【ゆっくり解説】無限と有限を繋ぐ数学図形!パラドックスに引っかかるな!
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- Опубликовано: 13 авг 2021
- トルチェリのトランペット（ガブリエルのラッパ）とは、y=1/x（x≧1）をx軸を中心に回転させたときにできる立体です。
この立体の体積は有限の値に収束しますが、表面積は無限になるという面白い性質を持ちます。
この動画では、数Ⅲを習っていない方も内容を理解しやすいように積分を使わない方法で、無限と有限が一つの幾何学的空間図形の上で繋がることにより起こる直感的なパラドックスを解説しています。
【対象レベル】
基本的に当チャンネルでは小学生以上を対象としています。ですから教養範囲は算数の知識内で解けることを目標に問題制作、収集に取り組んでいます。
難しい知識ではなく、純粋にひらめき力を試されたい方はこの動画、また下記よりその他シリーズ一覧の動画にもぜひ挑戦してみてください。
#数学#確率
【簡単な解説】
面積と体積をごっちゃにするからパラドックスが起こります。
ご存知の通り数学的に考えると、「面積」には「体積」は無く、0です
無限の「面積」を塗る(覆い尽くす)のに必要なペンキの「体積」はいくら？と聞かれると、「存在さえすればどれだけ少なくてもいい」という答えになります。
現実ではペンキは一定以上の厚さでしか塗れないので、このようなパラドックスは起こりえません
@@Masatoshi_Ohrui ハウスドルフ？何それ？美味しいの？
分かりやすすぎて漏らした
@@Masatoshi_Ohrui ハウスドルフ測度………？(誰か説明して)
@@iceflower0706 美味しくないから食べないで
@@Masatoshi_Ohrui 2次元のモノを3次元測度で測っても0というだけの話なので知ったかぶらないでください^^;
普通にルベーグ測度でいいです
逆説的に｢2｣を無限に分けてるだけって考えるとクッソ簡単に納得出来た。
1を無限に分けるもあわせてどうぞ
(1/n) x n （ｎ等分したケーキをｎ個組み合わせる）→ｎを無限に
ん－これは約分が感覚的にできるからやっぱすまん
その考え方で全て納得出来た気がする
@@i_love_sex 結局その1個を分けてるだけだし、式的に考えても量は変わらない事がめちゃんこ分かりやすくなってると思う。ありがてぇ
ピザ半分に切って半分に切ってを繰り返す感じやな
@@i_love_sex それはn→∞で考えると0を無限個用意しているということになっておかしなことになる(これは不定形)
n→∞でも問題ないような例だとやはり1/2+1/4+1/8+...が一番わかりやすいかなあ
無限を人の感覚に落とし込むと大体矛盾が生じる
違和感じゃないの？
わからん
カント―ルは発狂したしなゲーデルは餓死
私生活に有限しか出てこないからね。
負の数も、金銭の貸与が根付くまでは人の感覚に落とし込めなかった。
虚数も、電気信号を扱う（負の面積を扱う）ような人にとっては感覚に落とし込めているが、一般人には落とし込めない。
ようは文化の違い
回転させて円柱にするとなぜが有限になるのか？
筒の方の分子の大きさを無視するんだから、ペンキの方も無視すべきだよな。
原子「痛い痛い痛い、これ以上薄くしたら核分裂しちゃう😭」
素粒子「痛い痛い痛い、これ以上薄くしたらエネルギーになっちゃう」
変態と天才は紙一重
「しゅぱーー！」
らめええええ！こんなに薄くしたら核分裂しちゃうよおおおお／／／
うおおおおおお
無限を扱うのは本当に繊細で丁寧にいかないといけないよね
女性と一緒ってことか...
@@okoo6471 きつ...w
@@kphh5165 意味不明
あほしりとり
@@kphh5165 意味不明
何も塗らずに「いやー、無限に薄く塗ったので色が見えませんね！」で
現代版一休さん
ボールがあって、それをこねてどんどん細くしていけば長さ、面積は無限だけど体積は一定って考えると実感できそう
さては天才だな
次元を一つ下げた長さは無限なのに面積は有限なフラクタル図形を思い出す
@@user-wg5jo6vw9q 体積ゼロで面積無限だぞ
@@user-wg5jo6vw9q 文字だけで説明は難しいからメンガーのスポンジって調べてみて
@@user-wg5jo6vw9q そゆことか、なるほど
@@user-wg5jo6vw9q
どのフラクタルか言わなかったのが齟齬の原因ですね。
(なんか偉そうになってしまった)
@@user-wg5jo6vw9q
シェルピンスキーのカーペットを縦に引き延ばしたら
表面積無限で体積０になりませんか...?
