Международная студенческая олимпиада по математике 2023, IMC-2023, задача №1
HTML-код
- Опубликовано: 26 июн 2024
- Межнар. по математике. International Mathematics Competition for University Students 2023
Разбор задачи с функциональным уравнением:
Find all functions f: R→R that have a continuous second derivative and for which the equality f(7x+1)=49f(x) holds for all x∈R.
Поддержите мой труд материально.
Карта Сбербанка: 2202 2036 0506 0823
Телеграм: t.me/Ianovich_eduard
Сайт: yanovich.spb.ru
Почта: eduard@yanovich.spb.ru
© Янович Эдуард Алексеевич, 2024
Очень интересно и правильно что разбираете такие задачи, класс 👍
Спасибо.
Продифференцируем дважды: 49f''(7x+1)=49f''(x), f''(7x+1)=f''(x), откуда при t=x+1/6 имеем f''(7t-1/6)=f''(t-1/6), следовательно, f''(x)=f''(t-1/6)=f''(t/7-1/6)=f''(t/7^2-1/6)=f''(t/7^3-1/6)=... -> f'(-1/6), следовательно, f''(x)=f''(-1/6)=Const, тогда f(x)=Ax^2+Bx+C, A(7x+1)^2+B(7x+1)+C=49(Ax^2+Bx+C), 49A=49A, 14A+7B=49B, A+B+C=49C, т.е. A=3B, 4B=48C, B=12C, A=36C, f(x)=C(36x^2+12x+1)=C(6x+1)^2, где C произвольное действительное.
зачем так сложно...
@@polinamoskvicheva2523 а как проще?
спасибо, интересно
Пожалуйста.
Спасибо за разбор!
Пожалуйста!)
Спасибо
Пожалуйста)
Супер, я не очень хорошо знаю математику, но интересно. Ваш канал попался в рекомендациях, буду прослушивать все лекции, которые у вас на канале! Не останавливайтесь. Спасибо.
Спасибо! Можете подписаться на мой Телеграм канал. Тогда точно не пропустите новые видео. И да, у меня есть лекции по математике в разделе "тренсляции". Не хуже, чем в университетах)
@@ianovich_eduard лучше
Красиво!!
Согласен)
Ну не согласен насчёт того что на олимпиадах не суперпупер математике, на IMO действительно сильные и очень умные ребята, не знаю как дела обстоят с IMC, но возможно это Вы ещё взяли первую задачу оттуда
Возможно.
а-а)) это ж мы к этому ранее приходили... это замена... тысяча извинений! а я уж решил что это из теории малых функций что-то.... ппц переработался... спасибо! отл задача
Спасибо вам большое, профессор!
Сам начал изучать математику в этом году, заканчиваю первый курс университета в Венгрии, учусь на математике. Большое вам спасибо за видео! Здоровья вам!
Спасибо!) Успехов в учёбе!
Подписывайтесь на мой Телеграм канал "ФизМат школа Яновича".
Не понимаю, для чего нужна непрерывность второй производной. Пусть y=x+1/6, тогда f(7y-1/6)=49f(y-1/6).
Таким образом, достаточно найти g(x) из соотношений f(x-1/6)=g(x), g(7x)=49g(x). Или найти g(x)=x^2h(x) и g(0), если h(7x)=h(x).
Аналогично используем непрерывность функции h(x): h(x)=h(x/7)=h(x/49)=..., h(x)=h(0)=c. Тогда g(x)=cx^2, g(0)=0 по непрерывности.
В итоге тот же самый ответ: f(x)=c(x+1/6)^2.
Так Вы же всё равно используете непрерывость h(x). А она следует их непрерывности g(x). А последняя в свою очередь вытекает из непрерывности f(x)! :--)))
@@ianovich_eduard не, там другая история, h(x) непрерывна при x>0 или при x
если взять что-то типа h(x)=sin(2pi log_{7}x), то становится понятно, зачем в условии непрерывность второй производной
Аргумент функции g получился -1/6, что является корнем уравнения с(6x+1)^2=0, наверное связь не случайна
Наверное.
