Видео

@@JenB-w7u Ravi que ça te plaise !

Merci pour ton commentaire ! J'avoue que le cadre de la vidéo est largement dépassé avec les éléments inversibles dans les anneaux Z/nZ XD C'est intéressant, j'imagine que l'intérêt réside dans le fait de réduire le nombre d'opérations quand n est grand ?

@Radical31415 C'est plutôt qu'on peut passer d'une distribution uniforme à une distribution un peu moins uniforme. Enfin, selon moi. J'ai un tout petit résultat qui est assez intéressant. Par exemple si on tire des valeurs uniformément sur (Z/nZ)^k, mais qu'on choisit ensuite uniquement des échantillons de (Z/nZ)^k dont toutes les valeurs ne sont "pas trop éloignés" d'une valeur moyenne, alors il devient plus probable que la somme des valeurs de chaque échantillon soit proche de cette moyenne. Cette moyenne dépend du choix des représentant. petit exemple. on se met sur (Z/8Z)^3 je prends des représentants dans [0..7] a_1=2 a_2 =7 a_3 =6 2+7+6 =15 congru 7 mod 8. ok donc 15 est "en dehors" de l' intervalle 0..7, donc je dois faire une division euclidienne pour obtenir 7 mod 8. maintenant si on prend [-4..3] comme intervalle des représentants On a a_1= 2 a_2 =-1 a_3 = -2 2-1-2=-1 € [-4..3] Si je garantis qu'une somme appartient à l'intervalle pour lequel m = 0 dans t = r +mn alors je peux identifier la valeur au reste. La division euclidienne a été déplacée sur les a_i. Bon ça parait très inutile vu comme ça, mais je vérifie tous les jours que ça ne l'est pas notemment sur un problème proche de ring lwe. Ca n'a rien d'abracadabrant.

@@florianbasier Je suis d'accord, mais j'ai choisi de la faire parce qu'elle est cool !

C'est ce que j'ai fait. Je suis une quiche en arithmétique et donc l'énoncé me faisait un peu peur. Mais, en résolvant le truc, j'ai pas trop vu la difficulté : soit (a+b)=1 soit (a-b)=1 et les hypothèses permettent de trancher. Bizarre

@@thecrazzxz3383 Oui, nickel. Le seul hic, c'est que les diviseurs dans Z ne sont pas au programme de seconde 😉

@@Radical31415 Ah bon ? Pourtant c'est quelque chose d'évident, personnellement, bon d'accord, ce raisonnement, il vient de maths expertes on est d'accord, mais même en seconde, je pense que c'est la manière la plus naturelle avec laquelle j'aurais procédé !

@thecrazzxz3383 Après vérification, c'est pas si clair... On se contente souvent des diviseurs dans N de nombres entiers naturels... Dans Z, ça ne change pas grand chose, mais ça peut emmêler inutilement certains élèves. En term maths expertes, aucun problème par contre.

@@thecrazzxz3383 Extrait du programme de seconde : Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier Contenus  Notations ℕ et ℤ.  Définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair. Capacités attendues  Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier.  Présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible. Démonstrations  Pour une valeur numérique de a, la somme de deux multiples de a est multiple de a.  Le carré d’un nombre impair est impair. Exemples d’algorithme  Déterminer si un entier naturel a est multiple d’un entier naturel b.  Pour des entiers a et b donnés, déterminer le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.  Déterminer si un entier naturel est premier.

@Radical31415 oui 👍

@@lacleman28 Merci !!

@@anticyclone0321 Il faut du coup aussi faire b = a + c avec c>1, ou traiter en amont le même problème pour montrer que a>=b. Je ne comprends pas le cas c = 0

@@Radical31415 En fait on peut vous mettre d'accord, cette démonstration peut être considérablement simplifiée. Prenons deux naturels a et b quelconques. a²-b²=(a-b)(a+b). On commence par regarder le cas a=0 et le cas b=0 et on voit que a²-b² devient respectivement -b² et a², qui ne peut pas être premier. On sait donc que a+b>1. Et en même temps, a+b est un diviseur de a²-b². Mais si a²-b² est premier, et n'a donc comme diviseurs que 1 et lui-même dans N (dans Z, il y aurait aussi les opposés, c'est pour ça qu'il est important de préciser qu'on est dans N), ça veut dire que a+b=a²-b². Et comme simultanément (a+b)(a-b)=a²-b², on en déduit que a-b=1.