すいません、ちょっと理解力がなくて...
昔、私が学生だった頃に“平行線は無限に遠い所で交わる”と言う説が議論されていたことがありました。
非ユークリッド幾何学論ですかね
第五公準がなくてもいいというやつかな
@ゆびマン！！！！！
1度交わったら、あとは離れていくだけだけどな！笑
無限遠方 っていう場所が存在しないから、厳密には
無限遠方で交差してもいいし、交差しなくてもいい。定義次第。
しいていえば「交差します」って決めつけるのは間違いかな。
射影平面じゃないか！
有限の面積を囲むのに無限の長さの糸が必要になるというのもありますね。
数学的にはその場合の糸には幅がないことになりますもんね
@@kingofthenoob1668 工学と数学の違い…なのかな
高校生の時、数学苦手だったなぁ…
でも動画見てると高校数学も面白いよなぁって思える
また勉強し直したいなあ
面積の和の無限級数だったのに、回転体の体積の話に変え、幾何級数の逆数の和として定数に収束させ、その回転体を利用し色を塗る話に戻して面積の話にする。
実に見事な手品ですね。
何いってるかよくわかんねー
@ラタ ひろゆき話法を数学でやったってことか
実質単純なトリックですね結果的に無限にはならない
たとえば1/x^2の積分は収束するけどこの曲線の長さは無限大
いろんなコメントあるけど、結局１番のミソは「そもそも数学では直線は無限個の点の集まり、平面は無限本の直線の集まり、立体は無限枚の平面の集まり」ってところにあると思う
無限の高さの容器に、無限の長さの板を挿しこむには
無限の時間が必要になる…！
無限に薄く塗れば一滴で足りる
@SS 原子レベルは考慮しないもんだと思った、すまん
@@SAENS_yellow
原始レベル考慮してないのに理論上とか言ってんのw
@@user-ry1my9ww4u ふざけたこと言ってごめんなさい
原子とかいう話じゃないでしょ
数学的に成り立つから面白いよねっていう話をしてるのに原子の話を持ってくるなよ
数学で原子レベルがどうとか言うのはナンセンス極まりない
このパラドックスのミソは、塗るインクの厚さが、板の厚みに比例して薄くなる事に有るんだよな、だからこそ刷毛で塗ると厚みが変化せずインクが無限に必要になるんだ
わかりやすい
確かに…ペンキ入りのトランペット型容器の底に行くほどペンキの量もゼロに近づくからそりゃそうか
刷毛で塗ると、という条件がパラドックスを生んでいるように思わせているわけですか
コメ欄バーって見たけどこの説明が一番分かりやすかった
あー
立体に入れて漬け込んでも、ペンキ粒子は無限小にはならないから、ある深さ以上は漬け込んでもペンキは塗れない
立体に入れれば全て塗れるというのが嘘か
説明の仕方がわかりやすくて頭にすっと入ってくる！
2次元バージョンとして、周囲の長さが無限だけど面積が有限という図形もありますね。
コッホ雪片といって、コッホ曲線を用いた6角形っぽい図形です。
この図形の周に沿って色を塗ろうとするとき、周囲の長さが無限大だからインクは無限に必要と思えそうですが、スタンプ台に押し付ければ有限のインクで塗れると考えることができます。
細かい隙間にはインクしみ込んでなさそう（）
確かに数学的にはこうなるが、現実的には板を差し込む時に無限メートル動かさないといけないし、物が分子でできている以上「無限に細い」物体を作れないから無理だ…
そうですね。
多分、計算するときに理科を出しちゃいけないのでしょうね。
互いに無限メートルの物体を交差させたりはめ込むことは出来ない。何故ならはめ込むこもうとするとそれに応じてさらに容器の部分が板の方へと近づくから。
ブラックホールの周回軌道を回って180°折り返し来るところに、容器をセットしておくといけるかね
分子の最小単位は、10億分の1メートルくらい。同じ面積なら太陽まで届かない程度の長さで限界
「無限メートル動かさないと」は考えたけど、円柱に板が入る様なくぼみでも作っておけば横から差し込める
数Ⅲの教科書の一番最初に載ってた、フラクタル図形を思い出す
わかりやすいし面白い！
面白いですね〜
