Олимпиадная механика. Задача топового уровня для 11-го класса / Olympiad mechanics
HTML-код
- Опубликовано: 21 авг 2024
- Задача:
На идеально гладком столе находится брусок массой M, одна сторона которого имеет вырез в виде цилиндра радиуса R. Какую наименьшую скорость v нужно сообщить шайбе массой m вдоль стола, чтобы она достигла точки А ? Какую силу давления будет оказывать шайба на брусок в точке В ? Трением пренебречь.
Поддержите мой труд материально.
Карта Сбербанка: 2202 2036 0506 0823
Телеграм: t.me/Ianovich_...
Сайт: yanovich.spb.ru
Почта: eduard@yanovich.spb.ru
© Янович Эдуард Алексеевич, 2024
Отличная задачка и изящное решение! Возьму на заметку для своих учеников. Спасибо!
Спасибо!
Маленькое замечание для тех, кто с сарказмом пишет, что не учтена толщина шайбы. А вы примите для себя, что толщина шайбы h, и посмотрите, что изменится. Посмотрите по какой траекторий пойдет ЦМ шайбы. Надеюсь, вам хватит сообразительности, что в ответах нужно будет всего лишь поменять R на (R-h/2).
Забавная задачка. Арифметика сильно упрощается, если массу бруска измерять в массах шайбы, а скорости - в \sqrt{gR}. Но это дело вкуса, конечно. Любопытно, что учет вращательного движения шайбы конечного, но все еще сильно меньше радиуса выемки, радиуса задачу по сути не усложняет, просто выводит (наверное) за рамки школьной программы. Надо в баланс энергий добавить кинетическую энергию вращения шайбы вокруг диаметра, а она определяется скоростью относительного движения, которую мы знаем из условия минимальности. В итоге, в выражении для скорости шайбы в числитель дроби под корнем добавится некоторое слагаемое, зависящее от отношения радиусов. Вот следующие поправки считать уже становится муторно.
Да, задачка хороша. Наверное топ как для школы. Решал сам, потратил часа 1.5, если не больше. Ответы полностью совпали. Ход решения автора, признаюсь, полностью не смотрел. Только начало, чтоб посмотреть, насколько совпадают наши отправные точки, ну и конец - ответы. Я, правда, не искал легких путей, а сразу решал задачку для произвольных точек: 1) скорость шайбы относительно бруса в точке альфа (угловая координата полукруга, от 0 до пи), 2) ускорение бруса в точке альфа, 3) давление шайбы на брус в точке альфа. И да, некоторые здесь закидывают автору, что он недостаточно обьясняет применение тех или иных законов в самом начале. Отчасти соглашусь. Для олимпиадников больше и не нужно, наверное. Но вот для всех остальных... ЗСЭнергии в виде (кинематическая + потенциальная) мы применяем, так как отсутствует трение и удары (неупругие в частности). ЗСИмпульса к системе шайба-брус применяется только к горизонтальной составляющей скоростей, поскольку по этой координате нет внешних сил. А вот по вертикали внешние силы есть: притяжение и реакция опоры. Импульс системы по вертикали не сохраняется. Это почти все, что нужно для решения. По крайней мере 1й части.
Очень хорошо! Но вроде никто не писал, что недостаточно объясняю законы!) Были другие претензии. Но здесь и не дети совсем смотрят то!) Многие сами преподают. А Вы школьник?
Не-е, я уже давно не школьник. 76го года рождения. Всегда любил физику и математику. Учился в физ-мат школе. Даже в некоторых олимпиадах участвовал. Хотел идти дальше в физику, учился на заочке в МФТИ. И меня туда активно звали поступать. Но в самом конце 11го класса перемкнуло на кибернетику. На нее и поступил, работал по специальности. Но любовь к физике осталась на всю жизнь. Вот и сейчас научные новости почитываю, ролики на ютубе всякие смотрю, да и задачки сам иногда решаю :)
@@MaximusU76, Кибернетика тоже интересно) У меня ещё будет много интересного для Вас, я надеюсь)
10:54 Третье уравнение, написанное в скалярной форме, подразумевает, что (U-V1) - положительная величина. Кажется, что это не обязательно так. Например, если рассмотреть предельный случай, когда M бесконечно много больше m, то большой брусок становится почти неподвижной стеной для шайбы. В этом случае значение U будет околонулевым, V1 больше нуля (иначе отрыв шайбы от бруска произойдет в более низкой точке траектории). В этом случае (U-V1) отрицательно.