Я так понимаю это самая первая задача? Какая-то она слишком легкая для Межнара еще и для студентов. Думаю, среднестатистический первокурсник физтеха ее спокойно решил бы за минут 10-15
Да, первая. Если знать базовую задачу, то да, несложно. А если не знать, то среднестатистический первокурсник или второкурсник любого ВУЗа её не решит. Поэтому я всем, кто не решил, советую не расстраиваться) Главное не победа, а участие!
Познавательно, но, к сожалению, знания, полученные за 10 лет обучения в школе, не дают понять полностью решение.
Так это же не школьная олимпиада, а студенческая!)
Почему вместо t можно подставить (t-1)/7?
Это вместо x можно подставить, а не вместо t.
решил глянуть перед сном) мдаа... пока что, кроме того, что их вторые производные равны - ничего в голову не приходит... интегрировать их что ли... и четыре константы искать... а функция хоть элементарная? а то Эдуард сейчас наворотит композицию в рядах...
ну что сказать... подбором решил... тригу сразу отмел... показательные проверил, много времени ушло... ну и логарифм тоже... линейные сразу дружно обнулились... осталась квадратичная, она не подвела... но дело не в этом... на 5 мин 55 сек Вы говорите странную фразу "просто по цепочке" и пишете g((t-1)/7)=g((t-8)/49)... это как...
По цепочке)
чотка канешна доказано, что квадратичн... интересно, зачли бы на олимпиае тупой подбор с правильным ответом)
Нет, не зачли бы. Да и подобрать не так просто.
Решение методами 9ого класса. "Не смотри -- сразу комментируй":
Предположим, что мы хотим найти f(x) в виде ax^2+bx+c. Методом неопределённых коэффициентов находим (одно из решений) 3x^2+x+1/12. Вольфрам согласен, вбейте туда равенство 3(7x+1)^2+(7x+1)+1/12 = 49*(3x^2 + x + 1/12). Готово.
Почему стоит решать именно так? Потому что полиномы приближают хотя бы на отрезке непрерывные функции. И, даже если ответ выражается как-то совсем уж плохо, то какие-то предельные соотношения получить всё-таки удастся с большой вероятностью. Более того, здесь сразу видно что второй степени хватит из-за того что неизвестных больше чем уравнений. Это видно из-за сокращения старших коэффициентов при x^2.
По всей видимости авторами задачи так и задумано, потому что сокращение при x^2 сразу бросается в глаза, если мысленно думать сразу о разложении в тейлора.
Но это не доказывает, что других решений нет!)
Ну это Вы загнули!) Здесь не приближённое, а точное решение нужно найти.
@@ianovich_eduard Ой, я не прочла условие, что "найдите все".
@@polinamoskvicheva2523, бывает)
ну тут самое сложное - математически аккуратно доказать, что вторая производная постоянна. хотя её постоянство ёжику очевидно. как только этот факт установлен, остальное решается в две строчки
Ёжику это точно не очевидно!)
@@ianovich_eduard тогда ёжик спросит, вот если у нас есть условие f(g(x))=f(x) для всех x, и g(x) непрерывна, монотонна и g(x) - x не есть ноль, то что, бывают решения с непостоянной f(x) ? ну просто. из любопытства ёжика.
@@MrAlexNRW , конечно бывают.
@@ianovich_eduardёжику хотелось бы примерчик на иголочки. а то ведь ёжик по простоте душевной запишет обратную функцию F(x), такую что F(f(x))=x, неожиданно получит F(f(g(x))= g(x), и окажется g(x)=x. Но ёжик он же глупенький.
@@MrAlexNRW , ёжик должен понимать, что обратная функция не всегда существует!) Это отдельная задача. Здесь писать не вижу смысла. Пишите в телеграм. Будем учить ёжика индивидуально)
Putnam го
го Putnam
На хер я это смотрю в 3 часа ночи
правильно, надо будет утром пересмотреть
Я бы попросил выбирать выражения.
Не совсем понятно, зачем Вы спрашиваете здесь об этом. Это Вы решаете, когда смотреть. Здесь Вас никто не заставляет. Доброй ночи.
Спасибо
Пожалуйста)