【ゆっくり解説】最速で降下する数学的曲線!?サイクロイドの不思議
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- Опубликовано: 22 июл 2021
- 誰でも子供のころ、滑り台を滑った経験があると思います。
一般的な形は直線型ですが、中には直角に近い急斜面のもの、曲線を描くようなユニークな滑り台も存在します。
では、上から下へ最速で降下することのできる滑り台の形を求めることはできるのでしょうか？
実はその答えは最速降下曲線として、数学・物理学で証明されています。
その曲線の名は『サイクロイド』
高校で数ⅢCを習った方なら聞き覚えがあるのではないでしょうか？
今回の動画ではサイクロイド曲線の神秘的な性質について探っていきます。
【対象レベル】
基本的に当チャンネルでは小学生以上を対象としています。ですから教養範囲は算数の知識内で解けることを目標に問題制作、収集に取り組んでいます。
難しい知識ではなく、純粋にひらめき力を試されたい方はこの動画、また下記よりその他シリーズ一覧の動画にもぜひ挑戦してみてください。
#物理#数学
「空気抵抗や摩擦力は無いものとする」この言葉の重要性はでかい。
「魔法の言葉」ですよね
現実世界ではどちらも考慮する必要がありますし、滑り台や道路などの構造物に応用する場合は耐久性や安全性も考える必要があるわけで。
そういった実用面まで考えて物づくりをされているエンジニアの皆さんを尊敬します。
物理で氏ぬほど聞いた言葉だ
@@kazsteinkreis8570 大学の機械科建築科だと、空気抵抗、摩擦、空気の圧縮等考慮しないといけない
全てを諦めた自分「この問題は考えないものとする」
@@user-wz1zh5eo4f 草
微積の話に持っていかずに、かつわかりやすい説明
途中で出てきたほぼ90°の滑り台に小さい頃行ったのを思い出してなんか懐かしい気持ちになった
ワイそれで脊椎損傷w
昔高校の物理の先生が、東京ー大阪間をサイクロイドのトンネル掘れば10分で移動できるぞ
って興奮してたの思い出した
傾斜エグいと思うけどね笑笑
実際に見たら多分超怖い
摩擦でズボンのお尻の布燃え尽きそう
海水が入ってきそう
でもそれをやるにはマントルを掘らなきゃ行けないとかなんとか
動力必要ないのが最強ポイント
5万人おめでとうございます！
この問題は，フランスアカデミーからの出題を受けてイギリス側の解答が無署名だったが、回答者はニュートンだとすぐに分かったとか言われていますね。
中学の時数学マジで苦手でテストも1桁だったし、高校に入ったら1＋1から習って2年生から数学は選択科目になって取らなかったから触れる事無かったけど、こういう風にわかりやすいと楽しく感じるものなんだな
高校で1+1からって、
どんだけ底辺高なんだ😭
@@user-hk7ki1rl3v やばいですよね…
中学不登校だったんですけど、高校進学はしろって言われてめちゃくちゃクソヤンキー高に入るしかなく、いざ入ったら１＋１から授業された時は流石に笑いました🤣🤣
まあまあ、be動詞から英語やるFランク大学なんかも世の中にいっぱいあるし、多少はね？
やっぱり面白い授業っていうのは大事だな
なんとなく仮面ライダービルドのキックを思い出す
めちゃくちゃわかるw
かっこいいよなあ
歯車はサイクロイド曲線とは少し違ってインボリュート曲線を使うことでさらに効率が上がっています。
サイクロイドのほうが歯車としての効率はいいと思います。加工性という面で難があるのでコスパ面ではインボリュートが勝ると思いますが。だから一般的な歯車はインボリュートで精密さが求められてお金がかけられる時計などの精密機器はサイクロイドという住み分けがされていますよね。
@@mafi515
勉強不足でした。
糸巻きをほどくインボリュート曲線だと、かみ合う歯車同士干渉せずに常に接触する理想形だとおもっていましたが、確かにインボリュートは歯同士の滑りが発生します。
トロコイド曲線だと、この滑りが無く完全な転がりとなるのでさらに効率が高いわけですね！
ただ、インボリュートはラック工具で削れば勝手にインボリュート曲線が作れるのと、歯車同士の距離が多少ずれてもかみ合いに影響しないメリットがあり、工業生産的にはインボリュートが良いということですね！
@@mogmog001 その勉強不足だったことを認める姿勢を見習いたい・・
つべのコメ欄だとそんなことまずないし（）
@@mogmog001 あなたが勉強不足とか僕は何になるんですか？
@@mogmog001
これで勉強不足なら私は人間ですか？
サイクロイドのパラメータ表示とゴロ合わせ
