TROUVE LES DIMENSIONS DE CE RECTANGLE : P = 12 et A = 6
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- Опубликовано: 30 июн 2024
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Nouvelle question intéressante.
On sait que le périmètre d'un rectangle vaut 12 et que son aire vaut 6.
Déterminer les dimension de ce rectangle.
Une question bien plus instructive qu'il n'y paraît 😉
Je suis toujours très admiratif devant l'enthousiasme et la force de conviction de notre ami. Dans le but de contribuer à son travail, je proposerais quelques remarques:
1°) redaction: dommage de ne pas avoir nommé les longueurs et largeurs par L et l, on aurait évité ainsi le mélange avec l'équation du second degré.
2°) Tu as exclu un des couples solutions pour un motif qui ne me paraît pas valable. Ce problème présente bien DEUX COUPLES de SOLUTION . Quitte à échanger les noms de largeur et longueur, ce qui ne pose aucun problème. La longueur n'est pas le côté que tu as nommé "a", la longueur sera toujours le plus grand des deux côtés. Cette élimination est d'autant plus incohérente que tu as pris soin au début du problème de montrer que les deux variables étaient symétriques et interchangeables.
3°) malgré son apparence simpliste ce problème nécessite la résolution d'une équation du second degré, ce n'est donc pas un problème du niveau d'un brevet. La résolution que tu proposes est tout à fait valable. Je voudrais simplement signaler qu'il y a une propriété des équations du second degré qui nous permet de résoudre ce problème très rapidement. En effet ce problème revient à chercher deux nombres connaissant leur PRODUIT P ( = l.L, l'aire du rectangle), et leur SOMME S ( l + L, le DEMI périmètre comme tu l'as bien indiqué). Une propriété simple et facile à démontrer nous dit que ces deux nombres P et S sont solution de l'équation
X² - SX + P = 0. Ici egale à X² -6X + 6 =0. Qui est bien sûr la même que celle que tu as obtenue et que tu as résolue. Cette propriété présente l'avantage de pouvoir être écrite directement. On pourrait commencer la rédaction de ce problème par une phrase du genre:
" D'après l'énoncé ce problème revient à chercher deux nombres connaissant leur produit P = 6 et la somme S = 6 ( le demi périmètre) .
On sait que ces deux nombreux sont solutions de l'équation
X² - 6X + 6 = 0.....a=....b=...c=.... Bien vite achevée.
Il n'en reste pas moins que ta solution est tout à fait est toutafait valable, puisqu'elle revient en fait à redémontrer la formule.
Bon courage, toujours avec toi. 🥰🥰🥰🥰
L'exercice n'admet qu'une seule solution. On te demande les dimensions du rectangle. La seule solution c'est longueur: 3+sq(3) et largeur 3-sq(3)
Si tu en trouves une autre, tu m'appelles
@@Darwiin88 quand tu choisis tes deux inconnues pour représenter la longueur et la largeur, à priori tu ne sais pas à l'avance laquelle des deux inconnues donnera la plus grande valeur, celle qu'on appellera longueur, par la suite. Grâce à la commutativité de l'addition et de la multiplication ces deux variables sont interchangeables ( comme dans la réalité) . Or une solution au problème est fournie par la donnée d'un COUPLE de deux nombres. Si on échange les deux valeurs du couple, on obtient un autre couple, différent du précédent. C'est ce qui permet d'affirmer que le problème admet deux couples de solution. Ces deux couples définissent deux rectangles. Un qui est DEBOUT , l'autre qui est ALLONGÉ . Mais comme ces deux rectangles sont superposables, on peut considérer qu'il n'y a qu'un seul rectangle qui répond au problème.
Ton questionnement est comparable à l'équation x² = 0, elle admet une solution qui est x = 0, mais comme elle contient deux facteurs, qui fournissent chacun la même solution x = 0, on dira qu'elle admet une solution DOUBLE x= 0. Ce qui permettra de préciser indirectement que cette valeur 0 provient de l'équation x² = 0 et non de l'équation x = 0. Subtile.