Ключевое слово "кажется". V_отн = V_1 - U векторно. При U=0 получается V_отн=V_1 векторно! И направлена налево, как и должно быть. И значит её проекция на направление оси влево будет положительная) Надо внимательным быть.
Тоже классическая задача из сборников. На олимпиадах обычно что-то по оригинальней. Скорее что-то еще и с вращением могло бы быть в таком духе.
Конечно. Это база.
Добрый день,Едуард, пожалуйста объясните мне почему Vотн. имеет не нулевое значение,я просто когда сам пытался решить,принимал,что у меня в точке А Vотн шайбы равна нулю,так как это найменьшее количество энергии требуемое что бы поднять тело на какую то высоту, то есть шайба поднимется до точки А и сразу начнет падать вертикально вниз. Спасибо большое
вернее может даже не Vотн. равно нулю а вообще скорость шайбы относительно земли
Шайба движется по окружности значит имеет центростремительное ускорение, а значит и скорость не может обратиться в 0.
Шайба могла бы иметь нулевую скорость в точке A, если бы она двигалась вертикально вверх, однако в задаче траекторией является дуга окружности.
@@user-ie8gk5jb3i подумал немного и понял, я просто думал что возможнуа ситуация когда у нас шайба имеет ровно такое же количество энергии кинетической, как и потенциальную в точку А, и поэтому она просто упадет
Хотя тут не идет о полностью упругом ударе,что может иметь даже меньше энергии чем до столкновения с блоком
Добрый день! Вам уже написали здесь, что шайба движется по окружности. Поэтому её ускорение не ноль. Значит и скорость не ноль.
А потенциальная энергия не зависит от толщины шайбы? Кроме того шайба явно начнёт вращаться вокруг оси, перпендикулярной рисунку. На вращение тоже понадобится энергия
Толщина шайбы не задана. Следовательно ей можно пренебречь. Аналогично с вращением.
Еще нужно учесть зависимость g от высоты, а еще релятивистскую поправку на кинетическую энергию
Наконец! На 22:45 осенило! А в точке А только горизонтальная и останется.😂
Отлично!
А что нам дает информацию о том, что импульс бруска будет сонаправлен в точке А? Почему импульс бруска мог не обнулиться, тем самым передав весь импульс цилиндру, наблюдая относительно стола?
За подробными объяснениями обращайтесь ко мне в Телеграм.
Насколько я помню, у меня такая же задача была на вступительном на физфак
Возможно. В каком году?
@@ianovich_eduard 1999, ИГУ
@@ianovich_eduard странно, я ответил, а мой ответ исчез. Опять проделки капитализма. Это было в 1999 году, в ИГУ.
@@zx3215, может быть.
А шайба разве не приобретёт вращательный момент в процессе?
Пренебрегаем этим, так как не даны соответсвующие параметры.
Достойное видео, усыпило правление ТСЖ за 8 минут)
Вы меня переоцениваете) Я ж не Кашпировский)
@@ianovich_eduard Вы так рассказываете, что напрочь отбиваете охоту заниматься физикой.
@@Ded-Lesha-gs, спасибо) Это не для всех, видимо)
@@Ded-Lesha-gs, а вы посмотрите сколько лайков у этого видео и не я, а вы ужаснётесь, в каком вы меньшинстве!) (дизлайков всего 2)
Задача мутная. При решении, не учтены толщина шайбы. Если шайба не имеет толщину, то по определению у нее будет бесконечная площадь, и она не может двигаться по окружности и достигнуть точку А.. Если все же толщина есть, то радиус ее движения будет меньше R на половину высоты шайбы. Из-за этого потенциальная энергия и центростремительная сила будут иные.
Не учтена энергия вращательного движения шайбы в системе отсчета гладкой поверхности.
Конечно же это придирки, но все же как определить в задаче, что нужно учитывать при решении, а что нет, это камень в огород составителей задачи.
А ещё притяжение Солнца и спин электронов не учтены))
@@ianovich_eduard да, да, а еще тензор кривизны Римана надо учитывать, ведь объекты то не сферичные.))
@@user-pb1lr2mw2c, у Вас талант к физике!)
