【ゆっくり解説】なぜ三角形の内角の和は180°になるのか？ 実は例外もある？
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- Опубликовано: 20 дек 2021
- 今回は三角形の内角の和はなぜ180°になるのか？
実は例外もある？
といったことを解説していきます。
参考：samidare.halfmoon.jp/mathemati...
このチャンネルは数学の雑学やパラドックス、おもしろネタをゆっくり解説していきます。数学に苦手意識を覚えている文系の人にもわかりやすく解説しています。
登場人物
ゆっくり霊夢：ド文系。高校時代の数学はすっかり忘れている
ゆっくり魔理沙：理数系。大人になってすっかり数学を忘れた霊夢に数学を教えている
きめぇ丸先生：2人の元担任。昔に比べ実はだいぶ丸くなっている
#ゆっくり解説 #ゆっくり科学 #ゆっくり数学
一部効果音・BGM：OtoLogic 数学好きの一般人が、数学の雑学やよくある疑問を解説する動画です。リサーチなどはがんばっていますが、なにぶん専門性が高い分野ですので、ちょいちょいガバいところがあります……。
また文系の方にもわかりやすく伝える都合上、どうしても説明不足な点がでてきてしまいますので、そのさいはご了承ください。
【動画の補足とお詫び】
動画をご覧いただきありがとうございます。
動画内では、平面における直線と、曲面における直線が混ざってしまい、誤解を与える表現となってしまったので、この場で補足します。
15:35 ごろで「最短距離は曲面に合わせた曲線」とありますが、こちらを直線とさせてください。
ただ、動画内のおにぎり？ みたいな三角形が、三角形として成り立つという主張は変わりません。
なぜなら動画内にもあるとおり、前提条件が曲面上（地球上）だからです。
曲面における「直線」は、「まっすぐな直線」ではなく、「曲面に沿って曲がった線」です。
ですから曲がったように見える線でも、曲面上なら“直線”なので、三角形は成り立つというわけです。
固定した方がいいですよ！
11:07 の東に1km行く道のりは特定の条件下でない限り「曲がったように見えて曲がっていない」ではなく曲面上でも曲がっています
曲面上ならどんな曲がった線でも直線になるわけではない
リーマンの三角形モデルは、極点以外の頂点が赤道上あるときしか成立しないはず。リーマンの第五項順は「一本の直線に交わる同位角を同じくする直線（平行線）は交わる（ある直線外の一点を通り、その直線と交わらない直線を引くことはできない）」であり、地球儀の緯線のような線を直線とはしていない。動画内にあった南→東→北の場合、東を直線(測地線)とすると北極から離れた方に進んでしまい北1kmでは北極点に戻れない（まあ，誤算範囲だろうけど）。
まあただ、わかりやすく説明する論法としてはアリだとは思う。
15:28
三角形の定義に3辺が線分とあり、線分とは直線の一部を切り取ったものであるため、三角形の一辺は直線の一部である必要があります。
(なので動画内の「直線である必要は無い」は間違い)
ただ直線の定義は二点間を結ぶ最短の曲線であるため←これが重要
動画内のおにぎり型の横の2辺は線分と呼べます。
動画内のおにぎり型の底辺が直線でないという主張は返信欄の他のコメと被るため割愛します。
曲面上で考えているのに最後は平面上から見たら駄目なのでは？[曲面上で]という条件が最後に無くなっていると思うのですが、なぜよいのか教えて欲しいです‼️
数学の教科書の単元としては「平面図形」と限定しているため、その時点で内角の和が180°でない三角形は除外される。
「立体図形」(または「空間図形」)の単元では内角の和には触れない。
前提として「ユークリッド平面における」というのがあるってことですね
そもそも論としてユークリッド幾何学の第五公理(平行線公準)は2次元空間が前提にあるので、3次元以上の空間だと「同一平面上にある2直線」とちゃんと言わないと捩れの位置にある2直線とかがどっかで交わることになりますしね。
線分の定義が「直線」だし
球体上の3点結んだ線では「曲線」なので
三角形の定義の段階から外れてますしね
ﾔｰｰｰｰ!!!!