x=a(θ-sinθ) あれを下に引いて制限した。
y=a(1-cosθ) あれを１人で引くと予言した。
位置エネルギー的にやっぱりゴール地点での速度は直線でもサイクロイド曲線でも同じになるんですかね
なりますねぇ
スタート地点とゴール地点の力学的エネルギー保存を考えれば結果は同じになります
質量をm 重力加速度をg 高さをh 速さをvとすると
mgh＝1/2mv＾2となって斜面の傾き、経路に依存しないことになりますね
よってv＝√2ghとなるので、ゴール地点における速さはどんな形状、傾き、経路をとったとしても高さが同じなら速さも揃います
実際は摩擦による玉の自転が働きゴールの速度は直線よりサイクロイド曲線は速くなると考えます。ゴール後の速度と飛距離に差ができます。
@@universe_beautiful今回の場合は汎関数として扱うのでゴール地点での速度はちがうのでは？
@@granblue3605最速降下問題では重力作用下でしか考えないので摩擦考えればまた違うのでは？
どこからスタートしても同時ゴールするとは、感動した
「尚重力は無いものとする」この言葉の重要性はでかい。
たいへん面白い性質ですね、自転車のトラック競技等にバンクを利用してサイクロイド曲線に近い走行ラインで勝負を決めたら有利になりそうですね。
自転車トラック競技ではマッコーネル緩和曲線が多いようですね。
サイクロイド数三で出てきたけどこういう性質があるの知らんかった
勉強や高校が嫌いで中退もしたが
このチャンネルは面白い。
高速道路のカーブもサイクロイド曲線だそうです
ゴルフのスイングがそうなのですね！！
ありがとうございます！！
ハンドルを一定の速度で回すと車はサイクロイド曲線を描いてカーブしますからね
高速道路以外でも基本的にカーブはサイクロイド曲線になるように設計されてるみたいです
そういえば電車の線路において、二つの駅の間にあえてお椀状の斜面をつけることで効率化を図っているところがあるらしいのだけど、これもこのサイクロイド曲線に関係しているのかな？
サイクロイドの連続的に変化する曲線はほかにも利用されてますね。
スキーの板のメーカーでエランというところがあるんだけど、
一時期サイドカーブをサイクロイド曲線にしてました。
先端側にRのきつい部分、後ろ側に緩い部分にして、
ターンの前半はきついカーブで板の食い付きをよくしてターンに入り、
後半は後ろ側の緩いカーブで減速させずにまっすぐ滑りぬける。
今はターン技術も変わったので違ってますが、こんな利用のされ方もしてましたね。
複合クロソイド曲線を試して欲しいですね、けた違いにパターンが増えてしまいますけど。
サイクロイド曲線とインボリュート曲線、歯車は噛み合いで摩擦と潤滑を戦わせて仕事をするが摩擦を極限まで殺す曲線は、たった２種類。
2:28 箕面やん笑
なないろこうえんな
プロ野球選手のスイングのスロー映像や連続写真を見ると、ヘッド(バットの先端部)の始動からインパクトまでの動きは、まさにサイクロイド曲線に則ったものである。
急がば回れが、今後は、急がばサイクロイドになる日も来るかも。
重力利用したい場合はそうなるし、
普通に行く時は急がばクロソイドになるかも
こーじ氏がサイクロイドに関して解説してましたね
かの有名なニュートンはこの問題を一晩で解いたんだからすごいよなぁ
@@dino3 ありがとう。結婚しよう
@@冷やし中華太郎 あんた！誰よその女！
@@冷やし中華太郎 え、、、こないだの言葉は嘘だったの？、、、
@@冷やし中華太郎 私との婚約は！？
ツ ッ コ ミ 不 在 の 恐 怖
目的地に行くのに下道を行くのか、ちょっと距離は嵩むけどバイパスで行った方が燃費と時間はどちらが効率いいのか迷う。
自動車レースのコーナリングラインの基本も理論上はこれだな。Ｇと摩擦などの抵抗が前提となるが、優秀なレーサーはタイヤの滑り出しを感知しながらアクセルとブレーキとギアを適切に操作して最速タイムを狙うとサイクロイド曲線に近付いていく。レーサーが言う、理想のラインは一つしかないって言うのは真理だ。物理ってやはり面白い。
サイクロイドって結構色んなことで使われてるんだなー
曲線を逆さまに山なりの滑り台があったら怖そう
滑れないやん
どこから転がしてもかかる時間が同じってとこ振り子みたいだね
良いところに気がついたね。物理屋になれる素質があるぞ。まあ素質はあると言うだけで才能があるかどうかは別問題だけど。
2:33 ここの効果音ってクレヨンしんちゃんの汗をかくシーンで鳴る音ですよね。何て検索したら出ますか？
｢アニメでお馴染み！汗タラーン｣というSEです
ニコニ・コモンズにあります
@@yama_wasa_bii ありがとなす!