@@ianovich_eduard такс, немного балуюсь на досуге )
бесконечность не предел
Это точно)
Мне не нравятся пустые доводы из неоткуда и отсутствие аргументации в некоторых местах. Притом я говорю сейчас только о начале ролика. Как вам уже написали, брусок может и приподняться при определенном соотношении масс. Тогда ваше ЗСИ начальное будет неверно. ЗСЭ тоже(из-за 2mgR). Промотал, вы вроде как с неИСО все равно работаете. Так уж проще в ней и записать общие уравнения движения, ввести подвижный репер, взять на него проекции и получить то, что нам нужно.
У меня нет задачи Вам понравится.
Доводы вполне обоснованы математически и вовсе непустые. А хейт ваш оставьте себе. Не нравится - не смотрите.
@@ianovich_eduard
О каком хейте речь? Я вас никак не оскорблял. Где у вас математическая обоснованность? И да, я чет тогда не обратил внимания(без понятия, почему). Брусок то нужно рассматривать, как твердое тело. То есть нужно учитывать все факторы равновесия и т.п.
Выведите мне каждый закон сохранения из уравнений ньютона, при том в общем виде и с учетом того, что брусок - твердое тело. Да, импульс здесь скорее всего горизонтальный сохраняется, да и энергия тоже. Но обоснованности никакой.
Шайба похожа на прямоугольник; в этом случае сила давления в точке В равна нулю, т. к. нет касания. Логичней шайбу изобразить в виде круга и заставить скользить (не катиться) по выемке бруска.
А что прямоугольник не может давить??)
Может. Но у физика возникнет ряд не нужных здесь вопросов. Ведь вопрос о силе в точке. Прямоугольная шайба достигает точки В вначале «передним» углом, а затем «задним», и сила будет разная. Когда шайба «зависает», повернутая на 90 град. К ее начальному положению, касания бруска с точкой В нет вообще, и давление в этой точке можно посчитать только с учетом модуля упругости бруска. Всех этих соображений можно избежать, если сделать шайбу просто круглой. (Хотя расчет давления в точке касания все равно потребовал бы знания модуля упругости).
@@piupiu-ti4dd, так ведь не стоит же вопрос о давлении. Вопрос стоит о силе давления. И здесь не нужен никакой модуль упругости.
@@piupiu-ti4dd, кроме того можно рассмотреть среднюю силу.
@@piupiu-ti4dd, но спасибо за замечания.
Учитывал работу перемещения бруска, рассматривая системы отдельно, искал зависимость сил действующих на брусок от угла, интегрировал до π (точка А), понадобилось пройденное расстояние, понадобилась зависимость δα с δt, перешëл на анализ неравномерного движения по окружности и решил, что что-то не так... Нужно посмотреть что-то кроме 5 часовых разборов всероса...
Посмотрите это видео) Оно всего лишь 38 минут)
@@ianovich_eduard да, видел
@@ianovich_eduard я про то, что с идеей системы брусок+шайба всë довольно просто
🎉🎉🎉
Ошибка оратора состоит в том, что система отсчёта, связанная с брусом, не инерциальная. Поэтому все уравнения, написанные им в этой системе не имеют места.
Да что Вы говорите?!)) А я то глупый не знал этого!)
@@ianovich_eduard Эмоции брызжут, а ответа по существу нет.
@@user-wg6wr9ro4w , записывайтесь на индивидуальные занятия - будет Вам ответ!
@@ianovich_eduard Ваша четвёртая формула справедлива, когда имеется равномерное движение мат. точки по окружности в инерциальной системе координат, причём, центр этой окружности в этой системе покоится. В данной ситуации мат. точка по окружности движется, вообще говоря, не равномерно, причём в не инерциальной системе координат. В исходной инерциальной системе координат точка движется не равномерно и не по окружности. Третья формула тоже не верна. Не учтена не инерциальность системы отсчёта: не учтено ускорение, с которым движется эта не инерциальная система. Это первое. Второе: я думаю, будет странно, если доктор наук запишется на индивидуальные занятия к кандидату.
@@user-wg6wr9ro4w, да бросьте свою гордыню! Доктор наук, кандидат наук. Какая разница? Я не буду с Вами здесь разводить дискуссию. Это глупо. Все формулы у меня правильные. Внимательно смотрите и слушайте видео! Если хотите дискуссию - записывайтесь на занятия.