Au ton que tu emploies on comprend que ces arguments ne suffiront pas à te convaincre, et comme je n'ai pas très envie de t'appeler, je te proposerai de résoudre ce problème à l'aide d'un petit programme informatique, histoire de mettre le doigt sur les problèmes.
@@antoinegrassi3796 Absolument pas... L'équation admet 2 solutions mais le problème n'en admet qu'une...
C'est comme quand tu as un exercice qui te demande de calculer une longueur et que tu te retrouves avec deux solutions dont une est négative... Une longueur ne peut être négative, les solutions d'une équation ne sont pas TOUTES solution d'un problème réel... Ici la seule solution c'est celle citée dans mon commentaire précédent et j'attends toujours ta deuxième solution au problème si tu en as trouvée une.
On sent bien le gros teubé qui n'a aucune idée de ce que représente une équation et leur utilisation dans la vie réelle...
@@antoinegrassi3796
Ce que tu ne veux pas entendre, c'est qu'il n'y a qu'une réponse pour cet exercice. On peut appeler la largeur a ou b ou x ou y, le longueur sera tjrs plus grande que la largeur.
Non il n'y a bien qu'un seul couple de solution pour se problème, on peut dire qu'il y a deux couples avec des valeurs interchangeables mais c'est du pinaillage ici et pas dans l'esprit de l'exercice. Concernant ton dernier point ton astuce n'est pas une méthode différente, tu retombes sur la même equation du 2nd degré. Ça va certes plus vite mais le but de la vidéo (et de la chaîne en général) et d'être pédagogue et de rendre la résolution limpide et accessible au plus grand nombre avec de la logique, demander ce genre de formule pour la valeur de la somme et du produit de deux inconnues comme réflexe n'est pas courant pour le grand public et on perdrait une partie pédagogique de la vidéo (sur la résolution de système)
Merci super vidéo, comme d'habitude .
Suggestions de prochaines vidéos : calcul de l’aire d’un losange ou de l’aire d’une ellipse. 😉
Excellent, j'ai adoré. Bon week-end Monsieur le professeur. A ORVAULT à côté de Nantes nous avons du soleil et là aussi c'est exceptionnel.😊
toujours très bien expliqué , serait il possible de concevoir une video ou on aurait des exemples appliqués à la vie réelle , pour dérivée , limites , intégrales etc... car les équations c'est très beau mais pas très concret . le seul concret que je connaisse c'est Pythagore pour le calcul de l'angle droit ex 3,4,5 , merci d'avance
Naviguez sur sa chaîne et vous trouverez les vidéos que vous demandez
Ah ah. ça change tout avec a>b. Exo génial. 😊
Deux bonnes nouvelles :
- je commence à me souvenir facilement de la formule de delta (enfin)
- je confirme que j'adore la méthode par substitution
(Me souviens plus du nom de l'autre 😢).
Par combinaison 😉
@@hedacademy Yes, c'est vrai. 👍
Ce qui me vient en premier c'est : x=longueur, y=largeur, on a donc, x+y=xy=6. Donc x^2+xy=x^2+6=6x. Cette équation a 2 racines positives : 3±sqrt(3) qui sont donc les longueur et largeurs (si un couple (x1,y1) est solution il est évident vu le système que (y1,x1) est la 2e solution donc x1 et x2 sont les 2 racines de l'équation du 2e degré)
Plus élégant : le demi périmètre étant 6, on peut dire que la longueur est 3+x alors que la largeur est 3-x. Mettre ainsi en équation "symétrise" le problème. L'aire permet alors d'écrire que 9-x^2=6 , ce qui se résout directement et permet de mieux voir d'où sort la racine de 3.
En fait il y a une petite astuce pour résoudre ce genre d'équation si le terme central (b) est pair: Je l'indique parce que la chaîne met toujours en avant tout ce qui peut être simplifié.
