【ゆっくり解説】2の0乗はなぜ1になる？ 0の0乗はいくつ？
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- Опубликовано: 12 фев 2022
- 2の2乗は4、2の1乗は1。なら2の0乗は……え？ なんで1になるの？
学校で疑問だった数学の雑学を紹介します。
このチャンネルは数学の雑学やパラドックス、おもしろネタをゆっくり解説していきます。数学に苦手意識を覚えている文系の人にもわかりやすく解説しています。
登場人物
ゆっくり霊夢：ド文系。高校時代の数学はすっかり忘れている
ゆっくり魔理沙：理数系。大人になってすっかり数学を忘れた霊夢に数学を教えている
きめぇ丸先生：2人の元担任。昔に比べ実はだいぶ丸くなっている
動画の注意
数学好きの一般人が、数学の雑学やよくある疑問を解説する動画です。リサーチなどはがんばっていますが、なにぶん専門性が高い分野ですので、ちょいちょいガバいところがあります……。
また文系の方にもわかりやすく伝える都合上、どうしても説明不足な点がでてきてしまいますので、そのさいはご了承ください。
#ゆっくり解説 #ゆっくり科学 #ゆっくり数学
一部効果音・BGM：OtoLogic
0乗が1って習った時は考えるのが面倒だから、実は乗算には最初に「1×」と言うのが潜んでいるっていう事にして自分を納得させたな。
俺もそうしないとおかしく思えた。
普通に基準となる数値がなければスタートしないから、それで考えれば1が基準なので、0を0回なので、基準数と理解してた。
0は何回足しても変わらない数、1は何回掛けても変わらない数という意味でも、和算では0、乗算では1を基準にするっていうのは妥当なんですよね
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・
2の4乗＝16
2の3乗＝8
2の2乗＝4
2の1乗＝2
2の0乗＝1
2の−1乗＝1/2
2の−2乗＝1/4
・
・
「下に行くにつれ2で割られている」っていうような解説もありますね。
分数を使っていくのが、視覚的にも受け入れやすくて理解がしやすいですよね。
わかりやすい！
高校の時にこの疑問を数学教師に問い詰めて、逆数から数学的帰納法みたいな証明をされて、証明の美しさに鳥肌がたったのを思い出しました……
その先生に数学教わってたら俺絶対数学嫌いにならなんだ！
その先生いいなぁ
数学的帰納法みたいな、ちょっと特殊な証明方が使えたなら、数学がめっちゃ楽しいってかんじたんだろうけど、マニュアル化されてるのが辛いよなあ
@takuya imotasih ？
素晴らしいエピソードだけど、自分は数学的帰納法の説明で？？ってなったからその前でつまずきそう。。。
「数学では帰納法は認められておらず、演繹法しか使えませんが、数学的帰納法だけはOKです。なぜなら数学的帰納法は演繹法だからです。」
みたいなこと言いながら説明されたし、教科書もだいたいそんなことが１行だけ書いてあるんだもん。。。
演繹法も帰納法もそもそもなんだっけって感じだし（同時期に国語で習ったか？）
帰納法なのに演繹法だからOKってなんなんだよ、その説明は！ってなった。
いつも分かりやすい解説ため、
見てて飽きない！
とても分かりやすかったです！
累乗の計算は｢1に｣指数を掛けると考えた方が分かりやすいと偉い人が言ってました。
0乗は1に0回指数を掛けるので1になるのも納得です。
クヌース先生はTeXの開発者としても有名ですね。
学生の頃は論文書くのに必須でした。
面白い！ 高校で頭ごなしの数学で大嫌いになってしまったけど、光速や原子はメートルでは分かりづらい。でも累乗も計算すれば都合が合うし、「底」や「指数」はそんな扱いだったのか。現実とは違っていても、「数の世界のルール」で決めているというのも、すんなり受け入れられました。霊夢の強引な理論も、魔理沙が頭ごなしに否定せず、きちんと説明してくれるのも好感が持てました。これを高校の時に見ていたら、授業も嫌いにならなかったかも。０の０乗も「数の世界のルール」と割り切ってしまうとは、数ってこんなに楽しい世界だったのか。
それは深い話題ですね。
量的か質的か、エネルギー的にか物質的にか、で、0の意味も違うとかね。
フーリエ級数展開の授業で「0の0乗を1/2とする」というのを見たときは衝撃だったなあ。
