*ATTENSCION:* Segnalo un errore nell'ultimo integrale: a un certo punto quel √(1-x^2)^3 l'ho scritto come √(1-x^2). Chiaramente l'elevamento al cubo doveva esserci, come ho scritto nello schema dell'integrazione per parti. Scusate!
Ciao! Grazie per il tuo supporto costante, lo apprezzo tanto. Guarda ho imparato manim da "autodidatta", nel senso che ho imparato le basi guardando i tutorial di "theorem of Beethoven" e poi ho sperimentato, chiedendo anche consigli alla community di reddit. All'inizio è tosta (specie se non hai forti basi di programmazione come fu nel mio caso) ma poi da tante soddisfazioni.
L'ultimo integrale l'ho risolto per sostituzione. Viene bello lunghino però XD. Allora, abbiamo: integ[x^3*rad(1-x^2)dx]. Applico la sostituzione x=sint => dx=costdt. Diventa: integ[sin^3(t)*rad(1-sin^2(t))*costdt]. Il radicale lo possiamo convertire in cost, e quindi abbiamo: integ[sin^3(t)*cos^2(t)dt]. Sapendo che cos^2(t)=1-sin^2(t), facciamo questa sostituzione e diventa: integ[sin^3(t)*(1-sin^2(t))dt] = integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt]. Questi due integrali si risolvono allo stesso modo in cui si risolve l'integrale di sin^2(t), ossia integriamo per parti. Partiamo dal primo integrale: integ[sin^3(t)dt] = integ[sin(t)*sin^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + integ[cos(t)*2sin(t)cos(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)*(1-sin^2(t))dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt] Riassumendo, abbiamo: integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt] Allora, l'ultimo integrale lo si porta al primo membro e abbiamo: 3integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) -2cost = -cos(t)*[sin^2(t) + 2] e quindi integ[sin^3(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] Abbiamo risolto il primo integrale, ora passiamo al secondo: integ[sin^5(t)dt] = integ[sin(t)*sin^4(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + integ[cos(t)*(4sin^3(t)cos(t))dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)*(1-sin^2(t))dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt]. Riassumento di nuovo, abbiamo: integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt] Dato che abbiamo gia risolto l'integrale di sin^3(t), portiamo al primo membro l'ultimo integrale e abbiamo: 5integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) - [4cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] integ[sin^5(t)dt] = - [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)] Avendo risolto i due integrali, possiamo ora eseguire la differenza: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] + [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)] prendiamo in evidenza cost, e abbiamo: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{[1/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^(t) + 2) - (1/3)*(sin^2(t)+2)} A questo punto eseguiamo le varie moltiplicazioni dentro la parentesi graffa. Si ottiene: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{(sin^4(t)/5) + (4sin^2(t)/15) + (8/15) - (sin^2(t)/3) - (2/3)} Eseguiamo le somme algebriche e portiamo il denominatore comune fuori dalla parentesi. Si ottiene: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) + 4sin^2(t) + 8 - 5sin^2(t) -10} = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c Abbbiamo finito. Dobbiamo solo riportare tutto alla variabile di partenza, avendo posto x = sint. Ricordando che cost = rad(1 - sin^2(t)), allora: integ[x^3*rad(1-x^2)dx] = integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c= [rad(1 - sin^2(t))/15]*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c = [rad(1 - x^2)/15]*{3x^4 - x^2 -2} + c
Si puo applicare anche il teorema di Tchebycheff Poiche (3+1)/2 =intero possiamo risolvere in modo elementare ponendo 1-x^2=t^2 x=(1-t^2)^1/2. dx = ecc....
Io sono in secondo e giuro che l'analisi è diventata una fissazione, ti giuro che se provi a capirli sei praticamente a bordo, non importa se sono argomenti di quinto/uni
@@sev7ncry9 so che li capirei facilmente, ma adesso mi sto concentrando sulle olimpiadi della matematica, giusto per essere sicuro di passare a Cesenatico, poi vedrò cosa fare. Poi ci sarebbe anche fisica...
@@loekvanderzijde1701 Si guarda io te l'ho detto giusto per ricordarti l'immensità di questa fantastica disciplina hahaha, sono felice del fatto che sei così interessato anche alle olimpiadi e soprattutto all'ambito fisica. per cui posso soltanto dirti buona fortuna con gli studi
Non sapete quanto mi faccia piacere leggere di così tanti ragazzi giovanissimi appassionati all'analisi, non sapevo esistesse questa specie così rara! Confermo tutto quello che avete detto: analisi 2 è una FIGATA. Sto lavorando a un corso di analisi 2 da mesi e lo sto riempendo di animazioni 3d perché studiarla in questo modo è una gioia per gli occhi. Fatevi aiutare da più asili visivi possibili perché così capirete veramente bene l'essenza di questa materia.