初めて数3とっててよかったって思ったかもしれませんww
これの1次元(長さ)では無限の測度(長さ)だけど2次元(面積)では有限の測度(面積)な図形？の例として「ドラゴン曲線」というものがありますね！
そこで終わらず考えてみよう
よくよく考えたら有限の長さの線分は、無数の点に無限にわけられますね
おもしれえな
導入が丁寧で分かりやすい
実はここら辺の考え方が、現代の物理・量子力学なんかでよく使われる「方程式の解が収束しない？(発散する)なら次元を足せばええやんけ！！」って発想の大元だったりなかったりする
その筒に突っ込むのに無限に時間がかかるんだから一生塗り終わらないよ
それは縦(無限の方向)に入れようとするからでは？
横の方向から入れれば問題無いと思います
塗りたい板をぐるっとした円柱にペンキを入れた時点で、その面積以上ある円柱の表面積分余裕で塗れてるじゃないか
数学的にはどんなにでも物を小さくすることができるけども
実際の物質小さくしすぎた時点でどこかで目に見えなくなってしまうというオチ
塗ると言う概念を定義しなければならなくなりますね
@@user-kf2ch2xs9t 「主観的」に定義するか「客観的」に定義するかで変わりますね。
目に見えなくなることは目に見えているね
どれだけ細長くなっても板の厚みは同じだから
回転体の半径も板の厚み分だけ担保されて
容器の容量は無限になってしまうね
ペンキを塗る表面積の話だから厚みは無視する前提なのかな？って思ってしまった
「有限」と「無限」をまぜるな危険！
なるほど、ビルドスパークリングはこういういことだったんだなぁ
ちょーーーー！おもろかったー！
最高です
x:1→∞で
1/xを積分すると発散、
1/x^2を積分すると有限というだけ。
数学的には直感的だけどペンキとか現実的に考えると直感と反するというのは面白いね。
とても分かりやすい説明で有り難いです。
積分習いたての時に、1/x^2の積分や、1/x^3の積分を考えるときに単純にxの次数を下げればいいと覚えていた頃の私が、1/xの積分であれ？ってなって違和感を覚えたのを今でも印象に残ってます。
それそれ 調和級数と平方数の逆数和 な
バケツに入った水をとても高いところから落としたら体積は決まっているけれど表面積は無限に発散する、、興味深いですね
11:15 無限ループって怖くね？
無限に増えるけど無限に小さくなってくから変わらないんですね！
その前に問題なのは、この無限大の深さの容器をどこに置くかだ。
無限に続けるってもう糸みたいな状態で世界1周してきそう
これ体積という概念を知ったときに気になったやつだ
今まで求めてた平面のものにはほんとに厚さがまったくないのかーって違和感がすごかった
ヒヨコイ「え、なんで回転させるんですか?」
曲線Y=1/XとX=1とX軸でかこまれた平面の面積は∞で、それをX軸を中心に回転させた立体が有限(π
)となることと似ているな。
理想的なスポンジを用意すれば体積は0で表面積は無限のものが作れる。
なんでだろう、学校の授業はつまらなかったのに、
めちゃんこおもしろいし引き込まれる。
無限の面積を持つ平面を回転させた回転体の体積が有限っていうのがもうその時点で矛盾しとるよな……
社会に出て数学に触れなくなったら綺麗サッパリ忘れてる
数年前はこの程度の積分余裕で解けたんだろうなあ
おもしろい！(^^)
毎度、楽しんでます！！
こういうパラドクスに気づく人って天才だよなぁ
分かりやすい！
無限にたどり着けないみたいなの好きだわ
無限モチ
体積有限のモチを引き伸ばし続け、伸びるのと同じ速度で食べていくと永遠に無くならない
ペンキの厚みを限りなく０に近づけてよいなら、
最初の１㎡の板は「最初から塗られている」と考えてよいのでは？
やったなヒヨコ、億万長者だ！
解説が丁寧でわかり易すぎて2倍速でもあくび出るレベル
RUclipsの機能で3倍速とか実装してくんないかな
限りなく薄く塗ればいいって言ってたけどそのペンキの分子有限個って考えたら不可能に感じた
log とか約10年振りに聞いた
なんのことか全然覚えてないけど
懐かしさだけは思い出せた
