C'est très basique mais très bien expliqué. Un truc marrant cependant, c'est qu'il y a plein de cas d'analyse où diviser par une valeur qui tend vers 0 fait sens comme lim_{e->0} (X^e-1)/e =ln(X) Sur un anneau, par exemple Z/16Z au hasard, tout multiple de 2 n'est pas inversible, ok. Mais si on regarde un anneau "proche" comme Z/17Z les multiples de 2 peuvent devenir inversibles pour certaines classes (et même toutes car 17 est premier). La structure des opérations pour chacun de ces anneaux est proche pour les petites valeurs. Cad qu'en ne dépassant "pas trop", on peut en quelques sortes "comparer des valeurs". cad que 2*3=6 dans les 2 anneaux, tout comme 2*4, 2*5 etc et si on dépasse de peu de tours, on se retrouve à des valeurs pas trop éloignées. 2*8=0 dans Z/16Z et 2*8 =-1 =16 dans Z/17Z les deux valeurs sont très " éloignée " et l'ordre a été inversé. Ok. Mais pour toutes les autres valeurs on reste proches. Prenons 2*8 et ajoutons une "petite" erreur de 1. 2*8+1=1 dans Z/16Z et 2*8+1 = 0 dans Z/17Z. l'ordre a été inversé mais les valeurs sont proches. La proximité des valeurs dépend bien sûr du choix des représentants. Exemple 5*4= 4 dans Z/16Z et 5*4=3 dans Z/17Z. De même 5*5=9 dans Z/16Z et 5*5= 8 dans Z/17Z. On a 5>4 sur Z et dans les deux cas 8>3 et 9>4. Quel intérêt? Ben il y a des problèmes où l'on peut se restreindre à un choix arbitraire de représentants pour avoir un avantage. Si on sait que les valeurs des opérations dans Z se situent dans une fourchette de la taille de n dans Z/nZ alors on peut effectuer des opérations comme des comparaisons. Il y a des problèmes de codage où être proche d'une valeur est satisfaisant ou d'autres où on doit pouvoir comparer. Mais bon, c'est xertainement un nkn sens hein.
Merci pour ton commentaire ! J'avoue que le cadre de la vidéo est largement dépassé avec les éléments inversibles dans les anneaux Z/nZ XD C'est intéressant, j'imagine que l'intérêt réside dans le fait de réduire le nombre d'opérations quand n est grand ?
@Radical31415 C'est plutôt qu'on peut passer d'une distribution uniforme à une distribution un peu moins uniforme. Enfin, selon moi. J'ai un tout petit résultat qui est assez intéressant. Par exemple si on tire des valeurs uniformément sur (Z/nZ)^k, mais qu'on choisit ensuite uniquement des échantillons de (Z/nZ)^k dont toutes les valeurs ne sont "pas trop éloignés" d'une valeur moyenne, alors il devient plus probable que la somme des valeurs de chaque échantillon soit proche de cette moyenne. Cette moyenne dépend du choix des représentant. petit exemple. on se met sur (Z/8Z)^3 je prends des représentants dans [0..7] a_1=2 a_2 =7 a_3 =6 2+7+6 =15 congru 7 mod 8. ok donc 15 est "en dehors" de l' intervalle 0..7, donc je dois faire une division euclidienne pour obtenir 7 mod 8. maintenant si on prend [-4..3] comme intervalle des représentants On a a_1= 2 a_2 =-1 a_3 = -2 2-1-2=-1 € [-4..3] Si je garantis qu'une somme appartient à l'intervalle pour lequel m = 0 dans t = r +mn alors je peux identifier la valeur au reste. La division euclidienne a été déplacée sur les a_i. Bon ça parait très inutile vu comme ça, mais je vérifie tous les jours que ça ne l'est pas notemment sur un problème proche de ring lwe. Ca n'a rien d'abracadabrant.
![[Terminale] 9 contre-exemples sur les limites des suites numériques.](http://i.ytimg.com/vi/dEkn_BjR0kE/mqdefault.jpg)
![[Seconde] Si a²-b² est un nombre premier, alors a et b sont consécutifs, en 5 minutes ⏱ !](http://i.ytimg.com/vi/OdPS3RQNlXE/mqdefault.jpg)
C'est très basique mais très bien expliqué.