「0のx乗でxを(上から)0に近づけると0」「xの0乗でxを0に近づけると1」と近づけ方によって値が変わるのだから、当然他の近づき方もあるし、
1/2に近づく方法も当然存在してもおかしくないんだけど、実例を見せられるとびっくりしてしまう。
何回か丁寧に見れば理解できそうだなぁと 学生だった頃に見たかったかもしれない
そして私が数学からっきしだめだったのが この動画ですんなり飲めないあたり我ながら納得した
掛け算は1が基準となっているからっていう説明がいちばんしっくりきた
x^yはxをy回掛けること。
では何にxをy回掛けるのか。
1にxをy回掛けるんです。
高校の頃にこれを言われて綺麗に納得した。
感動した
ん～
分からんw
１にゼロをゼロ回掛けると1
なるほどです
何か根拠のある異議がある人がこのコメ欄でコメントしてくれないかな？(自分もその論理で納得したけれど知らない可能性があるかもしれないし)
とてもおもしろかったです。
ちなみに、たけのこ派です。
概要欄、2の1乗は2になるのではないですか？
2日前まで、私はそれによって謎に包まれていたのであった………
ありがたい
指数法則で説明するのが数学的には良さそうです。
まず、2^x=1を仮定すると、指数法則から(2^x)*(2^y)=2^(x+y)=2^y (∵2^x=1を用いた)
∴x=0とわかる。
ついこの前指数からa×bの約数の数を求めよって問題を授業でしてて、0乗=1でもやもやしてたから、物凄く助かった
『分数で考える』のが楽なんですよね。
儂は1に何回掛かるかって認識してるから0の0乗は1派
最後にきのこの里派ですよね、といっているが きのこの山、たけのこの里でどちらにも当てはまらない、
とツッコミを入れてみる。
明治が商標だけは取ってるんで、明治の気が向いたらイベント商品としてワンチャンあるかもしれないw
「里」の者だからタケノコのスパイ
0の０乗が0か1かより
0の０乗をしないといけないケースが有ることが驚き
まー数学ってそんなもんよ
何れかの現実の現象で起こりうる計算だとしても
その例を挙げられないというカオス。
確かに、現実世界に持ち込むよりも概念的な世界だけにとどめておく方が便利なこと、数の世界にはいろいろありますよね。納得！
たけのこの里 ？
きのこの山 ？
どっちもおいしいけど、
いも作くん が好き♪
僕チンチャンチンチャンは杉のこ村
ド文系でも分かると謳っているのに理系にも配慮して細かいところまで話してくれているのはとても良いですよね。個人的には x^x (x→0) の話までするのかと身構えてしまった。
x^xのx→+0は1に漸近しますが、x→-0は1には漸近しなかったと思うのです、極限値は存在しないと思いますよ
そもそもnⁿ(n⇒-0)の極限なんてないねん
nもⁿも負のとき符号が反転するかそのままか判断せんとあかんけえnが整数でないと解が存在しないけんな
@@repinique1497 途中で複素数を含みますけど、最終的には1に収束すると思います。
@@MS-gq4gx よく考えてみたら1+j0に収束しそうですね汗
ただ、６〜7年前に微積の授業後に教授に0^0関連の質問をした事があり、このアプローチは真数定理(？)を満たさない為前提が間違っていると指摘された事があります。
なお、工学系の私には当時も今も理解はできておりませんが、、、
logを複素数全体で定義するとむずかしくなりますし、真数条件を盾に教えなかったのだと思います。
無限大は足し引き掛け算はできないけど、
無限大で割るのだけはOKっていうルールにすれば
０との関係性で辻褄が合うんじゃないかと
一応無限で割るのは不定形じゃないからおｋやで
無限で割った数は0になる
17:08 どんな学者でもとりあえず引っ張り出されるガウス氏
冪級数や0次元ハウスドルフ測度を考えるためには0^0は1と便宜上定めると便利
定義だね
指数法則を自然数から整数に拡張しても保つようにするため
クヌースって巨大数の世界で出てくるタワー表記のクヌースですかね？
指数やったついでに接頭辞のこともやって欲しかった
ミリ m →10^-3
センチ c →×10^-2
キロ k →×10^3
ギガ G →×10^9
中学の数学の授業でディスカッションやったの懐かしい。自分は､1に0を0回かける(つまり0をかけない)から1と考えてた。