Svolgendo per parti l'ultimo integrale, f'(x)g(x) non dovrebbe essere integrale di [ (2/3)x (1-x^2)^(3/2)]? Dato che la l'integrale svolto nel "box" restituisce - (1-x^2)^(3/2) tutto diviso 3?
nel mio corso su Smartimede. puoi acquistare la lezione singola dove viene mostrato quell'algoritmo o il pacchetto completo. Trovi il link in descrizione
Buonasera, sono studente del dipartimento di filosofia ed ho intenzione di seguire Analisi I come crediti liberi. Quindi, questo è il livello generale richiesto come preparazione sugli integrali?
Ciao Stefano! Dipende molto dal professore e dalla facoltà in cui vuoi sostenere l'esame. Molti professori non si accontentano di far trovare le primitive, ma danno esercizi sul significato profondo dell'operatore integrale: si spazia quindi sugli integrali impropri, su grafici delle funzioni primitive, su integrali di funzioni pari-dispari ecc. Ti consiglio quindi di vedere prima il programma del corso specifico per poi stilare un piano di studi efficace. Se vuoi stare tranquillo e avere una guida completa per irrobustire velocemente le tue competenze in materia, ti rimando a questo mio elenco di lezioni sugli integrali definiti e indefiniti: www.udemy.com/course/analisi-matematica-integrali-con-esercizi-e-animazioni/?referralCode= Con queste puoi apprendere tutti i metodi di risoluzione sugli esercizi che troverai all'esame Analisi 1 con animazioni che aiutano ad afferrare più velocemente ogni tecnica e concetto. Spero di essere stato utile!
@@ClearMath1, grazie di cuore per l'esaustiva risposta. Sì, mi sei (possiamo darci del tu?) stato di grande aiuto. Sicuramente frequenterò il corso e mi atterrò alle esigenze del professore, ma pensavo di prepararmi un po' prima per non arrivare proprio a digiuno. Per questo motivo, ti ringrazio ancora infinitamente, per avermi indicato una fonte per studiare in modo sistematico l'argomento. Grazie per il vostro lavoro! Sono un filosofo, ma adoro l'analisi matematica!
e c'hai ragione sai? ho scordato di continuare a scrivere l'elevamento al cubo dentro la radice quadrata dopo aver applicato la formula per parti. Grazie per la segnalazione, ora metto un disclaimer
@@ClearMath1E se non sbaglio portando fuori dall’integrale la costante 1/3 e moltiplicandola per 2/5 otteniamo 2/15 che moltiplica radice quadrata di ((x-1) alla quinta, o mi sono perso qualcosa?
BRAVO!!! Alcuni di questi trucchi per risolvere gli integrali non mi erano mai venuti in mente!!! Grazie!!! unica cosa... potresti parlare un pò più lentamente e lasciare le videate un pò più a lungo? credo eviterebbe a tanti (me compreso) di fermare più volte il video e anche, a volte, dover tornare un pò indietro per risentire e capire bene!!! Cmq sti metodi sono una FIGATA!!! W JUVE SEMPRE!!!
*ATTENSCION:*
Segnalo un errore nell'ultimo integrale: a un certo punto quel √(1-x^2)^3 l'ho scritto come √(1-x^2). Chiaramente l'elevamento al cubo doveva esserci, come ho scritto nello schema dell'integrazione per parti.
Scusate!
Mi sembra che hai dimenticato anche -1/3 del secondo integrale...
Non mi stancherò mai di dire che questo canale è sottovalutatissimo. Da dove hai imparato a usare minim?
Ciao! Grazie per il tuo supporto costante, lo apprezzo tanto.
Guarda ho imparato manim da "autodidatta", nel senso che ho imparato le basi guardando i tutorial di "theorem of Beethoven" e poi ho sperimentato, chiedendo anche consigli alla community di reddit.
All'inizio è tosta (specie se non hai forti basi di programmazione come fu nel mio caso) ma poi da tante soddisfazioni.