Un truc marrant cependant, c'est qu'il y a plein de cas d'analyse où diviser par une valeur qui tend vers 0 fait sens comme
lim_{e->0} (X^e-1)/e =ln(X)
Sur un anneau, par exemple Z/16Z au hasard, tout multiple de 2 n'est pas inversible, ok. Mais si on regarde un anneau "proche" comme Z/17Z les multiples de 2 peuvent devenir inversibles pour certaines classes (et même toutes car 17 est premier).
La structure des opérations pour chacun de ces anneaux est proche pour les petites valeurs.
Cad qu'en ne dépassant "pas trop", on peut en quelques sortes "comparer des valeurs".
cad que 2*3=6 dans les 2 anneaux, tout comme 2*4, 2*5 etc et si on dépasse de peu de tours, on se retrouve à des valeurs pas trop éloignées.
2*8=0 dans Z/16Z et 2*8 =-1 =16 dans Z/17Z les deux valeurs sont très " éloignée " et l'ordre a été inversé. Ok.
Mais pour toutes les autres valeurs on reste proches. Prenons 2*8 et ajoutons une "petite" erreur de 1.
2*8+1=1 dans Z/16Z et 2*8+1 = 0 dans Z/17Z.
l'ordre a été inversé mais les valeurs sont proches.
La proximité des valeurs dépend bien sûr du choix des représentants.
Exemple 5*4= 4 dans Z/16Z et 5*4=3 dans Z/17Z.
De même 5*5=9 dans Z/16Z et
5*5= 8 dans Z/17Z.
On a 5>4 sur Z et dans les deux cas 8>3 et 9>4.
Quel intérêt? Ben il y a des problèmes où l'on peut se restreindre à un choix arbitraire de représentants pour avoir un avantage. Si on sait que les valeurs des opérations dans Z se situent dans une fourchette de la taille de n dans Z/nZ alors on peut effectuer des opérations comme des comparaisons.
Il y a des problèmes de codage où être proche d'une valeur est satisfaisant ou d'autres où on doit pouvoir comparer.
Mais bon, c'est xertainement un nkn sens hein.
Merci pour ton commentaire ! J'avoue que le cadre de la vidéo est largement dépassé avec les éléments inversibles dans les anneaux Z/nZ XD
C'est intéressant, j'imagine que l'intérêt réside dans le fait de réduire le nombre d'opérations quand n est grand ?
@Radical31415 C'est plutôt qu'on peut passer d'une distribution uniforme à une distribution un peu moins uniforme. Enfin, selon moi. J'ai un tout petit résultat qui est assez intéressant.
Par exemple si on tire des valeurs uniformément sur (Z/nZ)^k, mais qu'on choisit ensuite uniquement des échantillons de (Z/nZ)^k dont toutes les valeurs ne sont "pas trop éloignés" d'une valeur moyenne, alors il devient plus probable que la somme des valeurs de chaque échantillon soit proche de cette moyenne. Cette moyenne dépend du choix des représentant.
petit exemple.
on se met sur (Z/8Z)^3
je prends des représentants dans [0..7]
a_1=2
a_2 =7
a_3 =6
2+7+6 =15 congru 7 mod 8.
ok donc 15 est "en dehors" de l' intervalle 0..7, donc je dois faire une division euclidienne pour obtenir 7 mod 8.
maintenant si on prend [-4..3] comme intervalle des représentants
On a
a_1= 2
a_2 =-1
a_3 = -2
2-1-2=-1 € [-4..3]
Si je garantis qu'une somme appartient à l'intervalle pour lequel m = 0 dans t = r +mn alors je peux identifier la valeur au reste.
La division euclidienne a été déplacée sur les a_i.
Bon ça parait très inutile vu comme ça, mais je vérifie tous les jours que ça ne l'est pas notemment sur un problème proche de ring lwe.
Ca n'a rien d'abracadabrant.