指数が分数の場合は平方根や立方根(√)になりますね
あと私はキノコの山派です
たけのこ派です👍
あのクッキー生地のサクサク感がいいんです
ん～～～～～～～～～なんの話だったっけ？😋
特定の計算規則の範囲で矛盾がないならば未定義の値を定義しちゃうことって結構あるんですよね。
じゃないと有理数の足し算すらままならないからね
プログラミングでは (0の0乗) 0^0 = 1 にしてくれないと滅茶苦茶不便。ほとんどのプログラミング言語で 1 になるのはクヌース先生のお陰ということか？
ちなみに Excel などのスプレッドシートだとエラーになり、電卓(アプリ)はエラー派と1派に分かれている。
死ぬほど悲しい例えが好き。
そう決めたら便利って極論言えば数学全部そうよね…
まあ、πvsτだって、πの方が使いやすいからという理由でτはあまり使われないっていうことがあるよね。3.14159265……となる方が都合が良いという理由でね。
0⁰ の因数にはそもそも 0 が登場しないはずなので 1 でいいと思ってる
キノコも好いけど…、タケノコも好いなぁ…。
タケノコも良いけど…、キノコも良いなぁ…。
現実の世界で、曲線(曲面)に接線(接面)がある場合、そこが長さ(面積)ゼロの点という事はあり得ない。ごくごく微細でも、接地面が存在する。そうであっても、接線(接面)の傾きを計算する場合、微分の計算を用いる。微分では、接点には長さ面積など存在しない。ある意味、観念の世界で現実を測っているとも言える。
0^0にについても、
lim X→0 X^X
は「1」となるのだから、ここの解説にある不具合を踏まえた条件付きで、0^0は1と決めた方がいろいろ現実的だと思う。
2º=1なら0º=1や！って言うのと
0¹=0なら0º=0やろ！って言うのと
テーギされてないだろ！って言うのに別れてた気がする
数学(数)自体 こう定義したから って物の集まりだから。
0^1=0→0^0=0はおかしい。どのような演算をしても左から右は導かれない。
2^1=2→2^0=1は正しい。左の式で両辺2で割れば良い。0の場合は0除算が出来ないから成立しない。
なんか、０以外の数字に関しては、数直線みたいなもの描いて累乗したときの数字を並べて無理矢理納得したのは覚えてる。
凄い！
わからなかったorz
3:27 虚から４つ以上桁が下がっても名前はあるぞ！w
一般的には上は無量大数、下は虚から５つ下がった涅槃寂静までが認知されてるが、上も下もまだまだいっぱい呼び方あるぞ！
「解説していきます霊夢が！」って言うかと思った
零というのは現実の感覚でいうと現状維持という行動に近いのかね。
※単に「無い」という意味で捉えるなら形の無い発想を記憶から引き出した情報で形のある発想に出来るので考えるという行為を掛け算に近い物だとすると矛盾になる
個人的には、z=x^yをグラフにすればイメージしやすいのでは無いかと思ってます。
幻想家の大敵は数学の世界・・・
量子数として０と１が重ね合わさった数を定義すればよいのでは？
進数変換
19:02 きのこの里ってなんだよ
概要欄「2の1乗は1」じゃなくて「2の1乗は2」だと思います！
自分が子供の頃はきのこの山しかなく、後からたけのこの里が出てきた。
だから絶対にきのこの山！！！
意外だが
便利だから 妥当でさえあれば、が、
数学の真理 ｗ
最後にきのこの里って言ってるの草
中学生時代の先生が説明してくれました…
数学は常に正解が一つに定まるものと思っていたから
解釈によって答えが複数出てくるとは思わなかった。
僕はXのn乗は1にXをnかい掛けるっていうのを聞いたことがある
厳密な数学的には0が定義されてその後にマイナス（逆数）を定義するかな。
①0は何に足しても変わらない。(0は足し算の単位数)
②なので a^m×a^0=a^(m+0)=a^m
③aがゼロじゃない実数なら成り立つので、a^0は殆ど何に掛けても変わらない。(a^0は掛け算の単位数)
④a^0は1
その後にマイナス乗の定義をするのが数学的には自然かな。
⑤-mはmに足したら0になる数。(-mはmの足し算に関する逆数)
⑥a^(-m)×a^m=a^([-m]+m)=a^0=1
⑦aがゼロでないならば成り立つので、a^(-m)はa^mにかけると1。(a^(-m)はa^mの掛け算に関する逆数)