この辺りは鉄道や高速道路、ジェットコースターやロケット・ミサイルに利用されている事で知られていますよね。
なので実は新幹線やリニアは直線では無く起点から終点までを緩やかに曲がっているんだよと言うのは新幹線の父島秀雄技士がおっしゃておりますよね。
同様にロケットも真っ直ぐ飛ぶのとサイクロイド曲線を描きながら飛ばすのとでは空気抵抗や引力を考えない物とすれば物体自体を回転させながらサイクロイド曲線で飛ばすと早く到着できると言う事は２ｃｈ黎明期に宇宙板でＪＡＸＡにお勤めの島秀雄技士のご親族の方に教えて頂いた物です。
そう考えますと『物理って難しい。』よりかは『物理ってスゲー。』と言う興味が湧くと言うのは不思議な物ですよね。
タイトル見てゴルフに役立ちそうと思ったら、
まさにその理論が出てきた。。。
まだまだ勉強不足やな。
サイクロイド曲線は逆からなぞっても最速なんですかね？
これ解析力学ですね！
汎関数微分法使って導出した記憶が🤔
直線を転がってできた曲線を転がってるってことでなんか上手い感覚的な説明ありそうな感じするけどなんもわからん
なんか、実際の距離じゃない何かが結果直線になって最速になってるイメージがある
サイクロイド曲線、初めて知りました。平らな斜面を滑べるのと曲線の斜面を滑るのとどちらが早いか？
こんなこと考えてもみなかったです。出発位置はちがうけど、到着時間は同じとか、不思議な曲線ですね。
ずっと直線より短い距離だと思ってたけど、あくまで重力ありきで一番速いってことね
あー、なぜか頭にブドウを乗せている人が頭に浮かぶ…
最後のは黄金比とかが当たる
遠回りこそが最短の道だった
ジャイロ…
上手い…！！
急がば回れ
いや、最速なだけであって最短ではないよ。
@@metacats
ヒント:「短い」は距離の他にも
時間に対して使い、
手前で既に距離には言及している
ジェットコースターの下りをイメージしたらそうなるかも
いつも、自主学習の宿題で、お世話になっております。
わかる
めっちゃレベルの高い自主学習になってそう
一部の屋根の形状にもサイクロイドが使われている
雨天時に水滴をできる限り早く落とせるようにするためらしい
木造建築など，水による腐食が懸念される建物には重要な曲線だ
雪が積もりにくくするなんて事もできそうですね
夜車を運転してて遠くに見える自転車のタイヤの反射板の軌跡ってわけか
8:27 どちらかと言うとネタ的な研究に与えられるイグノーベル賞案件だと思った
これでどこが人々を笑わせ考えさせた業績なんだ？
@@user-fs9jh7fp3r 俺は笑った
加速をサイクロイド 加速最高地点から直線にするとどうなるんですか？
ちょっと勘違いしてるな。「加速度最高地点」と「速度最高地点」は異なるよ。もし君が言ってるのが「加速度最高地点」の意味ならばそれは地面との角度が直角な地点、つまり始点のことに他ならない。その場合はそれは垂直自由落下のことだ。また「速度最高地点」ならばそれは終点に他ならない。終点に至った瞬間に単に水平移動になるからそのまま等速移動するだけ。なお水平からの角度θの斜面での重力加速度の斜面方向成分はgsinθだから自分で確かめてみなさい。サイクロイドはこのθがπ/2→0に連続的に変化することに注意。
金を使って金を生むっていうのはサイクロイド曲線が当てはまりそうな気がする。
なるほど、なぞなぞで同じような問題があったが、最初の絵のピンクが最速だと思いこんでた。思い込みは怖い。
ﾎﾞﾙﾃｯｸｽﾌｨﾆｯｼｭ!ｲｴｰｲ!
踏切に捕まって
いつも混んでるけど
踏切を何分も
待ってるのと
回り道やけど
上からぐるっと回って
信号待ちでも
あんまり変わらない
2:28 うちの近くにこれより長いやつある...
本当に90°くらいあるやつ...