このあたりは日本語で学ぶのは無理があると考えます。
平面planeはsurfaceのうちの一つの形態に過ぎないのですが、
surface→表面(曲面&平面)
plane→平面
のように“面”という同じ漢字を使うのが不幸の始まりだったと思います。さらに
2次元→平面
3次元→立体
みたいな感じで理解が限定されるのが問題ですね。
例えば“海がない完全に球体な陸地しか持たない惑星”があったとします。海はおろか、山も谷もないこの星では自動車だけあればいかなる場所に行くことが出来ます。高度という概念がないのですから、飛行機が発明されることもありません(と、考えてください)。
自動車はアクセルによる前進後進にステアリング操作が加わりますが、これ以上の操作をする裁量はドライバーにはありません。このような前後左右にしか選択権が無いことを
『自動車は自由度２の乗り物である』
と表現します。(ちなみにレールのみを走ることを許された電車は自由度１です。)
この惑星でステアリングを全く切らずにニュートラルのまま(直進)するとします。左右方向の自由度を放棄することになりますが、“道のり＝距離”という最短距離という利益を得ます。いつかはスタート地点に帰ってきます。ドライバーは
『直進したまま一周してきた』
と感じるでしょうが、これを神の視座から見れば
『球を真っ二つにする切り口を描いた(曲線)』
ということになります。
つまり、自由度2の幾何学における直進というのは“定規的な真っ直ぐ”を意味しないのです。
与えられたフィールドでステアリングを真っ直ぐにして車を走らせた(最短距離移動)ときのルートが“そのフィールドにおける直線”なのです。
“面”という漢字が濫用されていたり、大学ではじめて“自由度degree of freedom”という概念に触れる日本ではユークリッド幾何学はハードルが高いのです。
こういった“教育上制約”のあるなかでうぷ主さんがこの動画を上げたのは慧眼だと思います。
たとえ正しくなくてもやっぱり「線が曲がってるから三角形じゃねぇじゃねぇか」という気持ちは持っておきたい文系脳
🔺
文系脳というか受け入れるかどうかだから。仕様一部変更したら嫌いになったと言ってること一緒だから
@@user-hs3oy3qk6x だめだ例まで出してるのにそれ含め全く何言ってるか分からない
文系関係あるか？？
@A I 文系だけど入試だとみんな数学使う…
伊能忠敬が日本中歩いて地図を作った時どうしても部分部分で繋げられない誤差ができてしまったそう。
これが地球の曲面を計算に入れていなかったからだと後にわかったんだとか。
会社の営業範囲をマップルで地図を印刷してつなぎ合わせて、壁に掲示するための（せいぜい20×30km程度の範囲を2×3mに）でっかい地図を作ろうとしましたが、どんなにピッタリ合わせて貼り合わせても、端に行くにしたがってズレてしまった……という経験があります。
「もしかして、曲面を平面に投影したために生じた誤差では？」と一緒に作業していた上司に言ったところ、「そんなバカな」と言われましたが、私はそうに違いないと確信しています。
日本地図ならなおさらですね。
なるほど…いやぁ到底私が考えられないことがコメントされてるのって妙にかっこよく感じてしまうね。
伊能忠敬の地図と現代の地図を重ねると現代の方が東西に長いのはおそらくその理由だったというのをどこかで見たような気がします。
@@shoji2444 地球一周の1/1000（40km）もあれば、誤差は肉眼で見える！
@@juuxlb9401 そうですよね！
やはり張り合わせた地図がずれたのは、投影の誤差ですね！
「地球が丸いから仕方ない」
新たな名言が生まれてしまった…
曲面上だと、平行線を描けないから、錯角も成り立たなくて内角の和も180°じゃなくなる。
それにしても、2000年以上前って、日本だと弥生時代か。ユークリッド凄い。
ユークリッドさんよく聞くなぁとか思ってたけど想像以上にエグかった
@@user-vw1ph8qr5s