友達とlim[x→+0]x^x=1だから0^0は限りなく1に近いは近いけど近いだけって言う結果に収まった。
0^-1=0/0^1なので、x^0=0なのはx>0のときだけなのだ。x
円周率ってどうやって求めたんですか？
乗数の考え方を1に何回かけたものだと考えると一般的には分かりやすいから、0^0=1でいいと思う。
不都合が起きる分野があるらしいですが、こう考えたほうが普通の人にはわかりやすいと思います。
x^xのグラフでは1に見えるけど0^xのグラフでは0に見えるんだよな。
19:13 混ざってる混ざってる
自分の中学時代の先生は0の0乗=1派だったんだな。
というか、この動画を見るまでそんな派閥があることも知らず1が正解だと思ってた。
「数字は全て1*nと考える。0は1*0で、0の0乗だと1*0の0が消えるから1となる」
という理屈だった。
1^1は初期値を初期化しないで1
1^0は初期値を初期化して 1
0^1は空の値を初期化しないで0
0^0は空の値を初期化して 1
きのこの里ってなんです？
0^0は、指数の「型」が自然数なら1が良いと思う。実数なら定義無しでも気にならないけど。
理工系の学生からすると単位を斜体で書いてるのは気になる、、、
きも
クヌースが出てきてビックリした。
x^yは1にxをy回掛けた数ってことでいいかな
自分としては全ての乗は1にxをy回かけてるという考えだと
x^y=1*x*(xをy個)
（例 1の場合）
1^0=1
1^1=1*1
=1
1^2=1*1*1
=1
って感じになるし
↑こう考えれば0も
0^0=1
0^1=1*0
=0
0^2=1*0*0
=0
だから別に0の0乗は1じゃない？
学校の数学の授業は導入部分が不十分か無いに等しい。これが数学嫌いを増やしてる大きな要因だと改めて思わせてくれる内容でした。
こういう具体例をきちんと挙げて説明せず、一般項の定義を見せる事から始めて「これはこうする決まりになってます。ではこの式の答えは？」とかから始めるのがよろしくない。理屈がわかっていれば「そりゃ当然そうなるわな」みたいなのがほとんどなのに。
完全文系能だと、２の０乗は「２と２を０回かけあわせる＝つまりかけあわせない」になって答えは２というのがしっくりくる。でもそれだと２の１乗と同じということになってしまうから、間違いなんだろう。・・というとこまでは理解してたが、２の０乗が１な理由って単に便利だからなのね。
０の０乗問題に至っては、すごく文系的な論争に見えるのも面白い。
確かに答えがひとつで無い事は文系的ですね。
「e」ってやつの解説見てみたい!
あとはΦ、πやアーベル・ルフィニの定理を希望します。
0:22 この理論「元々数がない０に2をかけないから０」が正しかったら、もともと何もないところに2をかけても0だから指数は全部0になるな
乗乗乗多すぎて燃え尽きた真っ白な灰に
1×2の2乗⇔2の2乗みたいな感じかと思ってた
0^1×0^-1=0⁰と考えると0+1/0になるしそれが1となることはなくない？と思うんだけどな
他にaⁿなら指数が1減るごとに×1/aされていってるからa⁰=1って考え方もあるけど、だとしても0³=0,0²=0,0¹=0ってなってて指数が1減るごとに何倍か、と言われれば0/0倍だから成立しない
0に関しても、その考え方でいくなら0³=0,0²=0...ってなってるかもだけど指数が負の数になったら今度は1/0になるよね
「1÷0=存在しない」「0÷0=どの様な数もあてはまる」です。理由は以下の通りです。
「0÷0=□」とすると、以下の事を考えることと同じです。
「□×0=0となる□はどんな数か求めましょう」
すると□にはどの様な数も当てはまります。負の数や虚数でもです。もちろん1もその当てはまる数の一つです。ですので、0÷0=1と考えたらどう？というアイデアも出てきます。
余談ですがこれに対し1÷0=1としましょう、や1÷0=0としましょうというアイデアは決して出てきません。なぜかと言うと、□×0=1となる□を求めようととしても0に何かをかけて1になる、そんな数は存在しないからです。
この2つの違いは「どの様な数でも条件を満たす」に対して「条件を満たす数は存在しない」というところにあるものと思います。
指数法則のn,mが整数範囲で成り立つことを認めるなら