"ho raccolto per fare il figo" hahah
L'ultimo integrale l'ho risolto per sostituzione. Viene bello lunghino però XD. Allora, abbiamo:
integ[x^3*rad(1-x^2)dx]. Applico la sostituzione x=sint => dx=costdt. Diventa:
integ[sin^3(t)*rad(1-sin^2(t))*costdt]. Il radicale lo possiamo convertire in cost, e quindi abbiamo:
integ[sin^3(t)*cos^2(t)dt]. Sapendo che cos^2(t)=1-sin^2(t), facciamo questa sostituzione e diventa:
integ[sin^3(t)*(1-sin^2(t))dt] = integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt]. Questi due integrali si risolvono allo stesso modo in cui si risolve l'integrale di sin^2(t), ossia integriamo per parti. Partiamo dal primo integrale:
integ[sin^3(t)dt] = integ[sin(t)*sin^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + integ[cos(t)*2sin(t)cos(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)*(1-sin^2(t))dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt]
Riassumendo, abbiamo: integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt]
Allora, l'ultimo integrale lo si porta al primo membro e abbiamo:
3integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) -2cost = -cos(t)*[sin^2(t) + 2] e quindi integ[sin^3(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2]
Abbiamo risolto il primo integrale, ora passiamo al secondo:
integ[sin^5(t)dt] = integ[sin(t)*sin^4(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + integ[cos(t)*(4sin^3(t)cos(t))dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)*(1-sin^2(t))dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt].
Riassumento di nuovo, abbiamo: integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt]
Dato che abbiamo gia risolto l'integrale di sin^3(t), portiamo al primo membro l'ultimo integrale e abbiamo:
5integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) - [4cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2]
integ[sin^5(t)dt] = - [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)]
Avendo risolto i due integrali, possiamo ora eseguire la differenza:
integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] + [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)]
prendiamo in evidenza cost, e abbiamo:
integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{[1/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^(t) + 2) - (1/3)*(sin^2(t)+2)}
A questo punto eseguiamo le varie moltiplicazioni dentro la parentesi graffa. Si ottiene:
integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{(sin^4(t)/5) + (4sin^2(t)/15) + (8/15) - (sin^2(t)/3) - (2/3)}
Eseguiamo le somme algebriche e portiamo il denominatore comune fuori dalla parentesi. Si ottiene:
integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) + 4sin^2(t) + 8 - 5sin^2(t) -10} = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c
Abbbiamo finito. Dobbiamo solo riportare tutto alla variabile di partenza, avendo posto x = sint. Ricordando che cost = rad(1 - sin^2(t)), allora:
integ[x^3*rad(1-x^2)dx] = integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c= [rad(1 - sin^2(t))/15]*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c = [rad(1 - x^2)/15]*{3x^4 - x^2 -2} + c
complimenti per la spiegazione così precisa e dettagliata!
Più semplice porre
Sin^3x=sinx*(1-cos^2x)
Quindi
Integ[sinx*cos^2x-sinx*cos^4x]dx questo e' immediato
Integ=-cos^3x/3 +cos^4x/4
Dove cosx=sqrt(1-x^2)
Si puo applicare anche il teorema di Tchebycheff
Poiche (3+1)/2 =intero possiamo risolvere in modo elementare ponendo
1-x^2=t^2
x=(1-t^2)^1/2. dx = ecc....
che bello guardare i video di analisi senza sapere niente (sono in terza). Quest'estate mi imparo almeno fino ad analisi 2
Io sono in secondo e giuro che l'analisi è diventata una fissazione, ti giuro che se provi a capirli sei praticamente a bordo, non importa se sono argomenti di quinto/uni
@@sev7ncry9 so che li capirei facilmente, ma adesso mi sto concentrando sulle olimpiadi della matematica, giusto per essere sicuro di passare a Cesenatico, poi vedrò cosa fare. Poi ci sarebbe anche fisica...
@@loekvanderzijde1701 Si guarda io te l'ho detto giusto per ricordarti l'immensità di questa fantastica disciplina hahaha, sono felice del fatto che sei così interessato anche alle olimpiadi e soprattutto all'ambito fisica. per cui posso soltanto dirti buona fortuna con gli studi
@@sev7ncry9 :)
Non sapete quanto mi faccia piacere leggere di così tanti ragazzi giovanissimi appassionati all'analisi, non sapevo esistesse questa specie così rara!
Confermo tutto quello che avete detto: analisi 2 è una FIGATA.
Sto lavorando a un corso di analisi 2 da mesi e lo sto riempendo di animazioni 3d perché studiarla in questo modo è una gioia per gli occhi. Fatevi aiutare da più asili visivi possibili perché così capirete veramente bene l'essenza di questa materia.
Buongiorno, nell'ultimo esercizio poteva essere utilizzato il metodo di sostituzione? Ponendo: t=√/1-x^2), oppure no? Grazie mille
Ciao! Si certo, potevamo usare anche quel metodo
Svolgendo per parti l'ultimo integrale, f'(x)g(x) non dovrebbe essere integrale di [ (2/3)x (1-x^2)^(3/2)]? Dato che la l'integrale svolto nel "box" restituisce - (1-x^2)^(3/2) tutto diviso 3?
ciao! sì purtroppo quello è stato un errore di distrazione, come ho segnalato sotto al video. Per qualsiasi altra cosa sono a disposizione!