ユークリッドさんがまとめたらしい原論は触れてる分野の多さから、「ユークリッドさん」が個人じゃないとか、実在しないとか言われてるらしいよ
卑弥呼これわかってたんかなぁ
俺はわからん
贐
な～んだ邪馬台国の距離が合わないのはこのせいか。
これ中学の時に疑問に思って先生に聞いたらちゃんと図を書きながら教えてくれたんよね。他のものも聞けばちゃんと教えてくれたからあの先生には感謝してる
一家に一台欲しい先生だな。俺にもくれよ。3000円か？
@@user-zp8hk3sh9u 安すぎだろ！ww
先生が「頭の片隅に置いておけ」って
知識は大抵テストに出る
これ受験で出やすいからなって言われた難しい問題も大体出す
出ないんですけどって言ったのも出る
15:30
このへんの解説だと、“曲面上の線はまっすぐな線ではない”という誤解を生みそうな
平面や空間自体が曲がっていれば、傍から見れば曲がってるけど線自体はまっすぐというか
例えば重力場だと光は曲がるけど、それは光からすると曲がってるんじゃなくて歪んだ空間を最短距離で真っすぐ進んでるだけ、みたいな
やっべ分かんね、頭いいねあなた。
見る方向によっては真っ直ぐな線ではない、なら有ってる？
空間に対しては直線、って考えると単に人間の見方が歪んでるのかな。
メルカトル図法だと飛行機の航路がひん曲がって見えるけど、正距方位図法だとちゃんと最短距離に見える。みたいな
「コリオリの力」と似たような考え方？
錐体を真横から見ると三角形的なことかな？
めっちゃわかりやすい
こういうチャンネル大好きです
数学的では無いが、三角形と呼ばれる図形の定義は難しい。ルーローの三角形のように曲線で出来ていても三角形と呼ばれる。逆に、一時停止標識のように角の部分が丸くなっていても、日常的には三角形と呼ばれる。
哲学的な話だね。対象の図形を三角形であると判定するかどうかは、その図形の感取者が三角形のイデアを想起するかどうかによる。
人間の主観において、三角形を三角形として存在させるためには、その図形に三角形のイデアを見出さなければならない。
定義大好き理系先輩に認識についての哲学通じない人いそう
どんな面の上に書かれた三角形なのかを考えた上で真面目に計算しようとして、時間がなくなるパターン。
曲面上における平行線とはなんぞや？
という定義も必要になるんだよな、これ。
非ユークリッド幾何になると途端に面倒くさくなるけど、それがまた面白い。
そう感じるかどうかが向き不向きになりそう。
登録者1万人おめでとうございます🎉
youtubeの中で久しぶりに面白い動画でした。
登録者8000人おめでとうございます！
球体表面に描いた一辺の長さが円周の長さを持つ全て図形は何角形かわからなくなる説
正二角形もあり得ますね、球面上であれば。
X軸とY軸からなる平面のどっちを向いているかを３６０段階で表したのが角度。
XYであらわされる四角形を対角線で２分割したのが３角形だから１８０度になる。
Z軸を追加した立方体をどうやって２分割するのかを考えてみるのも面白いかと。
ツッコミもボケもおもろくて好き
中世に転生したとしても数学的無双は出来ないってことだよな
学校で教わる数学は何百年前からそれ以前に発見されたもう検証され尽くしたものだからね
｢またなんかやっちゃいました？｣
｢なんだこいつ｣
紀元前のエジプトに行ったら四則演算程度じゃ鼻にも掛けられないかもな
微分方程式ができればワンチャンあるかも
@@AKAMA07 それできれば現代でも十分ではないか
分かりやすい解説を提供する神
いい話だね面白いね
ゆっくり解説さん、ありがとうございます。
大変勉強になりました。
知識が増えましたが、知識不足を再認識しました。
ムチノチ
@@user-op9qe8en1u 「無知の知」と合わせて、「無用の用」も仲間に加えてあげてください。
ちなみにこの動画で触れている非ユークリッド幾何学(楕円幾何学)では公準⑤だけでなく、公準②も成り立たない。
三角定規とコンパスが好きで中学数学までは好きだったなぁ
子供の頃は算盤やってて単純な計算も好きだったけど
クリエイタースゴイ!