Si on pose "beta" = b/2 (donc -3), la formule
(-b +- racine(b² - 4ac)) / 2a
devient
(-beta +- racine (beta² - ac)) / a
Donc, les solutions de l'équation sont:
(3 +- racine(9 - 6)) / 1 =
3 +- racine(3)
Directement, il n'y a plus besoin de rien simplifier par la suite, et si b est grand, ça réduit le résultat de la puissance par 4 et donc c'est plus simple à calculer.
C'est logique, parce que si on diminue b d'un facteur 2 on a réduit le b² d'un facteur 4. Donc, le "4" du "4ac" saute pour réduire également le second terme, le résultat de la racine se retrouve divisé par 2, et vu qu'on a pris b/2 comme premier terme, tout se retrouve divisé par deux. On a alors la simplification avec le "2a" du dénominateur, qui devient "a".
C'est plus rapide ;)
Sinon les dimensions d'un rectangle ne sont pas obligatoirement longueur et largeur, ça peut être aussi base et hauteur, donc les deux solutions restent valides, c'est juste deux façons d'exprimer le même rectangle. D'autant qu'un carré c'est également un rectangle et donc on n'a pas forcément une longueur supérieure à une largeur.
Un système dont on connaît à la fois la somme "S" et le produit " P" des inconnus peut être traduit en un équation de second degré = ax² _ Sx+ P
Il est un résultat qu’il faut absolument connaître c’est si on a x+y=S et xy=P alors x et y sont solution de l’équation de degré 2 : x^2-Sx+P=0. Ce résultat est vraiment intéressant en cas de zéro évident car il permet de trouver l’autre zéro puisqu’on sait que le produit des zéros est égal à la constante divisée par le coefficient du monôme de degré 2.
argh, j'aurais dû lire les commentaires avant d'écrire le mien ;)
Encore une super vidéo 👍 bravo pour ton travail!
A quand le binôme de Newton ?
Je comprends qu'il faut que tu fasses un peu tout les niveaux, mais stp fais une seul vidéo avec un problème super dur mais accessible 🥺🥺🥺 stp
Regarde archives ffjm
C'est une mine d'or
Merci pour ton retour. Ça marche je vais regarder ça 😉
On peut aussi ecrire (L+l=6), elever au carré, retirer (4Ll) et obtenir (L-l) au carré, puis (L-l=2sqrt(3)).
On obtient alors un systeme de 2 equations lineaires à deux inconnues
L+l=6
L-l=2 sqrt (3)
Et resoudre en additionnant puis en soustrayant les deux equations pour obtenir
L=3+sqrt (3)
l=3-sqrt (3)
On pourrait aussi directement résoudre une équation du second degré x²+Sx+P où P=a.b et S=a+b 👍
C'est quoi la logique de ça ? Je veux dire, d'où sort l'équation ?
@@Erlewyn pour moi, on me l'a appris au lycée. En fait elle a été démontrée
Le cours s'appelait somme et produit de deux nombres
X^2-SX+P=0 S somme des racines X1+X2 et P produit des racines X1×X2
Quand on additionne ou quon multiplie les solutions d’une équation du second degré ax2+bx+c on trouve -b/a et c/a. Si on choisit à=1 alors somme =-b et produit = c
On cherche d'abord 1/2 p et puis calcule L et L du rectangle
On peut voir ça comme un système d'équations, puis se rendre compte que c'est tout simplement la forme d'une équation x2 +6x + 6
Je me suis amusé à poser ce problème à l'IA, du navigateur Opera. Voici sa réponse. J'ai été bluffé et en même temps, je crains pour notre avenir.
