ERRATA CORRIGE: il risultato dell'ultimo limite è in realtà 6/120, cioè un 1/20. Ero talmente preso dal parlare del polinomio di Taylor del seno da dimenticarmi di moltiplicarlo per 6 😅
@@angelopossente1684 ciao! è sopravvissuto solo quel termine perché dopo lo sviluppo di Taylor i termini *_6x_* e *_x^3_* si sono semplificati, per cui gli unici termini che rimangono sono gli sviluppi di Taylor dal quinto ordine in poi: rimarrà quindi *_6x^5/120 - 6x^7/5040 + ..._* ecc. ma per *_x→0_* sopravvive solo il pezzo con la potenza *_x^5_* (gli altri sono di ordine di infinitesimo superiore, quindi trascurabili). In sostanza, *_se i primi N termini si tolgono perché si semplificano, sopravvivrà il termine N+1 -esimo dello sviuppo di Taylor._* Se hai altre domande, non esitare a chiedere!
Ciao! Sì esatto potevamo anche usare Hopital, che è l'unica vera alternativa al metodo delle equivalenze asintotiche (scala degli infiniti, limiti notevoli, Taylor ecc.). Se usare un metodo o l'altro dipende, in realtà, solo dal tuo professore: molti docenti universitari preferiscono non insegnare affatto Hopital perché lo reputano un metodo troppo meccanico e che rischia di far svolgere gli esercizi senza sapere effettivamente cosa si stia facendo. Effettivamente con Taylor c'è bisogno di più ragionamento e di comprensione del significato di limite e di limite notevole, ed è anche per questo che io lo preferisco. Inoltre Taylor e i limiti notevoli sono molto più versatile e possono essere usati per qualsiasi forma indeterminata, mentre Hopital solo per le forme 0/0 e inf/inf. Tuttavia spesso Hopital risulta più veloce per quelli alle prime armi, tranne quando si deve derivare 6 volte prima di togliere la forma indeterminata 😅 Se hai altre domande sono a disposizione!
sì certo, *_6x^5/120_* (o più semplicemente *_x^5/20_* ) è una quantità piccolissima, ma è proprio ciò che sopravvive quando facciamo la differenza *_6sinx-6x+x^3_* : se usassimo taylor fino al terzo ordine diremmo che il risultato è 0, nel senso che la differenza è molto piccola. Questo è corretto, ma lasciando così non potremmo sapere _quanto_ è piccola quella grandezza (e quindi non potremmo ad esempio confrontarlo col denominatore). In questo ci viene in aiuto un ulteriore sviluppo di Taylor, che mi dice che il resto in questa divisione è quell' *_x^5/20_*
ciao! ho utilizzato il limite notevole dell'esponenziale, secondo il quale e^y-1 tende a y per y che tende a 0. Per qualsiasi altra domanda sono a disposizione!
Buongiorno, vorrei sapere una cosa: se, (min. 11:18), avessimo dovuto comparare x^3 e x^3 (o a maggior ragione x^4) * lnx; il "soldato più forte" sarebbe stato quest'ultimo? (Ovvero: x^3 * lnx).
ciao! sì esatto, x^3lnx è più forte di x^3. Oltre a farli scontrare, possiamo anche "farli andare d'accordo" considerandoli come un unico soldato x^3(1+ln x). Per qualsiasi domanda resto volentieri a disposizione!
Scusa, sarò io che non ci sono più con la testa, ma a 5:28 la radice al denominatore come fa a diventare 1+y/2? La sessione mi sta dando la testa, tra poco non mi ricordo quanto fa 1+1🤣
ciao! ho usato un limite notevole che tendenzialmente non viene messo così tanto in evidenza (ma che è comunque da ricordare), ovvero quello che dice che (1+y)^a tende a 1+ay per y che tende a zero. avendo la radice, possiamo dire che a=1/2, e da lì la trasformazione. per qualsiasi altra domanda sono a disposizione!