ゆっくり関係のチャンネル、面白過ぎて、どれも好きだな
どれをみても勉強になる
コイツは、目からウロコでした
なるほど、昔の人はユークリッド原論のせいで地球平面説が浸透していたのか納得。
球面上だと二角形ができるね
確かに！
スイカを切ったときの外の皮の形ですね
本当に偏差値19？
なるほど
@@dx7208 91だったかもしれん、、
@@YY-jq7rk やべぇーや
つまり理論上は3点が角になるように曲線を結べば三角形と言えるということか
それに対応する曲面があればいいわけだから
正確に言うと単なる曲線ではダメで「測地線」と言うのが正しい表現です。測地線と言うのはザックリ言えば「距離が最短になる線」と言うもので、地球のような球面上では「曲線が測地線になる」と言う事です。
@@final-bento 補足ありがとうございます！
@@final-bento ありがとうございます、この説明で腑に落ちた気がします
@@final-bento ｢単なる曲線｣が｢測地線｣となるような曲面を考えれば良いのでは？
@@user-sl9wy7if5g と言うよりある曲面上で「両端を結ぶ距離が最短」と言う条件を満たした曲線の事を測地線と言うわけです。測地線って見た目はあくまでも「単なる曲線」なので。
非ゆっくりっと幾何学大変勉強になりました。
6:51
しっかりちょっと前のフラグ回収してて草
(錯角は錯覚ではないというフラグ)
ユークリッド幾何学の5番目の公理を除外すると新たな数学体系が構築されることを発見したのってガウスじゃありませんでしたか……？
ガウスはおそらく発見していたと考えられているし傍証もあるが、それを論文という形で発表しなかった。
なんか三角形の折り紙をどれかの辺に向かって折ったら180度になる！
みたいなの昔本で読んでやったら実際にそうなって感動したなぁ
10:30 北極点の近くで方位磁石使うと北は磁北極を示すので道に迷うよ。
動画の構成うますぎてビビるわ。
明らかな鋭角の方に直角マーク付けてる意地悪問題があったな…
まあ間違いではないけれど、、
数学として間違ってないからとか言い張って明らかな鋭角に直角マークつけるのが意地悪って言ってるんだよなぁ
@@acht9687 以下ループ
13:36
個人的に最も大事なポイント。三角形だろうが、計算式だろうが、虚数だろうが一緒。数学はA⇒Bの積み重ねにすぎないから、前提であるAを分かってない人間とは会話が成り立たない。
そうなんだよね、実際余弦定理も三平方の定理を拡張したものにすぎないし、四元数もそうだからね。たぶんAを斬新でエレガントな方法で破壊した人が後世に天才として語り継がれるんだと思う
@@wd.eclairgreen 常識を覆す大発見も、実は積み重ねで出来てる
ケプラーの法則→万有引力の法則
電磁気力の各式→マクスウェルの公式→光速度不変の原理
みたいに
もっと論理学寄りになると、Aが偽ならA⇒Bは常に真になるっていう面白い話もあるよね
@@user-xl2bg8qc8j それについては、数学の教科書に、きわめて直感的ですけれどわかりやすい解説がありました。「AならばBである」は「『Aであって、かつBでない』ことはない」と同値であると考えればよい云々。
なるほどなぁ
勉強になった。非ユークリッド幾何学って一般的にどこで学ぶんだろうか。
眼鏡やコンタクトに役立ってるとは身近に応用したものがあるんですね。
亜留間次郎先生の帰無説明説明でほぼ全ての
理論的に可能かもと予算的に不可能が分かりやすいし
めっちゃ数学やりすぎて日本語不自由になっちゃった？
もしかして
11:14の点Aを北極点とした時に
点Bから西に進んで点Cに行くような三角形なら内角の和は450度になる？
点Bと点Cの間隔を狭めたら539度とかもいけちゃう？
ありえますね。
北極点から南に進んだ距離より、東西どちらかの方向に進んだ距離が長ければ、ABとACのつくる角は90度より大きくなりますから。