​@@Radical31415 Oui bien sûr ! On démontre que a >= b en amont. Le cas c = 0 correspond au cas où a et b sont égaux, auquel cas ils ne sont en effet pas consécutifs. En toute rigueur, j'en ai touché un mot.

@@jcfos6294 Je te remercie pour tes encouragements, cela fait bien plaisir. Sur la difficulté de l'exercice, je te rejoins sur le fait qu'il est assez difficile pour un élève de (début de) seconde. En revanche, la plupart des élèves de terminale qui ont choisi maths expertes le trouverait simple (ils refont de l'arithmétique avec en prime les congruences, Bezout...) : il y a quand même une assez grosse accroche avec le a^2-b^2 qui fait immédiatement penser selon toute vraissemblance à (a+b)(a-b). Merci encore pour ton super commentaire !

​​@@Radical31415 je vous en prie ! Juste en passant : ce n'est pas en connaissant les congruence qui nécessite une autre gymnastique de l'esprit (il faut jongler avec la notion du "reste" dans la division euclidienne) qui permet de trouver la solution à votre magnifique problème d'arithmétique. Même en connaissant bezout, on ne débouche pas via ce cheminement sur la résolution de celui-ci. Certes, ces gymnastiques de l'esprit sur le maniement des nombres, soutient la "gesticulation" dans la tête, mais ces 2 maîtrises (congru+bezout) ne permettent pas de trouver une réponse directe à votre énoncé. Votre exercice est excellent, il est rigolo comme tout, et je le retiens car il m'a marqué. Évidemment j'ai vu de suite l'identité remarquable. Mais de là, à entrevoir, une once de solution en factorisant, je vous mentirai si je vous disais que je l'avais pensée. Je maintiens : tous ces exercices sur les nombres premiers sont souvent agaçants car ils nous résistent facilement.... Nous les matheux. 😭 Ou bien il faut faire que ça 😋😜. Je suis abonné. J'ai adoré cet exercice 🙏😊

Trivial bien sur.... Ouais. Tout le reste des mathématiques est plus faciles et fluides : algèbre linéaire, Matrices carrés, inversibles, nilpothentes, groupes, corps, anneaux commutatifs, nombres complexes, dérivées, primitives, séries entières, intégrales, quaternions, Matrices de passages, polynôme caractèristique, annulateur, valeurs propres, vecteurs propres... . Bref. J'aime pas ces exercices apparemment simplets mais sur lesquels je calle très souvent. Au mieux les congruences, au pire les nombres premiers et leurs échafaudages me minent 😢😂😂😂😂

@@ItalixPubg Merci pour ton commentaire, je suis ravi que tu trouves cela très simple. Comme souvent, un exercice peut paraître simple pour certains et difficile pour d'autres, je te remercie d'avance de respecter ceux qui seraient moins calés que toi dans tes commentaires. Ta version est parfaitement correcte et elle vient enrichir la vidéo. Il est vrai que tu n'utilises pas la stricte croissance de la fonction carré sur [0, +infty[ dans ta variante, ce qui est un atout. J'ai pris le parti volontaire de l'utiliser, vu que la notion de variation de fonction est très importante dans le programme de seconde, et elle le reste par la suite. De plus, découper en deux étapes bien distinctes permet à mon sens de clarifier la résolution pour qui ne trouverait pas cela évident. Enfin, peut-être trouves-tu inutilement compliqué le raisonnement par l'absurde dans la première étape, je remarque qu'il y en a aussi dans ta version (b ne peut pas être nul, sinon p=a^2).