Минимальная скорость, означает что шайба доедет до точки А остановится и упадет вертикально вниз скорость гор. в т.А будет равна 0.
Нет, так не получится) Шайба движется по окружности относительно бруса. Она не может просто упасть вниз)
@@ianovich_eduard почему же не получится, если скорость мала, шайба не дойдет до А, болбшая проскочит А, а что если станет равной скорости бруса по горизонтальной оси?
@@user-sh2dn5sy6t , в Телеграм пишите. Буду на индивидуальных занятиях объяснять почему.
При такой скорости как ты описываешь, шайба упадёт РАНЬШЕ чем достигнет точки A.
Потому что для прижимания шайбы к поверхности необходимо поддерживать некоторую скорость по окружности, при которой центростремительное ускорение больше или равно гравитации. Как только скорость станет меньше этого порогового значения, шайба упадёт.
Я прошу прощения, не понял по какой причине Вы утвержаете, что скорость бруска в верхней точке направлена вправо?
А куда же ей ещё быть направленой??! Шайба то летит слева!
@@ianovich_eduard если M гораздо больше m, и эта штука с вырезом получит мизерный импульс. Не будет ли траектория шайбы близка к окружности, и в верхней точке скорость направлена влево?
@@alexsoft9120, Уважаемый, Вы определитесь о чём Вы спрашиваете! Сначала Вы спрашивали о скорости бруска, а теперь перешли на скорость шайбы!)
Прямоугольник и шайба?
Вы о чём?
Мне вот не понятно почему "v - min N=0"? Можно здесь по подробнее?
Можно. Только на индивидуальном занятии. Если есть желание, пишите в Телеграм. Ну а интуитивно - это понятно физически.
Всё просто - если шайба имеет излишек скорости в точке A, то она давит вверх на точку A. Если скорость недостаточна, то шайба до точки A не доедет, начав падать раньше. Поэтому N=0.
Если М устремить к бесконечности, то получится, что давление будет равно 3mg.
Совпадет ли это значение, со значением давления, если решать задачу с неподвижной стенкой?
Конечно, совпадает. Почему такой вопрос возник??
А скорость? Sqrt(5gR)?
@@caftanfire7597 , ну конечно.
Увидел ошибку:
Когда писали третье уравнение системы в векторном виде, то U должно было поменять знак, так как U - скорость движения системы отсчёта бруска с вырезом в неподвижной системе отсчёта, а не скорость объекта. Поэтому третье уравнение: U+V1=SQRT(gR).
Ошибка у Вас. Вы недостаточно хорошо понимаете физику. Вам надо подучиться)
@@ianovich_eduard товарищ зазнайкин, вы бы прислушались к тому что вам говорят и перепроверили бы себя ещё раз. Вектор скорости бруска U [исправлено], когда мы выбираем брусок за систему отсчёта, то для пересчёта скоростей объектов из неподвижной системы отсчёта в систему связанную с бруском нужно из их вектора скорости ВЫЧЕСТЬ вектор U [исправлено], а не сложить с ним. И когда вы будете переходить от векторной формы к скалярной, то для разнонаправленных векторов их модули нужно складывать, а не вычитать.
Я понимаю, у вас там потом так хорошо всё взаимоуничтожилось, но подгонка решения под заданное произвольной модификацией выражений - так себе занятие...
@@user-dq3cs3dc5n, вектор скорости бруска U, а не V1 ! Смотрите внимательнее, а потом пишите.
@@user-dq3cs3dc5n , ещё раз перейдёте на такой тон, просто заблокирую. Поняли?
@@ianovich_eduard так вы за своим тоном тоже следите, пожалуйста. Я бы не написал ничего подобного если бы вы не указывали кому как учить физику.
Что касается предмета спора, то да, я ошибся в названии вектора. Прочитайте моё предыдущее сообщение заменив V1 на U и подумайте.
Кто их придумывает, и главное как?
Ну-у, разные люди) Как? По-разному)
Добрый день, а почему шайба движется без ускорения?
Почему Вы так решили?? Когда шайба взаимодействует с бруском, конечно ускорение есть!
@@ianovich_eduard Ну тогда при переходе в СО шайбы, ускорение бруска должно стать равным собственное ускорение минус ускорение шайбы (переносное ускорение)
@@user-gl4nj9lw1n, Вы невнимательно смотрите видео! Мы переходим не в систему отсчёта шайбы, а в систему отсчёта бруска!