ただ、北極点から南に1㎞、そこから東回りに半周、そこから北へ1㎞で戻った場合、三つの点は曲面上の1直線上にあるので三角形の定義に認められるかは疑問ですが。
90+90+180=360が認められるかはともかく、90+90+90＝270の三角形が認められる非ユークリッド幾何学なら内角の和が360よりも小さい三角形に矛盾はないと思います。
内角の和が360より大きく540より小さい範囲は定義によると思います。
「2点を通る直線」の基礎概念に「最短距離」がありますから。
点Bと点Cを結ぶ線により短い線があるのに長い方を三角形を構成する線として認めるのかどうかの定義次第です。
ユークリッド幾何学では一つの角が180度を超えた時点で他の二点を結ぶ直線の位置が反対側に移動して180°より小さい方が三角形の内角として扱われますし。
そもそも地球は完全な球体ではなくイビツな形なので、三角の大きさによっては実際の地形に合わせると何度になるかは、やってみての世界だと思われます。
@@user-dk8bd4yh9n この場合は実際の地球ではなくて、完全な球体である地球を仮想して角度の議論をしているわけです。
数学「証明しろ」
文系「数学っていっつもそうですね……！人間の脳をなんだと思ってるんですか！」
っ…!!がない。やり直し(過激派)
論理のあふれた世界で俺だけが教わらない
文系的には、「脳」という概念そのものが存しないのではないかと。
別に間違ったことは言ってないけど、これで学校で習う知識が「大嘘」とか言うのはどうかと思う。
「加法ゼロ元を『5』と書く自然数のモノイドを定義することもできるから、小学校1年生の足し算は大嘘」という主張くらい無理がある気がする
北極点で出てきた三角形って三角形だと思ってる部分の外側の大きい方の図形も三角形じゃない？
だとしたら内角の和は270×3か
航海士です。この球面三角形（球面上の三点を大圏で結んだ）は天文航法や大圏航法の計算に使用します。非ユークリッド幾何学は航海術から発展したのでしょうか？
応用面からでなく純粋な幾何学的的興味からだったようですね。
『直線Lと点Aがある。Aを通りLに平行な直線は一つしか作図できないことになっている』
『もしも、二本以上引けたらどないなるんや？』
みたいな感じでしょうか。
ご回答ありがとうございます。我々が普段の航海計算で使用している公式も誰かが導き出したもの。先人たちの探求心には脱帽です。
@@miyakomaritime さん、
研究を進めた人たちにしてみたら
『未来の人たちがワイの式つこて船動かしとる！そんな大それたこと考えとらんかったわ。ただの趣味やったんやがなあ……』
なんて思うかもしれません。
『ん？“一つだけ”？なんやケチ臭いな増やしたろ』
『ん？“一つだけ”？男らしく無くしたろ』
のような“無邪気？”な発想が新しい数学を作り出したのですね。
(航海術への応用は“平行線が一本もない”タイプだと思います。)
大航海時代には、赤道付近しか移動しなかったので、リーマン幾何学は航法として必要とされませんでした。
技術的に緯度は簡単に測れましたが経度を測ることは難しかったので、目的地との緯度を合わせて、東西に移動する手法が一般的でした。
北極探検をしようとしたり、飛行機で最短距離を飛ぼうとすると、必要になるのですが。
@@merdekaataumati1949 さん、
『まずは緯度が合うことだけに注意して船出すでぇ。』
『船長、目的の緯度に達しました！』
『よっしゃ、ほんなら今の緯度をキープしたまんま東西方向オンリーの移動に移るで！野郎ども行くぞ！』
『ウィ・ムッシュ！』
ということだったのでしょうか？
高校生に世界史を教えていて“大航海時代でスペインがねぇ……”なんて選らそうに喋っていたのですが、このあたりは全くの無知でした。
ありがとうございます。これからの講義に使わせていただきます。
