C'est une vérification, pas une démonstration. C'est plus joli de travailler sur le membre de gauche et de le transformer pour arriver au membre de droite. C'est pas très compliqué : mettre 2 en facteur et transformer le terme mis entre parenthèses ; on l'élève au carré et on prend la racine carrée. Ce qu'on a élevé au carré se réduit facilement et on arrive au résultat.
Ton calcul marche parfaitement, pas de pb. On aurait aussi pu choisir de montrer que la différence vaut 0 en multipliant numérateur et dénominateur (1) par la quantité conjuguée. Il y a pas mal de méthodes, j'en ai choisi une. ( Je la trouve élégante, c'est subjectif, j'en conviens). Mais, c'est bel et bien une démonstration : je résume pour essayer de te convaincre : J'appelle a et b les deux nombres du début. 1. Je remarque que a² = b² (c'est le calcul sur lequel je passe la plupart du temps) 2. Or : a² = b² a² - b² = 0 (a+b)(a-b) = 0 (a = b ou a = -b ) Ce que j'utilise en disant : si deux nombres ont le même carré, alors ils sont égaux ou opposés. (je ne fais pas la démonstration dans la vidéo) 3. Je remarque que a > 0 et b >0, donc ils ne sont pas opposés. Ils sont donc égaux. Une vérification aurait consisté à dire : je sais que a = b, vérifions qu'on a bien a² = b², et aurait eu peu d'intérêt je suis d'accord.
C'est une suite d'équivalences donc c'est bien une démonstration, voit le comme démontrer une trivialité à partir d'un résultat. Si la trivialité est vraie c'est que le résultat de départ l'était aussi (à condition que ce soit un enchaînement d'équivalences bien sûr).
Ce qui est gênant, c'est que tu pars de l'égalité que tu veux montrer et que tu ignores être vraie... Si tu as des équivalences partout, pas de problème : en "remontant", vue que la dernière est vraie, la première l'est aussi (mais on préfère en général l'écrire directement dans l'autre sens, c'est plus fluide) Dans ta proposition, il n'y a pas équivalence entre tes deux premières lignes... On a bien : √2 + √6 = 2·√(2 + √3) => (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² (si deux nombres sont égaux, alors ils ont le même carré) mais pas : (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² => √2 + √6 = 2·√(2 + √3) ( (-1)² = 1² mais 1 et -1 ne sont pas égaux)
√2+√6=2√(2+√3) Votre démonstration n'est pas très intuitive. Il est plus logique de voir que √6=√2×√3 On a ainsi une expression avec √3 qui est l'élément commun de l'équation. √2+√6=√2+√2×√3=√2(1+√3)=2(1+√3)/√2 Il reste à montrer que (1+√3)/√2=√(2+√3) On élève au carré des deux côtés… (1+√3)^2/2=2+√3 On développe à gauche… (1+√3)^2/2=(1+2√3+3)/2 =(4+2√3)/2=2(2+√3)/2=2+√3 CQFD
J'ai choisi cette méthode parce que je la trouve élégante. C'est vrai que ce n'est pas la méthode la plus intuitive, je suis totalement d'accord. (1+√3)/√2 et √(2+√3) ont bien le même carré comme ton calcul le montre (il aurait été préférable de calculer les deux carrés séparément tant qu'on ne sait pas s'ils sont égaux mais ok les calculs sont bons) En revanche, il manque quelque chose pour conclure : 2 et -2 ont bien le même carré mais ne sont pourtant pas égaux ;)
Mr ! c juste ce que tu dis ! mais tu en mets un peu trop ! tu leves la partie droite et gauche au carré et tu aboutis au meme resultat ! sans parler de superieure ou egale a zero ! tu melanges tout !
@@Radical31415 il n'y a pas de variables dans la partie droite et gauche ! il est evident que la parties droite et gaucche sont superieures a 2 donc positives !
Effectivement, sans variables, il suffit d'élever au carré les 2 membres de l'équation puis de les développer. Les membres étant positifs, il n'y a aucune ambiguïté👌
Merci pour cette vidéo!
Nice ! 😎
Svp
Quelle est la technique que tu as utilisé pour écrire dans le tableau noir......
J'ai simplement mis une photo de tableau noir en arrière-plan. Les formules sont écrites en LaTeX et les animations sont faites avec Manim.
Super
Merci !
Plus simplement :
(sqrt(2)+sqrt(6))^2
=2+6+2sqrt(2)sqrt(6)
=8+2sqrt(2)sqrt(2)sqrt(3)
=8+4sqrt(3)
=4(2+sqrt(3))
Donc sqrt(2)+sqrt(6)=2sqrt(2+sqrt(3))
C'est une vérification, pas une démonstration. C'est plus joli de travailler sur le membre de gauche et de le transformer pour arriver au membre de droite.
