의 반복이 아닌) 수 중에 가장 큰 것? 이라고 하네요)
f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(10↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑10))))))))))
이것을 f10 (10 ↑10 10) 이라고 표기한다네요
0~3번째 연산은 충분히 이해하고 있는데 4번째 연산부터 미궁에 빠지는게 마치 차원같네요.
선생님 너무 재밌는거 아닙니까
pentation으로 수정이 필요할 것 같아용!
고맙습니다!
진짜 미쳤다 미쳤어 우리는 아무것도 모르는것에 가깝다
아 이런개념이 있었네요
너무 재미있습니다
그라함 넘버와 그레이엄 수는 같은건가요?
테트레이션까지아니여도 지수영역인파이의파이제곱은알수잇는영역인가요?
BEAF는 몇단계 정도 될까요?
우리가 파워에 대한 많은 답들을 못내는 이유가 애초에 시작이 잘못된 것 일수도 있을거라는 생각이 드네요. 우리가 스스로 우리의 한계를 만들어 버린거죠
8:08 구골이 10의 100승 아녔나요..?
15:10 y가 4여도 성립하는거 아닌가요?
해당 함수의 치역이 y∈(0,1)∪(1,e] 이기 때문에 y=4인 경우는 생각 하지 않습니다
해당 함수는 안타깝게 4라는 함숫값을 가질 수 없습니다. 해당 함수의 개형을 살펴보면 e가 최댓값인지라...
테트레이션을 미분하면 어떻게 쓰나요?
테트레이션의 역연산이 나와야 실수 체계로의 확장이 가능하지 않나요
i^i의 값이 수렴하는거는 알겠는데
i=e^(pi/2 i)뿐만아니라
i=e^((2n+1/2)pi i)로 본다면
n값에 따라 다른값으로 수렴되지않나요.
하나의수가 여러가지값을가지는게이해가안되네요
다가함수
@@Kkkkk_Kword 네?
아 다가함수라는 개념이있는거였군요
항상 고맙습니다. 우리집 아이들에게 수학은 아주 재미있는 학문이라고 설득(??)하는데 큰 도움이 됩니다. ㅎㅎ
나눗셈은 빠졌군요.
아시다시피 나눗셈은 곱셈하고는 성질이 다르잖아요. (교환, 결합 법칙이 성립되지 않음)
그렇다고 지수는 아니고...
재밌네요. 풀어보라고 하면 못 할 듯...
13:55 연산 잘못한 거 아닌가여?? 순서를 바꾸어 계산이 아니라 그냥 정의대로 계산하지 않은 것 같은데...
가슴이 테트레이션 해진다
여기서 더 나가서 3번째 연산을 사용해서
2^2번째 연산 해서 4번째 연산을 표현하면 도데체 얼마나 많은 연산이 나올까 상상력이 자극 되네요
x^x^x^x 적분하라고 했을 때가 생각나네요..
그걸 줄여서 표현이 가능했다는 것도 신기하네요 ㅋㅋ
감사합니다*3
6번째 도 있나요??
시간이 되신다면 콘웨이 연쇄화살표 표기법에 대해서도 알려주세요
2^^0.5같은건 어떻게하나요?
어쩌면 멀티유니버스의 해답이
사실은 거듭제곱이 아니라 테트레이션에 있는 것은 아닐까라고 영상 보기 전에 댓글부터 싸봅니다
와 스케일 폼 미쳤슴미다 ㅋㅋㅋㅋ
이 채널을 학생때 알았으면 ㅜㅜ 수포자가 되는일은 없엇을듯
지금와서 후회해 봤자 의미없고 다시 돌아가도 똑같을듯
에이설마
시간나시면 푸리에 변환도 다뤄주세요~~
결국 AI와 미래는 Tetration 을 사용 하는 순간이 오지 않을까 하는 생각이 불현듯 들었네여.
선생님... 웅장해졌습니다....
진짜 흥미로운 개념이네요
그라함 넘버가 흔히 아는 그레이엄수군요 크누스 윗 화살표의 갯수가 무한히 많은ㅋㅋ
??? "오빠 지수랑 다음단계로 진도 뺀다면서 가슴이 웅장해진다고?"
저 윗화살표 표기법이 고2때 학력평가에 문제로 나왔었는데 ㅋㅋ 아직도 기억..
몇 년전인가요 지금 교육 과정에 빠진게 많다는걸 느끼네요ㅜ
@@User_-tv7nv 테트레이션이 교육과정에 있었던 건 아닌데 아마 지수의 성질을 이해하기 위해 나온 문제 같았습니다 ㅋㅋ
2011년 9월 고2 학력평가 수리영역 가형 14번 문제네요.
@@NightWalkooer 와…저 초1때
자, 더 신기한 것은 이런 상위 연산의 단계가 올라갈 수록 화살표를 늘린다는 것입니다.
즉, 9^^^^^^^^^9 라는 하이퍼 연산을 가정하고 표기할 때, 우리는 0단계 연산을 이용하여 하이퍼 연산을 표기한 것입니다.
이런 하이퍼 연산 표기용 0단계 연산을 다시 하이퍼 연산으로 표기하는 뇌절을 기대해봅니다.😂
와! fgh 아시는구나! 겁나 빨리자랍니다!
커누스의 윗화살표 표기법이네요.
얼마전에 빅프리즈알아보면서3↑↑6나오길레 그냥 오랜시간이겠구나했는데 상상도못하는숫자였군요
그냥 한 번 생각해 본 개념인데
살제 기호가 있으니까 신기하네
상상이상입니다!
테트레이션에 익스포넨셜이 나오다니..수학이란 참..
How did I ended up here? I literally don't even understand Korean
악플러도 선플러로 바꾸는 유익한 방송
신기하네요 첨봅니다
10년만 젊었더라면 역사선생이 아닌 수학선샌 했을수도....
제가알기론 윗화살표대신 3^^3 이렇게도 쓴다고 알고있어요
왜 알고리즘에 띄었는진 모르겠지만 잘 듣고 갑니다
동양에서 수는 한자사용하는 국가에서는 동일하다.
billion 수는 영국,미국이 서로 달랐지만, 미국의 영향으로 10억으로 변경 되었다.
그런데, 과거에 사용하는 수의 단위가 변경이 되는 것이 말이 되나?
그리고, 서양에서는 수를 읽는 방식이 나라마다 다르다.
07:54 구골을 말하는데, 과거로 돌아가 뉴턴에게 구골 말한다는 알아듣겠는가?
절대로 아무런 설명하지 안고, 뉴턴은 구골을 표기 하겠는가?
그냥 말장난이다.
?
와 초등학교때 혼자 했던 상상이다
내가 생각하는 것마다 이미 다 있어
좀만 빨리 태어날 걸
저 방법으로 그레이엄 수 같은 개념이 나온거군요
테트레이션도 7~8년 지나면 고등학교 기본개념으로 내려오려나...
그럴일은 없을듯 너무 복잡함
말도안되는얘기지 그렇게되면 수능장에서 계산기 뚜드리고 있을듯