a^n=a^(n+0)=a^n×a^0より、
a^n×a^0=a^n
よってa^0=1
また、1=a^0=a^(n+(-n))=a^n×a^(-n)より、
a^n ×a^(-n)=1
よってa^(-n)=1/a^n
となるから0乗とマイナス乗は割と簡単に示せる
0の0乗は、X^X乗の関数を考えてその極限を取ったら1になるから、ほぇぇとなったなぁ
アルフォート派！
まだ動画見てないけど思い出を語らせてくれ。
英語の教師が授業中にこれを証明できたら英語のテスト受けなくてもいいなとこ言い出した。
目の前で証明して見せたら苦笑い（困り顔？）された。
結局有耶無耶にされて後日wikiみて別の方法あるからこれも頑張ってみてね（ゲス顔スマイル）。
ってされたのを未だに鮮明に覚えている、同級生のみんなもこの時の事を未だに言うレベルで…
どういうわけだか、コンピューターはこの手の話を理解しないんだよなあ
0^-1＝ ∞ 更に 0^1＝ 0 とすれば 0^0 は 1 辺りだと思わ無いか？霊夢
クヌースという人に関してはかの有名なグラハム数を表現するのに利用されるクヌースの矢印表記というのが面白いので皆さんも調べてね
今回話題にした指数を拡張したとんでも表記法の一つです
0の0乗って0/0の解釈に直結するよね。
ええ、不定の解釈ですね。
文系にも分かるというか文系や高校生にはこの程度でいいかも。0乗定義する前に整数指数の指数法則認めちゃってるから理系の人は？ってなっちゃう。
0を掛けると0回掛けるをごっちゃにしないようにしないとなぁ
0でも無を表す”数”だから0÷0＝1と思ってた
あと質問です、0で割っても0にならない数があるとしたらそれは∞よりも超越してますか？また、Xがあるとして、1のX乗したら2になったら、Xは∞より大きいですか？
0で割った数は定義できませんよ
任意の数をaとして、a÷0=bとなるようなbが存在するとすると、両辺に0をかけてa=0になりますからね
ざっくり言うと、（0÷0）だから
不定、なんだよね
底が3の場合、乗数が上がることに3倍なので図で書くと
3の0乗(1乗の1/3)
●
3の1乗(基準となる底)
●●●
3の2乗(1乗を縦に3倍)
●●●
●●●
●●●
3の3乗(2乗を横に3倍)
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●●●●●●●●●
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3の4乗(3乗を縦に3倍)
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●●●●●●●●●
●●●●●●●●●
●●●●●●●●●
●●●●●●●●●
●●●●●●●●●
●●●●●●●●●
●●●●●●●●●
●●●●●●●●●
の繰り返しという感じ。なので0乗は1。底が何でも1になる。
むしろごく一般的な初等解析学の講義は0^0=1と教えるよ
初等解析学の最重要定理の一つテイラー展開を考えれば、1にするのが都合が良い
0^0 := 1としますと教えなかったらそれはモグリや
単純に自分は
a^nは1にaをn回かけたものと捉えてます。(n>=0)
0の0乗は0がないことを示すと思うので0よりも1と定義する方が妥当というか現実的であり理想的だと思います。
そもそも0がないことを示す行為自体がナンセンスだと思いますが…
個人的には、「0^0=1」派ですね。
lim(x→±0){x^x}=1に収束する様に見えますから、「0^0=0」だとすごく違和感があります。www
X→-0の場合極限は存在しないと思います
@@9_shiro_taiga さん
はい、なので、公式には「不明」なのです。
ですが、xを、±1→0.1→0.01→0.001→…(但し、負数は条件付き)をグラフ化すると、1近傍に「収束する様に見え」るでしょう？
Google電卓でも「1」になる様に、何かと実際の処理では不具合が発生しないんですよねぇ。
なので、「個人的に」は、"1"派なのです。
1になること自体は知ってたけど意味までは知らんかった！
0以外の複素数の0乗は1なので0の0乗も1と定義しておくと何かと都合がよさそうということは理解できる。
x^n
は1にxをn回かけるんです。
って担任が言ってた。
これってあってる？