@@Radical31415 L'histoire du b non nul, c'est optionnel, j'ai dû l'introduire pour des raisons pratiques (pas de signe "supérieur ou égal" sur le clavier, tout bêtement...) Après je vais être franc, je n'ai aucune idée de ce à quoi le programme de seconde de maintenant ressemble. Edit : quoique, en y repensant, c'est pas complètement inutile de savoir que b est non nul. Regarde ta démonstration. Tu écris que comme a+b et a-b sont des diviseurs de a²-b², et tu en déduis que a+b ou a-b vaut 1. Inconsciemment, tu tiens compte de l'information que a+b et a-b sont des diviseurs DISTINCTS. C'est intuitif, mais tu ne le montres pas vraiment. Il manque un petit argument. Il suffit de rajouter que si a+b et a-b étaient le même diviseur de a²-b², ça impliquerait que b=0 et donc que le nombre premier s'écrit comme un carré, ce qui est impossible. Donc les diviseurs sont distincts, et donc l'un des deux vaut 1.

@@ItalixPubg On a écrit p =a^2-b^2 = (a+b)(a-b). Les deux diviseurs de p trouvés ne peuvent pas être les mêmes car sinon p ne serait pas premier, c'est ce que tu montres. Mais pas besoin, puisqu'un nombre premier n'a que deux diviseurs. J'ai deux diviseurs et il n'en a que deux, donc je les connaît...

​@@Radical31415 Ben si tu as besoin de le dire. Tu as prouvé que a+b et a-b étaient naturels, c'est déjà un bon point parce que si on est dans Z, un nombre premier a quatre diviseurs, et dans N, il n'y en a plus que deux : 1 et p (si on pose p=a²-b²). Donc à ce stade tu sais que a+b vaut 1 ou p, que a-b vaut 1 ou p, et donc tu as quatre cas encore possibles : a+b=a-b=1, a+b=a-b=p, a+b=1 et a-b=p et a+b=p et a-b=1. Tu n'as donc pas montré que a+b=1 ou a-b=1, il faut encore que tu écartes le cas a+b=a-b=p. C'est pas compliqué, il suffit d'écrire que si a+b=a-b, alors b=0 et a²-b²=a² ne peut pas être premier. Mais si on veut être rigoureux, il faut le dire. Mais quoi qu'il en soit, il est plus simple de raisonner sur a+b, car déjà à la base on sait qu'il est naturel. Voilà donc ce qui me semble être la preuve la plus directe : On commence toujours de la même manière : a²-b²=(a+b)(a-b). Ensuite, on sait que a+b est naturel puisque a et b le sont. De plus on ne peut pas avoir a=0 car notre nombre deviendrait -b², qui ne peut pas être premier. De même b ne peut pas être nul car a² ne peut pas être premier. On en déduit donc que a+b>1. Vu que a²-b² est premier, il n'a que deux diviseurs dans N, qui sont 1 et lui-même. Et comme a+b est un diviseur de a²-b² différent de 1, on en déduit que a+b=a²-b². Mais vu qu'on a aussi (a+b)(a-b)=a²-b², cela force a-b=1.

@@JenB-w7u Oui, c'est √2^√2 ! Mais c'est plus difficile à monter...

@Radical31415 👍

Bravo

​@@Radical31415il faudrait supposer qu'il peut s'écrire sous la forme a/b puis démontrer que c'est faux?

@@jeanclaude637 Oui c'est la technique classique pour montrer par exemple que sqrt(2) est irrationnel. Je pense intuitivement qu'ici c'est un peu plus compliqué, mais honnêtement, je ne sais pas trop... Il faudrait creuser la question !

@@alexandradasilva2470 Lorsque delta est positif, le trinôme change de signe, alors cela ne peut pas convenir... Besoin de plus d'aide ?

@@Radical31415 ce n'est pas clair pour moi. Vu que le trinôme change de signe lorsque delta est positif, il y a des valeurs de m appartenant à [-5 ; -1/2 ] pour lequel E(x) <=0 et donc on ne peut pas donner toutes les solutions possibles

@alexandradasilva2470 On veut que le trinôme soit négatif pour TOUT x réel, donc de signe constant. Si son discriminant est positif, alors le trinôme change de signe. Ces valeurs-là de m ne peuvent donc pas convenir... (Moralité : polynôme du second degré de signe constant => delta négatif) C'est bon ?

@@Radical31415oui je viens de comprendre, le " pour tout x réel" que j'avais occulté. merci beaucoup pour votre aide.

Si (u(n)) vérifie que lim (u(n+1)-u(n))=0 alors (u(n)) converge.