Free Fallって言う名前の滑り台です
まさに自由落下！！
沖縄？
@@maymeg6777
関東です😢
道路のカーブもサイクロイド曲線使ってるよね。
ジェットコースターの軌道もサイクロイドなんですかね？
ゴルフや野球のスイングアークがサイクロイドになるといいというのはよく言われるけど、これは一見もっともらしいようで、人間が下向きに力をかけてスイングしている以上全然根拠ないような気がする
エネルギー効率はいいんだけど、軌道のとりかた次第でそもそもの出力が大きく変わると思うので…
猛禽類が獲物めがけて落下する軌跡を研究した人はいるでしょうか。まだなければ博士論文に是非。おすすめです。
リニアは東京大阪間をサイクロイド曲線の地下トンネルの中を真空にしてただ落下させるだけで新幹線を超えそう
16分ぐらいで着くらしい。
サイクロイドは昔証明を見たときは感動したが、今はカテナリーかと勘違いしていた…
サイクロイドってこんな性質あったんだ……媒介変数表示の話で出てくる奴という印象しかなかった……
サイクロイド好き。
エイペックスの初期ジャンプで使えそう
EDのBGMってなんですか？
運動方程式と微分を習えば最速の証明ができますね。
イメージで書くと、滑り出し地点をA、自由落下の着地地点をB、最終到達地点をCとしてABCの直角三角形を作る。
A Cを滑り降りる時間は
t=√2AC/gsinC
ABを垂直落下してBCを惰性で転がる時間は
t=√2AB/g +(√2ABg×BC)
これは角Cが0
歯車はインボリュート曲線だね
7分らへんから流れ出すBGM名を教えてくださいませんか‥？
カーブの緩和曲線はサイクロイドらしい
あれだ、下に溜まったシャンプーを出すのにも使えたらいいな
人工知能ォ..
高3のとき数3で教わった気がするけど、もう忘れました笑
サイクロイド自体はただの図形(グラフ)として微積で習いました
こんな速度とかは出てこなかったけど
明日から徒歩でサイクロイド通勤するわ
経験は大事
ここでも微分が使われていいるのすげぇ
直角の坂は一番速度が速いときが横に移動してないからが強く無い？
(直線よりも遅いのでは？)
間違えました😅炎上しませんように
自由落下が最速、
滑り台みたいに、接触するのなら摩擦が生まれるから自由落下より遅くなる。
深い問題すねー……
高校物理の範囲ですが、摩擦無くても転がってるのが斜面なら自由落下より遅くなりますよ😀
摩擦がなくても平面からの角度θの斜面ならば斜面上の降下加速度はgsinθになるよ。θ＝0、つまり平面ならば落下加速度は0になるでしょ。
よし！スキーのジャンプ台もサイクロイド曲線にしようぜ♪😊
なんか最速の滑り台と最短の滑り台、フーリエ変換？というか何回もアレすればサイクロイドになりそうというか
ガムのついた自転車のタイヤの軌道
いつまでも引っ付いてんなっ！！（ｶﾐﾅﾘ風）
野球のベーランもこの曲線だったりする？
近年のバットスイングの軌道
これって人間が物事を進めるときには初速が大事ということを意味していそう。
スケボーのランプ考えた人は見た目とは裏腹に頭良かったんだな…
日本の昔の屋根ってサイクロイドじゃね？
ボルテックフィニッシュ！イェーイ！
ちょっと自分、頭が悪いから理解力が足らないのかもしれませんが、本当にどの高さから転がしても同じタイミングになるんですか？
もし1番端と到着地点からほんの少しずらしたところに置くとすると、難しくないんですか？
あと同じタイミングになるって証明の仕方もあるなら教えて欲しいです。
理解力が足らなくてすみません。
サイクロイド曲線….パラボラって名前だと勘違いしてたなぁ
仮面ライダービルドを思い浮かべたの私だけじゃないはず……
でも人間の場合、「回ることを考える前に急げ！」って言いたくなる奴が多いこと。
中華鍋の断面が最速降下曲線だってきいたことがあるんだがマジ？
共通テストに数3があったらこんな感じなんだろうな
似たような問題が中学入試で出たのを見たことがある
もちろん数値を求めよとかじゃなくて、作図する理科の問題だったかな
これ最速降下曲線がサイクロイド曲線だってことを理解するのは難しいんだけど、直線よりは曲線を描いた方が速そうってことは、なんとなく最初にギュンって加速した方が速そうっていう感覚的なもので合ってるんだよね。そのギュンと加速させるために重力を使うイメージ。自分はサバゲをやるんだけど、サバゲでも感覚的に撃ち下ろして且つちょっと曲線を描くような弾道が一番よく当たるようなイメージを持っている人が多く、よくそれを感覚的に「スーッと伸びる弾道」と呼ばれている。結構感覚的に人間が認識できてたりするのがおもしろい
真下に落とすより早くなるのかと思った
6:48 光の速さは一定とかもあるし科学わからん…
直感的に犬引き曲線でしょうね、までは考えました。
よく武道(空手や合気道など)では「円の動きを意識する」なんて言いますが、あれはサイクロイドのことだったのか
遠回りこそが最短の道
人生と繋げるとは
関数方程式で解くのかな
そもそもそんなに早かったら危ないw
生まれて初めて知った