Se lo fai con la calcolatrice al primo da - infinito ( numero sempre più grande più zeri metti) . Ma se si sostituisce pi greco il denominatore e 0 ..... Ciao, sai come mai ?
ciao! ho usato direttamente i limiti notevoli delle funzioni *sqrt(1+y)* (che diventa *1+y/2*) e di *ln(1+y)* (che diventa *y*). Si usano sempre quando la variabile tende a 0 (che è proprio il nostro caso)
Limit of trigonometric function. Principale Lim x-> π sin x/(x-π) The given function has a singularity at x = π because the denominator becomes zero at that point. However, we can still evaluate the limit by using the L'Hopital's rule or by using the trigonometric identity: lim x->π sin x/(x-π) = lim x->π (sin x)/(x-π) * (x-π)/(sin x) = lim x->π (sin x)/(x-π) * lim x->π (x-π)/(sin x) The first limit can be evaluated by applying L'Hopital's rule once: = lim x->π cos x/1 Since cos π = -1, we get: lim x-> π sin x/(x-π) = -cos π = -(-1) = 1. Therefore, the limit of the given function as x approaches π is 1.
Ciao! Credo ci sia un errore nel conto, perché a un certo punto si moltiplica la funzione per il suo inverso e non capisco proprio il perché 🙃 Anche con Hopital il limite viene -1, perché diventerà lim _(x to pi) (cos(x))/1=-1
ERRATA CORRIGE: il risultato dell'ultimo limite è in realtà 6/120, cioè un 1/20. Ero talmente preso dal parlare del polinomio di Taylor del seno da dimenticarmi di moltiplicarlo per 6 😅
Perchè al numeratore sopravvive solo 6x⁵?
@@angelopossente1684 ciao! è sopravvissuto solo quel termine perché dopo lo sviluppo di Taylor i termini *_6x_* e *_x^3_* si sono semplificati, per cui gli unici termini che rimangono sono gli sviluppi di Taylor dal quinto ordine in poi: rimarrà quindi *_6x^5/120 - 6x^7/5040 + ..._* ecc. ma per *_x→0_* sopravvive solo il pezzo con la potenza *_x^5_* (gli altri sono di ordine di infinitesimo superiore, quindi trascurabili).
In sostanza, *_se i primi N termini si tolgono perché si semplificano, sopravvivrà il termine N+1 -esimo dello sviuppo di Taylor._*
Se hai altre domande, non esitare a chiedere!
Grazie mille! :)
Nell'ultimo esercizio al posto di taylor si può utilizzare anche de l'hopital. Quando usare quale?
Ciao! Sì esatto potevamo anche usare Hopital, che è l'unica vera alternativa al metodo delle equivalenze asintotiche (scala degli infiniti, limiti notevoli, Taylor ecc.).
Se usare un metodo o l'altro dipende, in realtà, solo dal tuo professore: molti docenti universitari preferiscono non insegnare affatto Hopital perché lo reputano un metodo troppo meccanico e che rischia di far svolgere gli esercizi senza sapere effettivamente cosa si stia facendo.
Effettivamente con Taylor c'è bisogno di più ragionamento e di comprensione del significato di limite e di limite notevole, ed è anche per questo che io lo preferisco.
Inoltre Taylor e i limiti notevoli sono molto più versatile e possono essere usati per qualsiasi forma indeterminata, mentre Hopital solo per le forme 0/0 e inf/inf.
Tuttavia spesso Hopital risulta più veloce per quelli alle prime armi, tranne quando si deve derivare 6 volte prima di togliere la forma indeterminata 😅
Se hai altre domande sono a disposizione!
@@ClearMath1 grazie mille, chiarissimo!
Non è un infinito di ordine superiore rispetto alle altre potenze presenti al numeratore (quindi trascurabile) ?
sì certo, *_6x^5/120_* (o più semplicemente *_x^5/20_* ) è una quantità piccolissima, ma è proprio ciò che sopravvive quando facciamo la differenza *_6sinx-6x+x^3_* : se usassimo taylor fino al terzo ordine diremmo che il risultato è 0, nel senso che la differenza è molto piccola. Questo è corretto, ma lasciando così non potremmo sapere _quanto_ è piccola quella grandezza (e quindi non potremmo ad esempio confrontarlo col denominatore). In questo ci viene in aiuto un ulteriore sviluppo di Taylor, che mi dice che il resto in questa divisione è quell' *_x^5/20_*
ma perchè al secondo esercizio ha messo che (e^y) -1=y che quel passaggio mi ha un po' confuso
ciao! ho utilizzato il limite notevole dell'esponenziale, secondo il quale e^y-1 tende a y per y che tende a 0. Per qualsiasi altra domanda sono a disposizione!
