Personalmente, sconsiglio l’uso del metodo di Hermitte a meno che non sia esplicitamente richiesto in un esercizio. Come potrai notare nei miei video, tendo a preferire l’aggiunta, la sottrazione o la divisione per certe quantità al fine di arrivare alla scomposizione in fratti semplici dell'integrale. Ritengo che questo approccio riduca la probabilità di commettere errori (faccio meno calcoli). Tuttavia, potrei considerare l’uso del metodo di Hermitte solo nel caso di espressioni con radici multiple. Inoltre, ho pubblicato un nuovo video in cui risolvo questo integrale attraverso una sostituzione estremamente elegante, semplice e concisa!"
Cerco di rispondere in modo il più semplice possibile. Osserviamo che sia la derivata D[log(x)]=1/x ed anche la derivata di D[log(-x)]=1/x, sono uguali . Questo significa che la primitiva di 1/x è log(|x|). La primitiva è ben definita nell'intervallo (0,+oo) o (-oo,0). Quindi, se si prova a calcolare integrale definito da -1 a 1 con la formula data si commette un errore in quanto il risultato finale è log(|1|)-log(|-1|)=0, ma che in realtà questo non è zero in quanto non è definito. Questo è dovuto al fatto che nel contesto dei reali il logaritmo di un numero negativo non esiste, mentre esiste nel contesto dei numeri complessi. Quindi il mio consiglio è per il momento di mettere sempre il valore assoluto (tranne nei casi come quello in cui se ∆0 allora il polinomio di secondo grado è sempre positivo). Poi se si deve calcolare l'integrale definito bisogna ricordare dove sono le singolarità.
Posso risolverlo in un paio di passaggi e dimostrare in altrettanti passaggi che la derivata della primitiva è uguale alla funzione integranda. La soluzione è: 1/2《radice di i*arctg(x/radice di i)+radice di -i*arctg(radice di -i😮)) + C
Ok. Due cose, secondo me, vanno sottolineate alla fine di un approccio di questo genere. La prima alla fine del calcolo bisogna ritornare ad un'espressione reale visto che l'integrale di partenza è reale. La seconda bisogna giustificare cosa si intende di arctan di un numero complesso eventualmente introducendo il concetto di ramo principale ecc. (questo si fa molto bene in un corso di analisi complessa).
![[20.22] Integrale 1/(1+x^4) (addendum, ora semplice)](http://i.ytimg.com/vi/WnHLtyBiI7s/mqdefault.jpg)
![[20.22] Integrale 1/(1+x^4) (addendum, ora semplice)](/img/tr.png)
si potrebbe utilizzare anche la formula di decomposizione di hermitte
Personalmente, sconsiglio l’uso del metodo di Hermitte a meno che non sia esplicitamente richiesto in un esercizio. Come potrai notare nei miei video, tendo a preferire l’aggiunta, la sottrazione o la divisione per certe quantità al fine di arrivare alla scomposizione in fratti semplici dell'integrale. Ritengo che questo approccio riduca la probabilità di commettere errori (faccio meno calcoli). Tuttavia, potrei considerare l’uso del metodo di Hermitte solo nel caso di espressioni con radici multiple.
Inoltre, ho pubblicato un nuovo video in cui risolvo questo integrale attraverso una sostituzione estremamente elegante, semplice e concisa!"
L'ho appena visto, molto bello. Sarebbe bello vedere qualche video sul metodo dei residui se hai tempo di farci un video.
Grazie del suggerimento per i desiderata
È necessario avere il modulo nell'argomento del logaritmo? Se i ∆ sono
Cerco di rispondere in modo il più semplice possibile. Osserviamo che sia la derivata D[log(x)]=1/x ed anche la derivata di D[log(-x)]=1/x, sono uguali . Questo significa che la primitiva di 1/x è log(|x|). La primitiva è ben definita nell'intervallo (0,+oo) o (-oo,0). Quindi, se si prova a calcolare integrale definito da -1 a 1 con la formula data si commette un errore in quanto il risultato finale è log(|1|)-log(|-1|)=0, ma che in realtà questo non è zero in quanto non è definito. Questo è dovuto al fatto che nel contesto dei reali il logaritmo di un numero negativo non esiste, mentre esiste nel contesto dei numeri complessi. Quindi il mio consiglio è per il momento di mettere sempre il valore assoluto (tranne nei casi come quello in cui se ∆0 allora il polinomio di secondo grado è sempre positivo). Poi se si deve calcolare l'integrale definito bisogna ricordare dove sono le singolarità.
Posso risolverlo in un paio di passaggi e dimostrare in altrettanti passaggi che la derivata della primitiva è uguale alla funzione integranda. La soluzione è: 1/2《radice di i*arctg(x/radice di i)+radice di -i*arctg(radice di -i😮)) + C
L'ultimo pezzo +radice di - i* arctg(x/(radice di - i))
Ok. Due cose, secondo me, vanno sottolineate alla fine di un approccio di questo genere.
La prima alla fine del calcolo bisogna ritornare ad un'espressione reale visto che l'integrale di partenza è reale.
La seconda bisogna giustificare cosa si intende di arctan di un numero complesso eventualmente introducendo il concetto di ramo principale ecc. (questo si fa molto bene in un corso di analisi complessa).