C'est pas très compliqué : mettre 2 en facteur et transformer le terme mis entre parenthèses ; on l'élève au carré et on prend la racine carrée. Ce qu'on a élevé au carré se réduit facilement et on arrive au résultat.
Ton calcul marche parfaitement, pas de pb. On aurait aussi pu choisir de montrer que la différence vaut 0 en multipliant numérateur et dénominateur (1) par la quantité conjuguée. Il y a pas mal de méthodes, j'en ai choisi une. ( Je la trouve élégante, c'est subjectif, j'en conviens).
Mais, c'est bel et bien une démonstration : je résume pour essayer de te convaincre :
J'appelle a et b les deux nombres du début.
1. Je remarque que a² = b² (c'est le calcul sur lequel je passe la plupart du temps)
2. Or : a² = b² a² - b² = 0 (a+b)(a-b) = 0 (a = b ou a = -b )
Ce que j'utilise en disant : si deux nombres ont le même carré, alors ils sont égaux ou opposés. (je ne fais pas la démonstration dans la vidéo)
3. Je remarque que a > 0 et b >0, donc ils ne sont pas opposés.
Ils sont donc égaux.
Une vérification aurait consisté à dire : je sais que a = b, vérifions qu'on a bien a² = b², et aurait eu peu d'intérêt je suis d'accord.
C'est une suite d'équivalences donc c'est bien une démonstration, voit le comme démontrer une trivialité à partir d'un résultat. Si la trivialité est vraie c'est que le résultat de départ l'était aussi (à condition que ce soit un enchaînement d'équivalences bien sûr).
Excellente réponse
2+√3=1/2(4+2√3)
=1/2(3+2√3+1)
=1/2(1+√3)²
Hhhhhhhhhh
2+√3=1/2(4+2√3)
=1/2(3+2√3+1)
=1/2(1+√3)²
=1/(√2)²(1+√3)²
= (1/√2 + √3/√2)²
= (√2/2 + √6/2)²
= 1/4(√2 + √6)²
Oui ... mais il y avait aussi cela:
√2 + √6 = 2·√(2 + √3)
(√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))²
2 + 6 + 2√12 = 4·(2 + √3)
8 + 2√12 = 4·(2 + √3)
8 + 2√12 = 8 + 4√3
note: √12 = 2√3 => 2√12 = 4√3
■ 8 + 4√3 = 8 + 4√3
🙂
Ce qui est gênant, c'est que tu pars de l'égalité que tu veux montrer et que tu ignores être vraie...
Si tu as des équivalences partout, pas de problème : en "remontant", vue que la dernière est vraie, la première l'est aussi (mais on préfère en général l'écrire directement dans l'autre sens, c'est plus fluide)
Dans ta proposition, il n'y a pas équivalence entre tes deux premières lignes...
On a bien : √2 + √6 = 2·√(2 + √3) => (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² (si deux nombres sont égaux, alors ils ont le même carré)
mais pas : (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² => √2 + √6 = 2·√(2 + √3) ( (-1)² = 1² mais 1 et -1 ne sont pas égaux)
√2+√6=2√(2+√3)
Votre démonstration n'est pas très intuitive.
Il est plus logique de voir que √6=√2×√3
On a ainsi une expression avec √3 qui est l'élément commun de l'équation.
√2+√6=√2+√2×√3=√2(1+√3)=2(1+√3)/√2
Il reste à montrer que (1+√3)/√2=√(2+√3)
On élève au carré des deux côtés…
(1+√3)^2/2=2+√3
On développe à gauche…
(1+√3)^2/2=(1+2√3+3)/2
=(4+2√3)/2=2(2+√3)/2=2+√3
CQFD
J'ai choisi cette méthode parce que je la trouve élégante. C'est vrai que ce n'est pas la méthode la plus intuitive, je suis totalement d'accord.
(1+√3)/√2 et √(2+√3) ont bien le même carré comme ton calcul le montre (il aurait été préférable de calculer les deux carrés séparément tant qu'on ne sait pas s'ils sont égaux mais ok les calculs sont bons)
En revanche, il manque quelque chose pour conclure : 2 et -2 ont bien le même carré mais ne sont pourtant pas égaux ;)
@@Radical31415
Où voyez-vous une expression négative dans la démonstration?
Si a>0 et b>0, a^2=b^2 implique a=b
@@Ctrl_Alt_Sup C'était juste pas précisé 😉
Mr ! c juste ce que tu dis ! mais tu en mets un peu trop ! tu leves la partie droite et gauche au carré et tu aboutis au meme resultat ! sans parler de superieure ou egale a zero ! tu melanges tout !
Je pense que tu n'as pas regardé la vidéo jusqu'au bout...
@@Radical31415 il n'y a pas de variables dans la partie droite et gauche ! il est evident que la parties droite et gaucche sont superieures a 2 donc positives !
Effectivement, sans variables, il suffit d'élever au carré les 2 membres de l'équation puis de les développer. Les membres étant positifs, il n'y a aucune ambiguïté👌