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser les informations suivantes :
Périmètre d'un rectangle = 2(A + B) = 12 mètres
Surface d'un rectangle = A * B = 6 mètres carrés
En utilisant ces équations, nous pouvons résoudre pour A et B :
À partir de l'équation du périmètre : 2(A + B) = 12
Divisons par 2 pour obtenir : A + B = 6
Maintenant, nous avons deux équations :
A + B = 6
A * B = 6
Trouvons les valeurs de A et B en résolvant ce système d'équations :
En remplaçant A par 6 - B dans la deuxième équation : (6 - B) * B = 6
En développant : 6B - B^2 = 6
En réarrangeant : B^2 - 6B + 6 = 0
Résolvons cette équation quadratique pour B en utilisant la formule quadratique :
B = [6 ± sqrt((-6)^2 - 416)] / 2*1
B = [6 ± sqrt(36 - 24)] / 2
B = [6 ± sqrt(12)] / 2
B = [6 ± 2*sqrt(3)] / 2
Nous avons deux solutions pour B : B = 3 + sqrt(3) ou B = 3 - sqrt(3)
En utilisant ces valeurs pour B, nous pouvons trouver les valeurs correspondantes pour A :
A = 6 - B
Ainsi, les valeurs possibles pour A et B sont les suivantes :
A = 6 - (3 + sqrt(3))
B = 3 + sqrt(3)
ou
A = 6 - (3 - sqrt(3))
B = 3 - sqrt(3)
Ces valeurs respectent à la fois l'équation du périmètre et celle de la surface du rectangle.
Bonjour Iman, cela n'a rien à voir mais je profite de la plus récente vidéo pour poser cette remarque :
Je me demande, par rapport aux tangentes d'une courbe représentative d'un polynôme du second degré, à quoi correspond la courbe de la fonction dérivée de ce polynôme ? Y'a-t-il quelques liens logiques, de correspondances, à y trouver ??? Merci au cas où et désolé si ma question est sans intérêt
Ce qu'on peut faire également avant de tout résoudre, c'est de se dire : Tiens ?! un rectangle de 3*2, c'est 6 d'aire, mais seulement 10 de périmètre, du coup, on peut deviner d'emblée que la longueur sera un peu plus grande que 3 et la largeur sera un peu plus petite que 2. Du coup, on sait déjà que le Delta sera positif, ça permet de ne pas se tromper pendant la résolution de tout le système.
même chatgpt 4o s'est fait avoir!
En fait les 2 résultats sont équivalents, 1er : a est la largeur, 2 ième a est la longueur.
Sauf que dans l'équation à 2 inconnus, on trouve 4 résultats.
2 sont uniquement les bonnes si on respecte les 2 équations initiales. a = longueur = 3 + V-3 / b = largeur = 3 - V-3
a+b=6 et ab=6. => a et b sont donc racines de l'équation x²-6x+6=0
(somme et produit de racines d'un polynôme du second degré)
Δ'=9-6=3 a=3+√3 b=3-√3
Quelqu'un saurait me dire pourquoi on obtient en deuxième solution de a : a2 = 3 + racine de 3.
En deuxième solution, on est sensé reprendre la même formule que pour la première, en changeant un - en + ?
En fait les unités mesures sont différentes dans les 2 équations
Merci pour la vidéo,
Sans regarder la solution, j'avais "naturellement" trouvé les dimensions des carrés (2 supplémentaires) en plus de cette solution "unique".
Un carré est un rectangle (particulier) ... je pense :p
=> les solutions sont (pour ma compréhension/interprétation du pb) = {(longueur, largeur), ...} = {
(3 + sqrt(3); 3 + sqrt(3)),
(3 + sqrt(3); 3 - sqrt(3)),
(3 - sqrt(3); 3 - sqrt(3))
}
🙂
Je comprends pas...dans tes solutions, "3 + sqrt(3); 3 + sqrt(3)" et "3 - sqrt(3); 3 - sqrt(3)" ont la longueur = largeur donc il s'agit d'un carré...?????
@@BlueSky1448_T7 yes mais par définition un rectangle a ces côtés opposés parallèles et de même longueurs donc les carrés sont des rectangles particuliers ^^
@@yoyonel1808 Ah oui j'avais oublié
Mais ces réponses sont fausses, tant le périmètre que l'aire ne valent pas 12 et 6 respectivement. Je vous laisse réfléchir à la source de cette erreur, c'est très pédagogique.