なんかよく分からなないけど寝る前に見たくなる
おけ、完全に理解した。
板を塗るのに必要なペンキの厚さに制限があるとすれば無限大にペンキが必要になるね。もしペンキの厚さを無限に小さくできるなら普通にペンキ1ccでも塗ることが可能。パラドックスではない
素人質問で申し訳ないですが、
なぜパラドックスと言えないのですか？
塗ることが可能なら、結論は正しいということになると思いますが、何か他の理由があるのでしょうか。
@@user-jg5zf4gb9c どこにも矛盾が生じないのでパラドックスではないと思います
@@user-wc1jw3ri8r パラドックスは矛盾って意味ではなく、「矛盾と見せかけての事実」みたいな意味で「負けるが勝ち」みたいに一見矛盾してるように見えるが、実は矛盾していないって感じの意味だから、
「パラドックスではない」=「矛盾している」=「正しくない」みたいに捉えたからだと思います
矛盾してないことが明確に分かった以上もうパラドックスじゃないとも言えるな！
パラドックスって実は2通りの意味があるんでどちらの言ってることも正しいですね
無限を塗りたいなら無限+1を用意すればいいじゃないって言われてる感じする
うーんうまく説明出来ませんが、無限って限りなく数字ってことなので、数学的には、無限にどれだけ有限のものを足し引きしても無限って考えてるんですよ。圧倒的に莫大な量に1とか加えてもほとんど変わらないように見えますよね？これの莫大な量の方が無限だと考えると、どんなに大きい有限の数字に対しても等しく無限は無限に見えるんです。だから上で言ったように無限に足し引きしても無限は無限です。
ちょうど数Ⅲ勉強してたから参考になったゾ
小学生になったつもりで半日考えたらひらめきました！スッキリ！
ただ、実際に小学生が、無限級数の知識（無限に足していっても有限になることがある）ナシでもひらめくことができるだろうか？は興味ありますね。
結局数の遊びなので
ペンキとか板とか現実世界に落とし込もうとすると
やれペンキの分子一つぶんの幅、セルロース分子一つぶんの幅 みたいな限界が出てくる
現実世界に落とし込むと、まず無限枚の板を用意するところがなかなか難易度高い
そこは留年大学生とかニートとか、時間もチャンスも無限にあると思ってる連中に用意させれば解決する
ちくちく言葉
顔料の事忘れてないか？
数学と理科は両立しない…？
有限と無限が同じ図形上で成り立った！
→ いやそもそも面積と体積ベツモンだからな。面積を辺の２乗で、体積を３乗で表してるのは人間の都合。
で、調和級数は発散して、平方数の逆数和は収束するから、かたや無限でかたや有限であることに全く違和感が無い。。
っていうとこまで解説してくれたら面白いけどようつべの視聴者層にはナゾのまま残すのが丁度いいんだろうな。
極限まで薄くするならペンキの量は関係ないかもしれませんが、一定の厚さを維持するにはやはり無限必要です。ただ「容器」として考えると「極限まで薄くしないと無限の先まで行き届かない」という事を考慮しないといけませんので無限の量は錯覚だと言うことですね。
一定の厚さで塗れるか否かで量が変わるとこの動画は伝えたいのでしょう
このチャンネル文系に非常にやさしいと思う
数学好きだけど苦手で解くことが出来ない俺ですら理解できるし面白い
一周回ってまあそうなるわなって腑に落ちた
え、すげえ(語彙力)
(パラドックスはさておき)後半部分の数式をきちんと理解するには高校の数学Ⅲ に相当する内容の基礎を理解してないと難しいですね
最後の計算の解説はサッパリ頭に入ってこないwww
二次元の話に三次元の理屈で答える問題かな？
合わせ鏡の奥行きは鏡を見たら無限やけど、横から見たら鏡一枚分って理屈みたいやな。
面白い立体ですね
これから縁側のペンキ塗りをしようとしていたので助かりました
面白いです。
寝起きで見たら、おもろくてめーさめた笑笑
9:56
nが無限ってことは結局は永遠に体積がπ限りなく近づくだげだから、有限の体積って決まるのかなって思う
物理云々言って「現実には一定以下の厚みにペンキを塗ることはできません」って言ってる方へ。