@@walter3124u_n = ln(n) 😋

Raccourci souvent fait par des élèves : Si lim u_n = +∞ alors (u_n) croissante. Contre-exemple : u_n = n si n pair ou u_n = n-1 si n impair Il existe plein d'autres contre-exemples dans le genre ;)

@@Radical31415 Et maintenant : même question en ajoutant que (u(n)) bornée 😄

@@walter3124 Ouais, ça c'est plus dur ! (sin(√n)). Je vois pas trop comment un.e terminale pourrait prouver que ça ne CV pas... Une idée ?

Ce qui est gênant, c'est que tu pars de l'égalité que tu veux montrer et que tu ignores être vraie... Si tu as des équivalences partout, pas de problème : en "remontant", vue que la dernière est vraie, la première l'est aussi (mais on préfère en général l'écrire directement dans l'autre sens, c'est plus fluide) Dans ta proposition, il n'y a pas équivalence entre tes deux premières lignes... On a bien : √2 + √6 = 2·√(2 + √3) => (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² (si deux nombres sont égaux, alors ils ont le même carré) mais pas : (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² => √2 + √6 = 2·√(2 + √3) ( (-1)² = 1² mais 1 et -1 ne sont pas égaux)

J'ai choisi cette méthode parce que je la trouve élégante. C'est vrai que ce n'est pas la méthode la plus intuitive, je suis totalement d'accord. (1+√3)/√2 et √(2+√3) ont bien le même carré comme ton calcul le montre (il aurait été préférable de calculer les deux carrés séparément tant qu'on ne sait pas s'ils sont égaux mais ok les calculs sont bons) En revanche, il manque quelque chose pour conclure : 2 et -2 ont bien le même carré mais ne sont pourtant pas égaux ;)

@@Radical31415 Où voyez-vous une expression négative dans la démonstration? Si a>0 et b>0, a^2=b^2 implique a=b

@@Ctrl_Alt_Sup C'était juste pas précisé 😉

J'ai simplement mis une photo de tableau noir en arrière-plan. Les formules sont écrites en LaTeX et les animations sont faites avec Manim.

Oui exactement !

Peut être un tout petit peu mais c'est ok

2+√3=1/2(4+2√3) =1/2(3+2√3+1) =1/2(1+√3)² =1/(√2)²(1+√3)² = (1/√2 + √3/√2)² = (√2/2 + √6/2)² = 1/4(√2 + √6)²

Ton calcul marche parfaitement, pas de pb. On aurait aussi pu choisir de montrer que la différence vaut 0 en multipliant numérateur et dénominateur (1) par la quantité conjuguée. Il y a pas mal de méthodes, j'en ai choisi une. ( Je la trouve élégante, c'est subjectif, j'en conviens). Mais, c'est bel et bien une démonstration : je résume pour essayer de te convaincre : J'appelle a et b les deux nombres du début. 1. Je remarque que a² = b² (c'est le calcul sur lequel je passe la plupart du temps) 2. Or : a² = b² <=> a² - b² = 0 <=> (a+b)(a-b) = 0 <=> (a = b ou a = -b ) Ce que j'utilise en disant : si deux nombres ont le même carré, alors ils sont égaux ou opposés. (je ne fais pas la démonstration dans la vidéo) 3. Je remarque que a > 0 et b >0, donc ils ne sont pas opposés. Ils sont donc égaux. Une vérification aurait consisté à dire : je sais que a = b, vérifions qu'on a bien a² = b², et aurait eu peu d'intérêt je suis d'accord.

C'est une suite d'équivalences donc c'est bien une démonstration, voit le comme démontrer une trivialité à partir d'un résultat. Si la trivialité est vraie c'est que le résultat de départ l'était aussi (à condition que ce soit un enchaînement d'équivalences bien sûr).

Excellente réponse

Je pense que tu n'as pas regardé la vidéo jusqu'au bout...

@@Radical31415 il n'y a pas de variables dans la partie droite et gauche ! il est evident que la parties droite et gaucche sont superieures a 2 donc positives !

Effectivement, sans variables, il suffit d'élever au carré les 2 membres de l'équation puis de les développer. Les membres étant positifs, il n'y a aucune ambiguïté👌

Merci !

😊