@@aronome8136 Yes tu as raison, J'ai fait une combinaison de solutions alors que ce n'est pas correcte autant pour moi.
Il y a en effet qu'une seule solution avec toutes les contraintes posées => S = (L, l) = (3 + sqrt(3), 3 - sqrt(3) avec L>=l et dans ce cas (unique) on a bien (L + l) * 2 = 12 et L * l = 6
sauf qu'avec racine de 3, tu trouveras jamais des nombres entiers qui feront 12 pour le perimatre et 6 pour la surface
Si l'aire fait 6,il n'y a pas 50 combinasons qui font 6 (2x3 ou 3x2)
Les racines s'annulent dans le calcul du périmètre.
Et dans le calcul de l'aire, on a une identité remarquable : (a-b)(a+b). On aura donc une différence de carrés. La racine sera élevée au carré et il ne reste que le nombre sous la racine qui est bien entier.
J'ai voulu vérifié par la calculatrice et
P = (3 + V-3) + (3 - V-3) + (3 + V-3) + (3 - V-3) = 12
A = (3 + V-3) × (3 - V-3) = 6
Soient (a;b) les dimensions du rectangle
D'après l'énoncé il vient que:
a+b=6 et a×b=6
b=6-a d'où a(6-a)=6
a²-6a+6=(a-3)²-3=0
(a-(3+sqrt(3))(a-(3-sqrt(3))
En supposant a comme le plus grand des deux cotés on obtient
a=3+sqrt(3) et b=(3-sqrt(3))
Décidément, tu n'aimes toujours pas le polynôme X²-SX+P.
S est la somme des racines, P le produit.
l'aire = ab = 6
périmètre = 2a + 2b = 12 => a + b = 6
a (6 - a) = 6
a^2 - 6a + 6 = 0
a = 3 +/- ✓3
(a, b) = (3 + ✓3, 3 - ✓3), (3 - ✓3, 3 + ✓3),
Exactement !
Ok, j'ai rien compris ou presque. Mais surtout, ou est la réponse à la question? Elle fait combien la longueur et la largeur? J'étais pas trop bon en math et je me rends compte que cela ne c'est pas amélioré... Merci d'essayer de nous expliquer simplement, je crois que je suis fâché définitivement avec les fractions...
La longueur : 3 + V-3
La largeur : 3 - V-3
Les deux couples de solutions sont des couples (a , b) et a = longueur et b = largeur.
6a-a*2-6=o je multiplie le tout par (-1)= a*2-6a+6=o
Les élèves devrait savoir que a et b sont racine de x^2+P/2× + ab parce que (x-a)(x-b) = x^2 -(a+b)x - ab,
Attention...En fait c'est " x^2 - (P/2)x + ab" et non "x^2 +P/2x + ab", avec a+b= P/2 = S
Pas de s à dimension . Mais bon travail, très belle façon de nous présenter les maths.
Encore un petite coquilles 😔, c’est corrigé merci
pourquoi ne pas utiliser le discriminant réduit ? quand b est pair (bon, quand b est impair ça marche aussi mais ça n'a aucun intérêt) d=(b/2)²-ac et les racines sont x=-(b/2)+-rac(d)
quand ces compliquer toujours une solution simple il y a
un rectangle longueur 6
largeur 1
et au passage le calcul de l'aire est une identité remarquable... "Les nombre ne sont jamais pris au hasard?!!!"
Je n'arrive pas à comprendre mon erreur.
J'ao fait ainsi :
a x b = 6
2a + 2b = 12 2 (a + b) =12 a + b =6 = axb
a x (a +b) = a + b
a =1 et donc b =6
Merci de me dire où je fais mon erreur de raisonnement.
waaaouh j'ai même pas vu les 11 minutes passées
Me suis fait avoir à la fin avec a>b.... 😕
Pas compris à quel moment on parle de longueur et largeur dans l'énoncé. On parle d'un rectangle de son aire et de son périmètre.
Avec l'aide de l'aire et du périmètre du rectangle, on te demande de retrouver la longueur et la largeur du rectangle.