Вообще никогда не понимал, зачем даются такие задачи.. Кому результат вообще может понадобиться, тем более без трения
Ну так нельзя ставить вопрос. Во-первых, это олимпиадная задача. Во-вторых, есть много полезных задач, в которых трение не учитывается.
@@ianovich_eduard да, я понимаю академическую составляющую подобных задач, но не могу понять практическую
@@user-bk4ux9rv3t, скажите, какой смысл рассматривать осциллятор без трения? По вашему это бессмысленно, ведь трение всегда есть. Но это же фундаментальная задача и она возникает в квантовой оптике именно без трения!
Подобные задачи уже по самому условию являются нерешаемыми.
Условие "идеально гладкий" подразумевает, что 2 предмета с такими параметрами имеют мизерное трение. Но это условие относится только к столу. Ни про брусок, ни про шайбу ничего не сказано об их поверхности. В конце сказано, что "трением пренебречь". В таком случае, с одной стороны, какая разница, насколько стол гладкий, а с другой стороны, если пренебрегаем трением, значит нужно пренебречь и притяжением. Ведь даже в полном вакууме 2 предмета столкнувшись друг с другом будут тереться друг о друга, а значит изменять скорость, положение и вращение в пространстве.
"Ни про брусок, ни про шайбу ничего не сказано об их поверхности" - сказано пренебречь трением.
"если пренебрегаем трением, значит нужно пренебречь и притяжением" - нет, не значит.
"Ведь даже в полном вакууме 2 предмета столкнувшись друг с другом будут тереться друг о друга, а значит изменять скорость, положение и вращение в пространстве." - смотря что за тела, смотря как столкнутся. И к задаче это вообще никак не относится.
@@vladoriginkos К задаче это имеет прямое отношение, так как у нас предполагается взаимодействие двух материальных объектов. И странно, что о шайбе нам сообщают только вес и скорость движения, а о бруске - вес и радиус дуги. Но именно форма и размер шайбы будут влиять на её скорость при движении по дуге. Также, есть некий предел соотношения масс, когда брусок уже не будет способен удерживать своё горизонтальное положение и просто начнёт переворачиваться из-за сильной инерции шайбы.
@@user-oq6kh2fe5m Размерами шайбы пренебрегаем.
"Также, есть некий предел соотношения масс, когда брусок уже не будет способен удерживать своё горизонтальное положение и просто начнёт переворачиваться из-за сильной инерции шайбы." - инерция не может быть сильной, это явление.. Но в целом да, всё верно.
Кака же брусок перевернётся, если шайба его вначале прижимает к столу, а трения нет?!
@@ianovich_eduard так перевернуться он может в любой момент времени, пока шайба контачит с ним. Трение не нужно, тут основную роль играет сила реакции опоры
задача интересная, но почему 11 класс, это может быть на олимпиаде 10 класса
Ну Ландау может и в 7 классе её решил бы!))
а почему в1 направлена вправо?😅😅
V_1 почему вправо? Ну представьте, что она влево направлена. А брусок вправо движется. Значит они разойдутся раньше, чем в точке А!
А если масса М достаточно мала, не приподнимет ли массивная шайба m брусок M?
Нет.
@@ianovich_eduard Да. Чем тяжелее шайба и легче брусок, тем сильнее положение шайбы в точке А будет смещаться к точке В, т.е. пройдя точку В шайба начнёт переворачивать брусок, который по сути станет трамплином для шайбы.
@@user-oq6kh2fe5m, если знаете ответ, зачем спрашиваете ??!
@@ianovich_eduard Так я ж ни о чём не спрашивал. Я утверждал. Более того, я даже не упомянул о соотношении длины шайбы к длине дуги. Ведь плоскость, коей является дно шайбы, не будет вся скользить по дуге. Скольжение будет осуществлять начальный фронт плоскости и конечный. И чем больше расстояние между этими фронтами, тем дольше будет затухание горизонтальной скорости шайбы. Ведь пока конечный фронт движется по столу, у него нет вертикальной скорости.
@@user-oq6kh2fe5m, а да, это не Вы спросили) Но я не согласен с Вами. Конечно, шайба маленькая достаточно. Зачем усложнять и так сложную задачу?)
Бред.......
Вы о чём, уважаемый??