物理（現実）を持ち出すなら、そもそも原子以下の幅の板も、無限の長さも無限個の板も存在しません。
「有限の体積と無限の表面積を持つ物質を一定の厚みで塗るには、無限の体積の塗料が必要になる」という当たり前の結論が出るだけ。
この命題の肝は「無限大の面積に無限小の厚みをかけたら、有限の値の体積になることがある」ってとこにあります。
これ不思議だなあ
数学わかんないけど最後の無限の容器のくだり笑ったw
実際は線の幅が0で無いのが元凶😆
繋げた板を入れる容器があったとしても、容器にペンキや板を入れるのに無限の時間がかかっちゃうね
面白いね。トルチェリのトランペット（ガブリエルのラッパ）とは、y=1/x（x≧1）をx軸を中心に回転させたときにできる立体です。
この立体の体積は有限の値に収束しますが、表面積は無限になるという面白い性質を持ちます。
逆に
有限の表面積で体積無限の立体もあるそうですが
そちらはもっと難しいですか
有限の大きさの球を作ってその内部を外側と定義する？？
@@p-1math38 それですね
赤瀬川原平先生の缶詰と同じですね
そうなんですね。僕はWikipediaの数学的なジョークの数学者ってこんな人？の項目に2次元バージョンでよく似た内容のことが書かれているのを思い出しました。
ちなみにこの方法を使わないと表面積を一定にして球より大きな立体を作ることはできないはずです。
パネルでポンで攻撃されまくった時みたいな板の積み上がり方
この動画の感想
数1・A・2・Bはまだ覚えてるけど、数3の内容ほぼ覚えていないことがわかった。(現役理系大学生)
例えば一塊の木炭なんかは炭素構造の表面積がテニスコート何面分とか言われてるけど、バケツに沈めて全体を濡らすことは時間をかければ可能か😂
勉強になりました。あっ初見です。
まだ中学生じゃないけど勉強しとこ〜(°▽°)
不思議だけど納得！
フラクタル図形なんかだと面積有限で辺の長さ無限なんてのは結構出てくる
細い所に進むに従って、板の面積が変わらないまま、円柱部分の体積が反比例するように減少していくので、
ペンキがどんどん薄くなっていく、と考えたら辻褄が合うかな？
メモ
・収束する体積を満たすペンキの量は収束する
・回転前の面積に対して無限に薄くペンキを塗れないと、回転した段階でペンキは回転後の体積から溢れ出す。（発散する）
・従ってペンキの量は無限に薄く塗る必要があるため限りなく有限
積分の理屈を思い出せ。積分するためには無限に薄い四角形を無限に並べないといけない。
ペンキ塗りの話なら、結局塗る仕事量が無限大なのは変わらないよね。
幅1ミリ長さ100mの板の時点で容器を作るにしても途方もないとは思いながら。どんなにペンキを薄めても途中で容器が細すぎて液体が入っていかなくなるよね。
そこまで薄いペンキとそこまで細い容器のくびれならトンネル効果で入れそう
こういうのはあくまで数学的に物事を考えたり論理立てていく方程式のようなものであって
実際問題として扱うものじゃないからね
ペンキで色を塗る時、僕はきっとはみ出すから薄く伸ばそうが何しようがきっと計算以上のペンキが必要になる
河合でこれを題材にした入試問題を演習で解いた記憶がある
これだから数学はやめられないんだよなぁ
無限の深さの容器に無限の長さの板を入れるとき、この板を完全に容器へ納めるためには無限の時間が必要になる。よって、必要なペンキの量は有限であっても、ペンキ塗装の時間は無限大になってしまうということに。合掌。
Когда-нибудь я полностью пойму все что они говорили!!!
体積は有限なのに、断面積は無限なのか。確かにそうだね。気持ち悪い！
(面積無限)×(厚さ0)=(体積0)
が起こるように、次元がずれると話が変わるのね。
フラクタル図形も似たようなパラドックスですね。周の長さは∞に発散するけど、面積は一定値に収束します。これの面白い所は机上の空論ではなく毛細血管とか現実のものにも見られる構造ってところです。
物理学者「ペンキを原子の厚みより薄く塗ることはできない」