Le périmètre d'un rectangle est égal à 2 fois sa largeur + 2 fois sa longueur soit P=2a+2b.
La longueur et la largeur du rectangle sont ses dimensions, qu'il faut trouver en connaissant uniquement son aire et son périmètre.
Je te déteste car a la fin ton cadeaux sur la Moitie m'a un peut énervé, cela dit continue, j'adore tes vidéos... et les maths c,est sympas...Kiss
dédicace aux 3èmes qui viennent de passer le dnb et qui sont satisfaits de leur copie
Le périmètre fait 10. Pas besoin de calculette.
Ben non c'est 12 là !
@@aurelienfleuryinfosvideos Je rigole! Bravo, si j'étais aussi fort en maths que vous, je gagnerais à tous les jeux.
Il y a deux solutions car la figure n'est pas à l'échelle 😁
Si a est la longueur et b est la largeur, non les 2 résultats ne sont pas valables !
La longueur : 3 + V-3
La largeur : 3 - V-3
@@aurelienfleuryinfosvideos Solution 1: a est la longueur et b est la largeur
Solution 2: b est la longueur et a est la largeur 😁
@@cyruschang1904 La figure n'est pas à l'échelle mais les nombres seront tjrs > 0 et les longueurs serons tjrs > aux largeurs
Et la reponse est simple mais c’est pas claire"….."………….."…………………..
trop facile... 2L + 2H = 12 et LH = 6 => L+H = 6 et LH = 6 => L + 6/L = 6 et LH = 6 =>
L² - 6L + 6 = 0 er LH = 6 => etc...
Géométrie ? Faux ! 0/20, éliminé
???
@@aurelienfleuryinfosvideos ?????
Ben je n'ai pas compris votre commentaire @@FuRy13013
@@aurelienfleuryinfosvideos Il faut juste écouter le début de la vidéo. J'exagère ce qu'il dit. C'est une boutade, qui avec cette explication, vient de perdre toute sa saveur !
Vu qu on demande les dimensions , il faut répondre en longueur/largeur ce qui élimine l’une des 2 solutions
Pas forcément, vu qu'on peut qualifier un rectangle en base et hauteur.
faux.... il n'est pas precisé que a>b, donc les 2 resultats sont valables
Si a est la longueur et b est la largeur, non les 2 résultats ne sont pas valables !
La longueur : 3 + V-3
La largeur : 3 - V-3
@@aurelienfleuryinfosvideos euhhhh t'est au courant que un rectangle "debout" reste un rectangle....
l'enoncé defini l'aire et le perimetre, il n'a rien précisé d'autre, donc les 2 solutions sont bonnes
@@bob.moraneSauf que dans l'équation à 2 inconnus, on trouve 4 résultats.
2 sont uniquement les bonnes si on respecte les 2 équations initiales. a = longueur = 3 + V-3 / b = largeur = 3 - V-3
Toujours les mêmes à remettre en question Imam...
Mais bizarrement ils ne font pas du tout l'exercice !
@@bob.morane Il a dit que a était la longueur et que b était la largeur donc a > b puisque la longueur > largeur
@@BlueSky1448_T7 c'est lui qui l'a dit, ce n'est pas dans l'ennoncé du probleme....
donc les 2 solutions sont bonnes
Trop compliqué ....
C'est trop long et compliqué ça donne envie de dormir
oh la vache, faut vraiment que j'arrête de regarder vos vidéos. A partir de la 2ième minute j'ai décroché.... je vous laisse imaginer comment furent les longues heures de maths subies (c'est le mot).
Il faut etre bien concentré. ^^
Le niveau de Maths est de plus en plus bas. 😅
N'importe quoi...
Moi j'avais trouvé 3 et 2 ! Mais je dois avoir tout faux...
Bah ça prend 2 secondes à vérifier, un rectangle de côtes 2,3 a un périmètre de 10
@@lameuerte oui j'ai fait l'erreur 3*2 *2 au lieu de ( 3+2)*2. On ne m'y reprendra plus....')