緯度は北極星を見ればわかるとしても(北半球限定になるのでしょうけども)、経度は時刻の概念がありますから……よく考えたら“現在地の経度把握”って現代でも難しそうな気がします。
看板や標識はもちろん、目印となるような山なんかがない海の上を進むというのはものすごいことだったんですね。
日本から東にひたすら進むとチリに到達するように、北極点から南へ1km、東へ1km、北へ1km進むと北極点に戻って来ないのではないかと……？？
BCに関しては赤道上でないように見えるので、球面上の最短距離ではありません。
うーむ。 曲線って事は『何度も曲がってる』わけだから、曲線含んだ形を三角形と言うとやっぱ違和感あるな。
角の数が3個どころじゃないからな。
測地線って言った方がわかりやすいか？
曲がるのは角じゃない、
折れるのが角、くらいの緩さで考えると
そんなもんかって思えるかと。
そんなこと言ったら直線も曲線だし無数の点の集合体な訳だから深く考えると死ぬぞ
この宇宙が開いてるか、閉じているか、平坦かでも変わってくるなんて頭お菓子なるでほんま
最後の小ネタが面白い
とても面白い動画でした！小中で習った当たり前の事、そこに更に踏み込んだ解説。
勉強って面白いって思える動画出した〜
ところで うp主がゆっくり達と会話する チャンネルあります。
自分が知ってる限りだと スマブラ実況者のピロさんです
三角形は３つの辺を持つとも定義されてます。で、辺は直線であることが定義されてますので、”同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分”の線分のうち１つ以上が曲線を持つものは三角形から除外されます。
なお、線分そのものは２点を結ぶ線が直線であることを条件としていません
平面上ではそれで構わないわけですが、曲面上では普通に言う「直線」が存在し得ないので、代わりに「測地線」と言う概念を使って三角形等を定義する事になるわけですね。そうすれば動画で言っていたように「曲がった辺だけどれっきとした三角形」と言う話になります。
このコメント欄にも知識的なこと書かれていて面白い☺
ね、理解出来んけどなんか楽しい
知識のひけらかし合戦。マウント取り合戦。
ってことは、三角形の内角の和をnとすると、
0°
地声のうp主本人が出てくるゆっくり解説はかなり稀にありますね…ｗ
良かったw俺が授業中に思ってた「いや百パー例外あるやん」って捻くれた考えは合ってたのかw
あんま関係ないけど三角形の面積の求め方「底辺×高さ÷2」の説明で、「三角形は四角形を二分割してあるから四角形の面積の求め方を÷2するんだ」っていうのがあってなるほどと思った記憶がある
線分って真っ直ぐな線である事が条件にあるからまずおかしいけど平面上に限らなければ色々と可能性が増える余地はあるんだね
三点を結ぶって定義だと、色々有り得ちゃんですねｗ
8:47 合体してトライフォースになると思ったのはわたしだけじゃないハズです！
3次元CAD開発してると割りと馴染みのある世界なんだよな。
そして縮退面はめんどくさいorz
アルバート・アインシュタインが発表した一般相対性理論ではリーマン幾何学という名称の非ユークリッド幾何学が使われているそうですね。
リーマン幾何学を作った人は天才だと思います。
私らの大半は、リーマンというと「サラリーマンの略称」としか思わないでしょうね。
足引っ張る数学が苦手なので登録させて頂きましたm(_ _)m
1:20のぴゆ〜ん好き。
イデアとかそういう話かと思った
解説では見た事ないけど、ゲーム実況でゆっくり音声と中の人が話しながら実況する動画は見たことある
なんか科目は違うけど
物理の原子核の話思い出したわ
ボーア模型だと周りを回ってるけど
電子配置はそうでないみたいな
15:28「三角形であるための条件に、”直線であること”とは書かれていない」
15:19 三角形の定義
「同一直線上にない3点とそれらを結ぶ線分からなる多角形」
※線分（wiki）