Che applicazione hai usato oer scrivere?
Per scrivere gli esercizi Microsoft WhiteBoard, per le animazioni Manim
Dove posso trovare quell'algoritmo che hai mostrato nel video?
nel mio corso su Smartimede. puoi acquistare la lezione singola dove viene mostrato quell'algoritmo o il pacchetto completo. Trovi il link in descrizione
Sapete integrare lnx/(x^2 +1) (integrale indefinito)
Se non sbaglio l'ultimo integrale si può fare anche con la sostituzione t²=1-x² , lo dico da non amante dell'integrazione per parti
sì esatto, ottima osservazione!
Corretto.Si tratta del teorema di Tchebycheff.
L’ultimo integrale per parti, si poteva anche fare con il cambiamento di variabile x=sin(t).
giusto, anche quel metodo sarebbe stato molto valido. bravo!
Buonasera, sono studente del dipartimento di filosofia ed ho intenzione di seguire Analisi I come crediti liberi. Quindi, questo è il livello generale richiesto come preparazione sugli integrali?
Ciao Stefano! Dipende molto dal professore e dalla facoltà in cui vuoi sostenere l'esame. Molti professori non si accontentano di far trovare le primitive, ma danno esercizi sul significato profondo dell'operatore integrale: si spazia quindi sugli integrali impropri, su grafici delle funzioni primitive, su integrali di funzioni pari-dispari ecc.
Ti consiglio quindi di vedere prima il programma del corso specifico per poi stilare un piano di studi efficace.
Se vuoi stare tranquillo e avere una guida completa per irrobustire velocemente le tue competenze in materia, ti rimando a questo mio elenco di lezioni sugli integrali definiti e indefiniti: www.udemy.com/course/analisi-matematica-integrali-con-esercizi-e-animazioni/?referralCode=
Con queste puoi apprendere tutti i metodi di risoluzione sugli esercizi che troverai all'esame Analisi 1 con animazioni che aiutano ad afferrare più velocemente ogni tecnica e concetto.
Spero di essere stato utile!
@@ClearMath1, grazie di cuore per l'esaustiva risposta.
Sì, mi sei (possiamo darci del tu?) stato di grande aiuto.
Sicuramente frequenterò il corso e mi atterrò alle esigenze del professore, ma pensavo di prepararmi un po' prima per non arrivare proprio a digiuno.
Per questo motivo, ti ringrazio ancora infinitamente, per avermi indicato una fonte per studiare in modo sistematico l'argomento.
Grazie per il vostro lavoro!
Sono un filosofo, ma adoro l'analisi matematica!
@@schematism ma grazie a te per i complimenti! Per qualsiasi altra domanda sono a disposizione!
Studio fisioterapia,mi sono ritrovato qui per caso,ho i mal di testa.
my nigga ho motivo di credere che l'ultimo integrale sia sbagliato
e c'hai ragione sai? ho scordato di continuare a scrivere l'elevamento al cubo dentro la radice quadrata dopo aver applicato la formula per parti.
Grazie per la segnalazione, ora metto un disclaimer
@@ClearMath1E se non sbaglio portando fuori dall’integrale la costante 1/3 e moltiplicandola per 2/5 otteniamo 2/15 che moltiplica radice quadrata di ((x-1) alla quinta, o mi sono perso qualcosa?
perché li ho fatti tutti e 4 a mente
perché vuol dire che sei pronto per l'esame 💪
@@ClearMath1 c'è un problema, sono in 5°😂😅
@@lattedipino2173, anche a me sembra strano.
ho seguito tutto e fatto gli esercizi ma no, non mi sento pronto. forza roma
la roma da, la roma daje
Il terzo, il secondo integrale non poteva diventare 16( 1/2 arctan (radicedix/2) )
BRAVO!!! Alcuni di questi trucchi per risolvere gli integrali non mi erano mai venuti in mente!!! Grazie!!! unica cosa... potresti parlare un pò più lentamente e lasciare le videate un pò più a lungo? credo eviterebbe a tanti (me compreso) di fermare più volte il video e anche, a volte, dover tornare un pò indietro per risentire e capire bene!!! Cmq sti metodi sono una FIGATA!!! W JUVE SEMPRE!!!
Grazie mille davvero! E grazie anche del feedback, cercherò di essere meno frettoloso!