Buongiorno, vorrei sapere una cosa: se, (min. 11:18), avessimo dovuto comparare x^3 e x^3 (o a maggior ragione x^4) * lnx; il "soldato più forte" sarebbe stato quest'ultimo? (Ovvero: x^3 * lnx).
ciao! sì esatto, x^3lnx è più forte di x^3. Oltre a farli scontrare, possiamo anche "farli andare d'accordo" considerandoli come un unico soldato x^3(1+ln x).
Per qualsiasi domanda resto volentieri a disposizione!
@@ClearMath1 A ok, il raccoglimento... grazie mille 🤗
ma il primo limite non basta usare de l'hopital?
Sì certo, ma è una tecnica che molti professori di Analisi "bandiscono" dai loro corsi, quindi ho preferito non utilizzarla
Ti adoro grazie
Scusa, sarò io che non ci sono più con la testa, ma a 5:28 la radice al denominatore come fa a diventare 1+y/2?
La sessione mi sta dando la testa, tra poco non mi ricordo quanto fa 1+1🤣
ciao! ho usato un limite notevole che tendenzialmente non viene messo così tanto in evidenza (ma che è comunque da ricordare), ovvero quello che dice che (1+y)^a tende a 1+ay per y che tende a zero. avendo la radice, possiamo dire che a=1/2, e da lì la trasformazione.
per qualsiasi altra domanda sono a disposizione!
Se lo fai con la calcolatrice al primo da - infinito ( numero sempre più grande più zeri metti) .
Ma se si sostituisce pi greco il denominatore e 0 .....
Ciao, sai come mai ?
scusami, non ho capito come hai fatto a calcolare il denominatore al minuto 5:20
ciao! ho usato direttamente i limiti notevoli delle funzioni *sqrt(1+y)* (che diventa *1+y/2*) e di *ln(1+y)* (che diventa *y*). Si usano sempre quando la variabile tende a 0 (che è proprio il nostro caso)
@@ClearMath1 grazie mille 🙏🏻
sono stato 20 minuti sul capire come facesse ad uscire 1/120 hahahah e poi ho letto il commento
un motivo in più per sentirmi in colpa 😢
siamo in due figurati io l'ho fatto anche con de l'hopital 5 derivate
Limit of trigonometric function.
Principale
Lim x-> π sin x/(x-π)
The given function has a singularity at x = π because the denominator becomes zero at that point. However, we can still evaluate the limit by using the L'Hopital's rule or by using the trigonometric identity:
lim x->π sin x/(x-π) = lim x->π (sin x)/(x-π) * (x-π)/(sin x)
= lim x->π (sin x)/(x-π) * lim x->π (x-π)/(sin x)
The first limit can be evaluated by applying L'Hopital's rule once:
= lim x->π cos x/1
Since cos π = -1, we get:
lim x-> π sin x/(x-π) = -cos π = -(-1) = 1.
Therefore, the limit of the given function as x approaches π is 1.
Ciao! Credo ci sia un errore nel conto, perché a un certo punto si moltiplica la funzione per il suo inverso e non capisco proprio il perché 🙃
Anche con Hopital il limite viene -1, perché diventerà lim _(x to pi) (cos(x))/1=-1
l'ultimo esercizio è 1/20 awhga'UOPFNHA3EP FKMAWKECMF AWRSUGVTZDOàJHIUIfwaj sSTO IMPAZZENDO
Vuoi un po' d'acqua bro?
Eh beh
Giustamente mi compare in home DOPO aver dato il primo appello.
Maledizione
🥲
@@ClearMath1 L'ho bocciato. Ora mi guardo tutti i video.
@@BruttiF27 mi dispiace! Se hai bisogno di una mano mi metto volentieri a disposizione!
@@ClearMath1 Grazie mille. Nel caso mi troverai nelle sezioni commenti del video apposito.
Spieghi male comunque
Ma io tvb 😢