幾何学における線分とは、2つの点を通る直線の部分であって、それら2点を含んで間に挟まる全ての点からなるものである。
定義が「線分」って言ってるんだから直線であることが条件になっているんだよなぁ🥴
直線じゃなきゃだめでしょ🥺
そうなんだよな 線分は直線の1部なんよ
前フリが毎回うますぎるw
このチャンネルマジでおもろい。絶対この先伸びる
伸びないな。俺は好きだけど
好きな人はすき
万人受けはしないとおもうよ
おもんない
再生数のためならなんでもしそうな感じがすげえきらい。。
@@unchi_bury_bury まあ人によって違うからね
登録しといたで
スマブラのゆっくりでピロさんがゆっくりと会話しながらやってた気がします。
11:49
ここだよねー、BACが90°になるのは距離が円周の1/4のときだけな気がする🤔
・A'とC'の少なくとも一方は赤道上にない
・A'C'≠円周の1/4
を満たす経線AB上の点A'、経線AC上の点C'を結ぶ道なら距離変わる希ガス
@@ryosuke8093 なるほど、返信ありがとうございます！
それだと三辺が違う距離になりませんか？🤨
言葉足らずでしたね、三辺が同じ距離のときは、やっぱり1/4のときだけだと思うんです。
@@user-pu1tx7oy8r そうですね！
球面における直線は大円のみ。赤道以外の緯線は直線ではなくて、極を中心とする円。
これ中学の頃塾で聞かれたことあって、地球規模で考えたらって気づいた時めっちゃ興奮した。
線分の概念が知りたいです。2点間を結ぶ最短距離の線と思っていましたが、曲がっててもokということですかね？
最初「線曲げたりしてねぇだろうな」
2分後半「曲げんのかーい()」
日本から欧米に飛行機で行く時、北極圏を飛ぶと近いって説明にちょうどいい数学だ(笑)
ちなみにハワイの真珠湾を奇襲攻撃をした空母部隊は北方領土の択捉島にある単冠湾(ひとかっぷわん)から出発した。
北海道が一番ハワイに近かったのです。
この話を要約すると
物の表面の上に縦横の位置が違う三点を結んだものが三角形で、
平面上に書かれた三角形はどうあがいても180°だけど、
球という立体の表面に三角形が書かれていた場合、180°以上になることがあるよー
ってことでいいのでしょうか…？
もっと一般化すると、曲面上に描かれた三角形の内角の和は180°より大きい(ことがあるではなく)。
訂正: 楕円幾何学では180°より常に大きく、双曲幾何学では180°より常に小さい。
@@jojxi 小さくなることもあるでしょう
×3点を結んだもの
◯3点を直線で結んだもの
この辺になると、法律の穴探しのような屁理屈との闘いになるよなぁ
@@user-yw4ux7sz6v ざんねん、直線ではなく線分。
@@user-iq7ft3zq9m
ポンデリングの穴は、内角の和が1080度よりも小さい八角形の代表例ですよね。
地球だと横に1キロ歩いてもY座標が変わらないと思うし三次元的に見て曲がっているようでも真っ直ぐなんだよな多分
15:26
｢三角形であるための条件に、直線であることとは書かれていない｣
線分は曲線ではなくて直線なのだから、つまり｢直線であること｣が必要なのでは？
線分は直線ではなく、2点を結ぶ「最短経路」が定義になってる。平面では直線=最短経路だけど、曲面ではそうではない。
例えば日本からブラジルへの最短経路を、穴を掘って進むと普通答えないのと同じ感じ
直線：まっすぐに伸びた太さを持たない無限長の線
線分：直線の一部
なので、
三角形：同一直線上にない3点とそれらを結ぶ3つの線分からなる多角形
という定義であるならば、曲がった線で作られた三角形もどきは三角形ではありません。
地球上で3点を線分で結ぶと、地殻を貫通した3次元空間上の三角形になります。
内角の和が180°でない三角形というものがあるとしたら、上記の言葉の定義自体を変える必要があります。（それが非ユークリッド幾何学で定義されているのでしょうか？ 無知で申し訳ありません）
いずれにせよ、従来の意味の線分、三角形では内角の和は必ず180°ということですね。
我々の3次元宇宙で第5公準が厳密に正しいのか(ユークリッド的か)を色んなスケールで観測する必要があるよね。
現在では「成り立たない(＝宇宙は曲がっている)」とされてますね。
@@final-bento え！
自分の聞いた話では「ほぼ平坦と言ってよい」となっていました
かなり遠くの星x2と地球のなす角を観測したんだとか
平坦トーラスのように平坦で閉じた宇宙というのも考えられます。
6:50 赤いきつねと緑のたぬきはどん兵衛ではない……w
霊夢の研究は後に非ユックリッド解説学と呼ばれる事になる
11:46 北へ進んでいたところを南に進んで90°なのか？
赤道まで進んだ想定ならBACも90°ですねー
説明忘れですかね🤔
つまりバミューダ3の「恋の三角海域SOS」の歌詞は間違いだったと！？
嘘だと言ってくれ！！
北極点から南に1km東に1km北に1km歩くと北極点に戻るとあるけど、
これは「東」の定義次第では変わってくる可能性がある。
日本の東に北米がある「東」ならそのとおりなのだけど、
日本の東に南米がある正距方位図法の「東」なら北極点には戻らない。
同緯度を維持して東に行くか、真東に行くと南緯にある地球の裏側に行けるか、という違い。
非ユークリッド幾何学は原論の第５公準の記述がややこしいから何とかこれを証明しようとしたができず、逆に第５公準を否定してみたら新たな幾何学の体系ができることに気づいた。そして、それの１つは球面上の幾何学と思えば納得、という展開でしたね。
なるほどな。
地上に書いた三角形は全て180度より大きくなるってことね
真っ直ぐな棒を折り曲げていったってなればうまく証明できそう
ちなみに最後のうp主(地声)が混ざってる人の例としてニコニコ技術部に所属していた動画投稿者さんたちがいます。
新しいピタゴラスの定理は、1/Sinθ＋1/cosθ＋1/tanθ＝1。フェルマーの最終定理の派生。n＝1の場合。
なんでや
適当言ってるだろお前w
x+y=zで草ｗ
仮定として
・地球が球であるとする
なら地球上で北極点から赤道、赤道の上でそのまま赤道1/4進んで北極点戻れば一つの角が90°の内角の和270°の角出来るよね。
三角形の内角の和が180°である
というのはまず、
"平面における"三角形っていう条件上こ話よね。
((但しこれは動画見る前のド理系中一が書いたものです。))
わかりやすい！
クッソどうでも良いマジレスをするのであれば、地球は自転や公転による遠心力で赤道の方が若干長い(地球楕円体)ので、赤道をピッタリ1/4進んでも北極点から赤道までの距離とは完全には一致しない
とは言うものの、せいぜい70km程度の誤差でしかないので270°の三角形と近似する事が出来る(ならなぜ言った)
地球はまん丸じゃなくって歪んでるよ
その三角形の面は地表ではなく地中にあることになよね？多分
だから普通の三角形ができる
球体の発泡スチロールで点とって切ってみて
早漏だったね
はじめの問題、あれっ？てなっても解けそうだからやっちゃいそう
赤いきつねと緑のたぬきはマルちゃんなんだよなぁ
どん兵衛は緑のきつねと茶色い肉うどんと赤いそばかなー
6:51
16:06スマブラの実況者ピロさん見ましょう
地球という球面に住む我々は、平面上で数学を発達させてきた。球面上ではどうなるのか再考が必要だ。
ある長方形を一定の幅でマス目状に(正方形)切って、切った正方形を斜めに入れると…
例えば1辺100センチの正方形を、縦横1センチの正方形にカット(=100×100で1000個)して→先の100×100の枠に斜めに入れると1000個以上入っちゃうの知ってますか？
動画とか数学の秋山先生がやってたのを大昔見たのですが、アレはどう言う理屈なのですか？
質問です！三角形などの図形の辺が曲線でも頂点の数があっていればその図形と言っていいんですか？
@H2O ありがとうございます